學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共8頁2024-2025學年北京市三十一中學九年級數學第一學期開學檢測模擬試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應滿足的條件是（）A． B． C． D．2、（4分）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=60°，AD=2，則AC的長是（）A．2 B．4 C． D．3、（4分）下列各組數中，不能構成直角三角形的是（）A． B． C． D．4、（4分）如圖，函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點B（2，0），與函數y=2x的圖象交于點A，則不等式0＜kx+b＜2x的解集為（）A． B． C． D．5、（4分）已知△ABC的三邊分別是a、b、c，下列條件中不能判斷△ABC為直角三角形的是（）A．a2+b2=c2 B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A：∠B：∠C=3：4：56、（4分）如圖，四邊形是矩形，，，點在第二象限，則點的坐標是A． B． C． D．7、（4分）下列四個數中，大于而又小于的無理數是A． B． C． D．8、（4分）下列各組數據中能作為直角三角形的三邊長的是（）A．1，2，2 B． C．13，14，15 D．6，8，10二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為______．10、（4分）學校團委會為了舉辦“慶祝五?四”活動，調查了本校所有學生，調查結果如圖所示，根據圖中給出的信息，這次學校贊成舉辦郊游活動的學生有____人.11、（4分）直線與坐標軸圍成的圖形的面積為________.12、（4分）如圖，菱形ABCD的邊長為8，，點E、F分別為AO、AB的中點，則EF的長度為________．13、（4分）已知三角形的三條中位線的長分別為5cm、6cm、10cm，則這個三角形的周長是_____cm．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）某學校打算招聘英語教師。對應聘者進行了聽、說、讀、寫的英語水平測試，其中甲、乙兩名應聘者的成績（百分制）如下表所示。（1）如果學校想招聘說、讀能力較強的英語教師，聽、說、讀、寫成績按照2：4：3：1的比確定，若在甲、乙兩人中錄取一人，請計算這兩名應聘者的平均成績（百分制）。從他們的成績看，應該錄取誰？（2）學校按照（1）中的成績計算方法，將所有應聘者的最后成績繪制成如圖所示的頻數分布直方圖（每組分數段均包含左端數值，不包含右端數值，如最后左邊一組分數為：）。①參加該校本次招聘英語教師的應聘者共有______________人（直接寫出答案即可）。②學校決定由高分到低分錄用3名教師，請判斷甲、乙兩人能否被錄用？并說明理由。15、（8分）知識再現：如果，，則線段的中點坐標為；對于兩個一次函數和，若兩個一次函數圖象平行，則且；若兩個一次函數圖象垂直，則．提醒：在下面這個相關問題中如果需要，你可以直接利用以上知識．在平面直角坐標系中，已知點，．（1）如圖1，把直線向右平移使它經過點，如果平移后的直線交軸于點，交x軸于點，請確定直線的解析式．（2）如圖2，連接，求的長．（3）已知點是直線上一個動點，以為對角線的四邊形是平行四邊形，當取最小值時，請在圖3中畫出滿足條件的，并直接寫出此時點坐標．16、（8分）如圖，AD是△ABC的中線，AE∥BC，BE交AD于點F，交AC于G，F是AD的中點.（1）求證：四邊形ADCE是平行四邊形；（2）若EB是∠AEC的角平分線，請寫出圖中所有與AE相等的邊.17、（10分）下面是小穎化簡整式的過程，仔細閱讀后解答所提出的問題．解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x第一步=2xy+4x+1第二步（1）小穎的化簡過程從第步開始出現錯誤；（2）對此整式進行化簡．18、（10分）解方程:B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，BD⊥AD，AD=6，AB=10，則△AOB的面積為_________________20、（4分）如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，則△APB的周長是．21、（4分）如圖，在正方形的外側，作等邊三角形，則為__________．22、（4分）有一組數據：其眾數為，則的值為_____．23、（4分）計算-=_______.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為點E、F，且BE=DF.求證：?ABCD是菱形.25、（10分）在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E（點E不與A，B重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成三個三角形．如果其中有兩個三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”．解決問題：（1）如圖1，∠A=∠B=∠DEC=70°，試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點，并說明理由；（2）四邊形AOBC在平面直角坐標系中的位置如圖2所示，若點A，B，C的坐標分別為（6，8）、（25，0）、（19，8），則在四邊形AOBC的邊OB上是否存在強相似點？若存在，請求出其坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖3，將矩形ABCD沿CE折疊，使點D落在AB邊上的點F處，若點F恰好是四邊形ABCE的邊AB上的一個強相似點，直接寫出的值．26、（12分）已知求代數式：x＝2+，y＝2-．（1）求代數式x2+3xy+y2的值；（2）若一個菱形的對角線的長分別是x和y，求這個菱形的面積？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、B【解析】

由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結論．【詳解】解：由題圖可知：得對折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．此題考查的是相似三角形的性質，根據相似三角形的定義列比例式是解決此題的關鍵．2、B【解析】

解：在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC．∵∠AOD=60°，∴△OAB是等邊三角形．∴OA=AD=1．∴AC=1OA=1×1=2．故選B．3、C【解析】

