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2025屆廣東省普通高中學(xué)高三第十一次模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.72.從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,從集合中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為,則在方程表示雙曲線的條件下,方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的概率為()A. B. C. D.3.如圖,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),為的三等分點(diǎn)(靠近)若,則的值為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.5.下列幾何體的三視圖中,恰好有兩個(gè)視圖相同的幾何體是()A.正方體 B.球體C.圓錐 D.長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體6.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,,為拋物線上三點(diǎn),若,則().A.9 B.6 C. D.7.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.8.已知為圓的一條直徑,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.9.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個(gè)不同的平面,則的一個(gè)充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且10.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù),則的虛部是()A. B. C. D.112.已知點(diǎn),若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),,且,若,則________.14.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.15.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過(guò)點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長(zhǎng)是______.16.設(shè)f(x)=etx(t>0),過(guò)點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過(guò)點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)和產(chǎn)品銷量(萬(wàn)臺(tái))的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費(fèi)用(百萬(wàn)元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬(wàn)臺(tái))1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)制度:以(單位:萬(wàn)臺(tái))表示日銷售,當(dāng)時(shí),不設(shè)獎(jiǎng);當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)200元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)300元;當(dāng)時(shí),每位員工每日獎(jiǎng)勵(lì)400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬(wàn)臺(tái))服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請(qǐng)你估計(jì)每位員工該月(按30天計(jì)算)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.18.(12分)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足,證明:.19.(12分)已知首項(xiàng)為2的數(shù)列滿足.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列.(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)求函數(shù)的極小值;(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21.(12分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于,兩點(diǎn),求點(diǎn)到,的距離之積.22.(10分)已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的最大距離.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)程序框圖程序運(yùn)算即可得.【詳解】依程序運(yùn)算可得:,故選:C本題主要考查了程序框圖的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是理解程序框圖運(yùn)行的過(guò)程.2.A【解析】
設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,分別計(jì)算出,再利用公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件A為“方程表示雙曲線”,事件B為“方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”,由題意,,,則所求的概率為.故選:A.本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問(wèn)題,涉及到雙曲線的定義,是一道容易題.3.D【解析】
使用不同方法用表示出,結(jié)合平面向量的基本定理列出方程解出.【詳解】解:,又解得,所以故選:D本題考查了平面向量的基本定理及其意義,屬于基礎(chǔ)題.4.C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因?yàn)椋业膱D象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因?yàn)椋裕郑瑒t|,即,所以.故選:C.本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡(jiǎn)能力和轉(zhuǎn)化思想.5.C【解析】
根據(jù)基本幾何體的三視圖確定.【詳解】正方體的三個(gè)三視圖都是相等的正方形,球的三個(gè)三視圖都是相等的圓,圓錐的三個(gè)三視圖有一個(gè)是圓,另外兩個(gè)是全等的等腰三角形,長(zhǎng)寬高互不相等的長(zhǎng)方體的三視圖是三個(gè)兩兩不全等的矩形.故選:C.本題考查基本幾何體的三視圖,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.6.C【解析】
設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問(wèn)題,考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.7.D【解析】
過(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)椋裕催^(guò)點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.8.D【解析】
首先將轉(zhuǎn)化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為,則,過(guò)作直線的垂線,垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問(wèn)題,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí),考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,是一道中檔題.9.B【解析】由且可得,故選B.10.A【解析】
每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項(xiàng):本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】
化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),分子分母同時(shí)乘以,進(jìn)而求得復(fù)數(shù),再求出,由此得到虛部.【詳解】,,所以的虛部為.故選:C本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的虛部,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
求得直線的方程,畫出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí),到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù),且,可得,解得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)椋裕裕怨蚀鸢笧椋罕绢}主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示,觀察可知,函數(shù)為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論:(1)如果函數(shù)是偶函數(shù),那么.(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.15.【解析】
作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長(zhǎng)是.故答案為:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.16.【解析】
計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過(guò)Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時(shí),S′>0,當(dāng)0<t<1時(shí),S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】
(Ⅰ)由題意計(jì)算x、y的平均值,進(jìn)而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;(Ⅱ)由題意計(jì)算平均數(shù)μ,得出z~N(μ,),求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率,計(jì)算獎(jiǎng)金總數(shù)是多少.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)椋驗(yàn)椋裕裕唬á颍┮驗(yàn)椋裕始矗珍N量的概率為,日銷量的概率為,日銷量的概率為,所以獎(jiǎng)金總數(shù)大約為:(元).本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,還考查了利用正態(tài)分布計(jì)算概率,進(jìn)而估計(jì)總體情況,屬于中檔題.18.見解析【解析】
已知條件,需要證明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,發(fā)現(xiàn),則可以用柯西不等式.【詳解】,.由柯西不等式得,...本題考查柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)見解析;(2)【解析】
(1)由原式可得,等式兩端同時(shí)除以,可得到,即可證明結(jié)論;(2)由(1)可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可求得的表達(dá)式,然后求出的前項(xiàng)和即可.【詳解】(1)證明:因?yàn)?所以,所以,從而,因?yàn)?所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可知,則,因?yàn)?所以,則.本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20.(1);(2)極小值;(3)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【解析】
(1)求出和的值,利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值;(3)由當(dāng)時(shí),以及,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】(1)因?yàn)椋裕裕郧€在點(diǎn)處的切線為;(2)因?yàn)椋睿没颍斜砣缦拢?極大值極小值所以,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值;(3)當(dāng)時(shí),,且.由(2)可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.21.(1)曲線:,直線的直角坐標(biāo)方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程,再根據(jù)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)題意設(shè)直線參數(shù)方程,代入C方程,利用參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得點(diǎn)到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡(jiǎn)得:,設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.22.(1);(2).【解析】
(1)求得點(diǎn)的坐標(biāo),
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