7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念

紹興一中俞一凡

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能

了解引入復(fù)數(shù)的必要性；理解虛數(shù)單位i以及i與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)律.理解并掌握復(fù)數(shù)

的有關(guān)概念（復(fù)數(shù)集、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等），通過(guò)復(fù)

數(shù)概念的引入，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

2、過(guò)程與方法

通過(guò)問題情境，回顧數(shù)學(xué)史，了解擴(kuò)充數(shù)系的必要性，感受數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程，體會(huì)引入

虛數(shù)單位i和復(fù)數(shù)形式的合理性，使學(xué)生通過(guò)類比學(xué)習(xí)對(duì)復(fù)數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的

認(rèn)識(shí).

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)問題情境，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的作用，感受人類理性

思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系.激發(fā)學(xué)生的求知欲。

二、教材分析

“7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”是《人教A版第二冊(cè)》第七章復(fù)數(shù)的起始課。教材

通過(guò)三個(gè)環(huán)節(jié)完成了對(duì)實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程:（1）提出問題（用什么方法解決方程在實(shí)數(shù)集中無(wú)

解的問題），引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生擴(kuò)充實(shí)數(shù)系的欲望（2）回顧從自然數(shù)集逐步擴(kuò)充

到實(shí)數(shù)集的過(guò)程和特點(diǎn)（添加新數(shù);滿足原來(lái)的運(yùn)算律）;（3）類比、設(shè)想擴(kuò)充實(shí)數(shù)系的方向及引

入新數(shù)i所滿足的條件（使=-1成立，滿足原來(lái)的運(yùn)算律）.由于學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的知識(shí)并不熟

悉，教學(xué)中教師需多作引導(dǎo).復(fù)數(shù)的概念是復(fù)數(shù)這一章的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)

數(shù)的代數(shù)表示形式展開的.虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)相等的概念，以及虛數(shù)、純

虛數(shù)等概念的理解，教學(xué)中可結(jié)合具體例子，以促進(jìn)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解。

三、學(xué)情分析

學(xué)生從小到大已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)多次數(shù)系的擴(kuò)充，所以對(duì)數(shù)系如何進(jìn)行擴(kuò)充有一定的知識(shí)方法

基礎(chǔ)，在學(xué)生高中學(xué)習(xí)的過(guò)程中也已經(jīng)多次運(yùn)用過(guò)類比歸納的方法，有一定的方法基礎(chǔ)。學(xué)

生在第六章學(xué)習(xí)了向量的知識(shí)，也為學(xué)生了解復(fù)數(shù)的本質(zhì)打下鋪墊。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn):復(fù)數(shù)的概念，虛數(shù)單位i，復(fù)數(shù)的分類（實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）和復(fù)數(shù)相等等概念

難點(diǎn):虛數(shù)單位i的引進(jìn)及復(fù)數(shù)的概念

五、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)教學(xué)流程設(shè)計(jì)意圖

環(huán)節(jié)一怎樣解方程/+21+2=0?提出一個(gè)負(fù)數(shù)是否存在平方

限的問題。了解歷史上虛數(shù)

情景引數(shù)學(xué)家們通過(guò)時(shí)光機(jī)來(lái)到課堂中，演繹一段對(duì)話真正引入原因，是

入，拋出15世紀(jì)意大利卡爾丹數(shù)學(xué)家在解三次

問題方程時(shí)用求根公

%式時(shí)的矛盾沖突。

我思考了一個(gè)問題，如果把10分成兩部分，使其乘積等讓學(xué)生體會(huì)到引

入虛數(shù)的必要性，

于40,方程是x(10-x)=40,那它的兩個(gè)解就是5+Q?

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

興趣。

和5-7^15，我不能接受這樣的結(jié)果。

16世紀(jì)意大利邦貝利

?

卡兄，我用了你的三次方程求根公式，

在求V=15x+4的解時(shí)，得到了

也+J-⑵+也-J-⑵=4,讓人難以置信。

17世紀(jì)法國(guó)笛卡爾

Q■不，我不承認(rèn)負(fù)數(shù)

這類數(shù)的存在，它是虛幻的數(shù)，imaginarynumber.

