湖南省長沙市寧鄉縣2024年中考數學考試模擬沖刺卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知某新型感冒病毒的直徑約為0.000000823米，將0.000000823用科學記數法表示為（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

2.若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）

A.m<-1B.m<lC.m>-1D.m>l

3.某同學將自己7次體育測試成績（單位:分）繪制成折線統計圖，則該同學7次測試成績的眾數和中位數分別是（）

A.50和48B.50和47C.48和48D.48和43

4.如圖，CD是。O的弦，O是圓心，把。。的劣弧沿著CD對折，A是對折后劣弧上的一點，ZCAD=100°,則NB

C.60°D.50°

5.已知。=5匕，下列說法中，不正確的是（）

A.d-5b=0B.。與匕方向相同

C.a11bD.|a|=5網

6.剪紙是我國傳統的民間藝術.下列剪紙作品既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形的是（）

8.右圖是由四個小正方體疊成的一個立體圖形，那么它的俯視圖是（）

9.《九章算術》中注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”，意思是：今有兩數若其意義相反，則分別叫做正數與負

數，若氣溫為零上10℃記作+10℃,則-3℃表示氣溫為（）

A.零上3℃B.零下3℃C.零上7℃D.零下7七

10.如圖1,點O為正六邊形對角線的交點，機器人置于該正六邊形的某頂點處，柱柱同學操控機器人以每秒1個單

位長度的速度在圖1中給出線段路徑上運行，柱柱同學將機器人運行時間設為t秒，機器人到點A的距離設為y,得

到函數圖象如圖2,通過觀察函數圖象，可以得到下列推斷：①該正六邊形的邊長為1；②當t=3時，機器人一定位

于點O;③機器人一定經過點D；④機器人一定經過點E；其中正確的有（）

A.①④B.①③C.①②③D.②③④

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.化簡,+一一=.

x-lX—1

12.已知拋物線丫=2*2+6*+（:開口向上且經過點。,1）,雙曲線y=，經過點（a,be）,給出下列結論：?be>0；

2x

②b+c>0；③b,c是關于x的一元二次方程x?+（a—l）x+；=O的兩個實數根；④a—b—cN3.其中正確結論

是（填寫序號）

13.如圖，直線y=6x,點Ai坐標為（1,0）,過點Ai作x軸的垂線交直線于點Bi,以原點O為圓心，OBi長為半

徑畫弧交X軸于點A2；再過點A2作X軸的垂線交直線于點B2,以原點O為圓心,OB2長為半徑畫弧交X軸于點A3,…,

按照此做法進行下去，點A8的坐標為.

14.我國古代《易經》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”.如圖，一位婦女

在從右到左依次排列的繩子上打結，滿六進一，用來記錄采集到的野果數量，由圖可知，她一共采集到的野果數量為

個.

15.如圖，在。O中，直徑ABJ_弦CD,NA=28。，則ND=

16.如圖，在^ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點D,DE平分NBDC交BC于點E,則工

AD

4

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：

今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數，物價各幾何？

譯文為：

現有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元，問共有多少人？這個物品的價格

是多少？

請解答上述問題.

18.（8分）學了統計知識后，小紅就本班同學上學“喜歡的出行方式”進行了一次調查，圖（1）和圖（2）是她根據采

集的數據繪制的兩幅不完整的統計圖，請根據圖中提供的信息解答以下問題：

（1）補全條形統計圖，并計算出“騎車”部分所對應的圓心角的度數.

（2）若由3名“喜歡乘車”的學生，1名“喜歡騎車”的學生組隊參加一項活動，現欲從中選出2人擔任組長（不分正副）,

求出2人都是“喜歡乘車”的學生的概率，（要求列表或畫樹狀圖）

圖（2〉

19.（8分）我市某中學決定在八年級陽光體育“大課間”活動中開設A：實心球，B：立定跳遠，C：跳繩，D：跑步四

種活動項目.為了了解學生對四種項目的喜歡情況，隨機抽取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成如圖①②的

統計圖.請結合圖中的信息解答下列問題：

⑴在這項調查中，共調查了多少名學生？

⑵將兩個統計圖補充完整；

⑶若調查到喜歡“立定跳遠”的5名學生中有3名男生，2名女生.現從這5名學生中任意抽取2名學生.請用畫樹狀

圖或列表的方法，求出剛好抽到同性別學生的概率.

20.（8分）如圖，在方格紙上建立平面直角坐標系，每個小正方形的邊長為1.

（1）在圖1中畫出△關于x軸對稱的△A1O31,并寫出點4,51的坐標；

（2）在圖2中畫出將△繞點。順時針旋轉90。的△42。a，并求出線段。3掃過的面積.

