第十一章三角形

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

k學(xué)'習(xí)昌彝＞

1.會用符號表示三角形，了解按邊的大小關(guān)系對三角形進(jìn)行分類；理解掌握三角形三

邊之間的不等關(guān)系，并會初步應(yīng)用它們來解決問題.

2.進(jìn)一步認(rèn)識三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三邊關(guān)系.

（里-息?一舉點(diǎn)、.

重點(diǎn)：三角形的三邊之間的不等關(guān)系.

難點(diǎn)：應(yīng)用三角形的三邊之間的不等關(guān)系判斷3條線段能否組成三角形.

k預(yù)，習(xí)導(dǎo)學(xué),

自學(xué)1：自學(xué)課本應(yīng)一3頁，掌握三角形的概念、表示方法及分類，完成填空.（5分鐘）

總結(jié)歸納：（1）由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形;

其中這三條線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角;相鄰兩邊的公共端

點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn).

（2）三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.在

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰,另一邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊的

夾角叫做底角.

（3）三角形按內(nèi)角大小可分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

（4）三角形按邊的大小關(guān)系可分為三邊都不相等的三角形、等腰三角形;等腰三角形可

分為底邊和腰不相等的等腰三角形、等邊三角形.

點(diǎn)撥精講：等邊三角形是特殊的等腰三角形.

自學(xué)2：自學(xué)課本凸一4頁“探究與例題”，掌握三角形三邊關(guān)系.（5分鐘）

總結(jié)歸納：一般地，三角形兩邊的和大于第三邊;三角形兩邊的差小于第三邊.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.（5分鐘）

1.如圖①，以4,B,C為頂點(diǎn)的三角形記作讀作"三角形如,它的邊分別

是AB,4C,比（或a,b,c）,內(nèi)角是/C,頂點(diǎn)是點(diǎn)4B,C.

頂點(diǎn)4A.

邊/角、

%角

頂點(diǎn)3邊aBC

①②

點(diǎn)撥精講：三角形的邊也可以用邊所對頂點(diǎn)的小寫字母表示.

2.圖②中有殳個(gè)三角形，分別是△/應(yīng)；XABC,△班T,MCDE,△83,以￡為頂點(diǎn)的

三角形是△/瓦；XBEC,XCDE,以/〃為角的三角形是△時(shí),以為邊的三角形

是△/陽AABC.

3.下列長度的三條線段能組成三角形的有②：①3,4,11；②2,5,6；③3,5,8.

/合，作卷先一

小組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1一個(gè)等腰三角形的周長為28cm.

（1）已知腰長是底邊長的3倍，求各邊的長；

（2）已知其中一邊的長為6cm,求其他兩邊的長.

解：⑴設(shè)底邊長為xcm,則腰長為3xcm,依題意得2X3x+x=28,解得x=4,3x

=12,三邊長分別為4cm,12cm,12cm.

（2）設(shè)另一邊長為xcm,依題意得，當(dāng)6cm為底邊時(shí)，2*+6=28,.,.^=11；當(dāng)6cm

為腰長時(shí)，x+2X6=28,，x=16.：6+6<16,不符合三角形兩邊的和大于第三邊，所以

不能圍成腰長為6cm的等腰三角形，，其他兩邊的長為11cm,11cm.

探究2某同學(xué)有兩根長度為40cm,90cm的木條，他想釘一個(gè)三角形的木框，那么

第三根應(yīng)該如何選擇？（40cm,50cm,60cm,90cm,130cm）

解：設(shè)第三根木條長為xcm,依題意得90—40<x<40+90,...50VxV130,.?.第三根

應(yīng)選60cm或90cm.

次艮綏逸山一學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.圖中有2個(gè)三角形，以一為頂點(diǎn)的三角形有班；MADE,1\ACE；以/。為邊的三

角形有△/切，△/龐，XACD.

2.下列長度的三條線段能組成三角形的是。

A.3,4,8B.5,6,11C.2,4,5

3.等腰三角形一條邊等于3cm,一條邊等于6cm,則它的周長為15cm.

點(diǎn)撥精講：注意三角形三邊關(guān)系.

1點(diǎn)-披錯(cuò)蹄》（3分鐘）1.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

2.在進(jìn)行等腰三角形的相關(guān)計(jì)算時(shí)，要注意分類思想的運(yùn)用，同時(shí)要注意運(yùn)用三角形

三邊關(guān)系判斷所求三條線段長能否構(gòu)成三角形.

3.已知三角形的兩邊長，可依據(jù)三邊關(guān)系求出第三邊的取值范圍.

,課堂?逸_>（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

卜當(dāng)‘堂冽麻》（10分鐘）

2

11.1與三角形有關(guān)的線段

11.1.1三角形的邊

教學(xué)目標(biāo)＜

1.結(jié)合具體的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識三角形的概念及其基本要素.

2.會用符號、字母表示三角形，并了解按邊的相等關(guān)系對三角形進(jìn)行分類.

