換元法

【規律總結】

換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量的變量求出結果之后，返回

去求原變量的結果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯系起來，或者把隱含的條件顯

示出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的問題.其理論根據是等量代換.

我們使用換元法時，要遵循有利于運算、有利于標準化的原則，換元后要注重新變量

范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對應于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴大。

【典例分析】

例1、已知方程組｛煞箕寡的解是｛二獸則

竽一Rq的解是:

)

3(%—2)+5(y+1)=30.9

x=8.3p(x=10.3p(x=6.3D1x~1。臺

y=1.2(y=2.2ty=2.2口(y=0.2

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了換元法和二元一次方程組的解，掌握其解得定義是解題的關鍵.

根據換元法先令％—2-a,y+l-b,再根據二元一次方程組的解，得久—2—8.3和y+1=

1.2,即可求得x與y的值.

【解答】

解：令x-2=a,y+1=b,

2(x-2)-3(y+l)=13

則方程組

3(x-2)+5(y+1)=309

可化為:(2a—3b=13

l3Gt+5b=30.9'

???方程組｛2a-3b=138.3

3。+5匕=30.91.2'

(x-2=8.3

ty+l=12

(x=10.3

Aly=o.2.

故選：D.

例2、已知(2016+a)(2018+a)=b,則(2016+a/+(2018+

a)2=(用含b的代數式表示)

【答案】4+2b

【解析】

1.【分析】

本題考查了完全平方公式和整體代入法的思想，靈活使用整體代入法是解本題的關鍵.

令2016+a=x,2018+a=y,將原式化為(x—y)2+2盯，即可求解.

【解答】

解：令2016+a=x,2018+a=y,

則(2016+a)(2018+a)=xy=b,

(2016+a)2+(2018+a)2

—x2+y2—(x—y)2+2xy

=(-2)2+26

=4+2b；

故答案為4+26.

例3、【閱讀材料】

若x滿足(80-久)(久-60)=30,求(80-%)2+(x—60)2的值.

解：設(80—x)—a,(x—60)=b,貝1(80—x)(x—60)—ab=30,a+b=(80—x)+

(x-60)=20,

22

所以(80-x)+(x-60)2=a2+b2=(-a+4-2ab=20-2x30=340

【解決問題】

(1)若x滿足(2019-x)2+(2017-x)2=4042,求(2019-?(2017-x)的值;

act

(2)己知的,a2,CI3,…。2015均為負數，M=(a1+a2+--■+2oi4)(2+a3+...+a2ois)，

N=(a1+(Z2+…+。2015)(。2+。3+…+。2014)，比較M與N的大小關系并說明理由;

(3)如圖，正方形A8CD的邊長為X,AE=1,CG=2,長方形的面積是5,四

邊形NGOH和MED。都是正方形，PQZ)”是長方形，則圖中陰影部分的面積為多少？

直接寫出答案.(結果必須是一個具體的數值).

【答案】解：(1)設(2019-%)=c,(2017-x)=d,

則c—d=(2019-x)-(2017-%)=2,(2019-x)(2017-x)=cd,

???(2019-%)2+(2017-x)2=c2+d2=(c-d)2+2cd=4042,

即22+2cd=4042

解得：cd=2019,BP(2019-x)(2017-x)=2019；

(2)設x=+a2+—I-a2014，y=a2+a3+—I-a2oi5>

則M=xy,

N=(%+a2015)(y-?2015)=+^2O15(y一%)一及015，

M—N=<^2015(y~X—。2015)=-ala2015

由于Qi，a2,a3r...。2015均為負數

所以—。1。2015為負數，則M—N=—。1。2015<0，

M<N；

(3)由題意得：

(x-l)(x—2)=5,

設％—1=a,x—2=b,

則ab=5,a—b=1,

??.(a+b)2=(a-b}2+4ab=21.

則陰影部分的面積為21.

【解析】本題考查完全平方公式，換元法等知識，解題的關鍵是學會利用換元法解決問題,

熟練掌握完全平方公式.

(1)模仿例題，利用換元法解決問題即可.

