第1頁共10頁19.2平行四邊形第1課時平行四邊形的邊、角的性質(zhì)學習目標1．理解平行四邊形的概念；(重點)2．掌握平行四邊形邊、角的性質(zhì)；(重點)3．利用平行四邊形邊、角的性質(zhì)解決問題．(難點)教學過程一、情境導入平行四邊形是我們常見的一種圖形(如圖)，它具有十分和諧的對稱美．它是什么樣的對稱圖形呢？它又具有哪些基本性質(zhì)呢？二、合作探究探究點一：平行四邊形的定義如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求證：四邊形ABCD是平行四邊形．解析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根據(jù)平行線的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根據(jù)平行四邊形的定義推出即可．證明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2.∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結：平行四邊形的定義是判斷一個四邊形是平行四邊形的重要方法．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第1題探究點二：平行四邊形的邊、角特征【類型一】利用平行四邊形的性質(zhì)求線段長如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，點D，E，F(xiàn)分別是AC，BC，BA延長線上的點，四邊形ADEF為平行四邊形，DE＝2，則AD＝________．解析：∵四邊形ADEF為平行四邊形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF.∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案為7.方法總結：本題考查了平行四邊形對邊平行且相等的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題【類型二】利用平行四邊形的性質(zhì)求角度如圖，平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，則∠BCE的度數(shù)為()A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故選A.方法總結：平行四邊形對邊平行，對角相等，所以利用該性質(zhì)可以解決和角度有關的問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型三】利用平行四邊形的性質(zhì)證明有關結論如圖，點G、E、F分別在平行四邊形ABCD的邊AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，點P是射線GC上一點，連接FP，EP.求證：FP＝EP.解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出∠DGC＝∠GCB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠DGC＝∠DCG，推出∠DCG＝∠GCB，根據(jù)等角的補角相等求出∠DCP＝∠FCP，根據(jù)SAS證出△PCF≌△PCE即可．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB.∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB.∵∠DCG＋∠DCP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠DCP＝∠FCP.∵在△PCF和△PCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CE＝CF，,∠FCP＝∠ECP，,CP＝CP，))∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.方法總結：本題的綜合性比較強，考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題【類型四】判斷直線的位置關系如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2AD，M為AB的中點，連接DM、MC，試問直線DM和MC有何位置關系？請證明．解析：由AB＝2AD，M是AB的中點的位置關系，可得出DM、CM分別是∠ADC與∠BCD的角平分線．又由平行線的性質(zhì)可得∠ADC＋∠BCD＝180°，進而可得出DM與MC的位置關系．解：DM與MC互相垂直．證明如下：∵M是AB的中點，∴AB＝2AM.又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD.∵平行四邊形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝eq\f(1,2)∠ADC，同理∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD.∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，∴∠MDC＋∠MCD＝eq\f(1,2)∠BCD＋eq\f(1,2)∠ADC＝90°，即∠MDC＋∠MCD＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM與MC互相垂直．方法總結：應熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能求解一些簡單的計算、證明等問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第10題探究點三：兩平行線間的距離如圖，已知l1∥l2，點E，F(xiàn)在l1上，點G，H在l2上．求證：△EGO與△FHO面積相等．解析：結合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明．證明：∵l1∥l2，∴點E，F(xiàn)到l2之間的距離都相等，設為h.∴S△EGH＝eq\f(1,2)GH·h，S△FGH＝eq\f(1,2)GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面積等于△FHO的面積．方法總結：解決問題的關鍵是明確同底等高的兩個三角形的面積相等，再結合兩平行線間的距離即可得出結論．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題19.2平行四邊形第2課時平行四邊形的對角線的性質(zhì)學習目標1．掌握平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)；(重點)2．利用平行四邊形對角線互相平分解決有關問題．教學過程一、情境導入如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，BC＝6，BC邊上的高為4，你能算出圖中陰影部分的面積嗎？二、合作探究探究點一：平行四邊形的對角線互相平分【類型一】利用平行四邊形對角線互相平分求線段長已知：?ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長．解析：平行四邊形周長為60cm，即相鄰兩邊之和為30cm，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，而AO為共用，OB＝OD，所以由題意可知AB比AD長5cm，進一步解答即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵?ABCD的周長為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝eq\f(35,2)cm，AD＝BC＝eq\f(25,2)cm.方法總結：平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第4題【類型二】利用平行四邊形對角線互相平分證明線段或角相等如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，EF過點O與AB、CD分別相交于點E、F.求證：OE＝OF.解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，證出△DFO≌△BEO即可．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.在△DFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FDO＝∠EBO，,OD＝OB，,∠FOD＝∠EOB，))∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.方法總結：利用平行四邊形的性質(zhì)解決線段的問題時，要注意運用平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分的性質(zhì)．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第8題【類型三】判斷直線的位置關系如圖平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的關系并證明你的結論．解析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)“對角線互相平分”得出OA＝OC，OB＝OD，利用中點的意義得出OE＝OF，再利用三角形全等得對應邊、角相等，最后根據(jù)平行線判定得出BE＝DF，BE∥DF.