1.4充分條件與必要條件第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數學

必修第一冊

常用邏輯用語在內容上比較抽象,符號多、形式化程度高,對于邏輯推理、數學語言的運用等能力要求比較高,是學習的一個難點.但簡潔、形式化的邏輯用語可以幫助克服很多邏輯錯誤,這是我們要學習常用邏輯用語的重要原因.學習單元2

常用邏輯用語

本學習單元的最終目標就是在初中命題學習的基礎上,通過學習充分條件、必要條件、充要條件及量詞的內容并相互聯系,逐步學會嚴謹、準確地進行數學表述,逐漸習慣用數學的思維和符號表述、研究數學結論.這也正是本學習單元的素養暗線.

學習過程中,要注意通過常用邏輯用語來梳理初中典型命題,體會邏輯用語在表述和論證中的作用,提升邏輯推理、數學抽象素養.學習目標1.了解“若p,則q”命題與“推出”符號的關系,體會符號的簡潔.(數學抽象)2.通過幾何命題的判定及性質定理的梳理,理解充分條件、必要條件、充要條件的概念.(數學抽象)3.掌握充分條件、必要條件、充要條件的證明.(邏輯推理)基礎落實·必備知識一遍過知識點一:充分條件與必要條件一般地,“若p,則q”為真命題,就可以說,由p可以推出q,用符號記作

,并說p是q的

條件,q是p的

條件.

名師點睛1.在邏輯推理中“p?q”的幾種說法(1)“若p,則q”為真命題.(2)p是q的充分條件.(3)q是p的必要條件.p?q

充分

必要2.對充分條件的理解(1)充分條件是某一個結論成立應具備的條件,當命題具備此條件時,就可以得出此結論或使此結論成立.

能推出就行(2)充分條件不唯一,只要具備此條件就足夠.例如x=6?x2=36,所以x=6是x2=36的充分條件.其實,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分條件.(3)初中平面幾何的判定定理就是充分條件的具體體現.3.對必要條件的理解(1)定義表述:若p?q,則說明q是p的必要條件.(2)借助反證法理解q是p的必要條件.若q不成立,則p必定不成立.(否則p成立時,q必定成立,與之矛盾)所以,q對于p的成立是必要的.即表明q是p成立必不可少的條件.(3)初中平面幾何的性質定理就是必要條件的具體體現.微思考(1)“若p,則q”為假命題,那么p能否推出q?如何用符號表示?此時,p是q的充分條件嗎?(2)若p是q的充分條件,則p是否唯一?初中幾何判斷定理“同位角相等,兩直線平行”說明了“同位角相等”是“兩直線平行”的充分條件,你能否給出其他的充分條件?提示

說明由條件p不能推出結論q,記作pq.即可以認為p不是q的充分

條件.提示

不一定唯一.凡是能使結論q成立的條件都是它的充分條件,如“內錯角相等”“同旁內角互補”等都是“兩直線平行”的充分條件.(3)若q是p的必要條件,如何用“推出”的符號來表示?試用反證法解釋一下性質定理“若兩直線平行,則同位角相等”,說明“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件.提示

q是p的必要條件,符號表示p?q,即兩直線平行?同位角相等.說明“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件.反證法解釋,若同位角不相等,則兩直線必定不平行.所以同位角相等對于兩直線平行是必要的,即表明“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件.知識點二:充要條件如果“若p,則q”和“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,就記作

.此時,p既是q的充分條件,也是q的必要條件,我們說p是q的

條件,簡稱為

條件.

等價關系

p?q充分必要

充要

名師點睛對充要條件的兩點說明(1)p是q的充要條件意味著p,q是等價的.p成立,則q一定成立;p不成立,則q一定不成立.(2)p是q的充要條件,則q也是p的充要條件.微思考若“x>1”成立,能否推出

“x>0”成立?若“x>0”成立,能否推出“x>1”成立?從充分必要條件來思考,“x>1”是“x>0”的什么條件?從集合的角度來思考,{x|x>1}與{x|x>0}是什么關系?提示

“x>1”?“x>0”,“x>0”“x>1”;“x>1”是“x>0”的充分不必要條件;{x|x>1}?{x|x>0}.重難探究·能力素養速提升問題1初中已經學習過有關命題及其真假的判斷.在高中,要對“若p,則q”形式命題中p,q的關系,從充分、必要條件等角度作進一步的研究,以便能用形式化的數學語言對研究對象及關系作更準確的表達.問題2一般地,“若p,則q”為真命題,即由p?q,是否可以說p是q的充分條件?實際上是這三種說法都是同一種事物不同類型的表述.問題3初中學過的平面幾何的判定定理或性質定理,若從充分、必要條件的角度思考,實質上有什么樣的對應關系?探究點一充分條件、必要條件的判斷問題4如何判斷充分條件、必要條件?【例1】

