2004-2013上海歷年高考數列大題（2004上海）22、(本題滿分18分)第1小題滿分6分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分設,,…,()是二次曲線C上的點,且,,…,構成了一個公差為（）的等差數列,其中O是坐標原點.記.（1）若C的方程為,.點及,求點的坐標；(只需寫出一個)（2）若C的方程為(a>b>0).點,對于給定的自然數n,當公差d變化時,求的最小值；（3）請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上的一點P1,對于給定的自然數n,寫出符合條件的點存在的充要條件,并說明理由.【解】(1),由,得.由，得 ∴點的坐標可以為.(2)【解法一】原點O到二次曲線（）上各點的最小距離為,最大距離為.∵,∴,且,∴.∵,>0∴在[,0)上遞增, 故的最小值為·=.【解法二】對每個自然數,由 ，解得 ∵,得∴以下與解法一相同.(3)【解法一】若雙曲線－=1,點,則對于給定的,點存在的充要條件是.∵原點O到雙曲線C上各點的距離,且,∴點存在當且僅當2>2,即d>0.【解法二】若拋物線,點,則對于給定的,點存在的充要條件是.理由同上【解法三】若圓（）,,則對于給定的n,點存在的充要條件是.∵原點O到圓C上各點的最小距離為0,最大距離為2,且=0,∴d>0且.即.（2005上海）20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.假設某市2004年新建住房面積400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房.預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，（1）該市歷年所建中低價房的累計面積（以2004年為累計的第一年）將首次不少于4750萬平方米？（2）當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%？解：（1）設中低價房面積形成數列，由題意可知是等差數列，其中a1=250，d=50，則令即∴到2013年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.（2）設新建住房面積形成數列{bn}，由題意可知{bn}是等比數列，其中b1=400，q=1.08，則bn=400·(1.08)n－1由題意可知有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數n=6，∴到2009年底，當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.（2006上海）21．（本小題滿分16分）已知有窮數列{an}共有2k項（整數k2），首項a1=2。設該數列的前n項和為Sn，且an+1=(a–1)Sn+2(n=1,2,…,2k–1)，其中常數a>1。求證：數列{an}是等比數列；若，數列{bn}滿足(n=1,2,…,2k)，求數列{bn}的通項公式；若(2)中的數列{bn}滿足不等式++…++4，求k的值。(1)[證明]當n=1時,a2=2a,則=a；2≤n≤2k－1時,an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴數列{an}是等比數列.(2)解：由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).（3）設bn≤,解得n≤k+,又n是正整數,于是當n≤k時,bn<；當n≥k+1時,bn>.原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)==.當≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立.（2007上海）20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．如果有窮數列（為正整數）滿足條件，，…，，即（），我們稱其為“對稱數列”．例如，由組合數組成的數列就是“對稱數列”．（1）設是項數為7的“對稱數列”，其中是等差數列，且，．依次寫出的每一項；（2）其中是首項為，公差為的等差數列．記各項的和為．當為何值時，取得最大值？并求出的最大值；（3）對于確定的正整數，寫出所有項數不超過的“對稱數列”，使得依次是該數列中連續的項；當時，求其中一個“對稱數列”前項的和．解：（1）設的公差為，則，解得，數列為．（2），，當時，取得最大值．的最大值為626．（3）所有可能的“對稱數列”是：①；②；③；④．對于①，當時，．當時，．對于②，當時，．當時，．對于③，當時，．當時，．對于④，當時，．當時，．（2008上海）21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分7分，第3小題滿分8分。已知為首項的數列滿足:.(1)當時，求數列的通項公式；（2）當時，試用表示數列前100項的和；（3）當（是正整數），，正整數時，求證：數列，，，成等比數列當且僅當。（2009上海）23.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分。已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列。若，是否存在，有說明理由；找出所有數列和，使對一切,,并說明理由；若試確定所有的，使數列中存在某個連續項的和是數列中的一項，請證明。23．[解法一]（1）由，得，．．．．．．2分整理后，可得，、，為整數，不存在、，使等式成立。．．．．．．5分（2）若，即，（*）（ⅰ）若則。當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。．．．．．．7分（ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數，，矛盾。綜上所述，只有當{}為非零常數列，{}為恒等于1的常數列，滿足要求。．．．．．．10分【解法二】設則若d=0，則若（常數）即，則d=0，矛盾綜上所述，有，10分（3）設.，.13分取15分由二項展開式可得正整數M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,故當且僅當p=3s,sN時，命題成立.說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）若p為偶數，則am+1+am+2+……+am+p為偶數，但3k為奇數故此等式不成立，所以，p一定為奇數。當p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當ｋ為偶數時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當k-1為偶數即k為奇數時，存在m,4m+9=3k成立2分當p=5時，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍數，所以，當p=5時，所要求的m不存在故不是所有奇數都成立.2分（2010上海）20.(本題滿分13分)本題共有2個小題，第一個小題滿分5分，第2個小題滿分8分。已知數列的前項和為，且，（1）證明：是等比數列；（2）求數列的通項公式，并求出n為何值時，取得最小值，并說明理由。（2）=n=15取得最小值解析：(1)當n1時，a114；當n≥2時，anSnSn15an5an11，所以，

