淮南市2025屆高三其次次模擬考試

理科數學試卷

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1.已知集合4={1|（工一1）（%-3）<0},B={x\log2x<l},則Au8等于（）

A.{x\x<3}B.[x|0<x<3]C.{x|l<x<2}D.

{x\2<x<3]

【答案】B

【解析】

【分析】

計算出4,8后可得4UB=（0,3）.

【詳解】4=（1,3）,B=（0,2）,所以4UB=（O,3）,故選B.

【點睛】本題考查集合的運算（并），屬于基礎題.

2.已知復數z滿意z+i=zi,其中i是虛數單位，貝女的模|z|等于（）

lM1

A.1B.也C.JD.-

“22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數的四則運算計算出z后即可求其模.

[詳解]Z=二=一」='）==,所以必|=四，故選C.

1—11—122112

【點睛】本題考查復數的四則運算及復數的概念，屬于基礎題.

3.2002年8月國際數學家大會在北京召開，會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》,

它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三

角形的直角邊邊長之比為1:2,則在大正方形內隨機取點，且此點取自中間白色小正方形部分

的概率為（）

【答案】C

【解析】

【分析】

設大正方形的邊長為出a,依據直角三角形的直角邊邊長之比為1:2可得小正方形的邊長為a,

依據兩個正方形的面積可得所求的概率.

【詳解】設大正方形的邊長為在a,則圖中直角三角形的直角邊的長度分別為：2a,a,

故小正方形的邊長為a,所以大正方形內隨機取點，且此點取自中間白色小正方形部分的概率

2

為一5=三，故選C.

5a25

【點睛】幾何概型的概率計算關鍵在于測度的選取，測度通常是線段的長度、平面區域的面

積、幾何體的體積等.

4.已知實數久，y滿意6y<6,則下列關系式中恒成立的是（

°11

A.sinx>sinyB.ln(x24-1)>Zn(y2+1)C.-<-D.x3>y3

【答案】D

【解析】

分析】

依據指數函數的單調性可得久>y,再依據哥函數的單調性可得久3>

【詳解】因為所以久〉y，

而y=/為R上的增函數，故，>y3,故選D.

【點睛】本題考查指數函數、塞函數的單調性，屬于基礎題.

Xy

5.已知F是雙曲線方-」=1(。>0/>0)的一個焦點，若點F與點。b)的連線垂直于雙曲線的一

a2b2

條漸近線，則該雙曲線的離心率是()

A.B.C.D.在+1

【答案】B

【解析】

【分析】

點F與(01)連線的斜率與漸近線的斜率的乘積為-1得到ac=c2-a?,從該式可解出離心率的大

小.

【詳解】點尸與(01)連線的斜率為-2因該線與漸近線垂直，

C

故—X--1即QC=c?-“2,也就是i一e-i=o，(e>1)

ca

所以e=l±Ml,故選B.

2

【點睛】圓錐曲線中的離心率的計算，關鍵是利用題設條件構建關于a,瓦c的一個等式關系.而

離心率的取值范圍，則須要利用坐標的范圍、幾何量的范圍或點的位置關系構建關于a立c的不

等式或不等式組.

6.已知正=(1,0),同=1,月的夾角為30。，若值31-之2,司+區相互垂直，則實數%的值

是()

A.-73B.小C.3-73+4D.-373+4

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量垂直的充要條件，結合向量數量積的運算即可得解.

【詳解】因為卷］-&后+誠相互垂直,所以(但I-,).('+%2)=。'

整理得到晅32+(艱_i)^.e2_汨2=0,故e+-l)Xy-2=0,

故4=-同故選A.

【點睛】向量數量積有兩個應用：(1)計算長度或模長，通過用向=庖:(2)計算角，

n-h

cos(a,b)=-特殊地，兩個非零向量￡石垂直的充要條件是2石=0.

