專題02解三角形1．在①ac=3，②csinA=3，③c=問題：是否存在△ABC，它的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且sinA=3sin注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【分析】方法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，根據比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到c的長度，根據選擇的條件進行分析判斷和求解.【詳解】［方法一］【最優解】：余弦定理由sinA=3sinB可得：ab則：c2=a若選擇條件①：據此可得：ac=3m×m=3m2若選擇條件②：據此可得：cosA=b則：sinA=1??122若選擇條件③：可得cb=mm=1［方法二］：正弦定理由C=π6,A+B+C=π由sinA=3sinB，得sin5π得tanB=33．由于0<B<π，得B=π若選擇條件①：由asinA=csinC，得解得c=b=1,a=3．所以，選條件①時問題中的三角形存在，此時c=1若選擇條件②：由csinA=3，得csin2π3=3，解得c=2由asinA=csinC，得所以，選條件②時問題中的三角形存在，此時c=23若選擇條件③：由于c=3b與【整體點評】方法一：根據正弦定理以及余弦定理可得a,b,c的關系，再根據選擇的條件即可解出，是本題的通性通法,也是最優解；方法二：利用內角和定理以及兩角差的正弦公式，消去角A，可求出角B，從而可得b=c,A=2π2．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2bsin（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）B=π3【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結合特殊角的三角函數值即可確定角B的大小；（II）方法二：結合(Ⅰ)的結論將含有三個角的三角函數式化簡為只含有角A的三角函數式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結合三角函數的性質即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.【詳解】（I）[方法一]：余弦定理由2bsinA=3a，得sin2結合余弦定cosA=b∴1?b即4b即a4即a4即a2∵△ABC為銳角三角形，∴a2∴a2所以cosB=a又B為△ABC的一個內角，故B=π[方法二]【最優解】：正弦定理邊化角由2bsinA=3a△ABC為銳角三角形，故B=π（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因為B=π3，并利用余弦定理整理得即3ac=(a+c)結合ac≤a+c22由臨界狀態（不妨取A=π2）可知而△ABC為銳角三角形，所以a+cb由余弦定理得cosA+cosB+cosC=bb2=故cosA+cosB+cosC的取值范圍是3+1[方法二]【最優解】：恒等變換三角函數性質結合(1)的結論有：cosA+cosB+cosC=cosA+=cosA?12=sinA+由0<23π?A<π2則sinA+π6即cosA+cosB+cosC的取值范圍是3+1【整體點評】（I）的方法一，根據已知條件，利用余弦定理經過較復雜的代數恒等變形求得a23．在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，（1）求cos∠ADB（2）若DC=22，求BC【答案】（1）235；（2）5【分析】（1）方法一：根據正弦定理得到BDsin∠A=AB（2）方法一：根據第一問的結論可以求得cos∠BDC=sin∠【詳解】（1）［方法1］：正弦定理＋平方關系在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB，代入數值并解得sin［方法2］：余弦定理在△ABD中，BD2=ABcos∠［方法3］：【最優解】利用平面幾何知識如圖，過B點作BE⊥AD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F．在Rt△AEB中，因為∠A=45°，AB=2，所以AE=BE=2．在Rt△所以cos∠［方法4］：坐標法以D為坐標原點，DC為x軸，DA為y軸正方向，建立平面直角坐標系（圖略）．設∠BDC=α，則B(5cosα,5sinα)．因為∠A=45°，所以從而AB=(0-5cosα)2+(5sinα+2-5sinα)2（2）［方法1］：【通性通法】余弦定理在△BCD，由（1）得，cos∠=52+［方法2］：【最優解】利用平面幾何知識作BF⊥DC，垂足為F，易求，BF=23，FC=2，由勾股定理得【整體點評】（1）方法一：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用正弦定理和平方關系解三角形，屬于通性通法；方法二：根據題目條件已知兩邊和一邊對角，利用余弦定理解三角形，也屬于通性通法；方法三：根據題意利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．