(2)設％=Q1+。2+…+。2014，y=%+%+…+。2015，則M=%y,N=(%4-a2oi5)(y-

a2015)=+a2015(y—無)一^2015'M—N=^2015(7~X—。2015)=一。1。2015由于

口2,…。2015均為負數，所以—。1。2015為負數，則M—N=—。1。2015<。9最后得M<N;

(3)模仿例題，利用換兀法解決問題：由題意得：(x—1)(%—2)=5,設汽—l=a,x—2=6,

則ab=5,a—b=1,得出(a4-h)2=(a—h)2+4ab=21.

【好題演練】

一、選擇題

1.設a、b是實數，且---二:’則學的值為().

A.3B.士萼D,

22

【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應用.換元法是借助引進輔助元素，將問題進行

轉化的一種解題方法.這種方法在解題過程中，把某個式子看作一個整體，用一個字母去代

表它，實行等量替換.這樣做，常能使問題化繁為簡，化難為易，形象直觀.先設l+a=x,

111

1+b=y,則b—a=y—%,原方程可化為i一］二不^,整理得，y?—3%y+%2=。，方程

兩邊同除以/,解關于(的一元二次方程即可.

【解答】

解：解：設1+a=X,1+b=y,則b-a=y-x,原方程可化為:一楸=土,

整理得，y2—3xy+x2=0,

兩邊同除以/,得?)2—3?)+1=0,

解得2=獨與

X2

即把等于空金

1+a2

故選O.

2.已知實數a,b,c滿足a+b+c=1,泊三+=0,貝U(a+1尸+(b+3)之+

(c+5)2的值為().

A.125B.120C.100D.81

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查換元法和整體代入法，巧妙利用換元法是解題的關鍵.首先令a+l=x,b+3=y,

c+5=z,分別求出x+y+z和xy+yz+xz,然后所求代數式即為/+y2+z2,整體代

入可求出值.

【解答】

解：令a+l=x,b+3=y,c+5=z,

a+b+c=1

二久+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10,

xy+yz+xz=0,

(a+I)2+(b+3)2+(c+5/=%2+y2+z2

=(x+y+z)2—2(%y+yz+xz)

=102

=100.

故選C.

3.已知0-2015)2+(x—2017)2=34,則(x―2016)2的值是()

A.4B.8C.12D.16

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查了完全平方公式以及換元法.

將萬一2016設為3貝卜一2015=t+1,x-2017=t-1,代入原方程中，可得到關于f

的方程，進而求解。

【解答】

解：令％—2016=3則N一2015=t+1,x-2017=t-1,

?■?(t+l)2+(t-l)2=34,

:.嚴+2t+1+/—2t+1=34,

2t2+2=34

2t2=32

2

t=16即(x-2016)2=16

故選D

4.已知x是實數，且滿足(/+4%)2+3(/+4x)—18=0,則/+4x的值為()

A.3B.3或一6C.-3或6D.-6

【答案】A

【解析】

【分析】

此題考查了用換元法解一元二次方程，考察了學生的整體思想.解題的關鍵是找到哪個是換

元的整體.首先利用換元思想，把/+4乂看做一個整體換為g化為含y一元二次方程，解

這個方程即可.

【解答】

解:設y=x2+4x,貝！J(/+4x)24-3(x2+4x)-18=0,

可化為y2+3y-18=0,

分解因式，得(y+6)(y-3)=0,

解得yi——6,y2=3.

當x2+4%=—6時，A=b2-4ac=42—4x1x6=-8<0,無實數根,

當x2+4%=3時，4=〃-4ac=42-4x1x(—3)=28>0,符合題意.

故選A.

5.若％—1=*=”，則，+V+z2可取得的最小值為（）

A.3B.gC.|D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了換元法的應用及二次函數的最值，解題的關鍵是利用換元法得到有關x、y、z的

值.用換元法把X、y、Z的值用一個未知數表示出來，利用二次函數的最值即可.

【解答】

解：令X—1=等=言=3

則％=t+l,y=2t—1,z=3t4-2,

于是%24-y2+z2=（t+l）2+（2t-l）2+（3t+2）2

=t2+2t+1+4t2+1-4t+9t2+4+12t

=14產+10t+6,

=14（t+-）2+-

\14/14

故最小值為：

14

故選：B.

6.已知Qi。2,。3…。2019，。2020，。2021為正數，M=（的+%+。3+…+。2020）（。2+。3+

a

a-4+—H42。21)，N—+a2+a3+—I-0.2021)(2+a3+a4-i----FGt2O2o)>那么M,

N的大小關系為()

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了整式的混合運算和換元法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.另外，像本題

中將一個整式設為一個字母這種方法在很多題型中也很常見，也需重點掌握.

