熱點8-2概率與統計綜合概率統計專題相關的知識點錯綜復雜又環環相扣，在高考考查中一般情況會對多個知識點進行綜合考查。題量通常為“兩小一大”，有時也“三小一大”或“一小一大”；選擇題、填空題考查全面，解答題重點考查概率統計主干知識，以圖表信息、古典概型、常見概率分布，回歸分析，獨立性檢驗、樣本估計總體、分布列和數學期望為主要考查內容，關注學科知識的綜合性，常與分段函數、二次函數、導數、數列、最值問題等相結合進行綜合考查。【題型1古典概型的計算】滿分技巧古典概型中基本事件的探求方法1、列舉法：適合于基本事件個數較少且易一一列舉出來的試驗；2、列表法（坐標法）：適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗；3、樹形圖法：適合于有順序的問題及較復雜問題中基本事件個數的探究；4、排列組合法：求較復雜試驗中基本時間的個數時，可利用排列或組合的知識.【例1】（2024·四川·校聯考一模）一次課外活動中，某班60名同學均參加了羽毛球或乒乓球運動，其中37人參加了羽毛球運動，38人參加了乒乓球運動．若從該班隨機抽取一名同學，則該同學既參加了羽毛球運動又參加了乒乓球運動的概率為（）．A．B．C．D．【變式1-1】（2024·湖南岳陽·高三岳陽一中校考開學考試）四位同學乘同一列火車，火車有10節車廂，則至少有兩位同學上了同一節車廂的概率為（）A．B．C．D．【變式1-2】（2024·江蘇徐州·高三校考開學考試）今年暑期，《八角籠中》、《長安三萬里》、《封神榜》、《孤注一擲》引爆了電影市場，小明和他的同學一行四人決定去看這四部電影，若小明要看《長安三萬里》，則恰有兩人看同一部影片的概率為（）A．B．C．D．【變式1-3】（2022·河南·高三專題練習）“天問一號”中的天問是中國行星探測任務的名稱，它的名字起源于屈原的《天問》，想要表達的是中華民族對追求真理的執著，對科技創新的不懈．中國行星探測任務被命名為“天問系列”是在2020年4月24日，首次火星探測任務的探測器則被命名為“天問一號”．2020年7月23日，中午12時41分，長征五號遙四運載火箭托舉著我國首次火星探測任務“天問一號”探測器，在中國文昌航天發射場點火升空．若從“天，問，一，號”，這4個字中任取一個字，再從“4，24，7，23”這4個數字中任取2個數字，組成一個“系列組”，則該“系列組”中包含“天問一號”命名時間“4，24”或發射時間“7，23”的概率為（）A．B．C．D．【變式1-4】（2024·廣東·高三統考期末）《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術數之源，其中河圖排列結構是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白點為陽數，黑點為陰數.若從這10個數中任取3個數，已知3個數中至多有1個陰數，則取出的3個數之和是5的倍數的概率是（）A．B．C．D．【題型2隨機抽樣與計算】滿分技巧1、明確簡單隨機抽樣與分層抽樣的定義。2、分層隨機抽樣的相關計算關系：（1）＝；（2）總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比．（3）樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：＝＋＝＋.【例2】（2024·重慶·高三校聯考階段練習）①植物根據植株的高度及分枝部位等可以分為喬木、灌木和草木三大類，某植物園需要對其園中的不同植物的干重（烘干后測定的質量）進行測量；②檢測員擬對一批新生產的1000箱牛奶抽取10箱進行質量檢測；上述兩項調查應采用的抽樣方法是（）A．①用簡單隨機抽樣，②用分層隨機抽樣B．①用簡單隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣C．①用分層隨機抽樣，②用簡單隨機抽樣D．①用分層隨機抽樣，②用分層隨機抽樣【變式2-1】（2024·青海西寧·高三統考期末）用分層抽樣的方法從某社區的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區服務滿意度調研，則女居民比男居民多選取（）A．8人B．6人C．4人D．2人【變式2-2】（2024·湖南長沙·長郡中學校考一模）為了了解學生們的身體狀況，某學校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個年級共抽取100人進行各項指標測試.已知高三年級有500人，高二年級有700人，高一年級有800人，則高三年級抽取的人數為（）A．30B．25C．20D．15【變式2-3】（2023·廣西·高三南寧三中校聯考階段練習）北京時間2023年10月31日8時11分，神舟十六號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，載人飛行任務取得圓滿成功．某高中學校在有120名同學的“航天”社團中隨機抽取24名參加一個交流會，若按社團中高一、高二、高三年級的成員人數比例分層隨機抽樣，則高一年級抽取6人，若按性別比例分層隨機抽樣，則女生抽取15人，則下列結論錯誤的是（）A．24是樣本容量B．120名社團成員中男生有50人C．高二與高三年級的社團成員共有90人D．