9.5二項式定理5大題型【題型解讀】【知識儲備】1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1項數為n＋1.2各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.3字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.2．二項式系數的性質[常用結論]若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數項．(2)h(r)是非負整數?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數?Tr＋1是有理項．【題型精講】【題型一求特定項的系數】方法技巧三項式的展開式：若令，便得到三項式展開式通項公式，其中叫三項式系數．例1(2023·華師大二附中高三練習）若，則．例2在的展開式中，的系數是．例3(2023·江西模擬）在的展開式中，含的項的系數是（）A．10 B．12 C．15 D．20【題型精練】1.(2023·河南高三月考）在的展開式中，項的系數是（）A． B． C． D．2．(2023·全國高三課時練習）展開式中二項式系數和為___________，展開式中常數項為___________.3．(2023·棗莊模擬）在的展開式中，含項的系數為（）A．-480 B．480 C．-240 D．2404.(2023·汕頭模擬）的展開式中系數為有理數項的共有_______項.【題型二已知項的系數求參】例4(2023·四川模擬）已知二項式的展開式中，項的系數為40，則（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4例5(2023·武昌模擬）的展開式中，項的系數為-10，則實數.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）已知二項式的展開式中，項的系數為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．42.(2023·臨沂二模）已知的展開式中各項系數的和為-3，則該展開式中的系數為（）A．-120 B．-40 C．40 D．120【題型三二項式定理的性質】例6(2023·唐山二模）（多選）已知的展開式中第3項與第8項的二項式系數相等，則（）A．n=9 B．C．常數項是672 D．展開式中所有項的系數和是-1例7設為正整數，的展開式中二項式系數的最大值為，的展開式中的二項式系數的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【題型精練】1．(2023·高三課時練習）若的展開式中第5項與第6項的二項式系數相等，則（）A．11 B．10 C．9 D．2.(2023·廣東高三模擬）若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為_______．3.(2023·浙江高三模擬）在的展開式中，只有第五項的二項式系數最大，則展開式中的系數為（

）A． B． C． D．【題型四二項式系數和及系數和問題】方法技巧系數和問題，令得系數和：=1\*GB3①；令得奇數項系數和減去偶數項系數和：=2\*GB3②，聯立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．例8(2023·福建泉州科技中學月考）在的展開式中，求：（1）二項式系數的和；（2）各項系數的和；（3）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；（4）奇數項系數和與偶數項系數和；（5）的奇次項系數和與的偶次項系數和.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）若，則的值為．2.(2023·濟北中學高三月考）設.若，則實數，．3.(2023·上虞模擬）已知，則，.【題型五二項式定理的應用】例9(2023福建省部分名校高三聯合測評）（多選）若能被13整除，則實數的值可以為（）A．0 B．11 C．12 D．25例10的計算結果精確到個位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【題型精練】1.(2023·全國高三課時練習）(1.05)6的計算結果精確到0.01的近似值是A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.342.若，則被8整除的余數為___________.9.5二項式定理5大題型【題型解讀】【知識儲備】1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數：二項展開式中各項的系數為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).1項數為n＋1.2各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.3字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.2．二項式系數的性質[常用結論]若二項展開式的通項為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數項．(2)h(r)是非負整數?Tr＋1是整式項．(3)h(r)是負整數?Tr＋1是分式項．(4)h(r)是整數?Tr＋1是有理項．【題型精講】【題型一求特定項的系數】方法技巧三項式的展開式：若令，便得到三項式展開式通項公式，其中叫三項式系數．例1(2023·華師大二附中高三練習）若，則．答案：-56【解析】由題意可知，，展開式的通項公式為，由，得出求的項是.令，解得，所以.故答案為：-56.例2在的展開式中，的系數是．答案：-189【解析】由二項式定理知的展開式的通項為：，令，解得，所以的系數是，故答案為：-189.例3(2023·江西模擬）在的展開式中，含的項的系數是（）A．10 B．12 C．15 D．20答案：A【解析】因為的展開式為，的展開式為和的和，；，所以在中令，即可得到的項的系數，是，故答案為：A.