年齡問題解年齡問題，壹般要抓住如下三條規律：（1）不管在哪壹年，兩個人的年齡差總是確定不變的；（2）伴隨時間向前（過去）或向後（未來）推移，兩個人或兩個以上人的年齡壹定減少或增長相等的數量；（3）伴隨時間的變化，兩個人年齡之間的倍數關系壹定會變化。【例1】媽媽今年43歲，女兒今年11歲，幾年後媽媽的年齡是女兒的3倍？幾年前媽媽的年齡是女兒的5倍？【分析】無論在哪壹年，媽媽和女兒的年齡總是相差43-11=32（歲）當媽媽的年齡是女兒的3倍時，女兒的年齡為（43-11）÷（3-1）=16（歲）16-11=5（歲）闡明那時是在5年後。同樣道理，由11-（43-11）÷（5-1）=3（年）可知，媽媽年齡是女兒的5倍是在3年前。【例2】今年，父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。父親、女兒今年各是多少歲？【分析】從3年前到今年，父親、女兒都長了3歲，他們今年的年齡之和為49+3×2=55（歲）由“55÷（4+1）”可算出女兒今年11歲，從而，父親今年44歲。雞兔同籠壹、基本問題“雞兔同籠”是壹類有名的中國古算題.最早出目前《孫子算經》中.許多小學算術應用題都可以轉化成此類問題，或者用解它的經典解法--“假設法”來求解.因此很有必要學會它的解法和思緒.例1有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設想，每只雞都是“金雞獨立”，壹只腳站著；而每只兔子都用兩條後腿，像人同樣用兩只腳站著.目前，地面上出現腳的總數的二分之壹，·也就是244÷2=122（只）.在122這個數裏，雞的頭數算了壹次，兔子的頭數相稱于算了兩次.因此從122減去總頭數88，剩余的就是兔子頭數122-88=34，有34只兔子.當然雞就有54只.答：有兔子34只，雞54只.上面的計算，可以歸結為下面算式：總腳數÷2-總頭數=兔子數.上面的解法是《孫子算經》中記載的.做壹次除法和壹次減法，立即能求出兔子數，多簡樸！可以這樣算，重要運用了兔和雞的腳數分別是4和2，4又是2的2倍.可是，當其他問題轉化成此類問題時，“腳數”就不壹定是4和2，上面的計算措施就行不通.因此，我們對此類問題給出壹種壹般解法.還說例1.假如設想88只都是兔子，那么就有4×88只腳，比244只腳多了88×4-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，因此共有雞（88×4-244）÷（4-2）=54（只）.闡明我們設想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式雞數=（兔腳數×總頭數-總腳數）÷（兔腳數-雞腳數）.當然，我們也可以設想88只都是“雞”，那么共有腳2×88=176（只），比244只腳少了244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，68÷2=34（只）.闡明設想中的“雞”，有34只是兔子，也可以列出公式兔數=（總腳數-雞腳數×總頭數）÷（兔腳數-雞腳數）.上面兩個公式不必都用，用其中壹種算出兔數或雞數，再用總頭數去減，就懂得另壹種數.假設全是雞，或者全是兔，壹般用這樣的思緒求解，有人稱為“假設法”.目前，拿壹種詳細問題來試試上面的公式.例2紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元.問紅、藍鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的單位.我們設想，壹種“雞”有11只腳，壹種“兔子”有19只腳，它們共有16個頭，280只腳.目前已經把買鉛筆問題，轉化成“雞兔同籠”問題了.運用上面算兔數公式，就有藍筆數=（19×16-280）÷（19-11）=24÷8=3（支）.紅筆數=16-3=13（支）.答：買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆.對于此類問題的計算，常常可以運用已知腳數的特殊性.例2中的“腳數”19與11之和是30.我們也可以設想16只中，8只是“兔子”，8只是“雞”，根據這壹設想，腳數是8×（11+19）=240.比280少40.40÷（19-11）=5.就懂得設想中的8只“雞”應少5只，也就是“雞”（藍鉛筆）數是3.30×8比19×16或11×16要輕易計算些.運用已知數的特殊性，靠心算來完畢計算.實際上，可以任意設想壹種以便的兔數或雞數.例如，設想16只中，“兔數”為10，“雞數”為6，就有腳數19×10+11×6=256.比280少24.24÷（19-11）=3，就懂得設想6只“雞”，要少3只.要使設想的數，能給計算帶來以便，常常取決于你的心算本領.下面再舉四個稍有難度的例子.例3壹份稿件，甲單獨打字需6小時完畢.乙單獨打字需10小時完畢，目前甲單獨打若干小時後，因有事由乙接著打完，共用了7小時.甲打字用了多少小時？解：我們把這份稿件平均提成30份（30是6和10的最小公倍數），甲每小時打30÷6=5（份），乙每小時打30÷10=3（份）.目前把甲打字的時間當作“兔”頭數，乙打字的時間當作“雞”頭數，總頭數是7.“兔”的腳數是5，“雞”的腳數是3，總腳數是30，就把問題轉化成“雞兔同籠”問題了.根據前面的公式“兔”數=（30-3×7）÷（5-3）=4.5，“雞”數=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時.