專題2直線與圓錐曲線的位置關系一、考情分析直線與圓錐曲線的位置關系的常見題型,一是根據(jù)直線與圓錐曲線有兩個交點,研究長度、面積、定點、定值等問題,二是判斷直線與圓錐曲線的公共點個數(shù),三是直線與圓錐曲線相切問題,其中第一類問題是高考考查頻率最高的問題.二、解題秘籍(一)根據(jù)直線與圓錐曲線有兩個交點研究圓錐曲線的性質(zhì)1.把直線l：SKIPIF1<0與橢圓C：SKIPIF1<0聯(lián)立,當SKIPIF1<0時直線l與橢圓C有2個交點；2.直線l：SKIPIF1<0與雙曲線C：SKIPIF1<0聯(lián)立得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時直線l與雙曲線C有2個交點；當SKIPIF1<0時直線l與雙曲線C的左右支各有一個交點；當SKIPIF1<0時直線l與雙曲線C的右支有2個交點；3.直線l：SKIPIF1<0與拋物線C：SKIPIF1<0聯(lián)立,得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時直線l與拋物線C有2個交點.【例1】（2023屆重慶市南開中學校高三上學期9月月考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,上頂點為D,斜率為k的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,M為線段AB的中點,當點M的坐標為SKIPIF1<0時,直線l恰好經(jīng)過D點.(1)求橢圓C的方程：(2)當l不過點D時,若直線DM與直線l的斜率互為相反數(shù),求k的取值范圍.【解析】（1）由題意知,離心率SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩式相減得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；所以直線為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）設直線為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0因為l不過D點,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,化簡得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【例2】（2023屆廣東省部分學校高三上學期聯(lián)考）設直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,且三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)已知直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直且斜率不為0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于兩個不同的點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的右焦點,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點共線,證明：直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0軸上的一個定點.【解析】（1）雙曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0,不妨設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0因為三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,所以右焦點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0,若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0,故可設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,化簡得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為直線SKIPIF1<0的斜率存在,所以直線SKIPIF1<0的斜率也存在,因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點共線,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,化簡得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0軸上的定點SKIPIF1<0.【例3】（2023屆福建省漳州市高三上學期第一次教學質(zhì)量檢測）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有且只有一個公共點,求直線SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點,點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,求點SKIPIF1<0的軌跡方程.【解析】（1）當直線SKIPIF1<0斜率不存在時,其方程為SKIPIF1<0,符合題意；當直線SKIPIF1<0斜率存在時,設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,直線SKIPIF1<0符合題意；當SKIPIF1<0時,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.綜上,直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,不妨令SKIPIF1<0,∵直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有兩個交點,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴點SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0）.(二)根據(jù)直線與圓錐曲線有一個公共點研究圓錐曲線的性質(zhì)1.直線與橢圓有一個公共點,則直線與橢圓相切,可把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理成關于x或y的一元二次方程,由SKIPIF1<0求解；2.直線l：SKIPIF1<0與雙曲線C：SKIPIF1<0聯(lián)立得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時直線l與雙曲線C有1個交點,即直線與雙曲線相切或與漸近線平行時與雙曲線有1個公共點；3.當直線l：SKIPIF1<0與拋物線C：SKIPIF1<0聯(lián)立,得SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時直線l與拋物線C有1個交點,即直線與拋物線相切或與拋物線準線垂直時直線與拋物線有1個公共點.【例4】（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學期9月聯(lián)考）設橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點,點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上,點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0外,且SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上橫坐標大于1的一點,過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓有且僅有一個交點,并與直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交于M,N兩點,SKIPIF1<0為坐標原點,記SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）因為點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,①因為點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0外,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,②由①②解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,由橢圓性質(zhì)以及點SKIPIF1<0的橫坐標大于1可知,SKIPIF1<0,將直線SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0并化簡可得,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因為直線SKIPIF1<0與橢圓有且僅有一個交點,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,聯(lián)立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,同理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,當且僅當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,不等式取等號,故當SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．【例5】已知雙曲線C：SKIPIF1<0的焦距為4,且過點SKIPIF1<0.(1)求雙曲線方程；(2)若直線SKIPIF1<0與雙曲線C有且只有一個公共點,求實數(shù)SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由題意可知雙曲線的焦點為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,根據(jù)定義有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所求雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）因為雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,所以漸近線方程為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．