3.理解三角形任何兩邊之和大于第三邊與任意兩邊之差小于第三邊的性質(zhì)，并會初步

運(yùn)用這些性質(zhì)來解決問題.

重點(diǎn)

三角形的三邊關(guān)系.

難點(diǎn)

三角形的三邊關(guān)系.

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

老師出示一個(gè)用硬紙板剪好的三角形，并提出問題；

小學(xué)中我們已經(jīng)認(rèn)識了三角形，那么你能不能給三角形下一個(gè)完整的定義？

老師出示教具，提出問題.讓學(xué)生觀察教具，然后給出三角形的定義.

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

二、探究問題，形成概念

（一）探究三角形的有關(guān)概念

1.三角形的頂點(diǎn)及符號表示方法.

2.三角形的內(nèi)角.

3.三角形的邊.

教師繼續(xù)利用教具向?qū)W生直接指明相關(guān)的概念.

學(xué)生注意記憶相關(guān)的概念.

教師再出示另外剪好的三角形，各頂點(diǎn)字母與原來不同，然后通過新三角形讓學(xué)生鞏固

剛才的有關(guān)概念.

（二）探究三角形的分類

問題1：小學(xué)中已經(jīng)學(xué)過，如何將三角形進(jìn)行分類？

問題2：如何將三角形按邊分類？

教師提出問題，學(xué)生舉手回答.

教師提示，分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

學(xué)生回答：有兩邊相等和有三邊相等，以及三條邊均不相等.

教師進(jìn)一步提出新的問題，并進(jìn)一步講解等邊三角形、等腰三角形的有關(guān)概念，然后給

3

出三角形按邊分類的方法:

'三邊都不相等的三角形

三角形,(底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形小斗一4『

II等邊二角形

之后師生共同歸納三角形的分類方法.按不同的標(biāo)準(zhǔn)分類，可以有不同的分法.

(三)探究三角形的三邊關(guān)系

探究：畫出一個(gè)aABC,假設(shè)有一只小蟲要從B點(diǎn)出發(fā)，沿三角形的邊爬到C點(diǎn)，它有

幾種路線可以選擇？各條路線的長一樣嗎？

教師提出問題，學(xué)生先畫圖然后進(jìn)行討論，并思考問題，然后教師指定學(xué)生回答問題.

(1)小蟲從點(diǎn)B出發(fā)沿三角形的邊爬到點(diǎn)C有如下幾條路線：

a.從B—C

b.從BfA~C

(2)從B-C路線最短.

然后老師進(jìn)一步提出問題：這條路線為什么是最短的？

學(xué)生舉手回答：“兩點(diǎn)之間，線段最短.”

然后師生共同歸納得出：

AC+BOAB①

AB+AOBC②

AB+BOAC③

即三角形兩邊的和大于第三邊.

教師提問：(1)由不等式①②③移項(xiàng)，你能得到怎樣的不等式？

(2)通過剛才得到的不等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生回答，師生共同歸納：三角形兩邊的差小于第三邊.

教師出示教材第3頁例題.

分析：(1)“用一條長18c加的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形”，這句話有什么含義？

(2)有一邊長為4cm是什么意思,哪一邊的長度是4cm?

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)：教材第4頁練習(xí)第1,2題.

老師布置練習(xí)，學(xué)生舉手回答即可.第2題注意讓學(xué)生說明理由.

解決完以后，教師利用投影出示補(bǔ)充練習(xí)，學(xué)生獨(dú)立完成.

補(bǔ)充練習(xí)：一個(gè)三角形有兩條邊相等，周長為20頌，一條邊長是6M，求其他兩條邊

長.

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)：談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

老師引導(dǎo)學(xué)生主要從對三角形的分類和三邊關(guān)系的認(rèn)識方面進(jìn)行小結(jié).

布置作業(yè)：習(xí)題11.1第1,2,7題.

教與反思＜：?<

三角形的三邊關(guān)系是在學(xué)生了解了三角形的一些基本特征的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，學(xué)生雖然知

道了三角形有三條邊，但三角形“邊”的研究卻是學(xué)生首次接觸，讓學(xué)生自己動手操作，初

步感知三條邊之間的關(guān)系，接著重點(diǎn)研究“能圍成三角形的三條邊之間到底有什么關(guān)系？”

通過觀察、驗(yàn)證、再操作，最終發(fā)現(xiàn)三角形任意兩邊之和大于第三邊這一結(jié)論。這樣教學(xué)符

合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，既增加了興趣，又增強(qiáng)學(xué)生的動手能力.

4

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

教學(xué)目標(biāo)＜

1.掌握三角形的高、中線、角平分線、重心的定義中體現(xiàn)出來的性質(zhì).

2.會畫三角形的高、中線、角平分線.

3.了解三角形的穩(wěn)定性.

重總難總＜

重點(diǎn)

了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平

分線，了解三角形具有穩(wěn)定性這一性質(zhì).

