專題26矩形

考點一：矩形的性質

知識回顧

1.矩形的定義：

有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

2.矩形的性質：

①具有平行四邊形的一切性質。

②矩形的四個角都是直角。

③矩形的對角線相等。

④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組對邊中點的直

線是矩形的對稱。

⑤由矩形的對角線的性質可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

微專題

1.（2023?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖形的性質.請思

考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）

A.扇形B.平行四邊形C.等邊三角形D.矩形

2.（2023?安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a,則N2=（）

A.a-90°B.a-45°C.180°-aD.270°-a

3.（2023?西寧）矩形ABC。中，AB=8,AZ）=7,點E在AB邊上，AE=5.若點尸是矩形ABC。邊上一點,

且與點A,E構成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形AEP的底邊長是

4.（2023?青海）如圖，矩形ABC。的對角線相交于點。，過點。的直線交AD,BC于點、E,F,若AB=3,

BC=4,則圖中陰影部分的面積為

第4題第5題

5.（2023?吉林）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,3。相交于點O,點E是邊4。的中點，點尸在對角

線AC上，SLAF=-AC,連接EF.若AC=10,則EF=

4

6.（2023?黔東南州）如圖，矩形ABC。的對角線AC,20相交于點。，DE//AC,CE//BD.若AC=10,

7.（2023?十堰）“美麗鄉村”建設使我市農村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農村民居側面截圖，屋坡AF,

AG分別架在墻體的點3,C處，MAB=AC,側面四邊形BDEC為矩形.若測得/尸8。=55°,則NA

8.（2023?宜昌）如圖，在矩形A2CD中，E是邊A。上一點，F,G分別是BE,CE的中點，連接ARDG,

FG,若AP=3,Z）G=4,FG=5,矩形A8CD的面積為.

9.（2023?邵陽）己知矩形的一邊長為6c〃z,一條對角線的長為10c相，則矩形的面積為cm2.

10.（2023?麗水）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQMN.已知①和②能夠重合，

③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,且。＞6.

（1）若a,6是整數，則尸。的長是；

（2）若代數式a2-2ab-b1的值為零，則$四邊形ABC。的值是_____________.

S矩形PQMN

11.（2023?日照）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E,當水杯

底面與水平面的夾角為27°時，NAE。的大小為（)

D

第12題

C.57°D.63°

12.（2023?包頭）如圖，在矩形4BCZ）中，AD>AB,點、E,尸分別在AD,BC邊上，EF//AB,AE=AB,

AF與BE相交于點O,連接OC.若BF=2CF,則OC與EE之間的數量關系正確的是（）

A.2OC=75EFB.料OC=2EFC.20c=6EFD.OC=EF

13.（2023?泰安）如圖，四邊形48CD為矩形，AB=3,BC=4,點尸是線段BC上一動點，點M為線段

AP上一點，ZADM=ZBAP,則8M的最小值為（）

C.713--D.V13-2

2

考點二：矩形的判定

知識回顧

1.直接判定:

有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。

2.利用平行四邊形判定：

①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。

z---------------------------、

微專題

<_______________>

14.（2023?聊城）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）

A.測量兩條對角線是否相等

B.度量兩個角是否是90°

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等

D.測量兩組對邊是否分別相等

15.（2023?恩施州）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZB=90°,AD=lQcm,BC=8cm,點P從點。出

發，以Ici/s的速度向點A運動，點"從點B同時出發，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點到

達端點時，兩個動點同時停止運動.設點尸的運動時間為f（單位：s）,下列結論正確的是（）

A.當f=4s時，四邊形A8MP為矩形

B.當f=5s時，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當時，t=4s

D.當CD=PM時，f=4s或6s

16.（2023?陜西）在下列條件中，能夠判定團ABC。為矩形的是）

A.AB=ADB.AC±BDC.AB=ACD.AC=BD

17.（2023?陜西）在下列條件中，能夠判定團ABC。為矩形的是（）

A.AB=ACB.ACLBDC.AB=ADD.AC=BD

18.（2023?懷化）下列說法正確的是（）

A.相等的角是對頂角

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.三角形的外心是它的三條角平分線的交點

D.線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

19.（2023?甘肅）如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC,AD//BC,在不添加任何輔助線的前提下，要想四