高一年級的社團成員中女生最多有30人【變式2-4】（2024·陜西·校聯考一模）我校高三年級為了學生某項身體指標，利用隨機數表對650名學生進行抽樣，先將650進行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，下圖提供隨機數表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數據，則得到的第7個樣本編號是（）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623B．328C．072D．457【題型3用樣本估計總體】滿分技巧樣本估計總體的常用結論：1、如果兩組數和的平均數分別是和，則一組數的平均數是；2、如果一組數的平均數為，則一組數的平均數為。3、如果一組數的平均數為，則一組數的平均數為4、如果一組數的方差為，則一組數的方差為；5、如果一組數的方差為，則一組數的方差為。【例3】（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）歌唱比賽共有11位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到9個有效評分.9個有效評分與11個原始評分相比，一定不變的數字特征是（）A．平均數B．極差C．方差D．中位數【變式3-1】（2024·安徽合肥·合肥一六八中學校聯考模擬預測）已知數據，，…，的平均數和方差分別為4，10，那么數據，，…，的平均數和方差分別為（）A．，B．1，C．，D．，【變式3-2】（2024·湖南長沙·長沙一中校聯考模擬預測）現有隨機選出的20個數據，統計如下，則（）7243954616673828282879195898102102108114120A．該組數據的眾數為102B．該組數據的極差為112C．該組數據的中位數為87D．該組數據的80%分位數為102【變式3-3】（2024·陜西西安·統考一模）某班學生每天完成數學作業所需的時間的頻率分布直方圖如圖，為響應國家減負政策，若每天作業布置量在此基礎上減少5分鐘，則減負后完成作業的時間的中位數為（）A．25B．30C．35D．40【變式3-4】（2024·四川·高三西充中學校聯考期末）下圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運營里程（單位：公里）及運營線路條數的統計圖，下列判斷正確的是（）

A．這10個城市中北京的地鐵運營里程最長且運營線路條數最多B．這10個城市地鐵運營里程的中位數是516公里C．這10個城市地鐵運營線路條數的平均數為15.4D．這10城市地鐵運營線路條數的極差是12【題型4百分位數的計算】滿分技巧計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步，按從小到大排列原始數據．第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的平均數．【例4】（2024·廣東·高三校聯考開學考試）某班12名同學某次測試的數學成績（單位：分）分別為62，57，72，85，95，69，74，91，83，65，78，89，則這12名同學這次測試的數學成績的第60百分位數是（）A．74B．78C．83D．91【變式4-1】（2024·重慶·高三西南大學附中校聯考開學考試）一個容量為10的樣本，其數據依次為：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，則該組數據的第75百分位數為（）A．15B．16C．17D．18【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳中學校考開學考試）已知7個數據0，1，5，6，7，11，12，則這組數據的第百分位數為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2024·江西南昌·南昌二中校聯考模擬預測）從某公司生產的產品中任意抽取12件，得到它們的質量（單位：）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，則這組數據的四分位數不可能是（）A．8.75B．8.15C．9.9D．8.5【變式4-4】（2024·全國·校聯考模擬預測）已知2024個互不相同的實數，記其上四分位數為，中位數為，第75分位數為，則（）A．B．C．D．【題型5事件關系的判斷】滿分技巧判斷互斥、對立事件的兩種方法（1）定義法：判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發生，則這兩事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件．（2）集合法：①由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集．【例5】（2024·全國·模擬預測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點數，記“點數之和為5”是事件，“點數之和為4的倍數”是事件，則（）A．為不可能事件B．與為互斥事件C．為必然事件D．與為對立事件【變式5-1】（2024·廣東·高三學業考試）一個人打靶時連續射擊3次，則事件“至少有兩次中靶”的對立事件為（）A．至多有一次中靶B．