解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點，∴OE＝OF.在△EOB和△FOD中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OE＝OF，,∠DOF＝∠BOE，,OB＝OD，,))∴△EOB≌△FOD，∴BE＝DF，∠FDB＝∠EBD，∴BE∥DF.∴BE＝DF，BE∥DF.方法總結：在解決平行四邊形的問題時，如果有對角線的條件時，則首選對角線互相平分的方法解決問題．探究點二：平行四邊形的面積在?ABCD中，(1)如圖①，O為對角線BD、AC的交點．求證：S△ABO＝S△CBO；(2)如圖②，設P為對角線BD上任一點(點P與點B、D不重合)，S△ABP與S△CBP仍然相等嗎？若相等，請證明；若不相等，請說明理由．解析：根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分可得AO＝CO，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答．(1)證明：在?ABCD中，AO＝CO，設點B到AC的距離為h，則S△ABO＝eq\f(1,2)AO·h，S△CBO＝eq\f(1,2)CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；(2)解：仍然相等．證明如下：連接AC交BD于點O.在?ABCD中，AO＝OC，由(1)可得S△ABO＝S△BCO，S△APO＝S△CPO，∴S△ABO－S△APO＝S△BCO－S△CPO，∴S△ABP＝S△CBP.方法總結：平行四邊形的對角線將平行四邊形分成四個面積相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面積相等．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第9題19.2平行四邊形第3課時平行四邊形的判定學習目標1．掌握平行四邊形的判定定理，能根據(jù)已知條件選擇合適的判定定理判定一個四邊形是平行四邊形；(重點)2．能夠靈活運用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理進行簡單的推理證明．(難點)教學過程一、情境導入我們已經(jīng)知道，如果一個四邊形是平行四邊形，那么它就是一個中心對稱圖形，具有如下的一些性質(zhì)：1．兩組對邊分別平行且相等；2．兩組對角分別相等；3．兩條對角線互相平分．那么，怎樣判定一個四邊形是否是平行四邊形呢？當然，我們可以根據(jù)平行四邊形的原始定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？二、合作探究探究點一：平行四邊形的判定【類型一】一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形如圖，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？請說明理由．解析：首先根據(jù)條件證明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可證出AD∥CB，根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可證出結論．解：四邊形ABCD是平行四邊形．理由如下：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．方法總結：此題主要考查了平行四邊形的判定，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)條件證出△AFD≌△CEB.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第10題【類型二】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF.試探究四邊形DAEF是平行四邊形．解析：根據(jù)題中的已知條件可推出兩組對邊分別相等，從而可判斷四邊形DAEF為平行四邊形．解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF.又∵△ACE是等邊三角形，∴AC＝AE，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．方法總結：利用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”時，證明邊相等，可通過三角形全等和等量代換解決．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第9題【類型三】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形已知，如圖，AB、CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD中點．求證：(1)△AOC≌△BOD；(2)四邊形AFBE是平行四邊形．解析：(1)利用已知條件和全等三角形的判定方法即可證明△AOC≌△BOD；(2)此題已知AO＝BO，要證四邊形AFBE是平行四邊形，根據(jù)全等三角形，只需證OE＝OF就可以了．證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠D，,∠COA＝∠DOB，,AO＝BO，))∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分別是OC、OD的中點，∴OF＝eq\f(1,2)OD，OE＝eq\f(1,2)OC，∴EO＝FO.又∵AO＝BO.∴四邊形AFBE是平行四邊形．方法總結：在應用判定定理判定平行四邊形時，應仔細觀察題目所給的條件，仔細選擇適合于題目的判定方法進行解答，避免混用判定方法．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第7題探究點二：平行四邊形判定與性質(zhì)的綜合應用如圖所示，在?ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.求證：EG和HF互相平分．解析：由EG和HF是四邊形EFGH的對角線，可將證明EG和HF互相平分轉化成證明四邊形EFGH是平行四邊形．證法1：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠A＝∠C(平行四邊形的對邊相等，對角相等)．∵DE＝BG，而AE＝AD－ED，CG＝CB－GB，∴AE＝CG.∵AF＝CH，∴△AEF≌△CGH，∴EF＝HG.同理FG＝HE.∴四邊形EFGH是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．∴EG和HF互相平分(平行四邊形的對角線互相平分)．證法2：∵DE＝BG，∴DE平行且等于BG，即四邊形DEBG是平行四邊形，∴OB＝OD，OE＝OG.又∵AF＝CH，∴FB＝HD，∴FB平行且等于HD.∴四邊形FBHD是平行四邊形，對角線BD與FH互相平分．∵BD的中點O只有一個，∴BD與FH也交于O點．∴OB＝OD，OF＝OH，∴EG與HF互相平分．方法總結：本題綜合利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明的關鍵在于根據(jù)圖形發(fā)現(xiàn)平行四邊形．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第8題19.2平行四邊形第4課時三角形的中位線學習目標1．理解三角形中位線的概念，掌握三角形的中位線定理；(重點)2．能靈活地運用三角形的中位線定理解決有關問題．(難點)教學過程一、情境導入我們已經(jīng)學習了平行四邊形的性質(zhì)與判定方法，今天老師給同學一個剪紙的任務．怎樣將一張三角形紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個平行四邊形？能用什么定理來證明四邊形DBCF是平行四邊形呢？二、合作探究探究點一：三角形的中位線【類型一】利用三角形中位線定理求線段的長如圖，在△ABC中，D、E分別為AC、BC的中點，AF平分∠CAB，交DE于點F.若DF＝3，則AC的長為()A.eq\f(3,2)B．3C．6D．9解析：∵D、E分別為AC、BC的中點，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故選C.方法總結：本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵是熟記性質(zhì)并熟練應用．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第3題【類型二】利用三角形中位線定理求角度如圖，C、D分別為EA、EB的中點，∠E＝30°，∠1＝110°，則∠2的度數(shù)為()A．80°B．90°C．100°D．110°解析：∵C、D分別為EA、EB的中點，∴CD是三角形EAB的中位線，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故選A.方法總結：利用中位線定理中的平行關系可以解決一些角度的計算問題．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第2題【類型三】三角形的中位線性質(zhì)與三角形其他性質(zhì)的綜合運用如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，點N為BC的中點，