根據勾股定理的逆定理逐項計算即可.【詳解】A.∵32+42=52，∴能構成直角三角形；B.∵12+22=，∴能構成直角三角形；C.∵，∴不能構成直角三角形；D.∵12+=22，∴能構成直角三角形；故選C.本題考查了勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.4、A【解析】

先利用正比例函數解析式確定A點坐標，然后觀察函數圖象得到，當x＞1時，直線y=1x都在直線y=kx+b的上方，當x＜1時，直線y=kx+b在x軸上方，于是可得到不等式0＜kx+b＜1x的解集．【詳解】設A點坐標為（x，1），把A（x，1）代入y=1x，得1x=1，解得x=1，則A點坐標為（1，1），所以當x＞1時，1x＞kx+b，∵函數y=kx+b（k≠0）的圖象經過點B（1，0），∴x＜1時，kx+b＞0，∴不等式0＜kx+b＜1x的解集為1＜x＜1．故選：A．本題考查了一次函數與一元一次不等式的關系：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．5、D【解析】分析：利用直角三角形的定義和勾股定理的逆定理逐項判斷即可．詳解：A.a2=b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能夠判定△ABC為直角三角形，不符合題意；B.∠A+∠B=∠C，此時∠C是直角，能夠判定△ABC是直角三角形，不符合題意；C.52=32+42，符合勾股定理的逆定理，能夠判定△ABC為直角三角形，不符合題意；D.∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么∠A=45°、∠B=60°、∠C=75°，△ABC不是直角三角形；故選D.點睛：此題主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三邊長構成勾股數或三個內角中有一個是直角的情況下，才能判定三角形是直角三角形.6、D【解析】

過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，得到∠CEO=∠AFB=90°，根據矩形的性質得到AB=OC，AB∥OC，根據全等三角形的性質得到CE=AF，OE=BF，BE=OF，于是得到結論．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，，四邊形是矩形，，，，，同理，，，，，，，，，，點的坐標是；故選：．本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．7、B【解析】

根據無理數的大概值和1，2比較大小，首先計算出每個選項的大概值.【詳解】A選項不是無理數；B是無理數且C是無理數但D是無理數但故選B.本題主要考查無理數的比較大小，關鍵在于估算結果.8、D【解析】

根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形判定則可．【詳解】解：A、，不能構成直角三角形，故不符合題意；B、，不能構成直角三角形，故不符合題意；C、，不能構成直角三角形，故不符合題意；D、，能構成直角三角形，故符合題意．故選：D．本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、．【解析】

解：如圖作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，∵A、C關于BD對稱，∴當P與P′重合時，PA′+P′E的值最小，∵菱形ABCD的周長為16，面積為8，∴AB=BC=4，AB·CE′=8，∴CE′=2，由此求出CE的長=2．故答案為2．考點：1、軸對稱﹣最短問題，2、菱形的性質10、250【解析】

由扇形統計圖可知，贊成舉辦郊游的學生占1-40%-35%=25%，根據贊成舉辦文藝演出的人數與對應的百分比可求出總人數，由此即可解決．【詳解】400÷40%=1000（人），1000×（1-40%-35%）=1000×25%=250（人），故答案為250.本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小．11、1【解析】

由一次函數的解析式求得與坐標軸的交點，然后利用三角形的面積公式即可得出結論．【詳解】由一次函數y=x+4可知：一次函數與x軸的交點為（-4，0），與y軸的交點為（0，4），∴其圖象與兩坐標軸圍成的圖形面積=×4×4=1．故答案為：1．本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．12、2【解析】

先根據菱形的性質得出∠ABO=∠ABC=30°，由30°的直角三角形的性質得出OA=AB=4，再根據勾股定理求出OB，然后證明EF為△AOB的中位線，根據三角形中位線定理即可得出結果【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°，∴OA=AB=4，∴OB=，∵點E、F分別為AO、AB的中點，∴EF為△AOB的中位線，∴EF=OB=2．故答案是：2．考查了矩形的性質、勾股定理、含30°角的直角三角形的性質以及三角形中位線定理；根據勾股定理求出OB和證明三角形中位線是解決問題的關鍵．13、1【解析】

根據三角形的中位線定理解答即可.【詳解】∵三角形的三條中位線的長分別是5cm、6cm、10cm，∴三角形的三條邊分別是10cm、12cm、20cm．∴這個三角形的周長＝10+12+20＝1cm．故答案是：1．本題考查了三角形的中位線定理，熟知三角形的中位線定理是解決問題的關鍵.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）錄取乙；（2）①30，②乙一定能被錄用；甲不一定能被錄用，見解析.【解析】

（1）根據加權平均數的定義與性質即可求解判斷；（2）①根據直方圖即可求解；②根據直方圖判斷甲乙所在的分段，即可判斷.【詳解】解：（1）由題意得，（分）（分）∵∴應該錄取乙。（2）①30②由頻數分布直方圖可知成績最高一組分數段中有1人，而分，所以乙是第一名，一定被錄取；在一組有5人，其中有2人被錄用，分，可確定甲在本組中，但不能確定甲在本組中排第幾名，所以甲不一定能被錄用。此題主要考查統計調查的應用，解題的關鍵是熟知加權平均數的求解與性質.15、（1）；（2）5；（3）【解析】