方法四：建立坐標系，通過兩點間的距離公式，將幾何問題轉化為代數問題，這是解析思想的體現．（2）方法一：已知兩邊及夾角，利用余弦定理解三角形，是通性通法．方法二：利用幾何知識，解直角三角形，簡單易算．4．△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知△ABC的面積為a(1)求sinB(2)若6cosBcosC=1,a=3,【答案】(1)sinBsinC=23(2)【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式12acsinB=a23sinA，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出sinBsinC的值；（2）由cosBcosC=16和sinBsinC=23計算出cos(B+C)=?12試題解析：（1）由題設得12acsinB=a由正弦定理得12故sinBsinC=2（2）由題設及（1）得cosBcosC?sinBsinC=?12,所以B+C=2π3，故由題設得12bcsinA=a由余弦定理得b2+c2?bc=9故△ABC的周長為3+33點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當題設中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關系轉化為角的關系，有時需將角的關系轉化為邊的關系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉化為角的關系，建立函數關系式，如y=Asin(ωx+φ)+b，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.5．在△ABC中，內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足bcos(1)求A；(2)若a=19，BA?AC=3，AD是【答案】(1)A=(2)7【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.（2）由BA?AC=3可得bc=6，根據AD【詳解】（1）cosB+C所以bsinA由正弦定理得：sinBsinA∵sinB≠0，∴sinA∴sinA2=2sin得cosA2=∴A=2π（2）∵BA∴bccos(π?A)=3,得bc=6，由余弦定理得：b2AD=∴所以|AD即AD的長為726．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c．已知a=22（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA（Ⅲ）求sin2A+【答案】（Ⅰ）C=π4；（Ⅱ）sinA=2【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理運算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計算出sinA,cosA,進一步求出sin2A,cos2A，再利用兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，由a=22cosC=a又因為C∈(0,π)，所以C=π（Ⅱ）在△ABC中，由C=π4，a=22,c=13（Ⅲ）由a<c知角A為銳角，由sinA=21313，可得cosA=進而sin2A=2sinAcosA=12所以sin(2A+π4)=sin2Acos【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應用，考查學生的數學運算能力，是一道容易題.7．在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，CD為CA在CB方向上的投影向量，且滿足2csin(1)求cosC(2)若b=3,a=3ccos【答案】(1)2(2)2【分析】（1）依題意可得CD=bcosC，即可得到2csinB=5bcosC（2）利用正弦定理將邊化角，結合兩角和的正弦公式及（1）的結論得到sinB=5cosB，從而求出sinB、cosB，再由正弦定理求出c，即可求出【詳解】（1）由CD為CA在CB方向上的投影向量，則CD=bcosC又2csinB=5CD，即根據正弦定理，2sinCsinB=5在銳角ABC中，B∈0,π2，則sinB>0由C∈0,π2，則cos2C+