%

21.（8分）全民學習、終身學習是學習型社會的核心內容，努力建設學習型家庭也是一個重要組成部分.為了解“學

習型家庭”情況，對部分家庭五月份的平均每天看書學習時間進行了一次抽樣調查，并根據收集的數據繪制了下面兩幅

.個家庭；將圖①中的條形圖補充完整；學

習時間在2?2.5小時的部分對應的扇形圓心角的度數是.度；若該社區有家庭有3000個，請你估計該社區學習

時間不少于1小時的約有多少個家庭?

22.（10分）如圖，OO的半徑為4,B為。O外一點，連結OB,且OB=6.過點B作。O的切線BD,切點為點D,

延長BO交。。于點A,過點A作切線BD的垂線，垂足為點C.

（1）求證：AD平分NBAC；

⑵求AC的長.

23.（12分）在以“關愛學生、安全第一”為主題的安全教育宣傳月活動中，某學校為了了解本校學生的上學方式，在

全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：A：結伴步行、B：自行乘車、C：家人接送、D：其他方式,

并將收集的數據整理繪制成如下兩幅不完整的統計圖.請根據圖中信息，解答下列問題：

學生上學方式條形統計圖

學生上學方式扇形統計圖

請補全條形統計圖；請補全扇形統計圖;

(3)“自行乘車”對應扇形的圓心角的度數是.度

(4)如果該校學生有2000人，請你估計該?！凹胰私铀汀鄙蠈W的學生約有多少人?

24.如圖所示，在口中，E是CZ＞延長線上的一點，5E與交于點F,DE=-CD.

2

⑴求證：RABFs^CEB；

(2)若4DEF的面積為2,求。ABCD的面積.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

分析：絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為axlO,與較大數的科學記數法不同的是其所使

用的是負指數幕，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

詳解：0.000000823=8.23x101.

故選B.

點睛:本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axl(r,其中iw|a|V10,n為由原數左邊起第一個不為零的

數字前面的0的個數所決定.

2、B

【解析】

根據方程有兩個不相等的實數根結合根的判別式即可得出4=4-4m>0,解之即可得出結論.

【詳解】

???關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根，

/.△=(-2)2-4m=4-4m>0,

解得：m<l.

故選B.

【點睛】

本題考查了根的判別式，熟練掌握“當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根”是解題的關鍵.

3、A

【解析】

由折線統計圖，可得該同學7次體育測試成績，進而求出眾數和中位數即可.

【詳解】

由折線統計圖，得：42,43,47,48,49,50,50,

7次測試成績的眾數為50,中位數為48,

故選：A.

【點睛】

本題考查了眾數和中位數，解題的關鍵是利用折線統計圖獲取有效的信息.

4、B

【解析】

試題分析：如圖，翻折AACD,點A落在A，處，可知NA=NA，=100。，然后由圓內接四邊形可知NA，+NB=180。，解

得NB=80。.

故選：B

A'

5、A

【解析】

根據平行向量以及模的定義的知識求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應用.

【詳解】

A、。-50=0,故該選項說法錯誤

B、因為。=5人，所以a與8的方向相同，故該選項說法正確，

C、因為。=5b，所以a//b，故該選項說法正確，

D、因為a=5Z?，所以|。|=5|6；故該選項說法正確，

故選：A.

【點睛】

本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共線向量，是指方向相同或相反的非零

向量.零向量和任何向量平行.

6、A

【解析】

試題分析：根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念可知：選項A既不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故本選項

正確；選項B不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項錯誤；選項C既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本

選項錯誤；選項D既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故本選項錯誤.故選A.

考點：中心對稱圖形；軸對稱圖形.

7、C

【解析】

根據平方根的定義，求數a的平方根，也就是求一個數x,使得x1=a,則x就是a的平方根，由此即可解決問題.

【詳解】

?:(±1)J,

A4的平方根是士1.

故選D.

【點睛】

本題考查了平方根的定義.注意一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.

8、B

【解析】

解：從上面看，上面一排有兩個正方形，下面一排只有一個正方形，故選B.

9、B

【解析】

試題分析：由題意知，代表零下，因此-3℃表示氣溫為零下3℃.

故選B.

考點：負數的意義

10、C

【解析】

根據圖象起始位置猜想點B或F為起點，則可以判斷①正確，④錯誤.結合圖象判斷3WK4圖象的對稱性可以判斷②

正確.結合圖象易得③正確.

【詳解】

解：由圖象可知，機器人距離點A1個單位長度，可能在F或B點，則正六邊形邊長為L故①正確；

觀察圖象t在3—4之間時，圖象具有對稱性則可知，機器人在OB或OF上，

則當t=3時，機器人距離點A距離為1個單位長度，機器人一定位于點O,故②正確；

所有點中，只有點D到A距離為2個單位，故③正確；

因為機器人可能在F點或B點出發，當從B出發時，不經過點E,故④錯誤.