回向

7.某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖是正方形,側視圖是直角梯形，俯視圖由一個半圓和

一個等腰直角三角形組成，則該幾何體體積為()

【答案】D

【解析】

【分析】

依據三視圖復原幾何體，結合三視圖中的數量關系，即可得解.

【詳解】幾何體由一個四棱錐和半圓柱構成，其中四棱錐的底面為邊長為2的正方形，

[137r-4-R

高為2,半圓柱的底面的半徑為1,高為2,故幾何體的體積為：-x2x4+-X7rxl2=二一,

故選D.

【點睛】本題考查三視圖，要求依據三視圖復原幾何體，留意復原前后點、線、面的關系.

8.已知+()+cos。=—則+/)=()

334

A-5K-5Q5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用兩角和的正弦公式化簡，再逆用兩角和的余弦公式可得所求的值.

【詳解】題設中的三角函數式可化為：遜吧+壬竺=_型，整理得到：

225

57r57r3../5TT\3/5TT\3

sinOsin-—cosOcos-=從而一cos（6+—I=-BPcosl0+—I=

故選A.

【點睛】三角函數的化簡求值問題，可以從四個角度去分析：（1）看函數名的差異；（2）看

結構的差異；（3）看角的差異；（4）看次數的差異.對應的方法是：弦切互化法、協助角公

式（或公式的逆用）、角的分拆與整合（用已知的角表示未知的角）、升暴降暴法.

9.執行如圖所示的程序框圖，若輸入》=2,則輸出的結果為（）

11

A.-3B.——C.—D.2

23

【答案】C

【解析】

【分析】

分別計算i=1,234時X的值可得久的規律，從而可得輸出結果.

【詳解】當i=l時，x=|；當i=2時，x=-1；當i=3時，x=-3；當i=4時，x=2,

1

所以久的值周期性出現，故當i=101=4x25+1,x為名

【點睛】對于框圖的問題，我們可以從簡潔的情形逐步計算歸納出框圖的功能，在歸納中留

意各變量的改變規律.

10.中國古代儒家要求學生駕馭六種基本才能：禮、樂、射、御、書、數.“禮”，禮節，即

今德育：“樂”，音樂，“射”和“御”，射箭和駕馭馬車的技術，即今體育和勞動：“書”，

書法，即今文學；“數”，算法，即今數學。某校國學社團周末開展“六藝”課程講座活動,

每天連排六節，每藝一節，排課有如下要求：“禮”必需排在第一，“數”不能排在最終，

“射”和“御”要相鄰，則“六藝”講座不同的排課依次共有（）

A.18種B.36種C.72種D.144種

【答案】B

【解析】

【分析】

就“射”或“御”排在最終和“射”和“御”均不在最終兩種狀況分類探討即可.

【詳解】假如“射”或“御”排在最終，那么“射”和“御”有兩種排法即腐種，余下3種

才能共有用種排法，故此時共有4弘g=12中排法；

假如“射”和“御”均不在最終，那么“射”和“御”有3x2=6種排法，中間還余兩個位置,

兩個位置可選一個給“數”，有2種排法，余下兩個位置放置最終的兩個基本才能，有用，

故共有24種排法，

綜上，共有36種排法，選B.

【點睛】對于排數問題，我們有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素優先考慮，比如偶數、

奇數等，可考慮末位數字的特點，還有零不能排首位等；（2）先選后排，比如要求所排的數

字來自某個范圍，我們得先選出符合要求的數字，在把它們放置在合適位置；（3）去雜法，

也就是從反面考慮.

11.己知函數/'（X）=sin（3久+0）（3>0,\（p\<?的部J力圖像如圖所示，則函數人為單調遞增區間

是（）

y

/

°V/

/51\

A.—TT.fcTT+—GZB.I2fc7r——^2/f71+—7rj,/cGZ

C.（kn：_j1,kn+滑1卜6ZD.^2k7i-1-n,2kn+—1GZ

【答案】A

【解析】

【分析】

先由f（0）=，得到a=再依據/?（"=0得到3=6k2

kEN*,依據3的范圍可得3=2,

JIJI11

最終依據2fc7T--<2%+-<2kn+-fkeZ求得函數的單調增區間.