（2）由a=3ccosB，根據正弦定理，可得sinA=3sinCcosB，在△ABC中，A+B+C=π，則sinB+C所以sinBcosC+cosBsinC=3sinCcosB，所以sinBcosC=2sinCcosB，由（1）可知cosC=23,sinC=由sin2B+cos2B=1根據正弦定理，可得bsinB=csinC，則故△ABC的周長C△ABC8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D在邊AB上，∠A=π4，BD=CD，(1)若BD=53b(2)若a=22，求△ABC【答案】(1)c=2+10或(2)4或3?3【分析】（1）根據題意，由余弦定理可得b，從而求得BD，即可得到結果；（2）根據題意，由正弦定理化簡得cosθ=sin3π4?2θ【詳解】（1）

在△ACD中∠A=π4，AD=2，C∴53b2解得b=32，或b=∴BD=53b=∴c=AB=AD+BD=2+10，或c=AB=AD+BD=2+綜上可得c=2+10，或c=2+（2）在△BCD中BD=CD，設∠B=∠BCD=θ，則∠BDC=π?2θ，∵a=22，由正弦定理得asin2θ=CD在△ACD中，∠ADC=2θ，∠ACD=3π由正弦定理得ADsin∠ACD=CD化簡得cosθ=sinsinπ2?θ=sin3π4?2θ，∵∴π2?θ=3π4?2θ或π當θ=π4時，∠ACB=π2，AC=BC=2得到△ABC的面積為S△ABC當θ=π12，在△ABC中由正弦定理得asinA∴c=∴△ABC的面積為S△ABC綜上可得△ABC的面積為4或3?39．已知fx=sinωx(ω>0)，其圖象相鄰對稱軸間的距離為π2(1)求函數y=gx(2)在鈍角△ABC中，內角A,B,C的對邊分別是a,b,c，若fB2=g【答案】(1)gx=sin(2)4【分析】（1）根據fx的圖象相鄰對稱軸間的距離得到周期求出ω，再根據圖像平移得到y=g（2）由fB2=gA2【詳解】（1）已知fx的圖象相鄰對稱軸間的距離為π2，則由周期公式得，T=2π所以ω=2,fxgx令2x+5π6=kπ故函數y=gx的對稱中心為（2）由題意得，fB2=sinB所以sinB=sinA+所以B=A+π2或所以C=π因為在鈍角△ABC中，所以0<A<π所以0<A<π則2c=令t=cosA,φt=4t+3當22<x<32時，φ'可得φt在22,所以當t=32，即A=π6時，φ22故2cb10．在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=6，2sin(1)求角B的大小；(2)若AC=3DC，BD=37【答案】(1)B=(2)9【分析】（1）由sin(A+C)=sinB，sin(B+C)=sinA，代入2sinA+C+2bsin(B+C)=73得2sinB+2bsinA=73，再由正弦定理得出bsinA=6sinB，即可求出sinB，結合（2）由AC=3DC得AD=2DC，設∠BDA=θ，CD=x，則AD=2x，AC=3x，由余弦定理得出cos∠BDA，cos∠BDC和cos∠ABC，整理得出關于【詳解】（1）在△ABC中，因為sin(A+C)=sinB，sin(B+C)=sinA，所以2sinB+2bsinA=73由正弦定理，知asinA=bsinB，且所以2sinB+12sinB=73，解得sinB=又因為△ABC為銳角三角形，故B=π（2）因為AC=3DC，所以點D在線段AC上，且設∠BDA=θ，CD=x，則AD=2x，AC=3x，在△BDA中，由余弦定理，知cos∠BDA=cosθ=37+4x在△BDC中，由余弦定理，知cos∠BDC=cos(π?θ)=?cosθ=37+x由①+②，整理得6x2+39?c在△ABC中，cos∠ABC=36+c2?9將③代入④，整理得c2+12c?189=0，解得c=9或故c=9．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=33BC，點D在AB(1)求sin∠ACD(2)若△ABC面積為3，求CD．【答案】(1)5(2)14【分析】（1）設BC=3t(t>0)，利用余弦定理求得A=2π3，再在（2）利用三角形面積公式即可求出（1）問的t值，再利用余弦定理即可.【詳解】（1）因為AB=AC=33BC,設BC=由余弦定理得cosA=AB2所以A=在△ACD中,由正弦定理得AD=CDsin∠ACD在△BCD中,由正弦定理得BD=CDsin∠BCD因為AD=52整理得sin∠ACDsin∠BCD（2）由AD=52BD由（1）得12t2在△BCD中,BC=3由余弦定理得CD==(212．在①(2b?c)cosA=acosC，②a問題：銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．(1)求A；(2)若b=2，D為AB的中點，求CD的取值范圍．【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）由正弦定理及三角函數恒等變換化簡即可；（2）利用向量的幾何意義與數量積，通過條件先計算得c∈1,4，再得CD【詳解】（1）若選①，(2b?c)cosA=acosC?2sinBcosA?sinCcosA=sinAcosC2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sinA+C∵A、B、C∈0,若選②，asinB=3∵A、B、C∈0,若選③acosC+?sinAcosC+∵A、B、C∈0,而A?π（2）

