與題三復救鳥平面向受

五年考情?探規律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

考點01復數的概念2024年新課標回卷：復數模的計算

2020年新高考全國kII卷、2021年新高考1

卷、2022年新高考全國l>II卷、2023年新以考查復數的運算為主，間或涉

考點02復數的運算高考1卷、2024年新課標1卷：復數的乘法、及復數的概念、復數的幾何意義、

除法，其中，2021-2023三個年份的1卷，復數模的計算，除共粗復數的概

涉及共軌復數的運算.念，對于復數相等也應予重視.

考點03復數的運算

2021、2023年新高考II卷：復數的乘法、除

與復數的幾何意義

法及其對應點所在象限

考點04向量的線性關于平面向量相關知識點的考查

2020年新IWJ考II卷、2022年新IWJ考1卷：以

運算運算比較廣泛，主要有：

三角形為載體，向量的線性運算.

1.平面向量的概念；

考點05向量的數量2020年新高考回卷：以正六邊形為載體，求2.以幾何圖形為載體，考查向量

積及其范圍兩向量數量積的范圍.的線性運算；

2021年新高考1,II卷、2023年新高考II卷、3.考查向量數量積及其應用，與

考點06向量的數量2024年新高考II卷：三類，一是已知向量求向量的模、夾角相結合，考查數

積與向量的模數量積、模；二是，已知模的關系，求數量量積的運算；

積；三是已知模的關系求模.4.考查向量的平行、垂直，一是

考點07向量的垂直2023、2024年新高考1卷：已知向量的垂直判斷，二是求參數；

與向量的數量積關系，求參數.5.關注數量積、模、角的函數值

及參(系)數的最值、范圍問題

考點08向量的夾角2022年新高考II卷：已知向量的夾角相等，6,注意向量的“工具性”作用的

與向量的數量積求參數.發揮，在三角函數、解三角形及

解析幾何問題中的應用一

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分考點?精準練

考點01復數的概念

1.(2024年新課標全國回卷數學真題)已知z=-1-i,則忖=()

A.0B.1C.0D.2

【答案】C

【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.

【詳解】若Z=T-i,則|Z|=J(T)2+(-1)2=0.

故選：C.

考點02復數的運算

2.(2020年新高考全國卷回數學試題)不三=()

A.1B.-1

C.iD.

【答案】D

【分析】根據復數除法法則進行計算.

2-i_(2-0(l-2f)-5/

【詳解】1+2/-(1+20(1-20

故選：D

3.(2020年新高考全國卷回數學試題)(l+2i)(2+i)=()

A.4+5iB.5iC.—5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接計算出答案即可.

【詳解】(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i

故選：B

4.(2021年全國新高考I卷數學試題)己知z=2-i,則z(彳+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【分析】利用復數的乘法和共輾復數的定義可求得結果.

【詳解】因為z=2-i,故W=2+i，故zC+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2/=6+2i

故選：C.

5.(2022年新高考全國口卷數學真題)(2+2i)(l-2i)=()

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A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復數的乘法可求(2+2i)(l-2i).

［詳解］(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

6.(2022年新高考全國I卷數學真題)若迫-2)=1,貝”+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復數的除法可求z,從而可求z+彳.

【詳解】由題設有l-z=；=］=-i,故z=l+i,故z+三=(l+i)+(l-i)=2,

故選：D

7.(2023年新課標全國回卷數學真題)已知z==^,則z-1=()

【答案】A

【分析】根據復數的除法運算求出z,再由共輾復數的概念得到三，從而解出.

1-i(l-i)(l-i)-2i1.-1_

【詳解】因為z=一$i，所以2=小，即z-z

2+2i-2(l+i)(l-i)

故選：A.

8.(2024年新課標全國回卷數學真題)若；7=l+i,則2=()

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】由復數四則運算法則直接運算即可求解.

_1111

【詳解】因為一77=^7--=1+—=l+i,所以z=l+」=l-i.

z-1z-1z-l1

故選：C.

考點03復數的運算與復數的幾何意義

2-i

9.(2021年全國新高考II卷數學試題)復數二二在復平面內對應的點所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用復數的除法可化簡―2-i，從而可求對應的點的位置.

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211+31

【詳解】2zi=（~）（）=5+5i=l1i）所以該復數對應的點為

l-3i10102122）

該點在第一象限，

故選：A.

10.（2023年新課標全國回卷數學真題）在復平面內，（l+3i）（3-i）對應的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3—i）=3+8i—3i?=6+8i,

則所求復數對應的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

考點04向量的線性運算運算

11.（2020年新高考全國卷回數學試題）在ABC中，。是AB邊上的中點，則CB=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

【答案】C

【分析】根據向量的加減法運算法則算出即可.