【詳解】由圖像可知/■(0)=理，故宜呼=也，因陰<:故s=￡

2223

一/5TT\57rTi46%2,

又/(%?)=。得到⑦x—+^=如卜GZ,故3=——,kEZ,

27r57r

>

[U~6,.6”…612?…

因故OV3VM所以3V虧，所以3=2.

\2n157T

——x-<——

\a)26

7T\.717171

2x+—j,令2kji——<2x+—<2kn+—,kGZ,

(3/232

57rTi

所以E?-瓦<x<ATT+技,kcZ,函數y=/(x)的單調增區間為：

5471\,，一

(kn--,kn+—j,/ceZ,故選A.

【點睛】已知y=4s譏⑷久+0)的圖像，求其解析式時可遵循“兩看一算”，“兩看”指從圖

像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高點或最低點的坐標計算。.當無法確定函數的最高

點或最低點的坐標時，可依據圖像所過的特殊點得到33滿意的方程，再依據它們的范圍得到

相應的取值.

12.已知函數/'(x)=卜_羋二若函數g(x)=有兩個零點/，x2,則久1+々=

IIXXIfXU

()

1

A.2B.2或2+-C.2或3D.2或3或

e

1

2+-

e

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用導數得到/(%)在(-8,0)上的單調性及最值，再畫出外處在R上的圖像，利用y=m與

y=八與的圖像有兩個不同的交點可得與+々的值.

x

【詳解】當工40時，f'(x)=(x+l)ef

當x<一1時，/'(%)<0,故/■(?在(-8,-1)上為減函數，

當一1VKV0時，fl(2x)>0,故f(%)在(-1,0)上為增函數,

所以當％40時，/（%）的最小值為f（一1）=一；

又在R上，/（?的圖像如圖所示：

因為9（尤）有兩個不同的零點，所以方程/0）=m有兩個不同的解即直線y=機與y=/O）有兩個

，一1

不同交點且交點的橫坐標分別為第1，第2，故1<m<2或m=0或m=—,

e

若lVmV2,則％I+%2=2,

故m=0,則比1+々=3,

111

若m=—,貝lx,+%=—1+3+—=2+—.

eee

綜上,選D.

【點睛】已知分段函數的零點的個數求參數的取值范圍或探討零點性質時，要依據各段函數

圖像的特點推斷零點的個數或性質，必要時可結合函數的導數分類探討圖像的特點.

第II卷（非選擇題，共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題~第21題為必考題,每個試題考生都必需作答.第22

題~第23題為選考題，考生依據要求作答.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上）

/%+y>2

13.若變量x,y滿意約束條件2x-”4,貝ijz=x-y的最大值為__________.

（x-y>-2

【答案】2

【解析】

【分析】

畫出不等式組對應的可行域，平移動直線可得z的最大值.

【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示:

平移動直線久-y-z=o至4時，z有最大值，

又仁之工學得4(2,0)，故Zmu=2,故填2.

【點睛】二元一次不等式組條件下的二元函數的最值問題，常通過線性規劃來求最值，求最

值時往往要考二元函數的幾何意義，比如3久+4y表示動直線3%+4y-z=0的橫截距的三倍，

而JV4-7則表示動點P(x,y)與(1-2)的連線的斜率.

x—1

14.在A4BC中，三內角4B,。對應的邊分別為a,b,c,且c=l,acosB+bcosA=2cosC.則

C=.

71

【答案】-

【解析】

【分析】

把題設中的邊角關系化為acosB+bcosA=IccosC,利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得

71

sinC=IsinCcosC,從該方程中可得C=

【詳解】因為c=l,故acosB+bcos4=2cosC=2ccosC,

由正弦定理可以得到sin4cosB+sinBcosA=2sinCcosC,

i^sinC=2sinCcosC,因CE(0,TT),所以s出。＞0,

,,1,__,,,TT,.7T

故cosC=],因CE(O,TT),故c=§,填]

【點睛】在解三角形中，假如題設條件是邊角的混合關系，那么我們可以利用正弦定理或余

弦定理把這種混合關系式轉化為邊的關系式或角的關系式.

