第三章導數3.4.1導數的構造法、雙變量問題（含極值點偏移）（題型戰法）知識梳理一導數的構造法加-乘不等號型構造（2）構造（3）構造（4）構造（注意對的符號進行討論）（5）構造2、減-除不等號型（6）構造（7）構造（8）構造（9）構造（注意對的符號進行討論）（10）構造二導數雙變量問題（含極值點偏移）1、雙變量問題解題步驟：統一變量-求變量范圍-構造函數-求解新函數的單調性、極值、最值2、極值點偏移解題步驟：（1）求出函數的單調性；（2）構造一元差函數Fx（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定fx、f2a?x口訣為：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨。題型戰法題型戰法一導數的構造法-簡單不等號型典例1．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為(

)A． B． C． D．變式1-1．函數的定義域為R，，對任意，，則的解集為（）A． B． C． D．變式1-2．定義在R上的函數其導函數恒成立且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式1-3．已知定義域為的函數滿足，，其中為導函數，則滿足不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式1-4．定義在上的函數滿足，，則不等式的解集為（

）.A． B． C． D．題型戰法二導數的構造法-加乘不等號型典例2．設分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x>0時，，且g（2）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是（

）A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）變式2-1．已知定義在上的函數滿足：，且，則解集為（

）A． B． C． D．變式2-2．已知是定義在R上的函數，是的導函數，滿足：，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式2-3．函數是定義是在上的可導函數，其導函數滿足，則的解集是（

）A． B． C． D．變式2-4．定義在R上的函數滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．題型戰法三導數的構造法-減除不等號型典例3．已知定義在R上的可導函數的導函數為f（x），滿足，且，則不等式的解集為（）A．（—∞，0） B．（—∞，1）C．（1，+∞） D．（0，+∞）變式3-1．已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時,，且f（3）＝0，則不等式f（x）≥0的解集為（

）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）變式3-2．設是奇函數，是的導函數，．當時，，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式3-3．定義在R上的函數的導函數為，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．變式3-4．已知是定義在R上的偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．題型戰法四導數的構造法-帶常數不等號型典例4．若函數的定義域是，，，則不等式的的解集為A． B．C． D．變式4-1．設是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（

）A． B． C． D．變式4-2．已知是函數的導函數，，若對任意，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式4-3．已知是定義域為的函數的導函數.若對任意實數都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．變式4-4．已知函數的定義域為R，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．題型戰法五導數的雙變量問題典例5．已知函數在處的切線與直線垂直，函數.(1)求實數的值；(2)若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；(3)設是函數的兩個極值點，證明：.變式5-1．已知函數在時取得極值且有兩個零點.（1）求的值與實數的取值范圍；（2）記函數兩個相異零點，求證：.變式5-2．已知函數（）.（1）若是定義域上的增函數，求a的取值范圍；（2）若，若函數有兩個極值點，（），求的取值范圍.變式5-3．已知.(1)若恒有兩個極值點，（），求實數a的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.變式5-4．已知函數，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當時，使得成立，求證：.題型戰法六導數的極值點偏移問題典例6．已知函數有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．變式6-1．已知函數.(1)討論的單調性.(2)若函數有兩個零點，且，證明：.變式6-2．已知函數（且）．(1)，求函數在處的切線方程．(2)討論函數的單調性；(3)若函數有兩個零點，且，證明：．變式6-3．已知函數．(1)若，證明：；(2)若有兩個不同的零點，求a的取值范圍，并證明：．變式6-4．已知函數有兩個不同的零點.(1)求實數的取值范圍；(2)求證：.第三章導數3.4.1導數的構造法、雙變量問題（含極值點偏移）（題型戰法）知識梳理一導數的構造法加-乘不等號型構造（2）構造（3）構造（4）構造（注意對的符號進行討論）（5）構造2、減-除不等號型（6）構造（7）構造（8）構造（9）構造（注意對的符號進行討論）（10）構造二導數雙變量問題（含極值點偏移）1、雙變量問題解題步驟：統一變量-求變量范圍-構造函數-求解新函數的單調性、極值、最值2、極值點偏移解題步驟：（1）求出函數的單調性；（2）構造一元差函數Fx（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定fx、f2a?x口訣為：極值偏離對稱軸，構造函數覓行蹤；四個步驟環相扣，兩次單調緊跟隨。題型戰法題型戰法一導數的構造法-簡單不等號型典例1．函數的定義域為，，對任意，，則的解集為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數，結合已知及導數與單調性關系即可求解．【詳解】令，因為對任意，，所以，即在上單調遞減，又因為，所以，由，可得，即，所以，即不等式的解集為．故選：A．【點睛】本題主要考查了利用單調性求解不等式，解題的關鍵是構造函數并利用導數知識求解單調性．變式1-1．函數的定義域為R，，對任意，，則的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：設，所以為減函數，又所以根據單調性的解集是考點：利用導數解不等式變式1-2．定義在R上的函數其導函數恒成立且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】構造函數，由已知可確定在R上單調遞減，可轉化為，求解即可.【詳解】令，∵恒成立，∴，∴在R上為減函數，∵，∴，∴，即，∴，故選：C變式1-3．已知定義域為的函數滿足，，其中為導函數，則滿足不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設則故在上單調增，且即可求解不等式.【詳解】設，則，故在上單調增，又所以的解為，則不等式的解集故答案為：A變式1-4．定義在上的函數滿足，，則不等式的解集為（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構造函數，然后依據導數判斷函數在的單調性，最后進行判斷即可.【詳解】設，得由，得.故函數在上單調遞增，又，故的解集為，即的解集為.故選：D題型戰法二導數的構造法-加乘不等號型典例2．設分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x>0時，，且g（2）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是（