難點(diǎn)

1.三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，三角形的高與垂線的區(qū)別.

2.鈍角三角形高的畫法.

3.不同的三角形三條高的位置關(guān)系.

數(shù)字設(shè)計(jì)＜

一、情境導(dǎo)入

生活實(shí)例演示：

人字型屋頂鋼架、風(fēng)箏骨架，并從中抽象出數(shù)學(xué)圖形，引出三角形中的特殊線段.

二、探究新知

（一）三角形的高

問題1：如何求三角形的面積？

問題2：什么是三角形的高，怎樣畫三角形的高？教師首先提出問題1,學(xué)生舉手回答,

然后教師進(jìn)一步提出來問題2.引入本節(jié)課的第一個(gè)概念.

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形

的高.如圖，AD是AABC的邊BC上高.

A

BD

5

想一想，一個(gè)三角形有幾條高？

然后教師要求學(xué)生舉手畫三個(gè)不同的三角形，即銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形,

之后要求學(xué)生作出它們的高，然后同學(xué)進(jìn)行交流.

觀察：每一個(gè)三角形的三條高有什么位置關(guān)系？

三條高交于一點(diǎn).

教師提出問題：各種三角形的高都分別交于一點(diǎn)嗎？

學(xué)生討論，交流，然后歸納結(jié)果.

練習(xí)：教材第5頁練習(xí)第1題.

學(xué)生獨(dú)立觀察，然后交流，歸納.

（二）三角形的中線與角平分線的概念及畫法

1.三角形的中線及其畫法.

2.三角形的角平分線及其畫法.

教師指出三角形中線的定義及角平分線的定義，然后仿照三角形的高的教學(xué)過程，安排

學(xué)生畫一畫，并相應(yīng)地提出類似的問題.

學(xué)生動手操作，然后交流，探討，師生共同歸納總結(jié).

三角形的三條中線都在三角形的內(nèi)部，且它們交于一點(diǎn).三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三

角形的重心.

三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，且它們交于一點(diǎn).

三角形的三條高不一定在三角形的內(nèi)部，它們也相交于一點(diǎn).

三角形的高、中線、角平分線都是線段.

（三）三角形的穩(wěn)定性

教師利用折尺讓學(xué)生先折成三角形的樣子，然后拆成四邊形的樣子，認(rèn)識三角形的穩(wěn)定

性.

學(xué)生認(rèn)識到三角形的穩(wěn)定性以后，讓學(xué)生找出幾個(gè)生活中利用三角形的穩(wěn)定性的例子，

并完成教材第7頁練習(xí).

三、練習(xí)鞏固

練習(xí)：教材第5頁練習(xí)第2題.

思考：如下圖，AD是4ABC的邊BC上的中線，AABD和AADC的面積有何關(guān)系，為什么？

教師布置練習(xí)，學(xué)生獨(dú)立完成，然后舉手回答.

教師利用投影出示思考題，學(xué)生進(jìn)行討論后，再進(jìn)行歸納.

歸納：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

思考：高和角平分線是否也有這樣的性質(zhì)呢？

四、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)：談?wù)勀銓θ切蔚母摺⒅芯€、角平分線的認(rèn)識.

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納三角形的高、中線、角平分線的相關(guān)性質(zhì).

布置作業(yè)：習(xí)題11.1第3,4,8題，選做題：第9題.

教與反思<：?<

6

以學(xué)生為本，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，主動參與到新課堂的實(shí)踐活動.例如：學(xué)生在

學(xué)習(xí)了三角形的角平分線、中線后，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)比較它們的異同點(diǎn)，以免混淆，建立了求

同存異的思想。學(xué)生在得到了任意三角形的三條角平分線、中線交于一點(diǎn)，且在三角形的內(nèi)

部，這一規(guī)律后，就輕易認(rèn)為三條高線也適用此規(guī)律.教師抓住學(xué)生的慣性心理，引導(dǎo)學(xué)生

通過動手發(fā)現(xiàn)新問題，從而解決它.在教學(xué)三角形的穩(wěn)定性時(shí)，盡可能利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生

探尋三角形穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)含義，進(jìn)而用三角形的穩(wěn)定性解釋“為什么不易變形”，再回歸生

活，運(yùn)用三角形的穩(wěn)定性解釋為什么要用上三角形和用三角形解決生活中的問題.

11.1.2三角形的高、中線與角平分線

k學(xué)'習(xí)@之:

i.了解三角形的高、中線、角平分線等有關(guān)概念.

2.掌握三角形的高、中線與角平分線的畫法；了解三角形的三條高、三條中線、三條

角平分線分別交于一點(diǎn).

kjr點(diǎn)犀焉,

重點(diǎn)：三角形的高、中線、角平分線概念的簡單運(yùn)用及它們的幾何語言表達(dá).