如圖所示，設AB=c,AC=b，則∵△ABC是銳角三角形，∴AB?CD=12c?13．在△ABC中，內角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,A≠π(1)求角A的取值范圍；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，并求b的值．①sinC=22,c=23；②B=A+π注：如果選擇條件①、條件②、條件③分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)A∈(2)答案見解析【分析】（1）應用兩角和差公式結合正弦定理可求得正弦值范圍，最后求出角的范圍；（2）由正弦定理結合余弦定理邊角轉化求出邊長即可.【詳解】（1）在△ABC中，C=π?A+B，所以，sinA+B+sin又因為A≠π2，所以cosA≠0，所以sinB=2sinA∈0,1，由正弦定理得，b=2（2）選①因為sinC=22,C∈0,π，所以當C=π4時，A=π?π4?B=3π4?B,sinB=2當C=3π4時，A=π?3π所以sinB=55，所以由正弦定理得23選②B=A+π4,sinB=即B=π2，所以由正弦定理得32選③因為sinA=12，由（1）知A∈0,π4，所以A=π所以B=π又因為b=2(3+1)2=a14．記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知△ABC的面積為S=34((1)若B=π4，求(2)D為AB上一點，從下列條件①、條件②中任選一個作為已知，求線段CD的最大值．條件①：CD為∠C的角平分線；

條件②：CD為邊AB上的中線．注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】(1)6(2)3【分析】（1）根據題意，由余弦定理即可三角形的面積公式即可得到C=π（2）若選①，由余弦定理結合基本不等式即可得到結果；若選②，由2CD【詳解】（1）因為S=3由余弦定理可得：a2+b由三角形的面積公式可得S=12absinC所以tanC=3，又C∈0,π，故由正弦定理得，asinA且sinA=sinB+C所以a2+6（2）選擇條件①：在△ABC中，由余弦定理a2+b即a+b2=12+3ab≤12+3a+b當且僅當a=b=23又因為S所以CD==故CD的最大值為3.選擇條件②：由題2CD=CA在△ABC中，由余弦定理得a2即a+b2=12+3ab≤12+3a+b當且僅當a=b=23故有4CD從而CD≤3，故CD15．在△ABC中，B≠C，sinB+(1)求A；(2)若在△ABC內（不包括邊界）有一點M，滿足CM=2MA=2MB，且∠AMC=90°，求tan∠ACB【答案】(1)A=(2)4【分析】（1）運用輔助角公式化簡后解方程即可.（2）在△MBC中運用正弦定理得θ與φ關系式，在Rt△MBC中求得sinθ與【詳解】（1）因為sinB+sinC=cosB+cosC，所以sinB?cosB=cosC?sinC，所以2sinB?π又0<B,C<π，則?π故B?π4=又因為B?π故B?π所以B+C=π所以A=π（2）由（1）知，A=π設∠ACM=θ，又MA=MB，則∠MAB=∠MBA=θ，設∠ACB=φ，則∠ABC=π在△MBC中，由正弦定理得MCsin又因為MC=2MB，所以2sinφ?θ即2sinφcosθ?cosφsinθ=cosφcosθ?sinφsinθ由MC=2AM，∠AMC=90°得，sinθ=15，代入①式整理得，5sinφ=45故tan∠ACB=416．已知銳角三角形ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB+cosC=(1)求A；(2)若a=3，求三角形ABC【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）利用同角三角函數的基本關系以及兩角和的正弦公式求解；（2）利用兩角差的正弦、余弦公式可解得sinB=22，【詳解】（1）由sinB+cosC=6+2可得sin2B+cos2B+加②可得，sin2即2+2sin(B+C)=2+3,所以sin(B+C)=所以sin(B+C)=sin(π?A)=sinA=3因為A∈0,π2（2）因為sinB+cosC=6+2所以sinB+cosC=sinB+cos2π即(3+2)sinB?cosB=又因為cosB+sinC=6+32所以cosB+sinC=cosB+sin2π即(3+2)cosB+sinB=聯立③④解得，sinB=cosB=2代入sinB+cosC=6+2解得sinC=6+2又因為a=3，A=π3所以b=2RsinB=2所以三角形ABC的周長為a+b+c=317．