）A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）【答案】A【解析】【分析】構造函數，結合已知條件求得的奇偶性、單調區間，由此解不等式求得正確答案.【詳解】令，由于分別是定義在R上的奇函數和偶函數，所以，所以是上的奇函數，圖象關于原點對稱，.當時，所以在上遞減，故在遞減，所以的解集為.故選：A變式2-1．已知定義在上的函數滿足：，且，則解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】令，利用導數可判斷其單調性，從而可解不等式.【詳解】設，則，故為上的增函數，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.變式2-2．已知是定義在R上的函數，是的導函數，滿足：，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】構造函數，利用導數求得的單調性，由此求得不等式的解集.【詳解】令，則，所以在R上單調遞增，不等式可化為，而，則，即，所以，即不等式解集為.故選：D變式2-3．函數是定義是在上的可導函數，其導函數滿足，則的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】令，利用導數說明其單調性，即可得到不等式的解集；【詳解】解：令，則，因為，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值也就是最大值，，所以恒成立，又當時，所以，所以恒成立，即的解集是故選：D變式2-4．定義在R上的函數滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】構造函數，求出導函數，結合已知判斷函數的單調性，從而可得出結論.【詳解】解：令，則，因為，，所以，所以函數為減函數，所以，即，所以.故選：D.題型戰法三導數的構造法-減除不等號型典例3．已知定義在R上的可導函數的導函數為f（x），滿足，且，則不等式的解集為（）A．（—∞，0） B．（—∞，1）C．（1，+∞） D．（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】首先設函數，利用導數判斷函數的單調性，不等式等價于，利用函數的單調性，即可求解.【詳解】設，，所以函數單調遞減，且，不等式，所以.故選：D變式3-1．已知定義在R上的奇函數f（x），當x＞0時,，且f（3）＝0，則不等式f（x）≥0的解集為（

