第四章指數函數與對數函數4.4

對數函數4.4.3

不同函數增長的差異

遞增逐漸近似與Y軸平行逐漸近似與X軸平行復習導入三種常見函數模型性質勻速增長不同函數的增長方式存在很大差異.事實上，這種差異正是不同類型現實問題具有不同增長規律的反映.因此，如果把握了不同函數

增長方式的差異，那么就可以根據現實問題的增長情況，選擇合適

的函數模型刻畫其變化規律.下面就來研究一次函數、指數函數和對數函數增長方式的差異.復習導入話動1

以函數y=2*和y=2x

為例研究指數函數、

一次函數在區間(0,+￥)內增長方式的差異.新知探索0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386●

·●●新知探索觀察函數y=2*和y=2x的圖象及其增長方式，你能得出哪些結論?結論一：函數y=2*和y=2x的圖象有兩個交點(1,2),(2,4).結論二：在區間[0,1]上，函數y=2*的圖象位于y=2x的圖象之上，2*>2x,結論三：在區間(1,2)上，函數y=2*的圖象位于y=2x的圖象之下，2*<2x結論四：在區間(2,3)上，函數y=2*的圖象位于y=2x的圖象之上，2*>2x.綜上：雖然函數y=2與函數y=2x

都是增函數，但是它們的增長速度不同，函數y=2x

的增長速度不變，但是y=2

的增長速度改變，先慢后快。新知探索下面在更大的范圍內，觀察y=2*和y

=2x的增長情況.當自變量X

越來越大時，y=2*

的圖象就像與

X

軸垂直

一樣，2的值快速增長；而函數y=2x

的增長速度依然保持不變，與y=2

函數的增長速度相比幾乎微不足道。0102444168664128256161010242012409624●●●●●●●●●新知探索總結一：雖然函數y=2*和y=2x在區間[0,+o]上都單調遞增，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上.隨著x的增大，y=2*的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y=2x的增長速度.盡管在x的一定變化范圍內，2*會小于2x,但由于y=2*的增長最終會快于y=2x的增長，因此，總會存在一個x?,

當x>x?時，恒有2*>2x.新知探索總結二：一般地，指數函數y=a*(a>1)與一次函數y=kx(k>0)的增長差異都與上述情況類似.即使k的值遠遠大于a

的

值

，y=a*(a>1)的增長速度最終都會大大超過y=kx(k>0)

的增長速度.注：指數函數不像一次函數那樣按同一速度增長，而是越來越快，呈爆炸性增長.新知探索活

動

2

以函數y=lgx

和間(0,+￥)內增長的差異.新知探索x

為例研究對數函數與一次函數在區0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786●●●··●

·雖然它們在(0,+￥)都是單調遞增，但是增長速度存在明顯的差異新知探索總結

一：函

x的增長速度保持不變，而函數y=lgx

的增長速度在變化.隨著x的增大，函數

x的圖象離x軸越來越遠，而函數

y=lgx

的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.新知探索例如lg10=1,lg100=2,lg1000=3,

g10000=4;而×10=

1,0.這說明，當x>10,Hy=1gx>1時新知探索,y=lgx

與y=

x相比增長就很慢了.10×1000=10090×10000=100010,新知探索話

動3

如果將1gx

放大1000倍，再對函數y=10001gx

和y=x的增長情況進行比較，那么仍有上述規律嗎?總結二：

一般地，雖然對數函數y=logax(a>1)與一次函數y=kx(k>0)在區間(0,+輸)上都單調遞增，但它們的增長速度不同.隨著x的增大，

一次函數y=kx(k>0)

保持固定的增長速度，而對數函數y=logax(a>1)的增長速度越來越慢.不論a的值比k的值大多少，在一定范圍內，

logax

可能會大于kx,

但由于logax

的增長最終會慢于kx的增長，因此總會存在一個x?,

當x>x?時，恒有logax<kx

.新知探索活動4

類比上述過程，(1)畫出一次函數y=2x,對數函數y=lgx

和指數函數y=2*的圖象，并比較它們的增長差異；(2)試著概括一次函數，對數函數和指數函數的增長差異；(3)討論交流“直線上升”

“對數增長”

“指數爆炸”的含義.新知探索f(x)=2x50

150200250h(x)=logio(x)-1000新知探索g(x)=2r1.下列函數中，增長速度最慢的是

(C).A.y

=2022x

B.y

=x2022C.y=log?o??x

D.y=2022x學以致用2.四個物體同時從某一點出發向前運動，其路程

f(x)i=1,2,3,4)關于時間x(x>1)的函數關系是

f(x)=x2,f?(x)=2x,f?(x)=log,x,f?(x)=2*,如果它們一直運

動下去，最終在最前面的物體具有的函數關系是(D

)A.f(x)=x2B.f?(x)=2xC.f?(x)=log,xD.f?(x)=2學以致用X45678910Y15171921232527A.一次函數模型

B.二次函數模型

C.指數函數模型

D.對數函數模型3.下表是函數值y隨自變量x變化的一組數據，由此判斷最可能的函數模型是(

A

)

學以致用4.物價上漲是當前的熱門話題，特別是菜價，我國某部門為盡快穩定菜價，提出四種綠色運輸方案.據預測，這四種方案均能在規定的時間T內完成預測的運輸任務Q。,

各種方案的運輸總量Q

與時間t的函數關系