答：甲打字用了4小時30分.例4今年是1998年，父母年齡（整數）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲.四年後（）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪壹年？解：4年後，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作“雞”頭數，弟的年齡看作“兔”頭數.25是“總頭數”.86是“總腳數”.根據公式，兄的年齡是（25×4-86）÷（4-3）=14（歲）.1998年，兄年齡是14-4=10（歲）.父年齡是（25-14）×4-4=40（歲）.因此，當父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是（40-10）÷（3-1）=15（歲）.這是.答：公元時，父年齡是兄年齡的3倍.例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀.目前這三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀.每種小蟲各幾只？解：由于蜻蜓和蟬均有6條腿，因此從腿的數目來考慮，可以把小蟲提成“8條腿”與“6條腿”兩種.運用公式就可以算出8條腿的蜘蛛數=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）.因此就懂得6條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有13只，它們共有20對翅膀.再運用壹次公式蟬數=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬.例6某次數學考試考五道題，全班52人參與，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數同樣多，那么做對4道的人數有多少人？解：對2道、3道、4道題的人共有52-7-6=39（人）.他們共做對181-1×7-5×6=144（道）.由于對2道和3道題的人數同樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（（2+3）÷2=2.5）.這樣兔腳數=4，雞腳數=2.5，總腳數=144，總頭數=39.對4道題的有（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.答：做對4道題的有31人.二、“兩數之差”的問題雞兔同籠中的總頭數是“兩數之和”，假如把條件換成“兩數之差”，又應當怎樣去解呢？例7買某些4分和8分的郵票，共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？解壹：假如拿出40張8分的郵票，余下的郵票中8分與4分的張數就同樣多.（680-8×40）÷（8+4）=30（張），這就懂得，余下的郵票中，8分和4分的各有30張.因此8分郵票有40+30=70（張）.答：買了8分的郵票70張，4分的郵票30張.也可以用任意假設壹種數的措施.解二：譬如，假設有20張4分，根據條件“8分比4分多40張”，那么應有60張8分.以“分”作為計算單位，此時郵票總值是4×20+8×60=560.比680少，因此還要增長郵票.為了保持“差”是40，每增長1張4分，就要增長1張8分，每種要增長的張數是（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（張）.因此4分有20+10=30（張），8分有60+10=70（張）.例8壹項工程，假如全是晴天，15天可以完畢.倘若下雨，雨天壹天工程要多少天才能完畢？解：類似于例3，我們設工程的所有工作量是150份，晴天每天完畢10份，雨天每天完畢8份.用上壹例題解壹的措施，晴天有（150-8×3）÷（10+8）=7（天）.雨天是7+3=10天，總共7+10=17（天）.答：這項工程17天完畢.請注意，假如把“雨天比晴天多3天”去掉，而換成已知工程是17天完畢，由此又回到上壹節的問題.差是3，與和是17，懂得其壹，就能推算出另壹種.這闡明了例7、例8與上壹節基本問題之間的關系.總腳數是“兩數之和”，假如把條件換成“兩數之差”，又應當怎樣去解呢？例9雞與兔共100只，雞的腳數比兔的腳數少28.問雞與兔各幾只？解壹：假如再補上28只雞腳，也就是再有雞28÷2=14（只），雞與兔腳數就相等，兔的腳是雞的腳4÷2=2（倍），于是雞的只數是兔的只數的2倍.兔的只數是（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.雞是100-38=62（只）.答：雞62只，兔38只.當然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只數是（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假設壹種數的措施.解二：假設有50只雞，就有兔100-50=50（只）.此時腳數之差是4×50-2×50=100，比28多了72.就闡明假設的兔數多了（雞數少了）.為了保持總數是100，壹只兔換成壹只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（仟萬注意，不是2）.