至多有兩次中靶C．恰好有一次中靶D．三次都中靶【變式5-2】（2024·廣東湛江·統考一模）在一次考試中有一道4個選項的雙選題，其中B和C是正確選項，A和D是錯誤選項，甲、乙兩名同學都完全不會這道題目，只能在4個選項中隨機選取兩個選項．設事件“甲、乙兩人所選選項恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全不同”，事件“甲、乙兩人所選選項完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇B選項”，則（）A．事件M與事件N相互獨立B．事件X與事件Y相互獨立C．事件M與事件Y相互獨立D．事件N與事件Y相互獨立【變式5-3】（2022·全國·高三專題練習）從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內任取3個球，那么互斥不對立的事件是（）A．恰有一個黃球與恰有一個藍球B．至少有一個黃球與都是黃球C．至少有一個黃球與都是藍球D．至少有一個黃球與至少有一個藍球【變式5-4】（2023·廣東惠州·高三校考階段練習）同時拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，用表示紅色骰子的點數，表示綠色骰子的點數，設事件“”，事件“為奇數”，事件“”，則下列結論正確的是（）A．A與對立B．C．A與相互獨立D．與相互獨立【題型6線性回歸分析】滿分技巧線性回歸分析問題的類型及解題方法1、求線性回歸方程：（1）利用公式求出回歸系數，；（2）利用回歸直線過樣本中心點求系數；2、利用回歸方程進行預測：把線性回歸方程看作一次函數，求函數值；3、利用回歸直線判斷正、負相關：決定正相關函數負相關的系數是；4、回歸方程的擬合效果可以利用相關系數判斷，當越接近1時，兩變量的線性相關性越強。【例6】（2024·河南·高三校聯考開學考試）（多選）已知變量之間的經驗回歸方程為，且變量的數據如下表所示：5681214108651則下列說法正確的是（）A．變量之間負相關B．C．當時，可估計的值為11D．當時，殘差為【變式6-1】（2024·湖南·長沙一中校聯考模擬預測）某騎行愛好者在專業人士指導下對近段時間騎行鍛煉情況進行統計分析，統計每次騎行期間的身體綜合指標評分與騎行用時（單位：小時）如下表：身體綜合指標評分12345用時小時）9.58.87.876.1由上表數據得到的正確結論是（）參考數據：參考公式：相關系數.A．身體綜合指標評分與騎行用時正相關B．身體綜合指標評分與騎行用時的相關程度較弱C．身體綜合指標評分與騎行用時的相關程度較強D．身體綜合指標評分與騎行用時的關系不適合用線性回歸模型擬合【變式6-2】（2024·山東·高三山東省實驗中學校考開學考試）為研究某池塘中水生植物的覆蓋水塘面積（單位：）與水生植物的株數（單位：株）之間的相關關系，收集了4組數據，用模型去擬合與的關系，設與的數據如表格所示：得到與的線性回歸方程，則（）346722.54.57A．-2B．-1C．D．【變式6-3】（2024·湖北武漢·統考模擬預測）隨著科技發展的日新月異，人工智能融入了各個行業，促進了社會的快速發展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統計．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份編號123456銷售金額／萬元15.425.435.485.4155.4195.4若與的相關關系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：（1）試求變量與的樣本相關系數（結果精確到0.01）；（2）試求關于的經驗回歸方程，并據此預測2024年2月份該公司的銷售金額．附：經驗回歸方程，其中，，樣本相關系數；參考數據：，．【變式6-4】（2024·廣東廣州·統考二模）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加.為調查該地區植物覆蓋面積與某種野生動物數量的關系，將其分成面積相近的若干個地塊，從這些地塊中隨機抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據，其中，和，分別表示第個樣區的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量（單位：只），并計算得.（1）求樣本的相關系數（精確到0.01），并推斷這種野生動物的數量y（單位：只）和植物覆蓋面積x（單位：公頃）的相關程度；（2）已知20個樣區中有8個樣區的這種野生動物數量低于樣本平均數，從20個樣區中隨機抽取2個，記抽到這種野生動物數量低于樣本平均數的樣區的個數為X，求隨機變量X的分布列.附：相關系數【題型7獨立性檢驗】滿分技巧獨立性檢驗的一般方法（1）根據題目信息，完善列聯表；（2）提出零假設：假設兩個變量相互獨立，并給出在問題中的解釋。（3）根據列聯表中的數據及計算公式求出的值；（4）當時，我們就推斷不成立，即兩個變量不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過；當時，我們沒有充分證據推斷不成立，可以認為兩個變量相互獨立。【例7】（2024·廣東廣州·統考二模）根據分類變量與的成對樣本數據，計算得到.