2.4線段、角的軸對稱性知識點3

角平分線的性質如圖2－23，OC是∠AOB

的平分線，如果把∠1沿OC

翻折，因為∠1＝∠2，所以射線OA

與射線OB

重合.角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.操作在∠AOB

的平分線上任意取一點P，分別畫點P到OA和OB

的垂線段PC和PD(如圖2－24)，PC與PD

相等嗎?我們可以運用圖形運動的方法，利用角的軸對稱性，證明PC＝PD.把圖2－24中的△POC

沿OP

翻折(如圖2－25)，因為∠AOP＝∠BOP，所以OA與OB

重合，因為PC⊥OA，PD⊥OB，依據基本事實“過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，可知PC

與PD

重合，所以PC＝PD.于是，我們得到如下定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.討論如果一個點在一個角的平分線上，那么這個點到這個角的兩邊距離相等；

反過來，如果一個點到一個角的兩邊的距離相等，那么這個點在這個角的平分線上嗎?如圖2－26，點Q在∠AOB

內且QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分別為C、D，QC＝QD，作射線OQ.

因為∠QCO＝∠QDO＝90°，QC

＝QD，OQ＝OQ，所以Rt△QCO≌Rt△QDO.

于是∠AOQ＝∠BOQ，即點Q在∠AOB

的平分線上.于是，我們得到如下定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.幾何語言如圖，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA

于點D，PE⊥OB

于點E，∴PD＝PE.線段垂直平分線的性質與角平分線的性質的比較相同點：兩者都可以直接得到兩條線段相等；不同點：前者指的是點到點的距離，后者指的是點

到線的距離.1.角平分線的性質是由兩個條件(角平分線、垂線)得到一個結論(線段相等).2.利用角平分線的性質證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.特別提醒練3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC

交AC

于點D.若CD＝6，則點D到AB的距離為___________．6運用角平分線的性質解決問題時，條件中必須有角平分線的性質的模型(即角平分線＋兩垂直)，若缺少某個部分，則通過作輔助線補充完整，才能運用此性質解決問題.

方法點撥解：如圖，過點D

作DE⊥AB，垂足為E．∵∠C＝90°，

∴DC⊥BC.又∵BD

平分∠ABC，

∴DE＝CD＝6，即點D

到AB

的距離為6．練習利用網格畫圖：(1)在BC上找一點P，使點

P到AB和AC

的距離相等；(2)在射線AP

上找一點Q，使QB＝QC.解：如圖所示(1)畫出∠BAC

的角平分線交線段BC

于點P，即為所求.(2)畫線段BC的垂直平分線交射線AP于點Q即為所求.知識點4

角平分線的判定交流在△ABC

中，用直尺和圓規分別作角平分線AD、BE，AD、BE

相交于點P，再作∠C的平分線，你有什么發現?∠C的平分線過點P.判定角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.幾何語言如圖，∵P為∠AOB

內一點，PD⊥OA，

PE⊥OB，垂足分別為D、E，

且PD＝PE，∴點P在∠AOB

的平分線OC

上.角平分線的判定定理與性質定理的關系

三角形三個內角的平分線交于一點且這點到三邊的距離相等.拓展特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個點必須在角的內部.2.角平分線的判定是由兩個條件(垂線，線段相等)得到一個結論(角平分線).3.角平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.例2已知：如圖，△ABC的角平分線AD、BE相交于點P.求證：點P在∠C的平分線上.證明：過點P作PF⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC，

垂足分別為F、M、N.∵AD平分∠BAC，點P在AD上.∴PF＝PN

(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).同理PF＝PM.∴PM＝PN.∴點P在∠C的平分線上(角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上)例3已知：如圖，AD是△ABC

的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.

求證：AD垂直平分EF.思考與表述要證AD

垂直平分EF，只要證DE＝DF，AE＝AF.已知∠1＝∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，只要證∠3＝∠4.怎么想怎么寫證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴DE＝DF，AE＝AF

(角平分線上的點到角兩邊的距離相等).∴點D、A在EF

的垂直平分線上(到線段兩端距離相等的點在線

段的垂直平分線上).∴AD

垂直平分EF.如圖，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB

于點E，BF

和CE

交于點D，連接AD.求證：AD平分∠BAC.練4證明角平分線的方法:

1.從數量上證明被要證的線分成的兩個角相等.2.從形上證明角的內部的點到角兩邊的距離相等，即只需從要證的線上的某一點向角的兩邊作垂線段，再證明垂線段相等即可．這樣把證“某線是角的平分線”的問題轉化為證“垂線段相等”的問題，體現了轉化思想.

方法點撥證明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.在△BDE

和△CDF

中，∠BDE＝∠CDF，∠DEB＝∠DFC，BE＝CF，∴△BDE≌△CDF.∴DE＝DF.又∵DF⊥AC，DE⊥AB，∴點D在∠BAC

的平分線上，即AD平分∠BAC.練習在一張紙上畫△ABC

及其兩個外角(如圖).(1)用折紙的方法分別折出∠BAD

和∠ABE的平分線，設兩條折痕的交點為O；O(2)用直尺和圓規作∠ACB

的平分線CF.點O在射線CF

上嗎?證明你的結論.點O在射線CF上.證明如下：分別過點O作OM⊥CD，OP⊥AB，ON⊥CE，垂足分別為

M，P，N.∵AO是∠BAD的平分線，OM⊥CD，OP⊥AB，∴OM＝OP(角平分線上