一輪復習精品資料(高中)PAGE1-課時作業梯級練五十直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若θ是直線l的傾斜角,且sinθ+cosθ=QUOTE,則l的斜率為 ()A.-QUOTE B.-QUOTE或-2C.QUOTE或2 D.-2〖解析〗選D.因為sinθ+cosθ=QUOTE,①所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=QUOTE,易知sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=QUOTE,②由①②解得QUOTE所以tanθ=-2,即l的斜率為-2.2.已知直線l經過兩點O(0,0),A(1,QUOTE),直線m的傾斜角是直線l的傾斜角的兩倍,則直線m的斜率是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選A.依題意kOA=QUOTE=QUOTE,所以直線l的傾斜角為QUOTE,所以直線m的傾斜角為QUOTE,所以直線m的斜率為tanQUOTE=-QUOTE.3.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則 ()A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2〖解析〗選A.由于直線l1的傾斜角為鈍角,所以k1<0;由于直線l2,l3的傾斜角為銳角,且l2的傾斜角小于l3的傾斜角,所以k3>k2>0,所以k1<k2<k3.4.在同一平面直角坐標系中,兩直線QUOTE-QUOTE=1與QUOTE-QUOTE=1的圖象可能是 ()〖解析〗選D.直線QUOTE-QUOTE=1化為QUOTE+QUOTE=1在x軸上的截距為m,在y軸上的截距為-n;直線QUOTE-QUOTE=1化為QUOTE+QUOTE=1在x軸上的截距為n,在y軸上的截距為-m,所以兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距互為相反數,對于A選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為正數,不滿足題意;對于B選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為負數,不滿足題意;對于C選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為負數,不滿足題意;對于D選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距均異號,滿足題意.5.已知直線x+my+1+m=0在兩坐標軸上的截距相等,則實數m= ()A.1 B.-1 C.±1 D.1或〖解析〗選C.由題意,直線x+my+1+m=0在兩坐標軸上的截距相等,當直線x+my+1+m=0過原點時,在坐標軸上的截距都為零,則1+m=0,解得m=-1;當直線x+my+1+m=0不過原點時,要使得在坐標軸上的截距相等,此時直線的斜率為-1,即-QUOTE=-1,解得m=1,綜上可得,實數m=±1.6.設點P是函數fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1)圖象上的任意一點,點P處切線的傾斜角為α,則角α的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗選B.因為fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-f′(0),所以f′(0)=2-f′(0),f′(0)=1,所以fQUOTE=2ex-x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-1>-1.因為點P是曲線上的任意一點,點P處切線的傾斜角為α,所以tanα>-1.因為α∈QUOTE,所以α∈QUOTE∪QUOTE.7.已知兩條直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數,當這兩條直線的夾角在QUOTE內變動時,a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗選C.由直線方程l1:y=x,可得直線的傾斜角為α=45°,又因為這兩條直線的夾角在QUOTE內,所以直線l2:ax-y=0的傾斜角的取值范圍是30°<α<60°且α≠45°,所以直線l2的斜率a的取值范圍為tan30°<a<tan60°且a≠tan45°,即QUOTE<a<1或1<a<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.直線l經過點A(1,2),傾斜角等于直線2x-3y+21=0的傾斜角的兩倍,則直線l的一般式方程為.

〖解析〗設直線2x-3y+21=0的傾斜角為α,則tanα=QUOTE,則直線l的傾斜角為2α,所以直線l的斜率為k=tan2α=QUOTE=QUOTE,所以直線l的方程為y-2=QUOTE,整理得直線l的一般式方程為12x-5y-2=0.〖答案〗:12x-5y-2=09.已知函數fQUOTE=ax+2a-1的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m·n>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為.