設5=的++…+。2019，用s分別表示出M,N,再利用作差法比較大小即可.

【解答】

解：設S=CZ]+。2+…+^2019,貝I

M=S(S_的+口2020)=52_a[S+0-2020^

N=(S+。2020)(5—%)=S2—a^S+。20205—。1。2020

；?M—N—^1^2020>。(。1，。2，…，。2020都是正數)

???M>N

故選：A.

二、填空題

7.若關于尤的一元二次方程a/+bx+2=0(a*0)有一根為％=2019,則一元二次方程

a(久-I)2+b(x-1)=—2必有一根為.

【答案】%=2020

【解析】

【分析】

本題考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方

程的解.對于一元二次方程a(x-I)2+b(x—1)=—2,設t=x—1得到at?+bt=—2,利

用a/+從+2=0有一個根為t=2019得到x-1=2019,從而可判斷一元二次方程a(x-

I)2+b(x-1)=-2必有一根為％=2020.

【解答】

解：對于一元二次方程a(x-1產+-1)=—2,

設t—x—1,

???at2+bt=-2,

而關于X的一元二次方程a-+bx+2=0（a大0）有一根為x=2019,

???at2+bt=-2有一個根為t=2019,

則x-1=2019,

解得久=2020,

a（x-I）2+b（x-1）=-2必有一根為％=2020.

故答案為久=2020.

8.解分式方程號-十+3=0時，設&=y,則原方程變形為（化為一般形式）.

【答案】y2+3y-1=0

【解析】

【分析】

本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關鍵.根據換元法，可得答案.

【解答】

X2-21

----=-9

Xy

原方程化為：7-i+3=0,

即：y2+3y-1=0（等式兩邊同時乘3）,

故答案為y2+3y-1=0.

9.計算（1+號+,一+盛）^+3+“，+六）_（2+：+?一募）（1+3+―,+

嘉）=

【答案】嘉

【解析】

【分析】

本題考查的是換元法，整體思想有關知識，設a=：+（+…+六，+]+…+募，然

后再進行計算即可.

【解答】

解：設Q="+H---，b4—--

232021232020

則原式=(1(1+b)—b(l+a)

=a+ab—b—ab

=a-b

i

一2021,

故答案為七?

10.正方形ABC￡)的頂點A,C在直線y=/o:(k<-l)上,頂點8,。在雙曲線y=(上，若

正方形ABCD的面積為32,則k的值為.

【答案】—2—V3

【解析】

【分析】本題主要考查正方形的性質、一元二次方程的解法、反比例函數與幾何綜合、兩點

之間的距離公式；解題時根據正方形ABC。的面積為32求出4C=8。=8,由正方形的性

質得到OB=4,根據頂點8,。在雙曲線y=：上，可設8點坐標(瓦》，由兩點之間的距離

公式得出方程爐+(￡)2=42,求出b的值，進而求出8點坐標，由正方形的性質可知OA

可由。5旋轉90。得到，易得A點坐標，再根據正方形A5CD的頂點A,C在直線y=V

一1)上，易求出左的值；

【解答】?,?頂點8,。在雙曲線y=(,

.??可設8點坐標(瓦》(b>。)，

?.?正方形ABCD的面積為32,

11

-BDQ2=32,。4=。8=-BD,

22

OA可設由OB逆時針旋轉90。得到，

解得80=8,0B=4,

由兩點之間的距離公式得爐+電2=42,

設t=爐，貝!|t+?=16,

即/-16t+16=0,

解得t=8+4值或t=8-4V3

b=+4A/3—Vs+2VT2=V6+V2，

或b=V6—魚，

B(V6+V2;V6—V^)或B(V6—y[2,V6+V2),

Z(—V6+V2,A/6+V2)f或/(—V6—V2/A/6—V2)?

???點A,C在直線y=k%(kV-l)上

V6+V2=(—V6+V2)fc,或—V2=(—V6—V2)fc,

解得k=-2—或k=-2+V3>

??,k<-1,

?*?k.=-2—f

故答案為一2一百.