15.過拋物線y2=2p式的焦點尸的直線!與拋物線分別交于第一、四象限內的4B兩點，分別以

線段4F、BF的中點為圓心，且均與y軸相切的兩圓的半徑為心、々.若廠1：上=13則直線珀勺傾

斜角為.

.…■27r

【答案】—

【解析】

【分析】

過4B作準線乂=-1的垂線，垂足分別D,E,過4作BE的垂線，垂足為S.利用拋物線的幾何性質

171

可以得到力工BF=BE,在直角梯形中可求BS=從而可求得乙4BS=§,由后者得到

直線的傾斜角.

由題設有AF：BF=1:3,設AF=無，BF=3x,過作準線x=-1的垂線，垂足分別D,E,過A作

BE的垂線，垂足為S.

則4。=x,BE=3x,故BS=2.x,

所以COS〃BS=F=[,而乙4/〃0口，所以乙4BS=￡

4%2\2/3

27r27r

故直線珀勺傾斜角為臺.填g.

【點睛】一般地，圓錐曲線中與焦點有關的數學問題可以考慮用圓錐曲線的幾何性質來轉化,

有兩個轉化的角度：（1）利用圓錐曲線的定義轉化為與另一個焦點相關的數學問題；（2）利

用圓錐曲線的統肯定義把問題轉化為與曲線上的動點到相應準線的距離問題.

16.已知平面a上放置棱長為2的正四面體4BCD,若該四面體繞棱BC旋轉，使。點到平面a的距

離為1,如圖所示.則點4到平面a的距離等于.

【答案】|

【解析】

【分析】

4D和4。在平面a內的射影構成直角梯形，而且射影的連線過BC的中點，在該直角梯形中，通

過解三角形的方法可求出A到平面a的距離.

【詳解】過4。作平面a的垂線，垂足分別為F萬，連接EF,則EF過BC中點S,

如圖所示，在直角梯形中，AD=2fAS=DS=^3fDE=l.

…l.3+3-41

所以SE=M，tan^DSE=—,而COSNASD=------————所以

22xq3x{33

2^+y5歷

tanZ.ASD=2也，因止匕tan（乙4SD+乙4SD）=---------==-----

1-2722

…谷55J3

所以ta九乙4SF=”一,故s加乙4SF=可后=

所以4尸=ASsinZ-ASF=

【點睛】空間中點到平面的距離的計算，應當通過作出垂足把距離放置在可解的平面圖形中

計算.留意在平面圖形中利用解三角形的方法（如正弦定理、余弦定理等）來求線段的長度、

面積等.

三、解答題（共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.己知各項均不為0的等差數列｛4｝的前幾項的和為S”若。8=15,且％,。2,53成等比數歹！J.

（I）求數列｛時｝的通項公式與先;

13

（II）設腦=不工^,數列｛九｝的前。項的和為7”，求證：T<~.

J九i-4九n4

2

【答案】（I）an=2n-l,Sn=n；（II）見解析

【解析】

【分析】

（I）依據題設條件得到關于旬〃的兩個方程，求出它們后可得與及片.

3

（II）利用裂項相消法可求〃，由不等式的性質可得配<]

【詳解】（I）設等差數列｛冊｝的公差為d,則名=%+7d=15.

由%,%S3成等比數列知零=即（%+弓產=旬（3%+3d）=3%（旬+d）.

所以(d-2al)(%+&)=()因@1+d=。240,于是d二2%，解得%=1,d=2,

cy八九(1+2九—1)2

Q九二2n—1,S=-----------=n2.

n2

,11ip1]

⑴）因而短2bln+2/

所以7九=々+^2+…+%

1/111111111\

=—11——I———I———H———F...H——----1

213243546nn-1-2/

=始-<I.所以原不等式成立.

