21.1一元二次方程第二十一章一元二次方程學習目標1.理解一元二次方程的概念.（難點）2.根據一元二次方程的一般形式，確定各項系數.3.理解并靈活運用一元二次方程概念解決有關問題.(重點）目錄頁講授新課當堂練習課堂小結新課導入新課導入教學目標教學重點新課導入

要設計一座2m高的人體雕像（如左下圖所示），要求雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雕像的下部應設計為多高？【思考】上述所列的方程與我們以前學習的方程一樣嗎？這種方程與以前學習的方程有哪些聯系？ABC2m設雕像下部高xm，依題意得方程x2=2(2-x)整理，得

x2+2x-4=0講授新課典例精講歸納總結

問題1：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600平方厘米,那么鐵皮各角應切去多大的正方形?

一元二次方程的概念100cm50cm3600cm2講授新課

【分析】

設切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為(100-2x)cm,寬為(50-2x)cm.

根據方盒的底面積為3600cm2,得整理，得（100-2x）（50-2x）=3600x2-75x+350=0x100cm50cm3600cm2問題2：

要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？

【分析】設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x-1)個隊各比賽一場，因為甲對乙與乙對甲是同一場比賽，所以全部比賽場。可列方程

整理，得

x2-x=56【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0這兩個方程都不是一元一次方程.那么這兩個方程與一元一次方程的區別在哪里？它們有什么共同特點呢？區別特點（1）這兩個方程的兩邊都是整式；（2）都只含一個未知數x；（3）它們的未知數的最高次數都是

2次的.未知數最高次數為2像上述兩個方程式這樣的等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必須滿足三個特征）.一元二次方程的概念

典例精析例1

下列選項中，關于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含兩個未知數化簡整理成x2-3x+2=0少了限制條件a≠0提示

判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.

練一練：

下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的

有(

)

A．1個B.2個C．3個D．4個

A導引：①含有兩個未知數；②不是整式方程；④未知數的最高次數不是2⑤整理后未知數的最高次數不是2③符合一元二次方程的“三要素”例2:a為何值時，下列方程為一元二次方程？(1)ax2－x=2x2(2)(a－1)x|a|+1

－2x－7=0.解：(1)將方程式轉化為一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以當a-2≠0，即a≠2時，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，當a=-1時，原方程是一元二次方程.方法點撥：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2，列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值．練一練：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,（1）在什么條件下此方程為一元二次方程？（2）在什么條件下此方程為一元一次方程？解（1）當2a－4≠0，即a≠2時是一元二次方程（2）當a=2且b≠0時是一元一次方程一元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次項系數一次項系數常數項二次項一次項

例3：將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數.解：去括號，得3x2-3x=5x+10.移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次項是3x2,系數是3；一次項是-8x,系數是-8；常數項是-10.系數和項均包含前面的符號.注意練一練：把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，則a，b，c的值分別是(

)

A．1，－3，10B．1，7，－10

C．1，－5，12D．1，3，2A想一想

為什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c可以為零嗎？當

a=0時bx＋c=0當

a≠0，b=0時

，ax2＋c=0當

a≠0，c

=0時

，ax2＋bx=0當

a≠0，b

=c

=0時

，ax2

=0總結：只要滿足a≠0，b，

c

可以為任意實數.一元二次方程的根

使一元二次方程等號兩邊相等的未知數的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.練一練：下面哪些數是方程x2–x–6=0

的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：3和-2.你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.例1：已知a是方程x2+3x－1=0

的一個實數根,求2a2+6a+2019的值.解：由題意得方法總結：已知解求代數式的值，先把已知解代入，再注意觀察，有時需運用到整體思想，求解時，將所求代數式的一部分看作一個整體，再用整體思想代入求值．練一練2.已知關于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一個根是3，求a的值.解：由題意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-91.已知方程5x2+mx-6=0的一個根為4，則ｍ的值為_______．當堂練習當堂反饋即學即用當堂練習

1.

下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2x2=0(x+3)(2x-4)=x23y2=(3y+1)(y-2)x2=x3+x2-13x2=5x-12.填空：方程一般形式二次項系數一次項系數常數項-21313-540-53-24.已知方程5x2+mx-6=0的一個根為4，則ｍ的值為_______．3.關于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,當k

時，是一元二次方程．當k

時，是一元一次方程．≠±1＝－15.（1）如圖,有一塊矩形鐵皮,長19cm,寬15cm．在它的四個角分別切去一個正方形,然后將四周突出的部分折起,就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積是81cm2,那么鐵皮各角應切去多大的正方形？列出方程，并化為一般式.

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm,則紙盒底面的長方形的長為（19-2x）cm,寬為（15-2x）cm.依題意得：(19-2x)(15-2x)=81.x2-17x+51=0(一般式).xcmxcm(2)

如圖，據某市交通部門統計，前年該市汽車擁有量