）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞） B．[﹣3，3]C．（﹣∞，﹣3]∪[0，3] D．[﹣3，0]∪[3，+∞）【答案】D【解析】【分析】依題可設，（x＞0），由其導數可知在上為增函數，又由f（3）＝0可得g（3）＝0，分析可得g（x）的符號，進而分析f（x）在（0，+∞）上的符號規律，結合函數的奇偶性即可解出.【詳解】設，（x＞0），則其導數，而當x＞0時，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上為增函數，又由f（3）＝0，則0，所以區間（0，3）上，g（x）＜0，在區間（3，+∞）上，g（x）＞0，則在區間（0，3）上，f（x）＜0，在區間（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）是定義在R上的奇函數，則f（0）＝0，，且在區間（﹣∞，﹣3）上，f（x）＜0，在區間（﹣3，0）上，f（x）＞0，綜合可得：不等式f（x）≥0的解集為[﹣3，0]∪[3，+∞）．故選：D.變式3-2．設是奇函數，是的導函數，．當時，，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構造函數，利用導數可得函數的在的單調性，然后利用函數的奇偶性可得在的單調性，最后簡單判斷可得結果.【詳解】令，所以當當時，，所以所以可知的在的單調遞增，又是奇函數且，所以，則由，所以函數為的偶函數且在單調遞減，當時，的解集為當時，的解集為綜上所述：的解集為：故選：D變式3-3．定義在R上的函數的導函數為，若，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，對函數求導判斷出單調性，利用的單調性解出不等式即可．【詳解】令，則，所以在R上單調遞增．因為，所以不等式，可變形得，即，所以，解得．故選：D變式3-4．已知是定義在R上的偶函數，當時，，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】直接構造函數，通過研究新函數在定義域內單調性并結合奇偶性解不等式．【詳解】解：令，是定義在上的偶函數，∴函數為奇函數，當時，，函數在上為增函數，又函數為奇函數，函數在上為增函數，∵，∴，當時，由，得，當時，由，得，綜上所述，不等式的解集是.故選：D.題型戰法四導數的構造法-帶常數不等號型典例4．若函數的定義域是，，，則不等式的的解集為A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】構造函數，問題轉化為，求導判斷單調性即可.【詳解】構造函數，則不等式可轉化為，則，∵，∴，則函數在上單調遞減，∵，∴，則的解集為，則不等式的解集為.故選：A.【點睛】本題主要考查不等式的解法，適當構造函數，利用導數求解是解題的關鍵.變式4-1．設是定義在上的函數，其導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】構造函數，用導數研究其單調性，再將不等式轉化為，即求解.【詳解】因為滿足，，令，則，所以在R上是增函數，又，則，不等式可化為，即，所以，所不等式的解集是，故選：C變式4-2．已知是函數的導函數，，若對任意，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】令，利用導數說明函數的單調性，即可得到不等式的解集；【詳解】解：令，則，，，，即在上單調遞減，又，，當時，即，即，的解集為．故選：A．變式4-3．已知是定義域為的函數的導函數.若對任意實數都有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意原等價于不等式，構造函數，利用導數說明函數的單調性，即可得到，從而得解；【詳解】解：不等式，等價于不等式，構造函數，則，若對任意實數都有，則，在上單調遞增，又，故即，故不等式的解集是，故選：B．變式4-4．已知函數的定義域為R，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設g（x）＝，根據已知條件可得函數在定義域上單調遞減，從而將不等式轉化為的解集，從而可得出答案.【詳解】解：設＝，則＝，∵，∴，∴，∴y＝g（x）在定義域上單調遞減，∵∴＝，又＝，∴，∴，∴的解集為．故選：A．題型戰法五導數的雙變量問題典例5．已知函數在處的切線與直線垂直，函數.(1)求實數的值；(2)若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；(3)設是函數的兩個極值點，證明：.【答案】(1)(2)(3)答案見詳解【解析】【分析】（1）求出，利用切線與直線垂直可得切線的斜率，結合導數的幾何意義即可求解；（2）由題意可知在在上有解，構造函數，列出不等式即可求解；（3）由極值點的定義可知，是的兩個根從而由韋達定理可以表示出，將問題轉化為，構造函數，利用導數證明即可.(1)函數的定義域為，，由已知得在處的切線的斜率為，則，即，解得；(2)由（1）得，則，∵函數存在單調遞減區間，∴在上有解，∵，設，則，∴只需或，解得或，故實數的取值范圍為；(3)證明：由題意可知，，∵有兩個極值點，，∴，是的兩個根，則，∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調遞增，則，即，所以原不等式成立．變式5-1．已知函數在時取得極值且有兩個零點.（1）求的值與實數的取值范圍；（2）記函數兩個相異零點，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先對函數求導，根據極值點求出，得到函數解析式，再由有兩個零點，得到方程有2個不同實根，令，根據導數的方法研究單調性與最值，即可求出的取值范圍；（2）利用函數零點的性質，結合函數單調性和導數之間的關系，進行轉化即可證明不等式.【詳解】（1）因為，所以，又在時取得極值，所以，即；所以，因為有兩個零點，所以方程有2個不同實根，令，則，由得；由得；所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，所以，又時，；時，；因此，要使方程有2個不同實根，只需與有兩不同交點，所以；（2）因為函數兩個相異零點，所以，①；即，即②；又等價于，即③；由①②③可得；不妨令，則，上式可化為；設，則在上恒成立；故函數在上單調遞增；所以，即不等式成立；因此，所證不等式成立.【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，用導數的方法研究函數單調性、極值、最值等，屬于常考題型.