第2講排列與組合分層訓練A級基礎達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目．如果將這兩個節目插入原節目單，那么不同插法的種數為________．解析可分為兩類：兩個節目相鄰或兩個節目不相鄰，若兩個節目相鄰，則有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,6)＝12(種)排法；若兩個節目不相鄰，則有Aeq\o\al(2,6)＝30(種)排法．由分類計數原理共有12＋30＝42(種)排法(或Aeq\o\al(2,7)＝42)．答案422．(·北京卷改編)8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數為________種．解析不相鄰問題用插空法，8名學生先排有Aeq\o\al(8,8)種排法，產生9個空，2位老師插空有Aeq\o\al(2,9)種排法，所以最終有Aeq\o\al(8,8)·Aeq\o\al(2,9)種排法．答案Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)3．年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有________種．解析若四人中包含小張和小趙兩人，則不同的選派方案有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)；若四人中恰含有小張和小趙中一人，則不同的選派方案有：Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24(種)，由分類計數原理知不同的選派方案共有36種．答案364．某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有________種．解析若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共Aeq\o\al(3,4)種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項共Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種方法，由分類計數原理共Aeq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝60(種)方法．答案605．有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數學、英語、物理、化學學科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有________種(用數字作答)．解析由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學科課代表，共有Aeq\o\al(4,7)＝840(種)．答案8406．將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排1名學生，其中甲同學不能分配到A班，那么不同的分配方案有________種．解析將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排一名學生有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種分配方案，其中甲同學分配到A班共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種方案．因此滿足條件的不同方案共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)．答案24二、解答題(每小題15分，共30分)7．在10名演員中5人能歌8人善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節目，共有幾種選法？解本題中的“雙面手”有3個，僅能歌的2人，僅善舞的5人．把問題分為：(1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的2個雙面手和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔；(2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的2人中選拔，這樣3個雙面手就可以和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔．故選法種數是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,8)＝245(種)．8．某醫院有內科醫生12名，外科醫生8名，現選派5名參加賑災醫療隊，其中：(1)某內科醫生甲與某外科醫生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊中至少有一名內科醫生和一名外科醫生，有幾種選法？解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(種)；(4)方法一(直接法)：至少有一名內科醫生和一名外科醫生的選法可分四類：一內四外；二內三外；三內二外；四內一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(種)．方法二(間接法)：由總數中減去五名都是內科醫生和五名都是外科醫生的選法種數，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(種)．分層訓練B級創新能力提升1．(·蘇錫常鎮調研)甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是________(用數字作答)．解析當每個臺階上各站1人時有Ceq\o\al(3,7)Aeq\o\al(3,3)種站法，當兩個人站在同一個臺階上時有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)種站法，因此不同的站法種數有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7)Ceq\o\al(1,6)＝210＋126＝336(種)．答案3362．(·無錫調研)某車隊有7輛車，現要調出4輛按一定順序出去執行任務．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調度方法(填數字)．解析先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有Ceq\o\al(2,5)種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，選從4個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有Ceq\o\al(2,4)種，最后安排其他兩輛車共有Aeq\o\al(2,2)種方法，∴不同的調度方法為Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝120(種)．答案1203．(·鹽城模擬)3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同的排法種數是________．解析記三名男生為甲、乙、丙，三名女生為a、b、c，先排男生，若甲在男生兩端有4種排法，然后3位女生去插空，排法如eq\x(ab)甲□丙eq\x(c)乙eq\x()共有4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)種，若男生甲排在中間，有兩種排法，然后女生去插空，排法如eq\x(ab)乙□甲eq\x(c)丙eq\x()共有2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)種排法．根據分類計數原理共有4Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝288(種)不同排法．答案2884．(·蘇州期末調研)以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有________個．解析正五棱柱共有10個頂點，若每四個頂點構成一個四面體，共可構成Ceq\o\al(4,10)＝210(個)四面體．其中四點在同一平面內的有三類：(1)每一底面的五點中選四點的組合方法有2Ceq\o\al(4,5)個．(2)五條側棱中的任意兩條棱上的四點有Ceq\o\al(2,5)個．(3)一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行(例如AB∥E1C1)，這樣共面的四點共有2Ceq\o\al(1,5)個．所以Ceq\o\al(4,10)－2Ceq\o\al(4,5)－Ceq\o\al(2,5)－2Ceq\o\al(1,5)＝180(個)．答案1805．在m(m≥2)個不同數的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m時pi＞pj(即前面某數大于后面某數)，則稱pi與pj構成一個逆序，一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數．記排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序數為an.如排列21的逆序數a1＝1，排列321的逆序數a2＝3，排列4321的逆序數a3＝6.(1)求a4、a5，并寫出an的表達式；(2)令bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)，證明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….解(1)由已知條件a4＝Ceq\o\al(2,5)＝10，a5＝Ceq\o\al(2,6)＝15，則an＝Ceq\o\al(2,n＋1)＝eq\f(nn＋1,2).(2)證明bn＝eq\f(an,an＋1)＋eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋2)＋eq\f(n＋2,n)＝2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))∴b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,2)－\f(1,4)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)＋\f(1,n)－\f(1,n＋2)))＝2n＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,n＋2)))，∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.6．(·蘇州市自主學習調查)設整數n≥4，在集合{1,2，3，…，n}中任取兩個不同元素a，b(a>b)，記An為滿足a＋b能被2整除的取法種數．(1)當n＝6時，求An；(2)求An.解(1)當n＝6時，集合中偶數為2,4,6；奇數為1,3,5.要使a＋b為偶數，則a，b同奇或同偶，共有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＝6(種)取法，即A6＝6.(2)①當n＝2k(k≥2，k∈N*)即k＝eq\f(n,2)時，集合為{1,2,3，…，2k}．記A＝{1,3,5，…，2k－1}，B＝{2,4,6，…，2k}，因為a＋b能被2整除，所以a，b應同是奇數或同是偶數，所以a，b應取自同一個集合A或B，故有Ceq\o\al(2,k)＋Ceq\o\al(2,k)＝eq\f(kk－1,2)＋eq\f(kk－1,2)＝k(k－1)種取法．即An＝eq\f(n,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)－1))＝eq\f(nn－2,4)；②當n＝2k＋1(k≥2，k∈N*)時，即k＝eq\f(n－1,2)，集合為{1,2，3，…，2k＋1}．將其分為兩個集合：奇數集A＝{1,3，…，2k＋1}，偶數集B＝{