〖解析〗因為fQUOTE=ax+2a-1=aQUOTE-1,所以函數y=fQUOTE的圖象恒過定點AQUOTE,由于點AQUOTE在直線mx+ny+1=0上,則-2m-n+1=0,則2m+n=1,因為mn>0,則QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥2QUOTE+4=8,當且僅當n=2m,即n=QUOTE,m=QUOTE時,等號成立,因此,QUOTE+QUOTE的最小值為8.〖答案〗:810.將直線y=x+QUOTE-1繞它上面一點(1,QUOTE)沿逆時針方向旋轉15°,所得到的直線方程是.

〖解析〗由y=x+QUOTE-1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.因為沿逆時針方向旋轉15°,角變為60°,所以所求直線的斜率為QUOTE.又因為直線過點(1,QUOTE),所以直線方程為y-QUOTE=QUOTE(x-1),即y=QUOTEx.〖答案〗:y=QUOTEx1.(5分)已知實數a,b滿足a+2b=1,則直線ax+3y+b=0必過定點,這個定點的坐標為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選D.因為a+2b=1,所以a=1-2b.因為直線ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因為QUOTE所以QUOTE所以直線必過點QUOTE.〖解題反思〗求定點定值問題常見的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.〖加練備選·拔高〗已知直線kx-y+2-4k=0,當k變化時,所有的直線恒過定點 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.直線kx-y+2-4k=0整理可知y=kQUOTE+2,故必過定點QUOTE.2.(5分)設直線l的方程為x+ycosθ+3=0(θ∈R),則直線l的傾斜角α的取值范圍是 ()A.〖0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗選C.當cosθ=0時,方程變為x+3=0,其傾斜角為QUOTE;當cosθ≠0時,由直線l的方程,可得斜率k=-QUOTE.因為cosθ∈〖-1,1〗且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),即tanα∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),又α∈〖0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,綜上知,直線l的傾斜角α的取值范圍是QUOTE.3.(5分)過點PQUOTE在兩坐標軸上的截距都是非負整數的直線有條 ()

A.4 B.5 C.6 〖解析〗選D.當截距為0時,是直線OP,只有1條,當截距大于0時,設截距分別為a,b,則直線方程為QUOTE+QUOTE=1,因為直線過點PQUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1①,因為a>0,b>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,結合①可得,QUOTE<1,QUOTE<1,所以a>3,b>4,又因為a,b為整數所以a≥4,b≥5,由①解得b=QUOTE=4+QUOTE,a-3為12的因數,所以a-3=1,2,3,4,6,12,對應a=4,5,6,7,9,15,相應b=16,10,8,7,6,5,對應的直線有6條,綜上所述,滿足題意的直線共有7條.〖加練備選·拔高〗1.(2021·西安模擬)已知直線x+a2y-a=0(a是正常數),當此直線在x軸,y軸上的截距和最小時,正數a的值是 ()A.0B.2C.QUOTED.1〖解析〗選D.直線x+a2y-a=0(a是正常數)在x軸,y軸上的截距分別為a和QUOTE,此直線在x軸,y軸上的截距和為a+QUOTE≥2,當且僅當a=1時,等號成立.故當直線x+a2y-a=0在x軸,y軸上的截距和最小時,正數a的值是1.2.已知MQUOTE,NQUOTE為不同的兩點,直線l:ax+by+c=0,δ=QUOTE,下列說法正確的有 ()①不論δ為何值,點N都不在直線l上;②若δ=1,則過點M,N的直線與直線l平行;③若δ=-1,則直線l經過MN的中點;④若δ>1,則點M,N在直線l的同側且直線l與線段MN的延長線相交.A.1個B.2個C.3個D.4個〖解析〗選D.