2\2n+1714-2/4

【點睛】數列求和關鍵看通項的結構形式，假如通項是等差數列與等比數列的和，則用分組

求和法；假如通項是等差數列與等比數列的乘積，則用錯位相減法；假如通項可以拆成一個

數列連續兩項的差，那么用裂項相消法；假如通項的符號有規律的出現，則用并項求和法.

18.已知四棱錐P-4BCD,BD1AB,/.BAD=60°,ABCD為等邊三角形，E為PD的中點.

（I）證明：CE〃平面P4B；

（II）若AP4D為等腰三角形，PALPD,且40=08,求二面角的余弦值.

【答案】(I)見解析；(II)J

7

【解析】

【分析】

(I)取AD的中點F,連接EF,貝UEF〃PA,從而得到EF〃平面PAB.在四邊形ABCD中，可證

AB//CF,從而CF〃平面P4B,因此平面P4B〃平面CEF,故可CE〃得平面P4B.

(口)連接BF,作BG14D于G點，作GH14P于H點，連接BH,可證/BHG為二面角B-PA-D的

平面角，在RtABGH中，cosZ-BHG=,從而可得二面角的余弦值.

HB7

【詳解】(I)取4。的中點尸,連接EF,則即〃P4

又ERt平面P4B,P4u平面24B

所以EF〃平面P4B.

連接CF,由乙4DB=30。，Z.CDB=60°,可知

〃DC=90。，且CD=BD=我￡>尸，貝!JNDFC=60。，所以4B〃CF,

又CF<t平面P4B,ABu平面P4B

所以CF〃平面P4B,而EFnCF=F,所以平面P4B〃平面CEF.

又因為CEu平面CEF,所以CE〃平面P4B.

(II)連接BF,因為APA。為等腰直角三角形，貝|PF=|4D.

而8F=且4D=隹尸8,所以PF1BF.

又PF1ZD,ADctBF=F,所以PF1平面ABCD,

而PFu平面PAD,所以平面4PD_L平面4BCD,

作BG_L4D于G點，作GH14P于“點，連接BH,

因平面4PDCI平面4BCD=AD,BGu平面4BCD,所以BG_L平面APD.

又APu平面APD,所以BG_L4P,

因BGcGH=G,貝U4PJ.平面BGH,BHu平面BGH,所以BH14P.

所以NBHG為二面角B-P4-。的平面角.

J2J3

不妨設AD=2a,則在RtABG”中，HG=LQ,BG=U,

42

所以所以COSZ_BHG=———

4HB7

所以二面角B—P4-D的余弦值為L.

7

【點睛】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與己知直線平行的直線，找線的方法是平

行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直

線的平面，證明該平面與已知平面平行.空間中的角的計算，可以建立空間直角坐標系把角

的計算歸結為向量的夾角的計算，也可以構建空間角，把角的計算歸結平面圖形中的角的計

算.

19.某鄉鎮為了打贏脫貧攻堅戰，確定盤活貧困村的各項經濟發展要素，實施了產業、創業、

就業“三業并舉”工程.在實施過程中，引導某貧困村農戶因地制宜開展種植某經濟作物.該

類經濟作物的質量以其質量指標值來衡量，質量指標值越大表明質量越好，記其質量指標值

為k,其質量指標的等級劃分如表：

質量指標值k產品等級

fc>90優秀

80<fc<90良好

75</c<80合格

k<75不合格

為了解該類經濟作物在當地的種植效益，當地引種了甲、乙兩個品種.并隨機抽取了甲、乙兩

不品種的各10000件產品，測量了每件產品的質量指標值，得到下面產品質量指標值頻率分布

直方圖（圖甲和圖乙）.