在銳角△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且2c(1)求角A的大小；(2)若邊a=2，邊BC的中點為D，求中線AD【答案】(1)A=(2)(10【分析】（1）由余弦定理結合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由|AD【詳解】（1）由余弦定理得2c即c=acosBtanA+tanB由正弦定理得sinC=sinAcosB=sinAcosBsin∵sinC≠0,∴sinA=cosA，即tanA=1，∵A∈0,（2）由余弦定理得：2=b2+|由正弦定理得b所以b=2sinB,c=2sinC，bc=4sinBsinC=4sinBsin=2sin因為△ABC是銳角三角形，所以0<B<π20<則π4中線AD長的取值范圍是(1018．在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a(1)求A；(2)若a=6，2BD=DC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根據余弦定理，化簡可得b2+c2?（2）解法一：由已知可得出AD=23解法二：設△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理可得R=23.作出△ABC的外接圓，結合圖象，可得出AD過圓心O時，AD的長取得最大值.作OE⊥BC，構造直角三角形，求出OD=2【詳解】（1）因為a2所以根據余弦定理，可得a2所以b2+c因為A∈0,π，所以A=（2）解法一：因為2BD=DC所以AD=所以AD2=1因為b2+c2?則AD=4×b令t=bc，t>0，則令u=t+1，則u>1，所以AD2=4+12uu2當且僅當u=3u，即所以，AD≤所以，線段AD長的最大值為23解法二：設△ABC外接圓的半徑為R，根據正弦定理，可得2R=632當AD過圓心O時，AD的長取得最大值.作OE⊥BC，則E為BC的中點，因為∠BAC=π3，所以所以OE=OBcosπ因為BE=3，BD=13BC=2所以OD=O所以AD=23所以，線段AD長的最大值為2319．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sinB=在①a2?b2(1)求ac；(2)若sinAsinC=【答案】(1)ac=(2)1【分析】（1）選①，用余弦定理即可求解，選②，用向量的數量積的運算即可求解；（2）用正弦定理即可解決.【詳解】（1）若選①a2由余弦定理可得b2∴1=accosB，又sinB=13，∴cosB=1?sin若選②AB?則ABBC又sinB=13，∴cosB=1?sin（2）由正弦定理asinA=bsinB=可得ac=2RsinA?2RsinC=4R又∵sinAsinC=23∴324=4∴b=2RsinB=2×320．記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知c=3，b(1+(1)求角C的大小和邊b的取值范圍；(2)如圖，若O是△ABC的外心，求OC?【答案】(1)C=π3(2)5【分析】（1）根據題意利用正弦定理結合三角恒等變換可得C=π3，再根據正弦定理求邊（2）解法一：根據數量積結合圓的性質整理可得OC?AB+【詳解】（1）在△ABC中，由b(1+cosC)=3sinB(1+cosC)=3因為B∈0,π，則sinB≠0化簡得3sinC?cosC=2sinC?π又因為C∈0,π，則C?所以C?π6=由正弦定理csinC=b因為0<B<2π3，所以0<sinB≤1，所以（2）解法1：由正弦定理得OA=OB=因為OC==?2OC當點O不在△ABC外部時（如圖）∠AOC=2B，OC?當點O在△ABC外部時（如圖），∠AOC=2(π?B)=2π?2B，OC?由（1）可知0<b≤2，即當b=2時，則OC?AB+解法2：由題可知：CA?如圖，分別取線段BC,AC的中點D,E，由于O是△ABC的外心，則OD⊥BC,OE⊥AC，則OC=?CD所以OC?由余弦定理得c2=a整理得ab?a所以OC?由（1）可知0<b≤2，即當b=2時，則OC?AB+21．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c，c=2acosC?b，c(1)求A；(2)若M,N在線段BC上且和B,C都不重合，∠MAN=π3，求【答案】(1)2π(2)3【分析】（1）結合條件，利用正弦定理進行邊角轉化即可得到結果；（2）設∠BAM=α，在△ABM中，利用正弦定理得到AM=1sinπ6+α，在△ANC中，利用正弦定理得到AN=【詳解】（1）由c=2acosC?b得2acosC=c+2b2sinAcosC=sinC+2sinB=sinC+2sinA+C所以2cosAsinC+sinC=0，又因為C∈0，π，所以sinC≠0所以cosA=?12，又A∈0，π（2）由c2+a2=b2+3所以C=π?A?B=π6，所以b=c=2，如圖，設則∠CAN=π3?