(1)判斷下列各題中,p是不是q的充分條件:①在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.②已知a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0.③p:x>1,q:x2>1.解①由三角形中大角對大邊可知,若∠A>∠B,則BC>AC.因此,p?q,所以p是q的充分條件.②因為a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p?q,所以p是q的充分條件.③由x>1可以推出x2>1.因此p?q,所以p是q的充分條件.(2)判斷下列各題中,q是不是p的必要條件:①p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形.②p:|x|=|y|,q:x=y.③p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.解①直角三角形不能得到等腰三角形.因此pq,所以q不是p的必要條件.②若|x|=|y|,則x=y或x=-y,因此pq,所以q不是p的必要條件.③設A={x|-2≤x≤5},B={x|-1≤x≤5},則B?A,所以pq,所以q不是p的必要條件.【例2】

“x>0”是“x≠0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

對于“x>0”?“x≠0”,“x≠0”“x>0”.【例3】

(多選題)x2=1的充分不必要條件是(

)A.x=±1B.x=1C.x=-1D.x≠1且x≠-1BC解析

根據題意可知,條件是選項,x2=1是結論.充分不必要條件即由條件能推出結論,且結論不能推出條件.x2=1即x=±1,所以A,B,C選項都可推出結論,但A選項與結論等價,即A選項是充要條件.故選BC.延伸探究寫出x>1的一個必要不充分條件是

.

x>0(答案不唯一)

解析

根據題意,條件是橫線上需要填寫的(假設是集合A),結論是x>1.必要不充分條件即是由結論能推出條件.即由x>1?條件A,即{x|x>1}?A.所以A可以是x>a(a<1)即可.所以任寫一個滿足條件的即可,如x>0.規律方法

充分條件、必要條件的三種判斷方法(1)命題判斷法:①如果“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.(2)集合轉化法:如果條件p和結論q分別對應集合A,B,那么若A?B,則p是q的充分條件;若A?B,則p是q的必要條件;若A=B,則p既是q的充分條件,又是q的必要條件.(3)定義法:①確定哪個是條件,哪個是結論.②嘗試從條件推結論,若條件能推出結論,則為充分條件,否則為不充分條件.③嘗試從結論推條件,若結論能推出條件,則為必要條件,否則為不必要條件.探究點二多個充分必要條件的應用【例4】

已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解析

因為p是r的充分不必要條件,即p?r,r

p,s是r的必要條件,即r?s,q是s的必要條件,即s?q,所以p是q的充分不必要條件,故選B.規律方法

涉及多個條件與結論之間的充分條件、必要條件的判斷,可以結合充分條件、必要條件的定義,轉化成條件與結論之間的推出關系判斷.探究點三充要條件的證明【例5】

求證:關于x的方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.證明

充分性(由條件推出結論):因為a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一個根為1,所以a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1.必要性(由結論推出條件):因為方程ax2+bx+c=0有一個根為1,所以x=1滿足方程ax2+bx+c=0,所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.所以方程ax2+bx+c=0有一個根為1?a+b+c=0,從而a+b+c=0?方程ax2+bx+c=0有一個根為1,因此方程ax2+bx+c=0有一個根為1的充要條件是a+b+c=0.規律方法

充要條件的證明根據充要條件的定義,證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明:(1)充分性:由條件推出結論;(2)必要性:由結論推出條件.解題的關鍵是分清哪個是條件,哪個是結論,然后確定推出方向,至于先證明充分性還是先證明必要性則無硬性要求.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910A級必備知識基礎練1.“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是正方形”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B解析

由“四邊形是平行四邊形”不能得出“四邊形是正方形”,但由“四邊形是正方形”必推出“四邊形是平行四邊形”,故“四邊形是平行四邊形”是“四邊形是正方形”的必要不充分條件.123456789102.“a>1,b>1”是“ab>1”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

“a>1,b>1”?“ab>1”,反之不成立,例如取a=,b=4.∴“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要條件.故選A.123456789103.設a,b∈R,則“a>b”是“a2>b2”的(

)A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件D.必要不充分條件B解析

若a=1,b=-4,滿足a>b,此時a2>b2不成立;若a2>b2,如a=-4,b=1,此時a>b不成立.123456789104.(多選題)對任意實數a,b,c,下列說法錯誤的是(

)A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件ACD解析

由a>b,若c≤0,則ac≤bc,因此“ac>bc”不是“a>b”的必要條件,故A不正確;由a=b,可得ac=bc,因此“ac=bc”是“a=b”的必要條件,故B正確;由“ac>bc”,若c<0,則a<b,因此“ac>bc”不是“a>b”的充分條件,故C不正確;由“ac=bc”,若c=0,不能得出“a=b”成立,因此“ac=bc”不是“a=b”的充分條件,故D不正確.故選ACD.123456789105.已知p:|x-1|<1,q:-1<x<2,則p是q成立的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析

已知p:|x-1|<1,解不等式得0<x<2,而q:-1<x<2,∴由p能推出q,由q推不出p,則p是q成立的充分不必要條件,故選A.123456789106.“2x2-5x-3<0”的一個必要不充分條件是(

)B123456789107.已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若q是p的必要不充分條件,則實數m的取值范圍是

.