依據的獨立性檢驗，結論為（）A．變量與獨立B．變量與獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過C．變量與不獨立D．變量與不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過【變式7-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在某病毒疫苗的研發過程中，需要利用基因編輯小鼠進行動物實驗.現隨機抽取100只基因編輯小鼠對該病毒疫苗進行實驗，得到如下列聯表（部分數據缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計注射疫苗1050未注射疫苗3050合計301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計算可知，根據小概率值______的獨立性檢驗，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預防該病毒感染的效果”（）附：，.A．0.001B．0.05C．0.01D．0.005【變式7-2】（2024·福建泉州·高三校考階段練習）針對時下的“短視頻熱”，某高校團委對學生性別和喜歡短視頻是否有關聯進行了一次調查，其中被調查的男生?女生人數均為人，男生中喜歡短視頻的人數占男生人數的，女生中喜歡短視頻的人數占女生人數的.零假設為：喜歡短視頻和性別相互獨立.若依據的獨立性檢驗認為喜歡短視頻和性別不獨立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7B．8C．9D．10【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習）千百年來，我國勞動人民在生產實踐中根據云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化，總結了豐富的“看云識天氣”的經驗，并將這些經驗編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學為了驗證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了地區A的100天日落和夜晚天氣，得到如下2×2列聯表（單位：天），并計算得到，下列小波對地區A天氣的判斷不正確的是（）日落云里走夜晚天氣下雨未下雨出現255未出現2545參考公式：臨界值參照表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．夜晚下雨的概率約為B．未出現“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為C．據小概率值的獨立性檢驗，認為“日落云里走”是否出現與夜晚天氣有關D．出現“日落云里走”，據小概率值的獨立性檢驗，可以認為夜晚會下雨【變式7-4】（2024·四川宜賓·高三四川省興文第二中學校校考開學考試）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組（不加藥物）和實驗組（加藥物）.測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）對照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.635（1）求40只小鼠體重的中位數，并完成下面列聯表：合計對照組實驗組合計（2）根據列聯表，能否有的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.【題型8二項分布】滿分技巧獨立重復試驗與二項分布1、定型：“獨立”“重復”是二項分布的基本特征，“每次試驗事件發生的概率都相等”是二項分布的本質特征．判斷隨機變量是否服從二項分布，要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結果，且兩種試驗結果發生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨立重復試驗，隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復試驗中發生的次數．2、定參，確定二項分布中的兩個參數n和p，即試驗發生的次數和試驗中事件發生的概率．3、列表，根據離散型隨機變量的取值及其對應的概率，列出分布列．4、求值，根據離散型隨機變量的期望和方差公式，代入相應數據求值．相關公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．【例8】（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學校聯考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲?乙各射擊一次，甲?乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環?9環?10環的概率分別為，乙擊中8環?9環?10環的概率分別為，且甲?乙兩人射擊相互獨立.