難點(diǎn)：鈍角三角形的高的畫法.

k預(yù)'習(xí)等—>

一、自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)1：自學(xué)課本P4頁，掌握三角形的高的畫法，完成下列填空.（4分鐘）

作出下列三角形的高：

如圖①，AD是△ABC的邊照上的高，則有NADB=NADC=90°.

總結(jié)歸納：三角形的高有2條，銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，相交于二點(diǎn)，

直角三角形的三條高相交于三角形的直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的三條高相交于三角形的處

部.

自學(xué)2：自學(xué)課本因一5頁，掌握三角形的中線的畫法，理解重心的概念，完成下列填

空.（5分鐘）

作出下列三角形的中線，回答下面問題：

總結(jié)歸納：三角形的中線有之條，相交于二點(diǎn)，且在三角形的內(nèi)部,三角形三條中線的

交點(diǎn)叫做三角形的重心.

7

取一塊質(zhì)地均勻的三角形木板，試著找出它的重心.

自學(xué)3：自學(xué)課本P5頁，掌握三角形的角平分線的畫法，理解三角形的角平分線與角

的平分線的區(qū)別，完成下列填空.（3分鐘）

作出下列三角形的角平分線，回答下列問題：

如圖①，AD是AABC的角平分線，則有/BAD=NDAC=g/BAC；

總結(jié)歸納：三角形的角平分線有2條，相交于二點(diǎn)，且在三角形的內(nèi)部.三角形的角平

分線是線段,而角的角平分線是射線.

點(diǎn)撥精講：三角形的高、中線和角平分線都是線段.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.（5分鐘）

完成課本P5頁的練習(xí)題1,2.

k合作.探—>

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，在aABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，貝打

⑴???AE是AABC的中線，土醫(yī)

（2）VAD是4ABC的角平分線，ZBAD=ZDAC=|zBAC；

（3）：AF是AABC的高，/.ZAFB=ZAFC=90°；

⑷,.?AE是△ABC的中線,；.BE=CE,又△砒=<BE?AF,S△祝=|cE?AF,，S△樨=S

z------z------

AACE.

點(diǎn)撥精講：三角形的高、中線和角平分線的概念既是性質(zhì)，也可以做為判定定理用.

A

探究2如圖，AABC中，AB=2,BC=4,AABC的高AD與CE的比是多少？

解：v|AB?CE=|BC?AD,AB=2,BC=4,ACE=2AD,AAD：CE=1：2.

f跟/晚逸>4，學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.三角形的三條中線、三條角平分線、三條高都是（。

A.直線B.射線

8

C.線段D.射線或線段

2.一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（而

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定

3.能把三角形的面積分成兩個(gè)相等的三角形的線段是（9

A.中線B.高

C.角平分線D.以上都正確

A

BC

4.如圖，D,E是邊AC的三等分點(diǎn)：

⑴圖中有9個(gè)三角形，BD是三角形ABE中坦邊上的中線，BE是三角形DBC中里邊上

12

的中線，AD=DE=EC=-AC,AE=DC=~AC；

(2)S△ABD=(aDBE=SzXEBC=TSAABC

(3)SAABE=(△DBC=求△ABC.

區(qū)絲嵬（i分鐘）

1.三角形的高、中線和角平分線都是線段.

2.三角形的高、中線和角平分線的概念既可得到角與線段的數(shù)量關(guān)系，也可做為判定

三角形高、中線和角平分線的判定定理.

/課堂處箍_?（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

僮里色區(qū)—（10分鐘）

11.1.3三角形的穩(wěn)定性

卜學(xué)'習(xí)昌彝.

通過觀察和操作得到三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性，了解穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性

在生產(chǎn)、生活中的應(yīng)用.

Hr點(diǎn)唯焉.

重、難點(diǎn)：了解三角形穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的實(shí)際應(yīng)用.

k-'習(xí)號號>

一、自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)：自學(xué)課本P6—7頁，掌握三角形的穩(wěn)定性及應(yīng)用，完成下列填空.（5分鐘）

將準(zhǔn)備好的木條做成的三角形木架、四邊形木架取出進(jìn)行操作并觀察：

9

(D如圖①，扭動三角形木架，它的形狀會改變嗎？

⑵如圖②，扭動四邊形木架，它的形狀會改變嗎？

③

總結(jié)歸納：由上面的操作我們發(fā)現(xiàn)，三角形木架的形狀不會改變,而四邊形木架的形狀

會改變.

(3)如圖③，斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會改變.想一想其中的道理是什么？

總結(jié)歸納：三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形沒有穩(wěn)定性.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.(5分鐘)

1.課本P7頁練習(xí)題第1題.

2.請例舉生活中關(guān)于三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性的應(yīng)用實(shí)例.

If合>

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.(10分鐘)

探究1要使四邊形不變形，最少需要加L條線段，五邊形最少需要加工條線段，六邊

形最少需要加2條線段……n邊形(n>3)最少需要加包二立條線段才具有穩(wěn)定性.

點(diǎn)撥精講：過一點(diǎn)把一個(gè)多邊形分成若干個(gè)三角形最少需要幾條線段.