又a1115≠0，所以數列{an1}是等比數列；

(2)由(1)知：，得，從而(nN*)；

解不等式Sn<Sn1，得，，當n≥15時，數列{Sn}單調遞增；

同理可得，當n≤15時，數列{Sn}單調遞減；故當n15時，Sn取得最小值．（2011上海）22.（本大題滿分18分，第1小題滿分4分，第二小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知數列和的通項公式分別為，（.將集合中的元素從小到大依次排列，構成數列（1）寫出；（2）求證：在數列中，但不在數列中的項恰為；（3）求數列的通項公式.（2012上海）23．對于數集，其中，，定義向量集.若對于任意，存在，使得，則稱X具有性質P.例如具有性質P.（1）若x＞2，且，求x的值；（4分）（2）若X具有性質P，求證：1X，且當xn＞1時，x1=1；（6分）（3）若X具有性質P，且x1=1，x2=q（q為常數），求有窮數列的通項公式.（8分）[解]（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.……2分所以x=2b，從而x=4.……4分（2）證明：取.設滿足.由得，所以、異號.因為-1是X中唯一的負數，所以、中之一為-1，另一為1，故1X.……7分假設，其中，則.選取，并設滿足，即，則、異號，從而、之中恰有一個為-1.若=-1，則2，矛盾；若=-1，則，矛盾.所以x1=1.……10分（3）[解法一]猜測，i=1,2,…,n.……12分記，k=2,3,…,n.先證明：若具有性質P，則也具有性質P.任取，、.當、中出現-1時，顯然有滿足；當且時，、≥1.因為具有性質P，所以有，、，使得，從而和中有一個是-1，不妨設=-1.假設且，則.由，得，與矛盾.所以.從而也具有性質P.……15分現用數學歸納法證明：，i=1,2,…,n.當n=2時，結論顯然成立；假設n=k時，有性質P，則，i=1,2,…,k；當n=k+1時，若有性質P，則也有性質P，所以.取，并設滿足，即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.若，則1，不可能；所以，，又，所以.綜上所述，，i=1,2,…,n.……18分[解法二]設，，則等價于.記，則數集X具有性質P當且僅當數集B關于原點對稱.……14分注意到-1是X中的唯一負數，共有n-1個數，所以也只有n-1個數.由于，已有n-1個數，對以下三角數陣……注意到，所以，從而數列的通項公式為，k=1,2,…,n.……18分（2013上海）23．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分．給定常數c＞0，定義函數f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|.數列a1，a2，a2，…滿足an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；(2)求證：對任意n∈N*，an＋1－an≥c；(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差數列？若存在，求出所有這樣的a1；若不存在，說明理由．解：(1)a2＝2，a3＝c＋10.(2)f(x)＝當an≥－c時，an＋1－an＝c＋8＞c；當－c－4≤an＜－c時，an＋1－an＝2an＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝當an＜－c－4時，an＋1－an＝－2an－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.所以，對任意n∈N*，an＋1－an≥c.(3)由(2)，結合c＞0，得an＋1＞an，即{an}為無窮遞增數列．又{an}為等差數列，所以存在正數M，當n＞M時，an≥－c，從而，an＋1＝f(an)＝an＋c＋8.由于{an}為等差數列，因此其公差d＝c＋8.①若a1＜－c－4，則a2＝f