(I)若將頻率視為概率，從乙品種產品中有放回地隨機抽取3件，記“抽出乙品種產品中至

少1件優等品”為事務4求事務4發生的概率P(Q;(結果保留小數點后3位)

(II)若甲、乙兩個品種的銷售利潤率y與質量指標值k滿意下表:

質量指標值&k>90804k<90754k<80々<75

銷售利潤率y3t5t2t2-1

11

其中〈試分析，從長期來看，種植甲、乙哪個品種平均利潤率較大？

64

【答案】(I)P(4)70.997；(II)見解析

【解析】

【分析】

(I)先依據頻率分布直方圖得到“從乙品種產品中抽取一件為優等品”的概率，再利用二項

分布可求P(4).

(ID依據甲乙的頻率分布直方圖得到各自的利潤率的分布列，求出利潤率的數學期望后可

比較兩者的平均利潤率誰較大.

【詳解】(I)設“從乙品種產品中抽取一件為優等品”的概率為P,則依據頻率分布直方圖可

得P=(0.03+0.08+0.04+0.02)x5=0.85,

則P(4)=1-C|(1-P)3=1-0.153?0.997

(ID由頻率分布直方圖可得，甲品種產品的利潤率的分布列為

y3t5t2t2

p0.20.70.1

E(y)甲=0.2x3t+0.7x5t2+0.1xt2=3.6t2+0.6t

乙品種產品的利潤率的分布列為

y3t5產t2-t

p0.30.550.10.05

E(y)乙=0.3X3t+0.55x5t2+0.1x產+o,O5(-t)=2.85tz+0.85t

E(y)甲一爪/乙=3.6t2+0.6t-(2.85t2+0.85t)=0.75t2-0.25t=0.25t(3t-l)

11

由于所以E(y)甲—E(y)乙＜0,即E(y)甲＜E(y)乙.

64

故種植乙品種的平均利潤率較大.

頻率

【點睛】頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1,留意直方圖中，各矩形的高是靠，在

組距

計算離散型隨機變量的概率時，留意利用常見的概率分布列來簡化計算(如二項分布、超幾

何分布等).

20.在平面直角坐標系xOy內，有一動點P到直線工=?的距離和到點(避,0)的距離比值是學.

(I)求動點P的軌跡C的方程；

(II)已知點做2,0),若P不在久軸上，過點。作線段4P的垂線咬曲線C于點D,E,求黑｛的取

值范圍.

2

r2Z1\

【答案】(I)-+y=l；(II)，，+8)

【解析】

【分析】

(I)設動點P的坐標為?y),依據其幾何性質得到相應的坐標方程，化簡后可得曲線C的方程.

(II)設直線4P的方程為y=k(x-2),則直線DE的方程為y=-},聯立直線方程和橢圓方程,

利用韋達定理求出P、D的坐標后得到第=唱受.最終利用換元法可求該函數的值域.

網幅+4

x4%

【詳解】(I)設動點P的坐標為8y),依據題意得"飛1=紅，

口-病2+y2

x2

化簡得曲線C的方程為：-+y2=l.

4J

(II)因為P不在%軸上，故直線AP的斜率不為0,設直線4P的方程為丫=々(第-2),則直線DE的

方程為y=一：%.

k

y=k(x-2)

由《+丫2=i得(1+4fc2)x2-16fc2x+16k2—4=0.

16k28k2-2

設POo，%)，所以2+%=--——,即％o=--——.

4k2+14k2+1

____________________________4+1

故14P=J(%—2)2+(y°—0)2=+1)30—2)2.得14Pl=JL_.

4k2+1

設。(勺,力)，由橢圓對稱性可知|DE|=2|0D|.

1

V二-x

Jk4k24

由2解得玉會,

Av7

—+/=1

【4J

忠’所以阿二4黑

|O0=M+4=2

4k2+1

設1=M+4,則/=產一4，t＞2.

2

品IDEI=4(t-4)+1〒4t2--15幻,?令、人“，、=4tT2-15。,＞2)、，

則g'⑷=江乎＞。.