三、解答題

+26

一

11.閱讀探索：解方程組+2\一6

ZJ-

解：設"l=x,6+2=y,原方程組可變為二&解得｛；;楙即二f

憶加種解方程組的方法叫換元法.

((—1)+2(—F2)=4,

(1)拓展提高：運用上述方法解方程組13f

(2(^-1)+(1+2)=5.

(2)能力運用：已知關于x,y的方程組『1":3y=的解為憑=?'求關于m,n的方

la2x+b2y=c2ky=3,

程陽15al(m+3)+3b1(n-2)=q,的

機組15a2(m+3)+3b2(n-2)=c2的解’

【答案】解：（1）拓展提高

設三一1=x,，2=y,

(合1)+2?+2)=4,

%+2y=4

方程組變形得:

2(11)+《+2)=5.2久+y=5'

f--1=2

解得:即3

-4-2=1

v5

fa=9

解得:tb=-5；

(2)能力運用

因為關于x,y的方程組憶:Z的解為「Z3

十02y—c2u—3

設方程組｛5al(TH+3)+3bl(幾—2)=clf5(m+3)=%

5a2(m+3)+3b2(n-2)=c23(n-2)=y

則有|5(m+3)=5

3(n-2)=3

解得：｛:二「2.

【解析】本題考查了換元法解二元一次方程組，熟練掌握換元法解二元一次方程組的方法是

解本題的關鍵.

(1)拓展提高

根據換元法；設|-1=%,l+2=y,將原方程組變形為關于x與y的方程組，求出解得

到x與y的值，即可求出a與6的值；

(2)能力運用

設巾="，根據已知方程組的解確定出相與"的值即可.

(3(九—2)=y

12.下面是某同學對多項式(/—軌+2)(X2-4X+6)+4進行因式分解的過程.

解：設/—4x=y,

原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)

=y2+8y+16(第二步)

=(y+4)2(第三步)

=(--4%+4》(第四步)

回答下列問題:

(1)該同學第二步到第三步運用了因式分解的法.

4提取公因式B.平方差公式

C.兩數和的完全平方公式。.兩數差的完全平方公式

(2)該同學因式分解的結果是否徹底？.(填“徹底”或“不徹底”)若不徹底,

請直接寫出因式分解的最后結果.

(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式。2-2x)(/_2%+2)+1進行因式分解.

【答案】解：(1)運用了C,兩數和的完全平方公式；

(2)不徹底；0—2)4；

(3)設x2—2x=y.

(x2—2x)(%2—2%+2)+1,

=y(y+2)+1,

=y2+2y+1,

=0+1)2,

=(x2-2%+1)2,

=(%-1)4.

【解析】

【試題解析】

【分析】

(1)完全平方式是兩數的平方和與這兩個數積的兩倍的和或差；

(2)/一4%+4還可以分解，所以是不徹底；

(3)按照例題的分解方法進行分解即可.

【解答】

解：(1)運用了C,兩數和的完全平方公式；

故選C；

(2)%2-4%+4還可以分解，分解不徹底；

(%2—4%+4)2=[(%—2)2]2=(%—2)3

故答案為不徹底；(乂-2尸；

(3)見答案.

13.閱讀探索:

91rb26

-\+-

++2-

解方程組a1(Zb+26

2(-K

解：設a—1=%,6+2=y,原方程組可變為，片月

'(Zx+y=6

解方程組得：仁二會嘴；;二:所以｛￡z;此種解方程組的方法叫換元法.

(1)拓展提高

Y--1)+2(-+2)=4

運用上述方法解下列方程組：I*7\5)

”(十1)+(12)=5

(2)能力運用

已知關于尤，y的方程組產“：%y=ci的解為HU，求關于…t的方程組

ka2x+b2y=c2(y=3

r5a1(m+3)+3h1(n-2)=q

[5ai(m+3)+3b2(n-2)=c2

【答案】解：(1)設］-1=為5+2=y，

方程組變形得：樣；;I

*1=2

解得:即

-+2=1

、5

解得仁二

Q)以卜(九_2)=y'

市彳曰，5(zn+3)=5

可行｝缶-2)=3'

解得：｛6二3~4

【解析】此題考查了換元法解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

(1)設三一1=X，g+2=y，根據換元法的結論確定出關于尤與y方程組，求出解得到X與y

的值，即可求出。與。的值；

(3)設］，小+口="，根據已知方程組的解確定出能與〃的值即可.