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2（CD-CA）=2CD-CA

故選:C

12.（2022年新高考全國I卷數學真題）在.ABC中，點。在邊AB上，BD=2DA.記CA=利。=〃，貝UCB=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2〃D.2m+3n

【答案】B

【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出.

【詳解】因為點。在邊A8上，BD=2DA,所以5D=2D4，即CD-CB=2（CA-C￡））,

所以CB=3CD-2C4=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

考點05向量的數量積及其范圍

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13.(2020年新高考全國卷回數學試題)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDE尸內的一點，則APAB的取值

范圍是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.?6)

【答案】A

【分析】首先根據題中所給的條件,結合正六邊形的特征，得到A戶在AB方向上的投影的取值范圍是(-1,3),

利用向量數量積的定義式，求得結果.

可以得到A尸在AB方向上的投影的取值范圍是(-1,3),

結合向量數量積的定義式，

可知AP-AB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積,

所以AP-48的取值范圍是(-2,6),

故選：A.

考點06向量的數量積與向量的模

14.(多選)(2021年全國新高考I卷數學試題)已知。為坐標原點，點《(cosa,sina),7^(cos^-sin^),

4(cos(a+〃),sin(a+4))，A(l,0),則()

A.|。耳=|網B.|叫=|叫

c.D

OAOP3=OI]OP1.OAOR=OP1g

【答案】AC

uumuuu

【分析】A、B寫出?！?，OP；.Ag的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐

標，應用向量數量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：。片=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin/3),所以|斯|二Jcos?0+sin2a=1,

22

\OP2\=7(cos^)+(-sin/?)=1,故104Ho￡|,正確；

B：AF[=(coscr-l,sincr),AF^=(cos/7—1,—sin/7),所以

22222

|APX|=^/(cos6Z-l)+sina=Vcos(7-2cos6z+l+sina=^2(1-cosa)=J4sin—=21sin—|,同理

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22

IAP21=7(cos^-l)+sin^=21sin^I,故|納AT"不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OhOR=1xcos(cr++0xsin(cr+^)=cos(<2+p),

OROg=cosa-cos/?+sincr?(—sin=cos(<z+P),正確；

D：由題意得：。40耳=lxcosa+Oxsina=cosa,OR=cosPxcos(cr+sin/3)xsin(cr+/7)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般來說CM。勺HOR?。巴故錯誤；

故選：AC

15.(2024年新課標全國國卷數學真題)已知向量滿足口=1,卜+2目=2,且僅-2a)，6,則慟=()

A.；B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由僅-2a)~L6得)=2a-b'結合忖=L卜+20=2,得i+4a-b+46=l+6b=4，由此即可得解.

【詳解】因為(b-2a)，6,所以(6-2a>b=。，即62=2“力，

又因為忖=1,卜+20=2,

所以1+4〃電+4。=l+6b=4，

從而愀=專.

故選：B.

16.(2021年全國新高考II卷數學試題)已知向量a+b+c=0,M=1,忖=卜|=2，a-b+b-c+c-a=.

Q

【答案】-5

【分析】由已知可得(。+。+。y=0,展開化簡后可得結果.

【詳角軍】由已知可得(a+b+c)=J+//+J+2(〃/+b.c+c.Q)=9+2(Q.Z?+0.C+C.Q)=0,

9

因止匕，a-b+b-c+c-a=——.

2

故答案為：-(9

17.(2023年新課標全國回卷數學真題)已知向量a,6滿足卜-可=石，卜+可=|2。-可，則卜卜.

【答案】6

【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令二=5-力，結合數量積的運算律

運算求解.

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【詳解】法一：因為,+.=|2"一6卜即(〃+可2=(2。-6『，

則a~+2a-6+b~-4a-4a-b+b,整理得加-2a-b=Q'

又因為卜-“括，即("d=3,

則》一2荽+抹=片=3,所以W=6.

11.rirrrrrrrr

法二：設。=〃—人，貝ljH+b=C+2Z?,2Q-b=2c+Z?,

由題意可得：(c+26)=(2c+b),貝1，+4力+4%2=41+4；/+；

整理得：即M=0=g.

故答案為：幣.

考點07向量的垂直與向量的數量積

18.(2023年新課標全國回卷數學真題)已知向量a=(l,l),〃=(l,T)，若(a+碼，+〃°)，貝U()

A.A+//=1B.4+4=-1

C.〃/=1D.