【題型精練】1.(2023·河南高三月考）在的展開式中，項的系數是（）A． B． C． D．答案：C【解析】展開式中，通項．令，得，故展開式中項的系數為.故選：C.2．(2023·全國高三課時練習）展開式中二項式系數和為___________，展開式中常數項為___________.答案：64【解析】由二項式系數的性質，可得二項式展開式的二項式系數和；又由二項展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數項為.故答案為：，.3．(2023·棗莊模擬）在的展開式中，含項的系數為（）A．-480 B．480 C．-240 D．240答案：A【解析】看成是6個相乘，要得到.分以下情況：6個因式中，2個因式取，1個因式取，3個因式取，此時的系數，所以的系數為-480.故答案為：A4.(2023·汕頭模擬）的展開式中系數為有理數項的共有_______項.答案：17【解析】的展開式的通項為：，即r既是3的倍數，又是2的倍數，則是的倍數，r=0，6，12，.......，96，共17項.故答案為：.【題型二已知項的系數求參】例4(2023·四川模擬）已知二項式的展開式中，項的系數為40，則（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以項的系數為，解得．故答案為：C例5(2023·武昌模擬）的展開式中，項的系數為-10，則實數.答案：2【解析】，的展開式通項為，所以，的展開式通項為，令，可得，由題意可得，解得.故答案為：2.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）已知二項式的展開式中，項的系數為40，則（

）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4答案：C【解析】由，令，解得，所以項的系數為，解得．故選：C2.(2023·臨沂二模）已知的展開式中各項系數的和為-3，則該展開式中的系數為（）A．-120 B．-40 C．40 D．120答案：A【解析】在二項式中，令，可得，解得，的展開式通項為，因為，在，令，可得，在中，令，可得，因此，展開式中的系數為.故答案為：A.【題型三二項式定理的性質】例6(2023·唐山二模）（多選）已知的展開式中第3項與第8項的二項式系數相等，則（）A．n=9 B．C．常數項是672 D．展開式中所有項的系數和是-1答案：A,D【解析】由，可得n=9，則A判斷正確；B判斷錯誤；的展開式的通項公式為令，則，則展開式的常數項是.C判斷錯誤；展開式中所有項的系數和是.判斷正確.故答案為：AD例7設為正整數，的展開式中二項式系數的最大值為，的展開式中的二項式系數的最大值為.若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8答案：C【解析】的展開式中二項式系數的最大值為，故，的展開式中的二項式系數的最大值為或，兩者相等，不妨令，則有，解得：.故選：C【題型精練】1．(2023·高三課時練習）若的展開式中第5項與第6項的二項式系數相等，則（）A．11 B．10 C．9 D．答案：C【解析】因為第5項二項式系數為，第6項的二項式系數為，由題意知，所以，即，所以，故選：C.2.(2023·廣東高三模擬）若n展開式中前三項的系數和為163，則展開式中系數最大的項為_______．答案：5376【解析】展開式的通項公式為，由題意可得，，解得，設展開式中項的系數最大，則解得，又∵，∴，故展開式中系數最大的項為.故答案為：5376.3.(2023·浙江高三模擬）在的展開式中，只有第五項的二項式系數最大，則展開式中的系數為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】依題意，第五項二項式系數最大，一共是9項，所以n=8，二項式展開項的通項公式為：，，∴的系數為故選：C.【題型四二項式系數和及系數和問題】方法技巧系數和問題，令得系數和：=1\*GB3①；令得奇數項系數和減去偶數項系數和：=2\*GB3②，聯立=1\*GB3①=2\*GB3②可求得奇數項系數和與偶數項系數和．例8(2023·福建泉州科技中學月考）在的展開式中，求：（1）二項式系數的和；（2）各項系數的和；（3）奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和；（4）奇數項系數和與偶數項系數和；（5）的奇次項系數和與的偶次項系數和.答案：（1）；（2）1；奇數項的二項式系數和為，偶數項的二項式系數和為；奇數項的系數和為，偶數項的系數和為；（5）的奇次項系數和為，的偶次項系數和為【解析】設，各項系數和為，奇數項系數和為，偶數項系數和為，的奇次項系數和為，的偶次項系數和為（1）二項式系數的和為；（2）令，，則，所以各項系數和為1；（3）奇數項的二項式系數和為，偶數項的二項式系數和為；（4）由（2）知，①，取，，則②，所以奇數項的系數和，偶數項的系數和；（5）由（4）知，的奇次項系數和為，的偶次項系數和為.【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級中學高三模擬）若，則的值為．答案：-32【解析】令，可得。故答案為：-32。2.(2023·濟北中學高三月考）設.若，則實數，．答案：；6【解析】令x=1，則(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得：m=.(x+1)5的第r+1項系數為Tr+1=.所以(x+1)5展開式中的x3的系數為=10，(x-1)4的第r+1項系數為Tr+1=·x4-r.(-1)r所以(x-1)4展開式中的x3的系數為-=-4；a3=10-4=6故答案為：；6.3.(2023·上虞模擬）已知，則，.答案：-3240；-1【解析】展開式的通項為：，令，可得；令得：；令得：，.故答案為：-3240；-1.【題型五二項式定理的應用】例9(2023福建省部分名校高三聯合測評）（多選）若能被13整除，則實數的值可以為（）A．0 B．11 C．12 D．25答案：CD【解析】∵，又52能被13整除，∴需使能被13整除，即能被13整除，∴，，結合選項可