α,∠BMA=在△ABM中，由正弦定理可知AM=csinB在△ANC中，由正弦定理可知AN=bsinC故S△AMN==323因為α∈0，π3，所以π所以2<2sin2α+π6即S△22．已知在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠A=60°.(1)若b=8，△ABC外接圓的半徑為733，求(2)若b+c=6，求△ABC周長的取值范圍.【答案】(1)c=5或c=3(2)[9,12)【分析】（1）由正弦定理求得a，再由余弦定理列方程求得c；（2）由已知得出0<B<2π3，由正弦定理把a表示為【詳解】（1）根據條件，由正弦定理，得asin60°=2×7由余弦定理，得72=82+（2）A=π3，則0<B<2π由正弦定理asinA=bsinB=因為b+c=233又sinB+sinC=sinB+sin(=30<B<2π3，則π6所以32<sinB+sinC≤3所以9≤a+b+c<12，即△ABC的周長的取值范圍為[9,12)．23．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知csin(1)求角A的大小；(2)若b=2，sinB=217，求邊c【答案】(1)π3(2)53【分析】（1）根據正弦定理化簡為sinCsinB+C2=sinAsinC，從而可得sinCcosA2（2）由正弦定理求得a=7，再根據余弦定理可求得c=3，由sinB=217求得cosB，進而求得sin2B，cos2B【詳解】（1）根據正弦定理，由csinB+C2=asinC即sinCsinπ-A2=sinAsinC因為0<C<π,0<A<π，所以sinC>0,0<A所以sinA2=（2）由正弦定理asinA=bsinB，可得根據余弦定理可得a2即7=4+c2?2c，c2?2c?3=0故c=3.因為b<a，所以B<A=π3，所以所以sin2B=2sinBcosB=2×21cos2B=1?2sin所以sin2B+A24．在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A為銳角，asin(1)求角A；(2)若D為BC邊上一點，且滿足AD=CD=2BD，試判斷△ABC的形狀.【答案】(1)π(2)△ABC為直角三角形【分析】（1）利用正弦定理邊化角，分析運算即可；（2）設∠ACD=θ，用θ表示其他角，并結合正弦定理建立關系，利用三角恒等變換運算求解即可.【詳解】（1）在△ABC中，由正弦定理有：sinA?因為sinB≠0，所以sinA=3又因為A為銳角，即A=π（2）設∠ACD=θ，在△ACD中，AD=CD，則∠CAD=θ，可得∠BAD=π在△ABD中，由正弦定理有：BDsin又因為AD=2BD，所以2sinπ則3cosθ?sinθ=32因為θ∈0,π3，即θ=所以△ABC為直角三角形.25．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2(1)判斷△ABC的形狀；(2)已知D為BC上一點，則當A=2π3，a=33，AD=3【答案】(1)等腰三角形(2)D為BC的三等分點【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變化計算即可；（2）結合（1）的結論可得B=C=π【詳解】（1）由正弦定理得：sin2因為A∈0,π，所以sinA≠0，即1+cosA=2sinBsinC由A+B+C=π，則有1?cosB+C整理得1=cosBcosC+sinBsinC=cosB?C所以B?C=2kπ，而B、C∈0,π，則B=C，即△ABC（2）由（1）可得B=C=π由正弦定理可得b=sinB?asinA=余弦定理可知：AD2=A解之得BD=3=13BC或BD=226．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=sin(1)證明：b≥ac；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=1，求asin【答案】(1)證明見解析(2)(【分析】（1）利用sinC≤1結合正弦定理角化邊，即可證明結論；（2）由正弦定理推得sinA=a2，作CH⊥AB于H，可得c=1?a4+a1?a2，利用銳角三角形性質推出b【詳解】（1）由于a=sinB，sinC≤1，故asinC≤sinB,∴ac≤b，即b≥ac.（2）由b=1,bsinB=a則CH=bsinA=a于是c=AB=AH+BH=1?在銳角△ABC中，cosC>0,故b2∴1+a則a6故a4+a2?1>0又a2<1，則27．在△ABC中，3sin(1)求B的值；(2)給出以下三個條件：①a2?b2+c2+3c=0；（i）求sinA（ii）求∠ABC的角平分線BD的長．