（1）在一場比賽中，求乙擊中的環數少于甲擊中的環數的概率；（2）若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，求的分布列與數學期望.【變式8-1】（2022·全國·高三專題練習）某校高三年級數學組長為了了解學生的數學學習情況，對其在市二診考試中的數學成績（滿分150分）進行分析，從全年級數學成績中隨機抽取了15人的成績作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖．若成績不低于120分，則稱為數學成績優良．（1）從這15人的成績中隨機抽取3人，求至多有1人數學成績優良的概率；（2）以這15人的成績中成績優良的頻率作為概率，估計該校高三年級在市三診、省一、二診未來3次診斷考試數學成績優良的人數，從而估計該校今年高考數學成績．記隨機變量為未來這3次考試中優良學生的人數，求的分布列和數學期望．【變式8-2】（2022·河南·高三專題練習）甲、乙兩隊要舉行一場排球比賽，雙方約定采用“五局三勝”制賽規，即一場比賽全程最多打五局，比賽雙方只要有一個隊先勝三局，則比賽就此結束，且該隊為獲勝方．根據以往大量的賽事記錄可知甲、乙兩隊在比賽中每局獲勝的概率分別為．（1）若在首局比賽中乙隊以的比分暫時領先，求最后甲隊、乙隊各自獲勝的概率；（2）求乙隊以的比分獲勝的概率；（3）設確定比賽結果需要比賽局，求的分布列及數學期望．【變式8-3】（2024·湖北十堰·高三統考期末）某市為提高市民對文明城市創建的認識，舉辦了“創建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取份作為樣本，將個樣本數據按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請通過頻率分布直方圖估計這份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）.（2）以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于分，則被認定為成績合格，低于分說明成績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取人，用表示成績合格的人數，求的分布列及數學期望.【變式8-4】（2024·北京昌平·高三統考期末）某汽車生產企業對一款新上市的新能源汽車進行了市場調研，統計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數據分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）求的值；（2）該汽車生產企業在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務項目．若為這3人提供的售后服務項目總價值為元，求的分布列和數學期望；（3）用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設這10人中評分不低于110分的人數為，問為何值時，的值最大？（結論不要求證明【題型9超幾何分布】滿分技巧超幾何分布的適用范圍及本質（1）適用范圍：考察對象分兩類；已知各類對象的個數；從中抽取若干個個題，考察某一類個題個數的概率分布；（2）本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的。2、超幾何分布與二項分布的區別（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的，而二項分布是“有放回”的抽取（獨立重復），在每次試驗中某一事件發生的概率是相同點。【例9】（2024·山東·高三山東省實驗中學校考開學考試）盒中有大小顏色相同的6個乒乓球，其中4個未使用過（稱之為新球），2個使用過（稱之為舊球）.每局比賽從盒中隨機取2個球作為比賽用球，比賽結束后放回盒中.使用過的球即成為舊球.（1）求一局比賽后盒中恰有3個新球的概率；（2）設兩局比賽后盒中新球的個數為，求的分布列及數學期望.【變式9-1】（2024·遼寧·高三校聯考期末）某企業打算處理一批產品，這些產品每箱10件，以箱為單位銷售，已知這批產品中每箱都有廢品.每箱的廢品率只有或者兩種可能，且兩種可能的產品市場占有率分別為.假設該產品正品每件市場價格為100元，廢品不值錢，現處理價格為每箱840元，遇到廢品不予更換，以一箱產品中正品的價格期望值作為決策依據.（運算結果保留分數）（1）在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；（2）現允許開箱，不放回地隨機從一箱中抽取2件產品進行檢驗，已發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品①求此箱是廢品率為的概率；②判斷此箱是否可以購買，并說明理由.【變式9-2】（2024·安徽黃山·統考一模）某校高三年級名學生的高考適應性演練數學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是、、、、、．（1）求圖中的值，并根據頻率分布直方圖，估計這名學生的這次考試數學成績的第百分位數；（2）從這次數學成績位于、的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人，該人中成績在區間的人數記為，求的分布列及數學期望．