重慶市2024年初中學業水平暨高中招生考試數學試題（A卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4.考試結束，由監考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑．1.下列四個數中，最小的數是（）A B.0 C.3 D.2.下列四種化學儀器示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.3.已知點在反比例函數的圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.64.如圖，，，則的度數是（）A. B. C. D.5.若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A. B. C. D.6.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（）A.20 B.22 C.24 D.267.已知，則實數的范圍是（）A. B. C. D.8.如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C. D.9.如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（）A. B. C. D.10.已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11.計算：＝_____．12.如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數為______．13.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．14.隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．15.如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．16.若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．17.如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．18.我們規定：若一個正整數能寫成，其中與都是兩位數，且與的十位數字相同，個位數字之和為，則稱為“方減數”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數字相同，個位數字與的和為，所以是“方減數”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規定，最小的“方減數”是______．把一個“方減數”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數，若除以余數為，且（為整數），則滿足條件的正整數為______．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19.計算：（1）；（2）．20.為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現從七、八年級的學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學生的競賽成績為：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年級名學生的競賽成績在組的數據是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統計表年級七年級八年級平均數中位數眾數根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中______，______，______；（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有名學生，八年級有名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優秀的學生人數是多少？21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線中點．用尺規過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想結論：④．22.為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．（1）為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼．該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？（2）經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象；請分別寫出函數，的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過）24.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）（1）求，兩港之間距離（結果保留小數點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側），連接．（1）求拋物線的表達式；（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．26.在中，，點是邊上一點（點不與端點重合）．點關于直線的對稱點為點，連接．在直線上取一點，使，直線與直線交于點．（1）如圖1，若，求的度數（用含的代數式表示）；（2）如圖1，若，用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；（3）如圖2，若，點從點移動到點的過程中，連接，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的值．重慶市2024年初中學業水平暨高中招生考試數學試題（A卷）（全卷共三個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試題卷上直接作答；2.作答前認真閱讀答題卡上的注意事項；3.作圖（包括作輔助線）請一律用黑色2B鉛筆完成；4.考試結束，由監考人員將試題卷和答題卡一并收回．參考公式：拋物線的頂點坐標為，對稱軸為．一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出代號為A、B、C、D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側確答案所對應的方框涂黑．1.