探究2等腰三角形一腰上的中線將此等腰三角形分成9c",15M兩部分，求此等腰

三角形的周長是多少？

|x+^x=15,

解：設(shè)等腰三角形的腰長為xcm,底邊長為ycm,依題意得，當(dāng)x>y時(shí)，11

y+gx=9,

x+Jx=9,,_

2Ix—6,

解得c*--6+6=12,不符合三角形的三邊關(guān)

,1一u〔y=12,

y?之x15,

系，故舍去....此三角形的周長為10+10+4=24(CR).

答：此等腰三角形的周長為24cm.

點(diǎn)撥精講：此題用到分類思想，同時(shí)要考慮三角形的三邊關(guān)系.

跟蹤練4-學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.(10分鐘)

1.課本P9頁第10題.

2.下列圖形具有穩(wěn)定性的有(。

A.梯形B.長方形

C.三角形D.正方形

3.體育館屋頂?shù)臋M梁用鋼筋焊出了無數(shù)個(gè)三角形，是因?yàn)椋喝切尉哂蟹€(wěn)定性.

4.已知AD,AE分別是aABC的中線、高，且AB=5cm,AC=3cm,則△ABD與△ADC

10

的周長之差為2cm-,AABD與的面積關(guān)系是相等.

5.如圖，D是AABC中BC邊上的一點(diǎn)，DE〃AC交AB邊于E,DF〃AB交AC邊于F,且

/ADE=NADF.求證：AD是aABC的角平分線.

證明：VDE/7AC,DF〃AB,NADE=/DAC,/ADF=NDAB,又：/ADE=NADF,AZ

DAC=ZDAB,AAD是AABC的角平分線.

「點(diǎn)撥科研（1分鐘）

三角形的穩(wěn)定性與四邊形的不穩(wěn)定性在日常生活中非常常用.

f課堂盤、籠—（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

（當(dāng)堂訓(xùn)隹一（12分鐘）

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角（1）

?學(xué)'習(xí)E彝＞

1.會用不同的方法證明三角形的內(nèi)角和定理.

2.能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的問題.

卜一點(diǎn)舉點(diǎn)、,

重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用.

難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明.

?預(yù)'習(xí)與—:

一、自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)1：自學(xué)課本P11—12頁“探究”，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明方法，完成下列

填空.（5分鐘）

歸納總結(jié)：三角形內(nèi)角和定理一一三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.

已知：AABC.求證：/A+/B+/C=18（T.

A

點(diǎn)撥精講：為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.作輔助線是幾何證

明過程中常用到的方法，輔助線通常畫成虛線.

證明：延長區(qū)_到點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE〃AC,：BE〃AC,，N1=/A,N2=NC,VZ1

+Z2+ZABC^180°,.,./A+/ABC+/C=180°.

自學(xué)2：自學(xué)課本P12—13“例1、例2"，掌握三角形內(nèi)角和的應(yīng)用.（5分鐘）

你可以用其他方法解決例2的問題嗎？

11

?北北

點(diǎn)撥精講：可過點(diǎn)C作CF〃AD,可證得CF〃BE,同時(shí)將NACB分成NACF與NBCF,求

出這兩個(gè)角的度數(shù)，就能求出/ACB.

解：過點(diǎn)C作CF〃AD,VAD/7BE,，CF〃BE,VCF/7AD,CF〃BE,AZACF=ZDAC=

50°,/FCB=/CBE=40°,/ACB=NACF+/FCB=50°+40°=90°,VZCAB=ZDAB

-ZDAC=80°-50°=30°,AZABC=1800-ZCAB-ZACB=180°-30°-90°=

60°.

答:從B島看A,C兩島的視角NABC是60°,從C島看A,B兩島的視角/ACB是90°.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.（5分鐘）

完成課本P13頁的練習(xí)題1,2.

點(diǎn)撥精講：仰角是當(dāng)視線在視平線上方時(shí)視線與視平線所夾的角.

k合，作勒先）

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（7分鐘）

探究1①一個(gè)三角形中最多有L個(gè)直角；②一個(gè)三角形中最多有L個(gè)鈍角；③一個(gè)三

角形中至少有2個(gè)銳角；④任意一個(gè)三角形中，最大的一個(gè)角的度數(shù)至少為K二.為什么？

點(diǎn)撥精講：三角形的內(nèi)角和為180°.

探究2如圖，在AABC中，EF與AC交于點(diǎn)G,與BC的延長線交于點(diǎn)F,NB=45°,

ZF=30°,ZCGF=70°,求NA的度數(shù).

解：在aCGF中，/GCF=180°—/CGF-NF=180°-70°-30°=80°,，/ACB=

180°-ZGCF=180°-80°=100°，在aABC中，NA=180°-ZB-ZACB=180°-45°

-100°=35°.

跟蹤強(qiáng)一學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.（8分鐘）

1.課本P16頁復(fù)習(xí)鞏固第1題.