變式5-2．已知函數（）.（1）若是定義域上的增函數，求a的取值范圍；（2）若，若函數有兩個極值點，（），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題得，化為恒成立，即得解；（2）先求出，，再求出，令，則，得，求出即得解.【詳解】（1）的定義域為，，∵在定義域內單調遞增，∴，即對恒成立.則恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范圍是.（2）設方程，即得兩根為，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，則，得，，，∴而且上遞減，從而，即，∴.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數研究函數的極值和雙變量問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.變式5-3．已知.(1)若恒有兩個極值點，（），求實數a的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)根據極值點的定義可知方程有兩個不等實根，即函數與圖像有兩個交點，利用導數研究函數的單調性求出的值域，結合圖形即可得出結果；(2)構造函數，根據導數研究它的單調性進而得，有，構造函數（），利用導數證明，結合即可證明.(1)函數的定義域為，，則方程有兩個不同的正根，即函數與圖像有兩個交點，，令，令，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，且當時，，當時，，如圖，由圖可知；(2)設，則，在單調遞增，故，即.而，故，又，，在單調遞減，故，即；由知；由(1)知，，為函數的極值點，當時，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，時，函數單調遞減，所以，故，令（）.，，令，故當時，單調遞增，且，所以，故單調遞減，由，得，即，即.【點睛】破解含雙參不等式證明題的3個關鍵點：(1)轉化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關系式，并把含雙參的不等式轉化為含單參的不等式.(2)巧構造函數，再借用導數，判斷函數的單調性，從而求其最值.(3)回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結果.變式5-4．已知函數，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當時，使得成立，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）構造函數，其中，利用導數分析函數在上的單調性，可得出，即可證得結論成立；（2）先證明對數平均不等式，其中，分析可知，不妨設，由已知條件推導出，再結合對數平均不等式可證得結論成立.(1)證明：構造函數，其中，則，因為，則，，即當時，，所以，函數在上單調遞減，故當時，，即.(2)證明：先證明對數平均不等式，其中，即證，令，即證，令，其中，則，所以，函數在上為減函數，當時，，所以，當時，，本題中，若，則，此時函數在上單調遞減，不合乎題意，所以，，由（1）可知，函數在上單調遞減，不妨設，則，則，即，所以，，因為，則，所以，，所以，，所以，，所以，，由對數平均不等式可得，可得，所以，.【點睛】方法點睛：應用對數平均不等式證明極值點偏移：①由題中等式中產生對數；②將所得含對數的等式進行變形得到；③利用對數平均不等式來證明相應的問題.題型戰法六導數的極值點偏移問題典例6．已知函數有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設是的兩個零點，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】（1）等價于有兩個零點，設，求出函數的最小值利用零點存在性定理分析即得解；（2）不妨設，等價于證明，再利用極值點偏移的方法證明.(1)解：由，得，設，則，，因為，所以當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增．又因為，所以，，，所以a的取值范圍是．(2)證明：不妨設，由（1）知，則，，，又在上單調遞增，所以等價于，即．設，則．設，則，設，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，又因為，，，所以存在，使得，當時，，即，當時，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增．又因為，，所以當時，，當時，，所以當時，，單調遞減，因為，所以，所以，即原命題得證．【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是掌握極值點偏移的解題方法，對于這些典型題型，學生要理解并靈活掌握.變式6-1．已知函數.(1)討論的單調性.(2)若函數有兩個零點，且，證明：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】【分析】(1)先求導函數，對參數a分類討論，即可得單調區間.(2)將零點代入原方程并作差，可得，從而得，,再換元，問題轉化為證明恒成立，即可證明.(1)解：函數的定義域為，.①當時，令，得，則在上單調遞減；令，得，則在上單調遞增.②當時，令，得，則在上單調遞減；令，得，則在上單調遞增.綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.(2)證明：因為為的兩個零點，所以，，兩式相減，可得，即，，因此，，.令，則，令，則，所以函數在上單調遞增，所以，即.因為，所以，故得證.變式6-2．已知函數（且）．(1)，求函數在處的切線方程．(2)討論函數的單調性；(3)若函數有兩個零點，且，證明：．【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導數求出切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程；（2）求出導函數，對a分類討論：a<0和a>0分別討論單調性；（3）本題屬于極值點偏移，利用分析法轉化為只要證明f(2e-x2)>0，由構造函數，利用導數證明出g(t)在(e，2e)上是遞增的，得到g(t)>g(e)=0即為f(2e-x2)>0.(1)當時，，所以.，所以.所以函數在處的切線方程為，