故選：C.

【點睛】

本題為動點問題的函數圖象探究題，解答時要注意動點到達臨界前后時圖象的變化趨勢.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11,x+1

【解析】

分析：根據根式的除法，先因式分解后，把除法化為乘法，再約分即可.

11

詳解:解：原式=

X—1,(x+l)(x-l)

1

?(x+1)(X-1)

x-1

=x+l,

故答案為x+1.

點睛：此題主要考查了分式的運算，關鍵是要把除法問題轉化為乘法運算即可，注意分子分母的因式分解.

12、①③

【解析】

〃〉0

試題解析：?.?拋物線y=a/+。犬+。開口向上且經過點（1,1）,雙曲線y二,經過點（〃，bc）9/.<a+b+c=l9

2、1

be=——

、2a

/.bc>Q9故①正確；

時，則從c均小于0,此時8+cV0,當〃=1時，》+c=0,則與題意矛盾，當OVaVl時，則氏c均大于0,此

時）+c>0,故②錯誤；

2

.../+（。一1）%+J_=?？梢赞D化為：%+（Z?+c）x+bc=Of得或x=c,故③正確；

2a

,:b,c是關于x的一元二次方程X?+（。-1）%+2=0的兩個實數根，:,a-b-c=a-（Z>+c）=a+（a-1）=2a-1,當

2a

a>l時，2a-1>3,當0<a<l時，-l<2a-1<3,故④錯誤；

故答案為①③.

13、（128,0）

【解析】

???點Ai坐標為（1,0）,且BiAiLx軸，.?.Bi的橫坐標為1,將其橫坐標代入直線解析式就可以求出Bi的坐標，就可

以求出AiBi的值，OAi的值，根據銳角三角函數值就可以求出NxOB3的度數，從而求出OBi的值，就可以求出OA?

值，同理可以求出OB2、OB3…，從而尋找出點A2、A3…的坐標規律，最后求出A8的坐標.

【詳解】

點A坐標為（1,0）,

o\=1

44，x軸

???點片的橫坐標為1,且點片在直線上

:?y=6

44=^/3

在放Mg0中由勾股定理，得

OBX=2

sinNOgA=：

ZOB.A,=30°

Z.OByA^=NOB2Al=NOB3A3=...=Z.OBnAn=30

04=04=2,4(2,0),

在RZA4與O中，052=204=4

/.0A3=4,A3(4,0).

??.OA4=8,?OA-="T4尸(2.

.-.0^=2^'=128.

.?.4=(128,0).

故答案為(128,0).

【點睛】

本題是一道一次函數的綜合試題，也是一道規律試題，考查了直角三角形的性質，特別是30°所對的直角邊等于斜邊的一

半的運用，點的坐標與函數圖象的關系.

14、1

【解析】

分析：類比于現在我們的十進制“滿十進一”，可以表示滿六進一的數為：萬位上的數X6，+千位上的數X63+百位上的數

X62+十位上的數X6+個位上的數，即1x64+2x63+3x62+0x6+2=1.

詳解：2+0x64-3x6x6+2x6x6x6+1x6x6x6x6=1,

故答案為：1.

點睛：本題是以古代“結繩計數”為背景，按滿六進一計數，運用了類比的方法，根據圖中的數學列式計算；本題題型

新穎，一方面讓學生了解了古代的數學知識，另一方面也考查了學生的思維能力.

15、34°

【解析】

分析：首先根據垂徑定理得出NBOD的度數，然后根據三角形內角和定理得出ND的度數.

詳解：..,直徑AB_L弦CD,.*.ZBOD=2ZA=56°,/.ZD=90°-56°=34°.

點睛：本題主要考查的是圓的垂徑定理，屬于基礎題型.求出NBOD的度數是解題的關鍵.

【解析】

試題分析：因為AABC中，AB=AC,NA=36。

所以NABC=NACB=72°

因為BD平分NABC交AC于點D

所以NABD=NCBD=36o=NA

因為DE平分NBDC交BC于點E

所以NCDE=NBDE=36°=NA

所以AD=BD=BC

根據黃金三角形的性質知，

所以以二三一二一親一-丁子一二-一-二J」.■

考點：黃金三角形

點評：黃金三角形是一個等腰三角形，它的頂角為36。，每個底角為72。.它的腰與它的底成黃金比.當底角被平分時,

角平分線分對邊也成黃金比，

三、解答題(共8題，共72分)

17、共有7人，這個物品的價格是53元.

【解析】

根據題意，找出等量關系，列出一元一次方程.

【詳解】

解：設共有x人，這個物品的價格是y元，

8x-3=y,[%=7,

r,解得s

7x+4=y,[y=53,

答：共有7人，這個物品的價格是53元.