（1）用待定系數法可求直線AB的解析式，由平移的性質可設直線A'B'的解析式為：，將點P坐標代入可求直線A′B′的解析式；

（2）由P（6，4），B（6，0），點B'坐標（9，0）可得BP⊥B'B，BP=4，BB'=3，由勾股定理可求B'P的長；

（3）由平行四邊形的性質可得，AE=BE，當CE⊥CO時，CE的值最小，即CD的值最小，由中點坐標公式可求點E坐標，可求CE解析式，列出方程組可求點C坐標．【詳解】解：（1）設直線的解析式為：，過點兩點，有∴，∴直線的解析式為：，把直線向右平移使它經過點∴直線的解析式為，且過點∴，∴∴直線的解析式為（2）∵直線交軸于點，交軸于點∴當時，當時，∴點坐標，點坐標∵，，點坐標∴軸，，，∴（3）如圖，設與的交點為，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴要使取最小值，即的值最小，由垂線段最短可得：當時，的值最小，即的值最小，∵點，，且∴點∵，直線解析式為：∴設解析式為，且過點∴∴∴解析式為∴聯立直線和的解析式成方程組，得解得：∴點本題是一次函數綜合題，考查了待定系數法求一次函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征以及中點坐標公式、平行四邊形的性質、勾股定理，解題的關鍵是：（1）讀懂并理解材料；（2）利用中點坐標公式求出點E的坐標；（3）聯立兩直線的解析式成方程組，通過解方程組求出點C的坐標．16、見解析【解析】試題分析：（1）由已知條件易證△AFE≌△DFB，從而可得AE=BD=DC，結合AE∥BC即可證得四邊形ADCE是平行四邊形；（2）由（1）可知，AE=BD=CD；由BE平分∠AEC，結合AE∥BC可證得△BCE是等腰三角形，從而可得EC=BC，結合AD=EC、AF=DF，可得AF=DF=AE；由此即可得與AE相等的線段有BD、CD、AF、DF共四條.試題解析：（1）∵AE∥BC，∴∠AEF=∠DBF，∠EAF=∠FDB，∵點F是AD的中點，∴AF=DF，∴△AFE≌△DFB，∴AE=CD，∵AD是△ABC的中線，∴DC=AD，∴AE=DC，又∵AE∥BC，∴四邊形ADCE是平行四邊形；（2）∵BE平分∠AEC，∴∠AEB=∠CEB，∵AE∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠CEB=∠EBC，∴EC=BC，∵由（1）可知，AD=EC，BD=DC=AE，∴AD=BC，又∵AF=DF，∴AF=DF=BD=DC=AE，即圖中等于AE的線段有4條，分別是：AF、DF、BD、DC.17、（1）一；（2）2xy﹣1．【解析】

（1）注意去括號的法則；（2）根據單項式乘以多項式、完全平方公式以及去括號的法則進行計算即可．【詳解】解：（1）括號前面是負號，去掉括號應變號，故第一步出錯，故答案為一；（2）x（x+2y）﹣（x+1）2+2x=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x=2xy﹣1．18、【解析】

本題可用代入消元法進行求解，即把方程2寫成x=-1-y，代入方程1，得到一個關于y的一元二次方程，求出y值，進而求x．【詳解】解：由（2）得：（3）把（3）代入（1）：∴∴原方程組的解是本題中考查了由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的解法，可用代入法求解．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、12【解析】∵BD⊥AD，AD=6，AB=10，,∴.∵四邊形ABCD是平行四邊形，20、24.【解析】試題分析：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周長=6+8+10=24.考點：1平行四邊形；2角平分線性質；3勾股定理；4等腰三角形.21、15【解析】分析：根據等邊三角形的性質及正方形的性質可得到AB=AE，從而可求得∠BAE的度數，則可求∠AEB的度數．詳解：∵四邊形是正方形，∴，，又∵是正三角形，∴，，∴，∴為等腰三角形，，∴．故答案為：15.點睛：主要考查了正方形和等邊三角形的特殊性質，關鍵是根據等腰三角形的性質得到相等的角．22、1.【解析】

根據眾數的定義進行求解即可，即眾數是指一組數據中出現次數最多的數據．【詳解】解：∵數據：2，1，1，x，5，5，6其眾數為1，∴x=1，故答案為：1．本題考查了眾數的知識．解題的關鍵是熟練掌握眾數的定義．23、2【解析】

利用二次根式的減法法則計算即可.【詳解】解：原式故答案為：本題考查二次根式的減法運算，熟練掌握二次根式的減法運算法則是解題關鍵.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、見解析.【解析】

利用全等三角形的性質證明AB=AD即可解決問題.【詳解】∵ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，在ΔABE和ΔADF中，∠B=∠DBE=DF∴ΔABE?ΔADF∴AB=AD∴?ABCD是菱形.本題考查了菱形的判定、全等三角形的判定和