18世紀(jì)瑞士歐拉

1■笛卡爾大哥,起初我還說(shuō)負(fù)數(shù)的平方根不可能包括

在可能的數(shù)(實(shí)數(shù))中，它們只存在于想象之中。深入研究

后就發(fā)現(xiàn)它們世界好精彩！

環(huán)節(jié)二回顧以往熟悉擴(kuò)充的經(jīng)歷當(dāng)我們遇到一個(gè)

在原有數(shù)系中無(wú)

溫故知法找到答案的問

新，新知題，就通過(guò)引入一

探究類新數(shù)將數(shù)系進(jìn)

行擴(kuò)充，從而使得

問題得以解決。

自然數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)

x2=21則x=?

京

x2=n，則x=?

讓學(xué)生討論現(xiàn)在將如何將數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充

教師給出數(shù)學(xué)家引入新數(shù)的規(guī)定

（1）『=—1（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則

運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算律（包括交換律、結(jié)合律和

分配律）仍然成立.

環(huán)節(jié)三有了虛數(shù)單位i后，從四個(gè)方程的兩

課堂活組結(jié)果中歸納出

動(dòng)、概念先讓學(xué)生解丁+4=0和/+5=0兩個(gè)方程，歸納統(tǒng)一形復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

生成了解復(fù)數(shù)的實(shí)部、

式瓦（leR）虛部等概念

再解f+2x+5=0和f+2x+3=0兩個(gè)方程，歸納統(tǒng)一

形式。+4從而得出了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

定義：形如a+4Q/eR）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)集

C=[a+b^a,b^火｝.復(fù)數(shù)通常用z表示，其中。與匕分別叫

做復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部.

環(huán)節(jié)四討論：復(fù)數(shù)集C和實(shí)數(shù)集R之間有什么關(guān)系？讓學(xué)生思考實(shí)數(shù)

集和復(fù)數(shù)集的關(guān)

形式探

得出復(fù)數(shù)的分類z=。+端，上L亡會(huì)人系引出復(fù)數(shù)的分

究、新課b00,虛數(shù)（〃:0,純虛數(shù)）

類問題。

講解

怎樣判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)相等？讓學(xué)生思考兩個(gè)

復(fù)數(shù)相等的條件，

.\a-c

a+bi=c+di并給出規(guī)定。

b-d

環(huán)節(jié)五例1完成下列表格（分類一欄填實(shí)數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)）通過(guò)一些例題和

新知應(yīng)練習(xí)，讓學(xué)生熟練

用1-3;02+V7i揚(yáng)+乎掌握復(fù)數(shù)的實(shí)部、

虛部等概念。會(huì)對(duì)

實(shí)部

復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，保

虛部

證復(fù)數(shù)在哪一類

分類中。利用兩個(gè)復(fù)數(shù)

相等的等價(jià)條件

例2實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+l+（m―是下列

求解兩個(gè)帶參數(shù)

數(shù)？的復(fù)數(shù)相等的問

題。

（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).

池中試水

若復(fù)數(shù)（。2-3.+2）+（“-1》是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)4的值.

例3已知（2x-l）+i=y—（3-y）i,其中求x與

江河搏水

若（3—10i）y+（-2+i）x=l-9i,求實(shí)數(shù)x,y的值.

大海踏浪

已知關(guān)于x的方程/+（女+2『卜+2+內(nèi)=0有實(shí)根，求實(shí)

數(shù)K的值.

環(huán)節(jié)六以提問的形式讓學(xué)生歸納總結(jié)這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師在學(xué)培養(yǎng)學(xué)生自覺回

課堂小生歸納的基礎(chǔ)上進(jìn)行梳理。顧、善于總結(jié)的習(xí)

結(jié)慣，使學(xué)生能主動(dòng)

知識(shí)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式2=。+初，復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)相等

構(gòu)建方法體系

方法：類比，歸納

思想：分類討論，化歸和轉(zhuǎn)化

作業(yè)與課后學(xué)習(xí)：自行查閱文獻(xiàn)資料深入了解復(fù)數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生文獻(xiàn)閱

思考用價(jià)值