【點睛】

本題考查了二元一次方程的應用.

18、(1)補全條形統計圖見解析；“騎車”部分所對應的圓心角的度數為108。；(2)2人都是“喜歡乘車”的學生的概率

【解析】

(1)從兩圖中可以看出乘車的有25人，占了50%,即可得共有學生50人；總人數減乘車的和騎車的人數就是步行

的人數，根據數據補全直方圖即可；要求扇形的度數就要先求出騎車的占的百分比，然后再求度數；(2)列出從這4

人中選兩人的所有等可能結果數，2人都是“喜歡乘車”的學生的情況有3種，然后根據概率公式即可求得.

【詳解】

(1)被調查的總人數為25+50%=50人；

則步行的人數為50-25-15=10人；

如圖所示條形圖，

“騎車”部分所對應的圓心角的度數=—X360。=108。；

(2)設3名“喜歡乘車”的學生表示為A、B、C,1名“喜歡騎車”的學生表示為O,

則有45、AC.AD.BC、BD、C￡)這6種等可能的情況，

其中2人都是“喜歡乘車”的學生有3種結果，

所以2人都是“喜歡乘車”的學生的概率為工.

2

【點睛】

本題考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關

鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.

2

19、(1)50名;(2)補圖見解析;(3)剛好抽到同性別學生的概率是二

【解析】

試題分析：(1)由題意可得本次調查的學生共有：15+30%；

(2)先求出C的人數，再求出C的百分比即可；

(2)首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與剛好抽到同性別學生的情況，再利用概率公式

即可求得答案.

試題解析：(1)根據題意得：15+30%=50(名).

答；在這項調查中，共調查了50名學生；

①②

(3)用A表示男生，5表示女生，畫圖如下:

A/\\/A\B

AAsiAASSAAS3AAA3AAAB

共有20種情況，同性別學生的情況是8種,

Q2

則剛好抽到同性別學生的概率是—=-

205

57r

20、(1)Ai(-1,-2),Bi(2,-1)；(2)—?

4

【解析】

(1)根據軸對稱性質解答點關于x軸對稱橫坐標不變，縱坐標互為相反數;

(2)根據旋轉變換的性質、扇形面積公式計算.

【詳解】

Ai(-1,-2),Bi(2,-1)；

(2)將小AOB繞點O順時針旋轉90。的4A2OB2如圖所示:

C)B=Vl2+22=A/5,

線段OB掃過的面積為：90兀義町)‘

3604-

【點睛】

此題主要考查了圖形的旋轉以及位似變換和軸對稱變換等知識，根據題意得出對應點坐標位置是解題關鍵.

21、(1)200；(2)見解析；(3)36；(4)該社區學習時間不少于1小時的家庭約有2100個.

【解析】

(1)根據1.5?2小時的圓心角度數求出1.5?2小時所占的百分比，再用1.5?2小時的人數除以所占的百分比，即可

得出本次抽樣調查的總家庭數；

(2)用抽查的總人數乘以學習0.5-1小時的家庭所占的百分比求出學習0.5-1小時的家庭數，再用總人數減去其它家

庭數，求出學習2-2.5小時的家庭數，從而補全統計圖；

(3)用360。乘以學習時間在2?2.5小時所占的百分比，即可求出學習時間在2?2.5小時的部分對應的扇形圓心角的

度數；

(4)用該社區所有家庭數乘以學習時間不少于1小時的家庭數所占的百分比即可得出答案.

【詳解】

54

解：(1)本次抽樣調查的家庭數是：30+而=200(個)；

故答案為200；

1QQ

(2)學習0.5-1小時的家庭數有：200x==60(個)，

360

學習2-2.5小時的家庭數有：200-60-90-30=20(個)，

補圖如下：

家庭教(個)

20

⑶學習時間在2?2.5小時的部分對應的扇形圓心角的度數是：360x—=36。；

故答案為36；

(4)根據題意得:

90+30+20人

3000x-----------------=2100(個).

200

答：該社區學習時間不少于1小時的家庭約有2100個.

【點睛】

本題考查條形統計圖、扇形統計圖及相關計算.在扇形統計圖中，每部分占總部分的百分比等于該部分所對應的扇形

圓心角的度數與360。的比.

22、(1)證明見解析；(2)AC=號.

【解析】

(1)證明：連接OD.

???BD是。O的切線,

/.OD1BD.

VACIBD,

，OD〃AC,

.*.Z2=Z1.

VOA=OD.

?*.Z1=Z1,

.*.Z1=Z2,

即AD平分NBAC.

(2)解：VOD/7AC,

/.△BOD^ABAC,

.ODBOBn4_6

ACBAAC10