邊形42C。成為一個矩形，只需添加的一個條件是

20（多選）.（2023?濰坊）利用反例可以判斷一個命題是錯誤的，下列命題錯誤的是（）

A.若ab—0,則a—0

B.對角線相等的四邊形是矩形

2

C.函數y=—的圖象是中心對稱圖形

x

D.六邊形的外角和大于五邊形的外角和

專題26矩形

考點一：矩形的性質

知識回顧

3.矩形的定義：

有一個角是直角的平行四邊形是矩形。

4.矩形的性質：

①具有平行四邊形的一切性質。

②矩形的四個角都是直角。

③矩形的對角線相等。

④矩形既是一個中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。對角線交點是對稱中心，過一組

對邊中點的直線是矩形的對稱。

⑤由矩形的對角線的性質可知，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

微專題

1.（2023?無錫）雪花、風車……展示著中心對稱的美，利用中心對稱，可以探索并證明圖

形的性質.請思考在下列圖形中，是中心對稱圖形但不一定是軸對稱圖形的為（）

A.扇形B.平行四邊形C.等邊三角形D.矩形

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：A.扇形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

B.平行四邊形不一定是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

C.等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

故選：B.

2.（2023?安徽）兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a,則/2=（）

A.a-90°B.a-45C.180°-aD.270°-a

【分析】根據矩形的性質和三角形外角的性質，可以用含a的式子表示出N2.

【解答】解：由圖可得,

Zl=90°+Z3,

*.*Zl=a,

Z3=a-90°，

；/3+N2=90°,

：.Z2=90°-Z3=90°-（a-90°）=90°-a+90°=180°-a,

故選：C.

3.（2023?西寧）矩形ABC。中，AB=8,AZ）=7,點E在A8邊上，AE=5.若點P是矩形

ABC。邊上一點，且與點A,E構成以AE為腰的等腰三角形，則等腰三角形A"的底邊

長是.

【分析】分情況討論：①當AP=AE=5時，則是等腰直角三角形，得出底邊尸E

=&AE=5&即可；

②當P1E=AE=5時，求出BE,由勾股定理求出P1B,再由勾股定理求出底邊AP即可.

【解答】解：如圖所示，

①當AP=AE=5時，

'：ZBAD=90°,

AAEP是等腰直角三角形，

底邊尸E=?AE=5五；

②當P1E=AE=5時，

'：BE=AB-AE=8-5=3,ZB=90°,

?'-P1B=VPE2-BE2=4>

底邊AP=VAB2+PB2=475；

綜上所述：等腰三角形AEP的底邊長為5弧或4泥；

故答案為：5、歷或4代.

4.（2023?青海）如圖，矩形A8C。的對角線相交于點O,過點0的直線交AD,8C于點E,

F,若AB=3,BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

BFC

【分析】首先結合矩形的性質證明△AOE0ZkCO凡得△AOE、ACOF的面積相等，從

而將陰影部分的面積轉化為△BDC的面積.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，A2=3,

；Q=0C,AB=CD=3,AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO；

又：NAOE=NCOF,

在aAOE和中,

AAOE^ACOF,

?'-S^AOE=S^COF,

S陰影=SMOE+SABOF+S&COD=SACOF+SABOF+SACOD=S^BCD>

S^BCD=—BC*CD=—X4X3=6，

22

?'"5陰影=6.

故答案為6.

5.（2023?吉林）如圖，在矩形ABC。中，對角線AC,2。相交于點。，點E是邊A。的中

點，點/在對角線AC上，且AF=^AC,連接ER若AC=10,則后尸=

4

4

解.

【解答】解：在矩形ABC￡＞中，AO=OC=—AC,AC=BD=10,

2

VAF=AAC,

4

：.AF=^AO,

2

...點尸為AO中點，

又：點E為邊的中點，

:.EF為AAOD的中位線，

EF=—OD=—BD=—.

242

故答案為：

2

6.（2023?黔東南州）如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,DE//AC,CE//BD.若

AC=10,則四邊形OC即的周長是

【分析】先證四邊形OCED是平行四邊形，得OC=DE,OD=CE,再由矩形的性質得

OC=OD=5,貝IOC=OZ）=CE=QE,得平行四邊形OCE。是菱形，即可得出結論.

【解答】解：,JDE//AC,CE//BD,

二四邊形OCED是平行四邊形，

AOC=DE,OD=CE,

:矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,

：.OC=^AC=5,OD=LBD,BD=AC,

22

OC=OD=5,

OC=OD=CE=DE,

平行四邊形OCE。是菱形，

，菱形OCED的周長=4OC=4X5=20,

故答案為：20.