2.在AABC中，NA=35°,/B=43°,則/C=102°.

3.在4ABC中，ZA：ZB：ZC=2：3：4,則ZB=60°,ZC=80°.

4.在aABC中，如果NA=J/B=；NC,那么AABC是什么三角形？

乙O

解：VZA=|zB=1zC,.*.ZB=2ZA,ZC=3ZA,VZA+ZB+ZC=180°,AZA

+2ZA+3ZA=180°,.,.ZA=300,/.ZB=60°,/C=90°,/XABC是直角三角形.

但莖盤及f（3分鐘）為了說明三角形的內(nèi)角和為180。，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.

（謀堂小練f（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

12

（當(dāng)堂分鐘）

13

11.2.1三角形的內(nèi)角（2）

上學(xué)'習(xí).。礴:

1.掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性質(zhì)與判定.

2.能運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)與判定解決實(shí)際問題.

lr童，點(diǎn).雎點(diǎn)、＞

重、難點(diǎn)：理解和運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)與判定.

》預(yù)'習(xí)■&?一1

一、自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)：自學(xué)課本P13—14頁，掌握直角三角形的表示方法及其性質(zhì)，完成下列填空.（5

分鐘）

總結(jié)歸納：（1）直角三角形可以用符號“一△”表示，直角三角形ABC可以寫成應(yīng)△ABC.

（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

（3）有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.（10分鐘）

1.在以△ABC中，ZC=90°,ZA=2ZB,求出NA,NB的度數(shù).

解：應(yīng)aABC中，NA+/B=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.

VZA=2ZB,.,.2ZB+ZB=90°，AZB=30°,ZA=60°.

2.如圖，ZACB=90°,CD±AB,垂足為D,/ACD與/B有什么關(guān)系？為什么？

解：結(jié)論：ZACD=ZB.

理由如下：在股Z\ACB中，ZA+ZB=90°,在以ZXACD中，ZA+ZACD=90°,AZ

ACD=/B.

點(diǎn)撥精講：利用同角的余角相等可以方便地證出兩角的相等關(guān)系.

3.如圖，NC=90°,ZAED-ZB,4ADE是直角三角形嗎？為什么？

解：結(jié)論：4ADE是直角三角形.

理由如下：在aAABC中，ZA+ZB=9O0（直角三角形的兩個(gè)銳角相等）.

14

VZAED=ZB,.,.ZA+ZAED=90°,.-.AADE是直角三角形（有兩個(gè)角互余的三角形

是直角三角形）.

k合作得先＞

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，AB〃CD,AE,CE分別平分NBAC,NACD.求證：4ACE是燈△.

證明：VAB/7CD,.".ZBAC+ZACD=180°,VAE,CE分別平分NBAC,ZACD,/.ZEAC

=|zBAC,ZACE=|zACD,AZEAC+ZACE=1zBAC+|zACD=90°,ZXACE是服△（有

兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形）.

探究2如圖，在位/XABC中，/C=90°,AD,BD是/CAB,/CBA的角平分線，求ND

的度數(shù).

解：在燈AABC中，ZCAB+ZCBA=90°,

VAD,BD是/CAB,ZCBA的角平分線，/.ZDAB=|zCAB,ZDBA=|zCBA,AZDAB

+ZDBA=1zCAB+|zCBA=45°,在AADB中，ND=180°-（ZDAB+ZDBA）=180°-

45°=135°.

f跟基售4，.學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.在AABC中，ZA：ZB：/C=l：2：3,則此三角形是直角三角形.

C

ADB

2.如圖，在aABC中，ZACB=90°,ZACD=ZB.

求證：AACD是服△.

證明：在^aABC中，ZA+ZB=90°（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）.

VZACD-ZB,AZA+ZACD=900,;.△ACD是以△（有兩個(gè)角互余的三角形是直角

三角形）.

k點(diǎn)'撥.糖因＞（3分鐘）1.直角三角形的性質(zhì):兩個(gè)銳角互余.

2.直角三角形的判定：①有一個(gè)角是直角；②兩邊互相垂直；③有兩個(gè)角互余；

（堡里/遴—（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

匕當(dāng)'堂.訓(xùn)薛》（10分鐘）

15

11.2與三角形有關(guān)的角

11.2.1三角形的內(nèi)角

教學(xué)目標(biāo)＜

1.理解三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容，能應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決一些簡單的實(shí)際問題.

2.掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余，能用有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形對三角

形進(jìn)行判定.

重點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理

難點(diǎn)

三角形內(nèi)角和定理的推理過程.

教學(xué)設(shè)計(jì)〈

一、情境導(dǎo)入

我們知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°,怎樣證明這個(gè)結(jié)論的正確性呢？小學(xué)

中我們通過測量的方法進(jìn)行過驗(yàn)證，但我們不可能對所有的三角形進(jìn)行驗(yàn)證，有沒有一種能

證明任意三角形的內(nèi)角和等于180°的方法呢？

二、探究新知

（一）探究三角形的內(nèi)角和

1.在所準(zhǔn)備的三角形硬紙上標(biāo)出三個(gè)內(nèi)角的編碼.