下列四個數中，最小的數是（）A. B.0 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了有理數比較大小，解題的關鍵是掌握比較大小的法則．根據正數大于0，0大于負數，兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，即可得到答案．【詳解】解：∵，∴最小的數是；故選：A．2.下列四種化學儀器的示意圖中，是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據概念逐一判斷即可，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．3.已知點在反比例函數的圖象上，則的值為（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】本題考查了待定系數法求反比例解析式，把代入求解即可．【詳解】解：把代入，得．故選C．4.如圖，，，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行線的性質，根據平行線的性質得，由鄰補角性質得，然后求解即可，熟練掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，∵，∴，∵，∴，故選：．5.若兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了相似三角形的性質，根據“相似三角形的面積比等于相似比的平方”解答即可．【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是，則這兩個相似三角形的面積比是，故選：D．6.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是（）A.20 B.22 C.24 D.26【答案】B【解析】【分析】本題考查數字的變化類，根據圖形，可歸納出規律表達式的特點，再解答即可．【詳解】解：由圖可得，第1種如圖①有4個氫原子，即第2種如圖②有6個氫原子，即第3種如圖③有8個氫原子，即，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是：；故選：B．7.已知，則實數的范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查的是求無理數的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術平方根的取值范圍的方法是解決此題的關鍵．先求出，即可求出m的范圍．【詳解】解：∵，∵，∴，故選：B．8.如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識．根據題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結論．【詳解】解：連接，根據題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．9.如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設，得到，則，故，同理可求，則，因此．【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉得，∵四邊形是正方形，∴，，，設，∴，∵，∴，∴，∴，，設，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，解直角三角形，旋轉的性質，正確添加輔助線，構造“一線三等角全等”是解題的關鍵．10.已知整式，其中為自然數，為正整數，且．下列說法：①滿足條件的整式中有5個單項式；②不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；③滿足條件的整式共有16個．其中正確的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得，再分類討論得到答案即可．【詳解】解：∵為自然數，為正整數，且，∴，當時，則，∴，，滿足條件的整式有，當時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，，當時，則，∴，，，，，，滿足條件的整式有：，，，，，；當時，則，∴，，，，滿足條件的整式有：，，，；當時，，滿足條件的整式有：；∴滿足條件的單項式有：，，，，，故①符合題意；不存在任何一個，使得滿足條件的整式有且只有3個；故②符合題意；滿足條件的整式共有個．故③符合題意；故選D二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡中對應的橫線上．11.計算：＝_____．【答案】3【解析】【分析】根據零指數冪和負指數冪的意義計算．【詳解】解：，故答案為：3．【點睛】本題考查了整數指數冪的運算，熟練掌握零指數冪和負指數冪的意義是解題關鍵．12.如果一個多邊形的每一個外角都是，那么這個多邊形的邊數為______．【答案】9【解析】【分析】本題考查了多邊形的外角和定理，用外角和除以即可求解，掌握多邊形的外角和等于是解題的關鍵．【詳解】解：，∴這個多邊形的邊數是，故答案為：9．13.重慶是一座魔幻都市，有著豐富的旅游資源．甲、乙兩人相約來到重慶旅游，兩人分別從、、三個景點中隨機選擇一個景點游覽，甲、乙兩人同時選擇景點的概率為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了畫樹狀圖法或列表法求概率，根據畫樹狀圖法求概率即可，熟練掌握畫樹狀圖法或列表法求概率是解題的關鍵．【詳解】解：畫樹狀圖如下：由圖可知，共有種等可能的情況，其中甲、乙兩人同時選擇景點的情況有種，∴甲、乙兩人同時選擇景點的的概率為，故答案為：．14.隨著經濟復蘇，某公司近兩年的總收入逐年遞增．該公司2021年繳稅40萬元，2023年繳稅48.4萬元，該公司這兩年繳稅的年平均增長率是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應用．設平均增長率為x，然后根據題意可列方程進行求解．【詳解】解：設平均增長率為x，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）；故答案為：．15.如圖，在中，延長至點，使，過點作，且，連接交于點．若，，則______．【答案】【解析】【分析】先根據平行線分線段成比例證，進而得，，再證明，得，從而即可得解．【詳解】解：∵，過點作，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：，【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質，熟練掌握三角形的中位線定理，平行線分線段成比例以及全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．