14.閱讀下列材料并解決問題.

“換元法”是指運用“整體思想”把某些部分看成一個整體，并用新字母代替(即換元

),從而使復雜的問題簡單化，例如：

計算：+2.

\23/V23/V237

解：令t=?|

則原式=t(t+2)-(1+。2+2

請根據以上材料，解決下列問題：

(1)請把上面的解題過程補充完整，并求出結果；

(2)計算：(%2—%+5)(2—%2+%)—3(%—%2+1)+(%2—%)2

【答案】解：(1)原式=t(t+2)-(1+t)2+2,

=/+2t—(1+2t+產)+2,

=/+2t—1—2t-/+2,

=1；

(2)令t=x2—x,

則原式=(t+5)(2—t)—3(—t+1)+/,

—2t—產+10—St+31-3+I?,

=7.

【解析】本題考查整式的混合運算以及換元法的運用，掌握換元的方法是解題關鍵.

(1)根據整式的混合運算化簡即可；

(2)令[=/—￡,然后將原式換元，再進行整式的計算即可.

15.閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補充完整，求出x的值.

【問題】解方程：x2+2x+4M久2+2x—5=0.

【提示】可以用“換元法”解方程.

解：設〃2+2x=t(t>0),則有/+2x-t2,

原方程可化為：d+4t—5=0,

【續解】

【答案】解：尸+牝一5=0,

(t+5)(t—1)=0,

t+5=0或t—1=0,

——5r二1，

當t=—5時，Vx2+2x=—5>此方程無解；

2

當t=l時，Vx+2%=1，則/+2%=1,配方得(％+1)2=2,解得X[=-l+&,x2=

-1-V2；

經檢驗，原方程的解為X[=-1+&,%2=-1-V2.

【解析】本題考查了解一元二次方程，解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉

化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法.注意：用乘方法來

解無理方程，往往會產生增根，應注意驗根.

利用因式分解法解方程嚴+4t—5=。得到右=-5,t2=1,再分別解方程。久2+2久=-5和

方程4x2+2久=1,然后進行檢驗確定原方程的解.

16.閱讀下列一段材料，運用相關知識解決問題.換元法是數學中一個非常重要而且應用十

分廣泛的解題方法，我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是解數學題時，

把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使得復雜問題簡單化.換元的實

Z11一

_+-=12

質是轉化，關鍵是構造元和設元.例如解方程組仁；，設6=工，n='則原

-+-=20xy

y

-=Q

方程組可化為｛黑解化解之后的方程組得｛:二:，即,所以原方程

\y-

(x--

組的解為：.

卜、

運用以上知識解決下列問題：

2

--2

y

2的

--4

y

⑵關于x,y二元一次方程組的解為仁二：，則方程組

-r1iy一±z>—x

,3(x—2)+5(y+l)=11的解為

la(x-2)+ll(y+1)=12HJW7J--------

X+2

(3)萬由程再組？，3-+21+2-.33〃>i==86111.

【答案】解：

咻藍；

(3)設2,=4,3y=8,則原方程組可化為『2"-38=①

[24=2B=86②

由①得：4A-B=37③，

由②得：A+B=43(4),

③+④得：54=80,

???A=16,

把4=16代入④得：B=27,

即

二原方程組的解為官二

【解析】

【分析】

此題主要考查了運用換元法解二元一次方程組，能正確設元是解答此題的關鍵.

(1)根據示例設巾=5，n=^,則原方程組可化為｛黑解化解之后的方程組得

_1f-=1

｛j二:，即整求解即可；

(2)根據題意得j求出方程組的解即可；

(3)設2*=4,3>=B,則原方程組可化為要：831，解方程組求出A、2的值，即

可進一步求出小y的值.

【解答】

解：(1)設m=3n=；,則原方程組可化為｛爆JM4,

解得｛:二：，

喉：

解為(J：2-

故答案為｛:二;;

解得：￡：0-

故答案為I;蟄

(3)見答案.

17.閱讀下面材料，解答后面的問題

解方程：三=0.

Xx-1

解:設丫=曰，則原方程化為：y-：=0,方程兩邊同時乘y得：y2—4=0,

xy

解得：y=±2,

經檢驗：丫=±2都是方程丫