因此要減少的兔數是（100-28）÷（4+2）=12（只）.兔只數是50-12=38（只）.此外，還存在下面這樣的問題：總頭數換成“兩數之差”，總腳數也換成“兩數之差”.例10古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字.有壹詩選集，其中五言絕句比七言絕句多13首，總字數卻反而少了20個字.問兩種詩各多少首.解壹：假如去掉13首五言絕句，兩種詩首數就相等，此時字數相差13×5×4+20=280（字）.每首字數相差7×4-5×4=8（字）.因此，七言絕句有28÷（28-20）=35（首）.五言絕句有35+13=48（首）.答：五言絕句48首，七言絕句35首.解二：假設五言絕句是23首，那么根據相差13首，七言絕句是10首.字數分別是20×23=460（字），28×10=280（字），五言絕句的字數，反而多了460-280=180（字）.與題目中“少20字”相差180+20=200（字）.闡明假設詩的首數少了.為了保持相差13首，增長壹首五言絕句，也要增壹首七言絕句，而字數相差增長8.因此五言絕句的首數要比假設增長200÷8=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設都是兔，或者都是雞，對于例7、例9和例10三個問題，當然也可以這樣假設.目前來詳細做壹下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照壹下，就會發現非常有趣的事.例7，假設都是8分郵票，4分郵票張數是（680-8×40）÷（8+4）=30（張）.例9，假設都是兔，雞的只數是（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.10，假設都是五言絕句，七言絕句的首數是（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.首先，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然後與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有壹處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當你進入初中，有了負數的概念，并會列二元壹次方程組，就會明白，從數學上說，這壹講前兩節列舉的所有例子都是同壹件事.例11有壹輛貨車運送只玻璃瓶，運費按抵達時完好的瓶子數目計算，每只2角，如有破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償1元.成果得到運費379.6元，問這次搬運中玻璃瓶破損了幾只？解：假如沒有破損，運費應是400元.但破損壹只要減少1+0.2=1.2（元）.因此破損只數是（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.答：這次搬運中破損了17只玻璃瓶.請你想壹想，這是“雞兔同籠”同壹類型的問題嗎？例12有兩次自然測驗，第壹次24道題，答對1題得5分，答錯（包括不答）1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第壹次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？解壹：假如小明第壹次測驗24題全對，得5×24=120（分）.那么第二次只做對30-24=6（題）得分是8×6-2×（15-6）=30（分）.兩次相差120-30=90（分）.比題目中條件相差10分，多了80分.闡明假設的第壹次答對題數多了，要減少.第壹次答對減少壹題，少得5+1=6（分），而第二次答對增長壹題不僅不倒扣2分，還可得8分，因此增長8+2=10分.兩者兩差數就可減少6+10=16（分）.（90-10）÷（6+10）=5（題）.因此，第壹次答對題數要比假設（全對）減少5題，也就是第壹次答對19題，第二次答對30-19=11（題）.第壹次得分5×19-1×（24-9）=90.第二次得分8×11-2×（15-11）=80.答：第壹次得90分，第二次得80分.解二：答對30題，也就是兩次共答錯24+15-30=9（題）.第壹次答錯壹題，要從滿分中扣去5+1=6（分），第二次答錯壹題，要從滿分中扣去8+2=10（分）.答錯題互換壹下，兩次得分要相差6+10=16（分）.假如答錯9題都是第壹次，要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件“第壹次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答錯題數是（6×9+10）÷（6+10）=4（題）·第壹次答錯9-4=5（題）.第壹次得分5×（24-5）-1×5=90（分）.第二次得分8×（15-4）-2×4=80（分）.三、從“三”到“二”“雞”和“兔”是兩種東西，實際上尚有三種或者更多種東西的類似問題.在第壹節例5和例6就均有三種東西.從這兩個例子的解法，也可以看出，要把“三種”轉化成“二種”來考慮.這壹節要通過某些例題，告訴大家兩類轉化的措施.例13學校組織新年游藝晚會，用于獎品的鉛筆、圓珠筆和鋼筆共232支，共花了300元.其中鉛筆數量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元，圓珠筆每支2.7元，鋼筆每支6.3元.