出/BCD的度數(shù)，可得到NA+NB+NACB=180°.

3.把/B和/C剪下按下圖拼在一起，用量角器量一量NMAN的度數(shù)，會得到什么結(jié)果？

（3）

教師在學(xué)生完成后，提出問題：

在圖⑵中直線CM與AB是什么關(guān)系？

在圖⑶中直線MN與BC是什么關(guān)系？

你能從中找到三角形內(nèi)角和定理的證明方法嗎？

（二）證明三角形內(nèi)角和定理

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180。.

16

已知：△ABC,如圖.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

教師引導(dǎo)學(xué)生從上面的操作中得到證明三角形內(nèi)角和定理的方法,然后規(guī)范地寫出證明

過程.注意向?qū)W生提示輔助線要用虛線.

這一過程中教師應(yīng)當(dāng)注意，必須要寫出規(guī)范的證明過程.教師可以采用示范一個(gè)，練習(xí)

一個(gè)的方式.用如上圖的方法進(jìn)行教師示范，用如下圖的方法讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí).

想一想，還有沒有其他的方法？（利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

三、舉例分析

教師用多媒體出示例1,要求學(xué)生獨(dú)立完成.

學(xué)生說出解題過程，教師講評，規(guī)范格式.

老師利用多媒體出示例2,學(xué)生先讀題，弄懂題意，然后師生共同分析解題.

之后教師可進(jìn)一步向?qū)W生提問：“還有沒有其他的方法來解決.”

教師指導(dǎo)學(xué)生嘗試探究直角三角形的兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，要求寫出推理過程.

學(xué)生匯報(bào)結(jié)果，師生總結(jié)得到“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”.

教師多媒體出示例3,指名板演，集體講評，注重講題說理.接著讓學(xué)生思考：有兩個(gè)

角互余的三角形是否是直角三角形？（簡單說明理由）

四、課堂練習(xí)

練習(xí)：教材練習(xí).

補(bǔ)充練習(xí)：

1.三角形中最大的角是70°,那么這個(gè)三角形是銳角三角形.（）

2.一個(gè)三角形中最多只有一個(gè)鈍角或直角.（）

3.一個(gè)等腰三角形一定是銳角三角形.（）

4.一個(gè)三角形最少有一個(gè)角不大于60°.（）

5.一個(gè)三角形中有兩個(gè)角分別是40°,50°,則這個(gè)三角形是直角三角形.（）

五、小結(jié)與作業(yè)

小結(jié)：談?wù)劚竟?jié)課的收獲.

教師引導(dǎo)學(xué)生從定理的證明過程和對例題中解題的思路方法的角度進(jìn)行小結(jié).

布置作業(yè)：習(xí)題11.2第1,2,3,7題，選做題：第9題.

教學(xué)反思＜

在教學(xué)中，當(dāng)引出課題后，先引導(dǎo)學(xué)生積極討論交流探究三角形內(nèi)角和的方法，再引導(dǎo)

學(xué)生通過探究活動來得出結(jié)論.當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，教師也參與學(xué)生的研究，適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)撥,

并充分進(jìn)行交流反饋，給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)寬松和諧的探究氛圍.

11.2.2三角形的外角

17

?學(xué)'習(xí)昌林,

1.探索并了解三角形的外角的兩條性質(zhì)，利用學(xué)過的定理證明這些性質(zhì).

2.能利用三角形的外角性質(zhì)解決實(shí)際問題.

卜量T點(diǎn)舉漏>

重點(diǎn)：三角形外角的性質(zhì).

難點(diǎn)：運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)解決有關(guān)角的計(jì)算及證明問題.

/預(yù)'習(xí)等學(xué)

一、自學(xué)指導(dǎo)

自學(xué)1：自學(xué)課本P14頁，掌握三角形外角的定義，完成下列填空.（3分鐘）

如圖1,把AABC的邊BC延長到D,我們把/ACD叫做三角形的處魚.

思考：①在aABC中，除了NACD外，還有那些外角？請?jiān)趫D2中分別畫出來；②以點(diǎn)

C為頂點(diǎn)的外角有2個(gè)，所以AABC共有殳個(gè)外角；③外角/ACD與內(nèi)角NACB的關(guān)系是：互

為鄰補(bǔ)角.

總結(jié)歸納：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角；每一個(gè)三角

形都有9個(gè)外角；每一個(gè)頂點(diǎn)相對應(yīng)的外角都有2個(gè);每個(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.

