CHAPTER靜態場邊值問題求解第三章2第三章

靜態場邊值問題求解本章內容3.1靜態場邊值問題及解的唯一性定理3.2鏡像法3.3分離變量法3.4知識點拓展———矩量法33.1

靜態場邊值問題及解的唯一性定理3.1.1靜態場問題的類型分布型問題

正向問題

反向問題邊值型問題

第一類邊值問題（狄里赫利問題）第二類邊值問題（諾誒曼問題）

第三類邊值問題（混合型問題）

43.1

靜態場邊值問題及解的唯一性定理3.1.2靜電場問題的唯一性定理靜電場的唯一性定理：已知場域V內的自由電荷分布和電介質特性，已知場域V的邊界S上的

或

，那么場域V內的位函數具有唯一確定的解，即第一、二、三類邊值問題下的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。53.1

靜態場邊值問題及解的唯一性定理3.1.3靜態場邊值問題的解法①.解析法（得到一個函數表達式）

②.數值法（建立數學模型，利用計算機進行求解，得到研究區域中離散點上的場強或位函數值）

鏡像法、分離變量法、復變函數法、格林函數法等時域有限差分法（FDTD）有限元法（FEM）矩量法（MoM）等63.2

鏡像法3.1.3靜態場邊值問題的解法鏡像法的理論根據是唯一性定理鏡像電荷的引入原則是滿足原有的邊界條件鏡像電荷處在所研究區域之外在所研究區域內電位函數所滿足的泊松方程或拉普拉斯方程的形式不變

73.2

鏡像法3.1.3靜態場邊值問題的解法用鏡像法求解靜電場問題的關鍵是尋找合適的鏡像電荷，鏡像電荷的確定要遵循以下兩個原則：①所有鏡像電荷必須位于所求的場域之外；②鏡像電荷的個數、位置及電荷量的確定需要滿足所求的場域的邊界條件。鏡像法只能用于一些特殊邊界的情形83.2

鏡像法1.無限大導體平面與點電荷邊界x=0處

93.2

鏡像法導體板上感應電荷電量總和正好等于我們所設的鏡像電荷的電量鏡像電荷等效了導體邊界對電磁場的影響，或者說，等效了導體上的感應電荷的影響103.2

鏡像法2.無限大導體平面與線電荷113.2

鏡像法由于a<<D，a<<h，

123.2

鏡像法3.相交無限大導體平面與點電荷n>1為整數鏡像電荷的總數為（2n-1）133.2

鏡像法4.接地導體球與點電荷考察143.2

鏡像法153.2

鏡像法5.對地絕緣的帶電導體球與點電荷第一步處第二步球心處163.2

鏡像法6.無限長導體柱面與線電荷173.3

分離變量法分離變量法的基本解題步驟是：①根據已知導體與媒質分界面的形狀，選擇適當的坐標系；②將偏微分方程分離為若干個常微分方程，求出包含待定系數的通解；③利用給定的邊界條件，確定通解中的待定系數，得到所求問題的特解。183.3

分離變量法3.3.1直角坐標系下的分離變量法當截面邊界與直角坐標系的xoy坐標平面平行時只與x有關只與y有關1920有兩種解的形式：sinx、cosx只有一個零值

沒有零值

有無窮多個零值

21所以解的形式為：22將邊界條件(1)代入通解中(x=0時，),得將邊界條件(2)代入上式中(x=a時，),得23將邊界條件(3)代入上式中(y=0時，),得將邊界條件(4)代入上式確定

(y=0時，)利用三角函數的正交性,

兩邊都乘以積分24253.3

分離變量法3.3.2圓柱坐標系下的分離變量法若目標邊界與圓柱坐標系的坐標面平行方程兩邊同除以只與r有關只與f有關26上述假設得到的解不合理。2728

條件(3)條件(2)條件(1)29303.4

知識點拓展———矩量法建立在積分方程基礎上矩量法本身是一種穩定的計算方法線元基函數發展到面元基函數加速方法，精細方法等等其主要計算步驟包括：①建立描述電磁問題的積分方程；②利用基函數將待求函數進行離散并代入積分方程；③利用檢測函數對離散后的積分方程進行檢測并得到矩陣方程；④求解矩陣方程和相關的電磁場物理量。31知識點總結(1)靜電場問題有3種類型

第一類邊值問題：已知邊界上各點的位函數φ值。第二類邊值問題：已知邊界上各點的

值。第三類邊值問題（混合型問題）：已知部分邊界表面的

值和其他邊界表面的

值。(2)唯一性定理滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一。(3)靜電場中的鏡像法

鏡像電荷的確定要遵循以下兩個原則：①所有鏡像電荷必須位于所求的場域之外；②鏡像電荷的個數、位置及電荷量的確定需要滿足所求的場域的邊界條件。32知識點總結(4)直角坐標系下的分離變量法