問三種筆各有多少支？解：從條件“鉛筆數量是圓珠筆的4倍”，這兩種筆可并成壹種筆，四支鉛筆和壹支圓珠筆成壹組，這壹組的筆，每支價格算作（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）.目前轉化成價格為1.02和6.3兩種筆.用“雞兔同籠”公式可算出，鋼筆支數是（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）.鉛筆和圓珠筆共232－12＝220（支）.其中圓珠筆220÷（4+1）=44（支）.鉛筆220-44=176（支）.答：其中鋼筆12支，圓珠筆44支，鉛筆176支.例14商店發售大、中、小氣球，大球每個3元，中球每個1.5元，小球每個1元.張老師用120元共買了55個球，其中買中球的錢與買小球的錢恰好同樣多.問每種球各買幾種？解：由于總錢數是整數，大、小球的價錢也都是整數，因此買中球的錢數是整數，并且還是3的整數倍.我們設想買中球、小球錢中各出3元.就可買2個中球，3個小球.因此，可以把這兩種球看作壹種，每個價錢是（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）.從公式可算出，大球個數是（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（個）.買中、小球錢數各是（120-30×3）÷2=15（元）.可買10個中球，15個小球.答：買大球30個、中球10個、小球15個.例13是從兩種東西的個數之間倍數關系，例14是從兩種東西的總錢數之間相等關系（倍數關系也可用類似措施），把兩種東西合井成壹種考慮，實質上都是求兩種東西的平均價，就把“三”轉化成“二”了.例15是為例16作準備.例15某人去時上坡速度為每小時走3仟米，回來時下坡速度為每小時走6仟米，求他的平均速度是多少？解：去和回來走的距離同樣多.這是我們考慮問題的前提.平均速度=所行距離÷所用時間去時走1仟米，要用20分鐘；回來時走1仟米，要用10分鐘.來回共走2仟米，用了30分鐘，即半小時，平均速度是每小時走4仟米.仟萬注意，平均速度不是兩個速度的平均值：每小時走（6+3）÷2=4.5仟米.例16從甲地至乙地全長45仟米，有上坡路、平路、下坡路.李強上坡速度是每小時3仟米，平路上速度是每小時5仟米，下坡速度是每小時6仟米.從甲地到乙地，李強行走了10小時；從乙地到甲地，李強行走了11小時.問從甲地到乙地，多種路段分別是多少仟米？解：把來回旅程45×2=90（仟米）算作全程.去時上坡，回來是下坡；去時下坡回來時上坡.把上坡和下坡合并成“壹種”旅程，根據例15，平均速度是每小時4仟米.目前形成壹種非常簡樸的“雞兔同籠”問題.頭數10+11=21，總腳數90，雞、兔腳數分別是4和5.因此平路所用時間是（90-4×21）÷（5-4）=6（小時）.單程平路行走時間是6÷2=3（小時）.從甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小時）行走旅程是45-5×3=30（仟米）.又是壹種“雞兔同籠”問題.從甲地至乙地，上坡行走的時間是（6×7-30）÷（6-3）=4（小時）.行走旅程是3×4=12（仟米）.下坡行走的時間是7-4=3（小時）.行走旅程是6×3=18（仟米）.答：從甲地至乙地，上坡12仟米，平路15仟米，下坡18仟米.做兩次“雞兔同籠”的解法，也可以叫“兩重雞兔同籠問題”.例16是非常經典的例題.例17某種考試已舉行了24次，共出了426題.每次出的題數，有25題，或者16題，或者20題.那么，其中考25題的有多少次？解：假如每次都考16題，16×24=384，比426少42道題.每次考25道題，就要多25-16=9（道）.每次考20道題，就要多20-16=4（道）.就有9×考25題的次數+4×考20題的次數=42.請注意，4和42都是偶數，9×考25題次數也必須是偶數，因此，考25題的次數是偶數，由9×6=54比42大，考25題的次數，只能是0，2，4這三個數.由于42不能被4整除，0和4都不合適.只能是考25題有2次（考20題有6次）.答：其中考25題有2次.例18有50位同學前去參觀，乘電車前去每人1.2元，乘小巴前去每人4元，乘地下鐵路前去每人6元.這些同學共用了車費110元，問其中乘小巴的同學有多少位？解：由于總錢數110元是整數，小巴和地鐵票也都是整數，因此乘電車前去的人數壹定是5的整數倍.假如有30人乘電車，110-1.2×30=74（元）.還余下50-30=20（人）都乘小巴錢也不夠.闡明假設的乘電車人數少了.假如有40人乘電車110-1.2×40=62（元）.還余下50-40=10（人）都乘地下鐵路前去，錢尚有多（62＞6×10）.闡明假設的乘電車人數又多了.30至40之間，只有35是5的整數倍.目前又可以轉化成“雞兔同籠”了：總頭數50-35=15，總腳數110-1.2×35=68.因此，乘小巴前去的人數是（6×15-68）÷（6-4）=11.答：乘小巴前去的同學有11位.在“三”轉化為“二”時，例13、例14、例16是壹種類型.運用題目中數量比例關系，把兩種東西合并構成壹種.例17、例18是另壹種類型.充足運用所求個數是整數，以及總量的限制，其中某壹種數只能是幾種數值.對幾種數值逐壹考慮與否符合題目的條件.確定了壹種個數，也就變成“二”的問題了.在小學算術的范圍內，學習這兩種類型已足夠了.更復雜的問題，只能