【變式9-3】（2024·浙江湖州·高三統考期末）杭州第屆亞運會，是繼年北京亞運會、年廣州亞運會之后，中國第三次舉辦亞洲最高規格的國際綜合性體育賽事.年月日，杭州亞運會開幕式隆重舉行.某電商平臺亞運周邊文創產品直播間，主播為當晚點前登錄該直播間的前名觀眾設置了兩輪“慶亞運、送吉祥物”的抽獎活動.每輪抽獎都是由系統獨立、隨機地從這名觀眾中抽取名幸運觀眾，抽中者平臺會有亞運吉祥物玩偶贈送.而直播時這名觀眾始終在線，記兩次抽獎中被抽中的幸運觀眾總人數為（幸運觀眾總人數不重復計數，例如若某幸運觀眾兩次都被抽中，但只記為人）.（1）已知小杭是這前名觀眾中的一人，若小杭被抽中的概率為，求的值；（2）當取到最大值時，求的值.【題型10正態分布】滿分技巧關于正態總體在某個區間內取值的概率求法（1）熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．（2）充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.①正態曲線關于直線x＝μ對稱，從而在關于x＝μ對稱的區間上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【例10】（2024·重慶·統考一模）已知某社區居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，．現從該社區中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（）A．0.642B．0.648C．0.722D．0.748【變式10-1】（2023·廣東肇慶·廣東肇慶中學校考模擬預測）佛山被譽為“南國陶都”，擁有上千年的制陶史，佛山瓷磚享譽海內外.某企業瓷磚生產線上生產的瓷磚某項指標，且，現從該生產線上隨機抽取10片瓷磚，記表示的瓷磚片數，則.【變式10-2】（2024·江蘇·高三統考期末）隨機變量，若，，則（）A．0.25B．0.5C．0.75D．0.85【變式10-3】（2024·浙江金華·高三統考期末）某次數學聯考成績的數據分析，20000名考生成績服從正態分布，則80分以上的人數大約是（）參考數據：若，則A．3173B．6346C．6827D．13654【變式10-4】（2024·湖南常德·高三統考期末）某校高三年級800名學生在高三的一次考試中數學成績近似服從正態分布，若某學生數學成績為102分，則該學生數學成績的年級排名大約是（）（附：，，）A．第18名B．第127名C．第245名D．第546名（建議用時：60分鐘）1．（2024·內蒙古赤峰·高三校考開學考試）某企業舉辦冬季趣味運動會，在跳繩比賽中，名參賽者的成績(單位：個)分別是、、、、、、、、、，則這組數據的中位數是（）A．B．C．D．2．（2024·江蘇南通·高三統考開學考試）有8位同學一次數學測試的分數分別是：111，118，125，130，130，132，136，140，則這組數據的75百分位數是（）A．130B．132C．134D．1363．（2024·浙江·高三鎮海中學校聯考開學考試）有一組數據：，去掉該組中的一個數據，得到一組新的數據.與原有數據相比，無論去掉哪個數據，一定變化的數字特征是（）A．平均數B．眾數C．中位數D．極差4．（2024·湖南·高三校聯考開學考試）有一組樣本數據由5個連續的正整數組成，其中是最小值，是最大值，若在原數據的基礎上增加兩個數據，，組成一組新的樣本數據，則（）A．新樣本數據的平均數小于原樣本數據的平均數B．新樣本數據的平均數大于原樣本數據的平均數C．新樣本數據的方差等于原樣本數據的方差D．新樣本數據的方差大于原樣本數據的方差5．（2024·重慶·高三統考期末）對一個樣本進行統計后得到頻率分布直方圖如圖所示，并由此估計總體集中趨勢，則，可以分別大致反映這組數據的（）A．平均數，中位數B．平均數，眾數C．中位數，平均數D．中位數，眾數6．（2024·全國·模擬預測）如圖為一組數據的散點圖，已知該組數據的平均數為5，方差為，去掉，，，這4個數據后，所得數據的平均數為，方差為，則（）A．，B．，C．，D．，7．（2024·陜西安康·安康中學校聯考模擬預測）“百年風雨歷經苦難，百年成就激蕩人心”，為弘揚陳延年、陳喬年烈士的光榮事跡及革命精神，傳承紅色基因，某校“延喬少年行”實踐團于1月6日開展紅色文化活動，實踐團成員中有來自高二（1）班和高二（2）班的學生各2人，高二（3）班和高二（4）班的學生各1人，在瞻仰陳延年烈士雕像舉行宣誓環節，需要從這6名學生中任選4名手持國旗，則這4名學生來自不同班級的概率為（）A．B．C．D．8．（2023·陜西·高三校聯考階段練習）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，某網絡直播平臺調研“大學生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關”，從某高校男、女生中各隨機抽取100人進行問卷調查，得到如下數據．喜歡觀看不喜歡觀看男生女生通過計算，有95％以上的把握認為大學生喜歡觀看直播體育比賽與性別有關，則在被調查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數的最大值為（）附：，其中．0.150.100.050.0100.0012.0722