7.（2023?十堰）“美麗鄉村”建設使我市農村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農村民居側面

截圖，屋坡AF,AG分別架在墻體的點8,C處，且AB=AC,側面四邊形BDEC為矩形.若

測得//8。=55°,則/A=°.

【分析】利用矩形的性質可得NDBC=90°,從而利用平角定義求出/ABC的度數，然

后利用等腰三角形的性質可得NABC=NACB=35°,最后利用三角形內角和定理進行

計算即可解答.

【解答】解：???四邊形BOEC為矩形，

：.ZDBC^90°,

\'ZFBD=55°,

：.ZABC=180°-ZDBC-ZFBD=35°,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB=35

—180°-ZABC-ZACB=110°,

故答案為：110.

8.（2023?宜昌）如圖，在矩形ABC。中，E是邊4。上一點，F,G分別是BE,CE的中點,

連接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,矩形ABCZ）的面積為.

【分析】由矩形的性質得出/BAE=NC￡）E=90°,AD//BC,由直角三角形斜邊上中線

的性質及三角形中位線的性質求出BE=6,CE=8,8c=10,由勾股定理的逆定理得出

△BCE是直角三角形，/BEC=90°,進而求出=24,即可求出矩形ABC。的面積.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

,:F,G分別是BE,CE的中點，AF=3,DG=4,FG=5,

：.BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,

:.B號+CE^=BC2,

.,.△BCE是直角三角形，ZBEC=90°,

=yX6X8=24）

'CAD//BC,

?'?S矩形ABCD=2SZXBCE=2><24=48，

故答案為：48.

9.（2023?邵陽）已知矩形的一邊長為6cm,一條對角線的長為10cm,則矩形的面積為

cm2.

【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長，然后根據矩形的面積公式列式進行計算即可

得解.

【解答】解：?.?長方形的一條對角線的長為10c〃z,一邊長為6。加，

...另一邊長=-\/102-62=8c%，

它的面積為8X6=485/2.

故答案為：48.

10.（2023?麗水）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形PQWN.已知①和

②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,且a>6.

（1）若a,b是整數，則尸。的長是；

（2）若代數式/-2ab-b2的值為零，則$四邊形鉆8的值是_____________

S矩形PQMN

?__________________ED

①P

Q

③

④

N

M

②

【分析】（1）直接根據線段的差可得結論；

（2）先把b當常數解方程：CT-lab-b2=0,a=b+42b（負值舍），根據四個矩形的面

積都是5表示小矩形的寬，最后計算面積的比，化簡后整體代入即可解答.

【解答】解：（1）由圖可知：PQ=a-b,

故答案為：a-b；

（2）Va2-2ab-Z>2=0,

.*.6Z2-b2=2ab,（a-b）2=2Z?2,

：.a=b+-/2b（負值舍），

:四個矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,

:.EP="EN="

ab

S四邊形ABCD_心+b）?誓

a2+2ab+b2_a2_

S矩形POTQ-b）金至）（a-b）?顯普a”-2ab+b"b

baab

（&+1）2b2=3+2J2-

b2

故答案為：3+2&.

11.（2023?日照）如圖，矩形ABC。為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與C。的交

點為E,當水杯底面8C與水平面的夾角為27°時，的大小為（）

A.27°B.53°C.57°D.63°

【分析】根據題意可知AE//BF,/EAB=NABF,ZABF+270=90°,等量代換求出

ZEAB,再根據平行線的性質求出NAED

【解答】解：如圖，

'：AE//BF,

：.ZEAB=ZABF,

:四邊形ABC。是矩形，

：.AB//CD,ZABC=90°,

AZABF+270=90°,

AZABF=6V,

AZEAB=63°,

'JAB//CD,

：.ZA￡D=Z￡AB=63°.

故選：D.

12.（2023?包頭）如圖，在矩形ABCD中，AD>AB,點、E,F分別在AQ,8C邊上，EF//

AB,AE=AB,AP與BE相交于點。，連接。C.若BF=2CF,則。C與EF之間的數量

關系正確的是（）

A.2OC=75EFB.V5OC=2EFC.2OC=73EFD.OC=EF

【分析】過點。作OHLBC于點H,得出四邊形ABFE是正方形，再根據線段等量關系

得出CF=EF=2OH,根據勾股定理得出OC=MOH,即可得出結論.

【解答】解：過點。作OHLBC于點

:在矩形ABC。中，EF//AB,AE^AB,

,四邊形A8FE是正方形，

...OH=工EF=LBF=BH=HF,

22

,：BF^2CF,

：.CH=EF=2OH,

?，-oc=JoH24cH2=VOH2+(2OH)2=^°H,

即2OC=y/5EF,

故選：A.