16.若關于的不等式組至少有2個整數解，且關于的分式方程的解為非負整數，則所有滿足條件的整數的值之和為______．【答案】16【解析】【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組．先解不等式組，根據關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，確定的取值范圍，再把分式方程去分母轉化為整式方程，解得，由分式方程的解為非負整數，確定的取值范圍且，進而得到且，根據范圍確定出的取值，相加即可得到答案．【詳解】解：，解①得：，解②得：，關于的一元一次不等式組至少有兩個整數解，，解得，解方程，得，關于的分式方程的解為非負整數，且，是偶數，解得且，是偶數，且，是偶數，則所有滿足條件的整數的值之和是，故答案為：16．17.如圖，以為直徑的與相切于點，以為邊作平行四邊形，點D、E均在上，與交于點，連接，與交于點，連接．若，則______．______．【答案】①.8②.##【解析】【分析】連接并延長，交于點H，連接，設、交于點M，根據四邊形為平行四邊形，得出，，證明，根據垂徑定理得出，根據勾股定理得出，求出；證明，得出，求出，根據勾股定理得出，證明，得出，求出．【詳解】解：連接并延長，交于點H，連接，設、交于點M，如圖所示：∵以為直徑的與相切于點A，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵為直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，解得：．故答案為：8；．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，垂徑定理，圓周角定理，切線的性質，勾股定理，三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形相似的判定方法．18.我們規定：若一個正整數能寫成，其中與都是兩位數，且與的十位數字相同，個位數字之和為，則稱為“方減數”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，與的十位數字相同，個位數字與的和為，所以是“方減數”，分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規定，最小的“方減數”是______．把一個“方減數”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數，若除以余數為，且（為整數），則滿足條件的正整數為______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題考查了新定義，設，則（，）根據最小的“方減數”可得，代入，即可求解；根據除以余數為，且（為整數），得出為整數，是完全平方數，在，，逐個檢驗計算，即可求解．【詳解】設，則（，）由題意得：，∵，“方減數”最小，∴，則，，∴，則當時，最小，為，故答案為：；設，則（，）∴∵除以余數為，∴能被整除∴為整數，又（為整數）∴是完全平方數，∵，∴最小為，最大為即設，為正整數，則當時，，則，則是完全平方數，又，，無整數解，當時，，則,則是完全平方數，又，，無整數解，當時，，則，則是完全平方數，經檢驗，當時，，，，∴，∴故答案為：，．三、解答題：（本大題8個小題，第19題8分，其余每小題10分，共78分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請將解答過程書寫在答題卡中對應的位置上．19計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（）根據單項式乘以多項式和完全平方公式法則分別計算，然后合并同類項即可；（）先將括號里的異分母分式相減化為同分母分式相減，再算分式的除法運算得以化簡；本題考查了單項式乘以多項式，完全平方公式和分式的化簡，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【小問1詳解】解：原式，；【小問2詳解】解：原式，，．20.為了解學生的安全知識掌握情況，某校舉辦了安全知識競賽．現從七、八年級的學生中各隨機抽取名學生的競賽成績（百分制）進行收集、整理、描述、分析．所有學生的成績均高于分（成績得分用表示，共分成四組：．；．；．；．），下面給出了部分信息：七年級名學生的競賽成績為：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年級名學生的競賽成績在組的數據是：81，82，84，87，88，89．七、八年級所抽學生的競賽成績統計表年級七年級八年級平均數中位數眾數根據以上信息，解答下列問題：（1）上述圖表中______，______，______；（2）根據以上數據分析，你認為該校七、八年級中哪個年級學生的安全知識競賽成績較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；（3）該校七年級有名學生，八年級有名學生參加了此次安全知識競賽，估計該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優秀的學生人數是多少？【答案】（1），，；（2）八年級學生競賽成績較好，理由見解析；（3）該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優秀的學生人數是人．【解析】【分析】（）根據表格及題意可直接進行求解；（）根據平均分、中位數及眾數分析即可得出結果；（）由題意可得出參加此次競賽活動成績優秀的百分比，然后可進行求解；本題主要考查扇形統計圖及中位數、眾數、平均數，熟練掌握扇形統計圖及中位數、眾數、平均數是解題的關鍵．【小問1詳解】根據七年級學生競賽成績可知：出現次數最多，則眾數為，八年級競賽成績中組：（人），組：（人），組：人，所占百分比為組：（人）所占百分比為，則，∴八年級的中位數為第個同學競賽成績的平均數，即組第個同學競賽成績的平均數，故答案為：，，；【小問2詳解】八年級學生競賽成績較好，理由：七、八年級的平均分均為分，八年級的中位數高于七年級的中位數，整體上看八年級學生競賽成績較好；【小問3詳解】（人），答：該校七、八年級參加此次安全知識競賽成績優秀的學生人數是人．21.在學習了矩形與菱形的相關知識后，小明同學進行了更深入的研究，他發現，過矩形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與矩形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形，可利用證明三角形全等得到此結論．根據他的想法與思路，完成以下作圖與填空：（1）如圖，在矩形中，點是對角線的中點．用尺規過點作的垂線，分別交，于點，，連接，．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知：矩形，點，分別在，上，經過對角線的中點，且．