【答案】(1)B=(2)正確條件為①③，（i）sinA=33【分析】（1）利用和角正弦公式可得2sinB+（2）根據條件組合判斷出正確條件為①③，（i）應用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定理求sinA；（ii）由角平分線性質求得∠ABD=π3，再根據三角形內角和定理及兩角和的正弦公式求出【詳解】（1）由題設3sin而π3所以B+π3=π（2）若①②正確，則c2+3c+2=(c+1)(c+2)=0，得c=?1或所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件，若②③正確，則S△ABC=12absinC=綜上，正確條件為①③，（i）由2accosB=a2+c2又S△ABC=1所以9?b2+25+15=0，可得b=7故sinA=3（ii）因為sinA=3314且A∈由BD平分∠ABC得∠ABD=π在△ABD中，sin∠ADB=sin∠ABD+A在△ABD中，由BDsinA=AB28．在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，且__________.在下列兩個條件中選擇一個補充在橫線上：①b=ccosA+1(1)求出角C的大小；(2)若角C的平分線交邊AB于點D，且c=2，求CD的取值范圍.【答案】(1)π(2)4【分析】（1）由選擇的條件,結合正余弦定理和兩角和的正弦公式化簡，可求角C的大小；（2）設CD=m，由三角形面積公式得m=3ab【詳解】（1）若選①b=ccosA+1得sinB=sinA+C銳角△ABC中sinA>0，則cosC=12，所以若選②sin余弦定理有c2得sin2可取A=40則sin2又sin2C=sin故銳角△ABC中C=60°，即（2）由C=π3，令CD=m，則S=由余弦定理c2=4=a所以m=1t=a+b==43銳角△ABC中A∈π6,π2函數y=t?4t在23∴29．已知向量m=23cosx(1)設θ∈?π2,π(2)在△ABC中，AB=1，fC=3+1，且△ABC的面積為【答案】(1)?π2(2)1+【分析】（1）化簡得到f(x)=2cosx+π6+3（2）確定C=π6，根據面積公式得到ab=23，根據余弦定理得到a【詳解】（1）f(x)=23fθ=2cosθ+故θ+π6=2kπ±π3(k∈Z)，（2）C∈(0,π)，由（1）知C=π在△ABC中，設內角A、B的對邊分別是a,b，則S=32=由余弦定理得1=a2+解得a=2b=3或a=3由正弦定理得sinAa=sinB30．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足a?3b+6bsin(1)求證：a+3bcos(2)求tanA【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）利用三角形內角性質以及三角函數誘導公式，根據余弦定理，整理等式，結合半角公式，可得答案；（2）利用正弦定理，三角函數內角性質以及同角三角函數的基本關系，整理出關于角B的函數解析式，利用基本不等式，可得答案.【詳解】（1）∵a?3b+6bsin∴a?3b+6bsin∴a?3b+6b?1+cosC∴a+3bcosC=0．（2）由（1）可得：sinA+3sinBcosC=0，且C為鈍角，即4sinBcosC+cosBsinC=0，即4tanB+tanC=0，tanC=?4tanB，tanA=?tanB+C=?tanB+tanC當且僅當4tanB=1tanB，即故tanA的最大值為3431．在①tanA+tanB+3③3csinB=b(cosC+1)；這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答．問題：在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a(1)求角C；(2)若△ABC的內切圓半徑為32,b=4，求【答案】(1)π(2)?1【分析】（1）選擇①根據兩角和的正切公式化簡可得角，選擇②由正弦定理統一為邊，再由余弦定理求解，選擇③根據正弦定理統一為角，由輔助角公式求解；（2）由余弦定理及三角形面積公式聯立求解即可.【詳解】（1）選擇①：由已知得tanA+tanB=3所以tanC=?tan(A+B)=?tanA+tanB在△ABC中，C∈(0,π)，所以C=π選擇②：由已知及正弦定理得(c+a?b)(c?a+b)=ab，所以a2+b因為0<C<π，所以C=π選擇③：由正弦定理可得3sinBsinC=sinB(cosC+1)又B∈(0,π)，所以sinB>0，則3sinC?cosC=1則2sinC?π6又因為?π6<C?解得C=π（2）由余弦定理得c2=由等面積公式得12即12整理得3a=4+c，②聯立①②，解得a=5所以a?c=?1．32．設函數fx=2sinxcosx?π3?32，若銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，(1)若fA=1，求(2)求R?cb【答案】(1)π(2)?1,0【分析】(1)先利用三角恒等變換化簡fx，解出A=(2)先得出B∈π6,π3【詳解】（1）由題意得fx=2sinx?