自學(xué)2：自學(xué)課本P15頁“探究與例4”，理解三角形外角的性質(zhì)并學(xué)會運(yùn)用.（7分鐘）

BCD

如圖，aABC中，NA=70°,/B=60°,/ACD是AABC的一個(gè)外角.能由內(nèi)角/A,

NB求出外角NACD嗎？如果能，外角NACD與內(nèi)角NA,NB有什么關(guān)系？認(rèn)真思考，完成

下面的填空：

（1）ZACB=50°,ZACD=130°,ZA+ZB=130°,ZACD^ZA+ZB；（iX

或“=”）

（2）ZACD>ZA,NACD④NB.（填“>”或“=”）

總結(jié)歸納：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)更的和；三角形的一個(gè)外角大于

任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角.

二、自學(xué)檢測：學(xué)生自主完成，小組內(nèi)展示、點(diǎn)評，教師巡視.（5分鐘）

1.如圖，是Z\BFD的外角有NCDA,NBFC,NDFE,以NAEB為外角的三角形是絲生

ACEB.

2.如圖，Zl,Z2,N3是aABC不同的三個(gè)外角，求/1+N2+/3.

18

解：VZ1=ZABC+ZACB,Z2=ZBAC+ZACB,Z3=ZABC+ZCAB,AZ1+Z2+

Z3=2（ZABC+ZACB+ZBAC）,VZABC+ZACB+ZBAC=180°,/l+/2+/3=2X

180°=360°.

3.課本P15頁練習(xí)題.

》合作賽—>

小組討論交流解題思路，小組活動后選代表展示活動成果.（10分鐘）

探究1如圖，在aABC中，ZA=a,△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)P,且

/P=B,試探求下列各圖中a與B的關(guān)系，并選一個(gè)結(jié)論加以證明.

證明：（略）

探究2如圖，ZA=50°,ZB=40°,ZC=30°,求/BPC的度數(shù).

解：連接AP并延長到點(diǎn)E,：/BPE=/B+/BAP,ZCPE=ZC+ZCAP,又?.?/BPC=

ZBPE+ZCPE,AZBPC=ZB+ZBAP+ZC+ZCAP=ZBAC+ZB+ZC=50°+40°+30°

=120°.

跟蹤型一學(xué)生獨(dú)立確定解題思路，小組內(nèi)交流，上臺展示并講解思路.（5分鐘）

1.若三角形的一個(gè)外角小于與它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是（。

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.無法確定

2.已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2：3：4,則它的最大內(nèi)角的度數(shù)為（。

A.90°B.110°C.100°D.120°

3.如圖，Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6^360°.

錯(cuò)誤!

4.如圖，BE〃CF,ZB=500,/C=75°,求NA的度數(shù).

19

解：VBE/7CF,.,.ZADE=ZC,VZADE=ZB+ZA,.\50°+ZA=75°,AZA=25°.

兇盤型J（3分鐘）1.三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處都有2個(gè)外角，這兩個(gè)外角互為對頂角，

外角與它相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角.

2.在三角形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這三個(gè)外角的和為360°.

3.三角形外角的性質(zhì)是三角形有關(guān)角的計(jì)算與證明的常用依據(jù).

,課堂生維?（學(xué)生總結(jié)本堂課的收獲與困惑）（2分鐘）

［當(dāng)‘堂四稀》（10分鐘）

11.2.2三角形的外角

教學(xué)目標(biāo)＜

1.了解三角形的外角.

2.知道三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

3.學(xué)會運(yùn)用簡單的說理來計(jì)算三角形相關(guān)的角.

重總難后＜

重點(diǎn)

三角形外角的性質(zhì).

難點(diǎn)

運(yùn)用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算時(shí)能準(zhǔn)確地推理.

一、復(fù)習(xí)引入

什么是三角形的內(nèi)角？它是由什么組成的？

三角形內(nèi)角和定理的內(nèi)容是什么？

教師提出問題，學(xué)生舉手回答問題.

二、探究新知

1.探究三角形外角的概念.

教師布置學(xué)生自學(xué)教材第14頁最后一段話的內(nèi)容，然后完成以下問題:

（1）舉例說明什么是三角形的外角.（上黑板畫圖說明）

（2）如圖，ZADB,ZBPC,ZBDC,NDPC分別是哪個(gè)三角形的外角?

A

/

BC

2.探究三角形外角的性質(zhì).

老師布置學(xué)生自學(xué)教材第15頁思考的內(nèi)容，然后同學(xué)間進(jìn)行交流、討論，歸納三角形

的外角有什么性質(zhì)，并提出以下問題：

你能否用證明的方法說明你所歸納的性質(zhì)？

學(xué)生歸納得出三角形外角的性質(zhì)：

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

三、舉例分析

20

例1如圖，ZBAE,ZCBF,/ACD是aABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？

教師出示教材例4,先讓學(xué)生進(jìn)行分析，教師可以適當(dāng)加以引導(dǎo)學(xué)生，將三角形的外角

轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后師生共同寫出規(guī)范的解答過程.

解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得NBAE=N2+N3,ZCBF

=N1+N3,ZACD-Z1+Z2.

所以NBAE+NCBF+NACD=2