求證：四邊形是菱形．證明：∵四邊形是矩形，∴．∴①，．∵點是的中點，∴②．∴（AAS）．∴③．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．進一步思考，如果四邊形是平行四邊形呢？請你模仿題中表述，寫出你猜想的結論：④．【答案】（1）見解析（2）①；②；③；④四邊形是菱形【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的性質與判定，菱形的判定，垂線的尺規作圖：（1）根據垂線的尺規作圖方法作圖即可；（2）根據矩形或平行四邊形的對邊平行得到，，進而證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形．再由，即可證明四邊形是菱形．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；【小問2詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．猜想：過平行四邊形的一條對角線的中點作這條對角線的垂線，與平行四邊形兩邊相交的兩點和這條對角線的兩個端點構成的四邊形是菱形；證明：∵四邊形是平行四邊形，∴．∴，．∵點是的中點，∴．∴．∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形．故答案為：①；②；③；④四邊形是菱形．22.為促進新質生產力的發展，某企業決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設備進行更新換代．（1）為鼓勵企業進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策．根據相關政策，更新1條甲類生產線的設備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼．這樣更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼．該企業甲、乙兩類生產線各有多少條？（2）經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業在獲得70萬元的補貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？【答案】（1）該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；（2）需要更新設備費用為萬元【解析】【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，分式方程的應用，理解題意，確定相等關系是解本題的關鍵．（1）設該企業甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，再利用更新完這30條生產線的設備，該企業可獲得70萬元的補貼，再建立方程求解即可；（2）設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，利用用200萬元購買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，再建立分式方程，進一步求解．【小問1詳解】解：設該企業甲類生產線有條，則乙類生產線各有條，則，解得：，則；答：該企業甲類生產線有10條，則乙類生產線各有20條；【小問2詳解】解：設購買更新1條甲類生產線的設備為萬元，則購買更新1條乙類生產線的設備為萬元，則，解得：，經檢驗：是原方程的根，且符合題意；則，則還需要更新設備費用為（萬元）；23.如圖，在中，，，點為上一點，過點作交于點．設的長度為，點，的距離為，的周長與的周長之比為．（1）請直接寫出，分別關于的函數表達式，并注明自變量的取值范圍；（2）在給定的平面直角坐標系中畫出函數，的圖象；請分別寫出函數，的一條性質；（3）結合函數圖象，直接寫出時的取值范圍．（近似值保留一位小數，誤差不超過）【答案】（1）（2）函數圖象見解析，隨x增大而增大，隨x增大而減小（3）【解析】【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，相似三角形的性質與判定：（1）證明，根據相似三角形的性質得到，據此可得答案；（2）根據（1）所求利用描點法畫出對應的函數圖象并根據函數圖象寫出對應的函數圖象的性質即可；（3）找到一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；小問2詳解】解：如圖所示，即為所求；由函數圖象可知，隨x增大而增大，隨x增大而減小；小問3詳解】解：由函數圖象可知，當時取值范圍．24.如圖，甲、乙兩艘貨輪同時從港出發，分別向，兩港運送物資，最后到達港正東方向的港裝運新的物資．甲貨輪沿港的東南方向航行海里后到達港，再沿北偏東方向航行一定距離到達港．乙貨輪沿港的北偏東方向航行一定距離到達港，再沿南偏東方向航行一定距離到達港．（參考數據：，，）（1）求，兩港之間的距離（結果保留小數點后一位）；（2）若甲、乙兩艘貨輪的速度相同（停靠、兩港的時間相同），哪艘貨輪先到達港？請通過計算說明．【答案】（1），兩港之間的距離海里；（2）甲貨輪先到達港．【解析】【分析】（）過作于點，由題意可知：，，求出，即可求解；（）通過三角函數求出甲行駛路程為：，乙行駛路程為：，然后比較即可；本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數是解題的關鍵．【小問1詳解】如圖，過作于點，∴，由題意可知：，，∴，∴，∴，∴（海里），∴，兩港之間的距離海里；【小問2詳解】由（）得：，，，∴，∴，由題意得：，，∴，∴，（海里），∴甲行駛路程為：（海里），乙行駛路程為：（海里），∵，且甲、乙速度相同，∴甲貨輪先到達港．25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點，與軸交于點，與軸交于兩點（在的左側），連接．（1）求拋物線的表達式；（2）點是射線上方拋物線上的一動點，過點作軸，垂足為，交于點．點是線段上一動點，軸，垂足為，點為線段的中點，連接．當線段長度取得最大值時，求的最小值；（3）將該拋物線沿射線方向平移，使得新拋物線經過（2）中線段長度取得最大值時的點，且與直線相交于另一點．點為新拋物線上的一個動點，當時，直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】（1）；（2）的最小值為；（3）符合條件的點的坐標為或．【解析】【分析】（1）利用正切函數求得，得到，再利用待定系數法即可求解；（2）求得，利用待定系數法求得直線的解析式，設，求得最大，點，再證明四邊形是平行四邊形，得到，推出當共線時，取最小值，即取最小值，據此求解即可；（3）求得，再利用平移的性質得到新拋物線的解析式，再分兩種情況討論，計算即可求解．【小問1詳解】解：令，則，