①當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時,此時直線SKIPIF1<0與雙曲線的漸近線平行,此時直線與雙曲線相交于一點,符合題意；②當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時,由SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,此時直線SKIPIF1<0雙曲線相切于一個公共點,符合題意．綜上所述：符合題意的SKIPIF1<0的所有取值為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【例6】已知頂點在原點,焦點在SKIPIF1<0軸上的拋物線過點SKIPIF1<0．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點,求直線l的方程；(3)過點SKIPIF1<0作直線交拋物線于A、B兩點,使得Q恰好平分線段AB,求直線AB的方程．【解析】（1）因為頂點在原點,焦點在y軸上的拋物線過點SKIPIF1<0,所以拋物線的焦點在y軸正半軸,設其方程為SKIPIF1<0,將點SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以拋物線的標準方程為SKIPIF1<0,（2）當直線斜率不存在時,過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有一個交點；當直線斜率存在時,設直線斜率為SKIPIF1<0,直線方程為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,直線與拋物線只有一個交點,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直線方程為SKIPIF1<0綜上,過點SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有且只有一個交點的直線方程為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）設點SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在拋物線上,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以直線方程為SKIPIF1<0經(jīng)檢驗,直線SKIPIF1<0符合題意.(三)判斷直線與圓錐曲線公共點個數(shù)判斷直線l：Ax＋By＋C＝0與圓錐曲線C：F(x,y)＝0公共點個數(shù)時,通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)＝0,消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)當a≠0時,設一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式為Δ,則Δ>0?直線與圓錐曲線C有2個公共點；Δ＝0?直線與圓錐曲線C有1個公共點；Δ<0?直線與圓錐曲線C沒有公共點.(2)當a＝0,b≠0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個交點,此時,若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸重合或平行．【例7】（2022屆浙江省溫州市樂清市高三下學期5月仿真）已知SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點,點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的同側,且點SKIPIF1<0到直線l的距離分別為SKIPIF1<0．(1)若橢圓C的方程為SKIPIF1<0,直線l的方程為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值,并判斷直線與橢圓C的公共點的個數(shù)；(2)若直線l與橢圓C有兩個公共點,試求SKIPIF1<0所需要滿足的條件；【解析】（1）橢圓C的方程為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0.又直線SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.聯(lián)立SKIPIF1<0,消去y可得：SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以直線SKIPIF1<0與橢圓C有1個公共點.（2）聯(lián)立SKIPIF1<0,消去y可得：SKIPIF1<0.因為直線l與橢圓C有兩個公共點,所以SKIPIF1<0,整理化簡得：SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以直線l與橢圓C有兩個公共點,則SKIPIF1<0.【例8】如圖,F是拋物線SKIPIF1<0的焦點,Q是準線與x軸的交點,斜率為k的直線l經(jīng)過點Q．(1)當k取不同數(shù)值時,求直線l與拋物線公共點的個數(shù)；(2)若直線l與拋物線相交于A、B兩點,求證：SKIPIF1<0是定值．(3)在x軸上是否存在這樣的定點M,對任意的過點Q的直線l與拋物線相交于A、B兩點,均能使得SKIPIF1<0為定值,若有,找出滿足條件的點M;若沒有,請說明理由．【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0并化簡得SKIPIF1<0①．當SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,與SKIPIF1<0的交點為原點SKIPIF1<0,直線l與拋物線有SKIPIF1<0個公共點；當SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,直線l與拋物線有SKIPIF1<0個公共點；若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,直線l與拋物線有SKIPIF1<0個公共點；若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,直線l與拋物線沒有公共點．（2）由于直線SKIPIF1<0與拋物線有兩個交點,由（1）得SKIPIF1<0.設交點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由①得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0為定值0．（3）若存在滿足條件的點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0為定值．則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0僅當SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0．三、跟蹤檢測1．已知,分別是橢圓的左、右焦點,點,在直線的同側,且點,到直線l的距離分別為,.(1)若橢圓C的方程為,直線l的方程為,求的值,并判斷直線l與橢圓C的公共點的個數(shù)；(2)若直線l與橢圓C有兩個公共點,試求所需要滿足的條件；(3)結合（1）和（2）,試寫出一個能判斷直線l與橢圓C有公共點的充要條件（不需要證明）.2．已知拋物線的方程為,直線l繞點旋轉,討論直線l與拋物線的公共點個數(shù),并回答下列問題：（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關系,從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？（2）與直線l的方程組成的方程組解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關系？3．（2023屆四川、云南部分學校高三上學期9月聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0,其左右焦點分別為SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0是橢圓上任意一點,且滿足SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)過橢圓外一點SKIPIF1<0作橢圓的兩條切線SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,求動點SKIPIF1<0的軌跡方程.4．（2023屆甘肅省金昌市永昌縣高三上學期模擬）已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動點,SKIPIF1<0的最大面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上兩點,且SKIPIF1<0,求四邊形SKIPIF1<0面積的最大值.5．設SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左?右頂點,直線SKIPIF1<0過右焦點SKIPIF1<0且與雙曲線SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0兩點,當直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸時,SKIPIF1<0為等腰直角三角形.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的離心率；(2)已知SKIPIF1<0,若直線SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點,當直線SKIPIF1<0的傾斜角變化時,以SKIPIF1<0為直徑的圓是否過定點,若過定點求出定點的坐標；若不過定點,請說明理由.6．（2023屆安徽省部分校高三上學期開學摸底）已知SKIPIF1<0為坐標原點,橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0,記線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0．(1)若直線SKIPIF1<0的斜率為3,求直線SKIPIF1<0的斜率;(2)若四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形,求SKIPIF1<0的取值范圍．7．（2023屆浙江省A9協(xié)作體高三上學期聯(lián)考）已知直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩個不同的點.(1)求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0為雙曲線SKIPIF1<0的左頂點,點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的左支上,點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0的右支上,且直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于SKIPIF