13.（2023?泰安）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,BC=4,點P是線段上一動點,

點M為線段AP上一點，ZADM=ZBAP,則8/的最小值為（）

C.V13--D.V13-2

2

【分析】如圖，取AD的中點。，連接08,OM.證明/AMZ）=90°,推出。

=2,點M的運動軌跡是以。為圓心，2為半徑的OO.利用勾股定理求出。2,可得結

論.

【解答】解：如圖，取的中點。，連接。8,OM.

,四邊形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^90°,

ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM^9Q0,

AZAMD=90°,

"：AO=OD^2,

：.OM=^-AD=2,

2

.?.點M的運動軌跡是以。為圓心，2為半徑的OO.

7OB=VAB2+A02=VS2+22=^^13，

-OM=yJ-13-2,

.?.BM的最小值為百§-2.

故選：D.

考點二：矩形的判定

知識回顧

3.直接判定：

有三個角（四個角）都是直角的四邊形是矩形。

4.利用平行四邊形判定：

①定義：有一個角是直角（鄰邊相互垂直）的平行四邊形是矩形。

②對角線的特殊性：對角線相等的平行四邊形是矩形。

微專題

??

14.（2023?聊城）要檢驗一個四邊形的桌面是否為矩形，可行的測量方案是（）

A.測量兩條對角線是否相等

B.度量兩個角是否是90°

C.測量兩條對角線的交點到四個頂點的距離是否相等

D.測量兩組對邊是否分別相等

【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A、測量兩條對角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，

故選項A不符合題意；

8、度量兩個角是否是90°,不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項B不

符合題意；

C、測量對角線交點到四個頂點的距離是否都相等，可以判定是否為矩形，故選項C符

合題意；

D,測量兩組對邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項。不符合題意；

故選：C.

15.（2023?恩施州）如圖，在四邊形A8CD中，ZA=ZB=90a,AD=10cm,BC=8cm,

點P從點。出發，以1aMs的速度向點A運動，點M從點B同時出發，以相同的速度向

點C運動，當其中一個動點到達端點時，兩個動點同時停止運動.設點P的運動時間為

t（單位：s）,下列結論正確的是（）

A.當t=4s時，四邊形為矩形

B.當f=5s時，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當CD=PM時，r=4s

D.當CD=PM時，r=4s或6s

【分析】根據題意，表示出。尸，BM,AP和CM的長，當四邊形尸為矩形時，根據

AP=BM,列方程求解即可；當四邊形CDPM為平行四邊形，根據。P=CM,列方程求

解即可；當時，分兩種情況：①四邊形是平行四邊形，②四邊形CDPM

是等腰梯形，分別列方程求解即可.

【解答】解：根據題意，可得DP=tcm,BM=tcm,

AD=lQcm,BC=Scm,

.'.AP—(10-r)cm,CM—(8-f)cm,

當四邊形ABMP為矩形時，AP=8M,

即10-t—t,

解得t=5,

故A選項不符合題意；

當四邊形COPM為平行四邊形，DP=CM,

即f=8-3

解得f=4,

故B選項不符合題意；

當C￡?=PM時，分兩種情況：

①四邊形CDPM是平行四邊形，

此時CM=PD,

即8-/=/,

解得t=4,

②四邊形CDPM是等腰梯形，

過點M作于點G,過點C作CHLA。于點H,如圖所示：

則NMGP=/Cm)=90°,

"：PM=CD,GM=HC,

：.4MGP沿叢CHD(HL),

：.GP=HD,

"：AG=AP+GP=IO-=t-(8-t),

2

又,：BM=t,

2

解得f=6,

綜上，當CD=PM時，f=4s或6s,

故C選項不符合題意，。選項符合題意，

故選：D.

16.（2023?陜西）在下列條件中，能夠判定回ABC。為矩形的是（）

A.AB=ADB.ACYBDC.AB=ACD.AC=BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可.

【解答】解：A.：團中，AB=AD,

.?.回ABC。是菱形，故選項A不符合題意；

B.「ElABCr）中，AC±BD,

.?.回ABC。是菱形，故選項8不符合題意；

C.回ABCD中，AB=AC,不能判定回ABC。是矩形，故選項C不符合題意；

D.中，AC=BD,

.?.回ABC。是矩形，故選項。符合題意；

故選：D.

17.（2023?陜西）在下列條件中，能夠判定團A8CD為矩形的是（）

A.AB^ACB.