=fA=1,∴sin2A?π3=1,又又根據正弦定理asinA=bsinB=csinC由acosB?bcosA=R，有2RsinAcosB?2RsinBcosA=R，得sinA?B因為A，B∈0,π2∴A?B=π（2）由（1）知，A=π所以C=π?A+B因為0<A<π20<B<π2則R?c=2B∈π6,所以2sinB?所以R?cb的取值范圍為?1,033．從下列條件中選擇一個條件補充到題目中：①S=34b2+c2?a2，其中在△ABC中，角A，B，C對應邊分別為a，b，c，_______________．(1)求角A；(2)若D為邊AB的中點，CD=23，求b+c【答案】(1)A=(2)4【分析】（1）選①，利用余弦定理可得b2+c2?選②，由a+bsinC=c?bsinA?sinB結合正弦定理可得選③，由3sinC+cosC=c+ba結合正弦定理可得3（2）在△ACD中，設∠ADC=θ，由正弦定理可得AC=4sinθ，AD=4sin2π3?θ【詳解】（1）選①，由余弦定理得：b2又S=12bcsinA得tanA=3因為0<A<π，所以A=π選②，因為a+bsinC=c?b整理得：b2由余弦定理得：cosA=b因為0<A<π，所以A=π選③，因為3sinC+cosC=c+ba即3sinCsinA+cosCsinA=sinC+sinB又因為A+C=π?B，所以sinB=sinA+C所以3sinCsinA?sinCcosA=sinC因為0<C<π，所以sinC≠0，所以3sinA?cosA=2sin因為0<A<π，所以?π所以A?π6=（2）在△ACD中，設∠ADC=θ，由正弦定理得ACsinθ所以AC=4sinθ，AD=4sin2π∴b+c=4sinθ+8sin2π3?θ當θ+φ=π2時取等號，所以b+c的最大值是34．在△ABC中，D是邊BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍.(1)如圖1，若∠BAC=120°，且|AD|=1，求(2)如圖2，若點E在邊AB上，且|BC|=3|AC|，|AE|=3【答案】(1)3(2)1【分析】（1）由條件，結合三角形面積公式，得AB=2AC，并結合三角形面積的關系，列式求AC，即可求（2）首先根據邊的關系，結合勾股定理，判斷∠ACB為直角，在△ACE和△BCE中，根據正弦定理，求∠BCE，即可求解.【詳解】（1）因為△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍，∠BAC=120°，且AD=1，AD所以S△ABD=1又因為S△ABC所以AC=32所以△ACD的面積為33（2）由（1）知AB=2AC.設AC=b又因為BC=AC|所以△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，在△ACE中，由正弦定理可得b在△BCE中，由正弦定理可得3b因為sin∠AEC=sin∠又因為∠ACE，∠BCE均為銳角，所以∠ACE=∠BCE=π4，所以35．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=2，bsin(1)求A；(2)設C=π12，D為邊BC上一點，且∠BAD=∠CAD，求參考數據：sin7π12【答案】(1)A=(2)6【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據三角形內角和定理將C用A,B表示，結合兩角和的正弦公式化簡即可得解；（2）法一：先利用等面積法將AD用b,c表示，再在△ABC中，由正弦定理求得b,c，代入化簡即可得解.法二：在△ABD和△ACD中，分別利用正弦定理求出BD,CD，再根據BD+CD=2即可得解.【詳解】（1）因為a=2，所以bsinA+3所以由正弦定理得sinBsinA+3又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以3cosAsinB=sinAsinB因為0<B<π，所以sinB>0，所以3cosA=sinA，即tanA=又0<A<π，所以A=π（2）法一：由題意，得12結合∠BAC=π3，∠BAD=∠CAD=π在△ABC中，由正弦定理得bsinB則b=4sinB3，從而AD=3法二：由題意，得∠BAD=∠CAD=π6，又C=π在△ABD中，由正弦定理，得ADsinB則BD=ADsin∠BAD在△ACD中，由正弦定理得ADsinC則CD=ADsin∠CAD由BD+CD=2，得AD2sin解得AD=4sin36．在銳角三角形ABC中，sinA?sin∠ACB=(1)求∠B．(2)求AB邊上的高的取值范圍．【答案】(1)∠B=(2)3【分析】（1）根據三角形的內角和定理結合正弦定理化角為邊，再根據余弦定理即可得解；（2）設AB邊上的高為?，則?=asinB，再利用正弦定理及三角函數求出a【詳解】（1）設△ABC的內角∠