所以9(。是一個增函數，所以四■二._->4x4-15=l

\AP\t22

綜上，儒的取值范圍是g+8)

【點睛】求動點的軌跡方程，一般有如下幾種方法：①幾何法：看動點是否滿意一些幾何性

質，如圓錐曲線的定義等；②動點轉移：設出動點的坐標，其余的點可以前者來表示，代入

后者所在的曲線方程即可得到欲求的動點軌跡方程；③參數法：動點的橫縱坐標都可以用某

一個參數來表示，消去該參數即可動點的軌跡方程.直線與圓錐曲線的位置關系，一般可通

過聯立方程組并消元得到關于久或y的一元二次方程，利用直線過已知點(在橢圓上)可求直

線與橢圓的另一個交點坐標(用斜率表示)，再由距離公式得到目標函數后利用換元法可求函

數的值域.

21.己知函數/'(XiMax/x(其中e是自然對數的底數，a€R,beR)在點(1/(D)處的切線方程

是2e^-y-e=0.

(I)求函數/■(乃的單調區間；

(II)設函數9(%)=型0--mx-lwc,若g(x)21在久C(0,+8)上恒成立，求實數m的取值范

x

圍.

【答案】(I)遞減區間為(一0-1),單調遞增區間為(-1,+8);(H)(-8,2]

【解析】

【分析】

(I)依據切線方程得到[源:北，解出。力的值后利用導數可得外幻的單調區間.

IYIX+1

(II)g(x)>1在。+8)上恒成立等價于m<e2x-------在。+8)上恒成立.利用導數可求

X

Inx+1

M=e2x———的最小值.我們也可以利用函數不等式t>Int+1得到燼2工>Inx+2x+1，從

X

IYIX+1

而變形后可得八(町=的最小值.兩種方法都可以得到m的取值范圍.

X

【詳解】(I)由條件可知二:e，對函數fO)=a-x求導得f'(x)=a(l+bx)產,

于是3)9(馨；F=2e解得Q=b=1.

所以=xexy/(x)=(工+l)e',令f(x)=0得％=—1，

于是當TC(一8,-1)時，/(X)<0，函數f(X)單調遞減;

當％6(-1,+8)時，/(%)>0，函數八式)單調遞增.

故函數fO)的單調遞減區間為(-8,-1),單調遞增區間為(-1,+8)

(II)由(I)知g(%)=疣2%—mx—hix,

ITIX41

解法1：要使g(x)>1(0,+8)上恒成立，等價于m<e2z-------在(0,+8)上恒成立.

X

Inx-4-1

令h(x)=e2x------(%>0),則只需mW[山乃猛而即可.

X

九0)=2"e+In，令”(為=2第2G〃+lnx(x>0),

2x

則“'(化)=4(/+X)e+->0,所以“(%)在(0,+8)上單調遞增，

又"6)=[一2"2V0,H(l)=2e2>0，所以"(幻有唯一的零點O，且;V%<1,

”0)在(Ox。)上單調遞減，在(%,+8)上單調遞增,

Oy

0

因2;cje+lnx0=0>兩邊同時取自然對數，則有2通+必(2久°)+bix。="(一歷無0)，

即2%+Zn(2x0)=Zn(—Znx0)+(―，以0),

,1

構造函數m(x)=尤+lnx{x>0),則m(x)=14-->0,

x

所以函數m(乃在。+8)上單調遞增，

,2%1

因7n(2%o)=m(一)第0),所以2勺二一比久°,即e=—,

%o

?IIIXQ+1i_2x0+1

所以九(%)Z九(久0)=e0—.......=——―--------=2,即譏=2,

通工0久o

于是實數m的取值范圍是(-8,2].

ll,UC+1

解法2：要使gO)>1在。+8)上恒成立，等價于m<e2x------在。+8)上恒成立.

x

,1t—1

先證明]之女t+1,令Q(t)=t-仇>0),則Q(￡)=1-]=—^.

于是當CE(0,1)時，Q‘(t)vO，Q⑷單調遞減；當《(1,+8