因為δ=QUOTE中,ax2+by2+c≠0,所以點N不在直線l上,故①正確;當b≠0時,根據δ=1得到QUOTE=1,化簡得QUOTE=-QUOTE,即直線MN的斜率為-QUOTE,又直線l的斜率為-QUOTE,由①可知點N不在直線l上,得到直線MN與直線l平行,當b=0時,可得直線MN與直線l的斜率都不存在,也滿足平行,故②正確;當δ=-1時,得到QUOTE=-1,化簡得a·QUOTE+b·QUOTE+c=0,而線段MN的中點坐標為QUOTE,所以直線l經過MN的中點,故③正確;當δ>1時,得到QUOTE>1,所以QUOTE>0,即QUOTE>0,所以點M,N在直線l的同側且QUOTE>QUOTE,可得點M與點N到直線l的距離不等,所以延長線與直線l相交,故④正確.綜上:說法正確的有4個.4.(10分)在△ABC中,點AQUOTE,BQUOTE,CQUOTE.(1)若D為BC中點,求直線AD所在直線方程;(2)若D在線段BC上,且S△ABD=2S△ACD,求.〖解析〗(1)因為D為BC中點,所以DQUOTE,直線AD的斜率k=QUOTE=3,所以直線AD所在的直線方程為:y-4=3QUOTE,即直線AD方程為y=3x-5.(2)因為S△ABD=2S△ACD,所以=2,則=QUOTE,又由=+=+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE.5.(10分)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)證明:直線l過定點;(2)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,O為坐標原點,設△AOB的面積為S,求S的最小值及此時直線l的方程.〖解析〗(1)直線l的方程可化為y=k(x+2)+1,故無論k取何值,直線l總過定點(-2,1).(2)直線l的方程為y=kx+2k+1,則直線l在y軸上的截距為2k+1,要使直線l不經過第四象限,則QUOTE解得k≥0,故k的取值范圍是〖0,+∞).(3)依題意,直線l在x軸上的截距為-QUOTE,在y軸上的截距為1+2k,所以AQUOTE,B(0,1+2k).又-QUOTE<0且1+2k>0,所以k>0.故S=QUOTE|OA||OB|=QUOTE×QUOTE×(1+2k)=QUOTE≥QUOTE(4+4)=4,當且僅當4k=QUOTE,即k=QUOTE時,取等號.故S的最小值為4,此時直線l的方程為x-2y+4=0.課時作業梯級練五十直線的傾斜角與斜率、直線的方程一、選擇題(每小題5分,共35分)1.若θ是直線l的傾斜角,且sinθ+cosθ=QUOTE,則l的斜率為 ()A.-QUOTE B.-QUOTE或-2C.QUOTE或2 D.-2〖解析〗選D.因為sinθ+cosθ=QUOTE,①所以(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=QUOTE,所以2sinθcosθ=-QUOTE,所以(sinθ-cosθ)2=QUOTE,易知sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=QUOTE,②由①②解得QUOTE所以tanθ=-2,即l的斜率為-2.2.已知直線l經過兩點O(0,0),A(1,QUOTE),直線m的傾斜角是直線l的傾斜角的兩倍,則直線m的斜率是 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選A.依題意kOA=QUOTE=QUOTE,所以直線l的傾斜角為QUOTE,所以直線m的傾斜角為QUOTE,所以直線m的斜率為tanQUOTE=-QUOTE.3.若圖中的直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則 ()A.k1<k2<k3 B.k2<k1<k3C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2〖解析〗選A.由于直線l1的傾斜角為鈍角,所以k1<0;由于直線l2,l3的傾斜角為銳角,且l2的傾斜角小于l3的傾斜角,所以k3>k2>0,所以k1<k2<k3.4.在同一平面直角坐標系中,兩直線QUOTE-QUOTE=1與QUOTE-QUOTE=1的圖象可能是 ()〖解析〗選D.直線QUOTE-QUOTE=1化為QUOTE+QUOTE=1在x軸上的截距為m,在y軸上的截距為-n;直線QUOTE-QUOTE=1化為QUOTE+QUOTE=1在x軸上的截距為n,在y軸上的截距為-m,所以兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距互為相反數,對于A選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為正數,不滿足題意;對于B選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為負數,不滿足題意;對于C選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距同為負數,不滿足題意;對于D選項:兩直線中一直線在x軸上的截距與另一直線在y軸上的截距均異號,滿足題意.5.已知直線x+my+1+m=0在兩坐標軸上的截距相等,則實數m= ()A.1 B.-1 C.±1 D.1或〖解析〗選C.由題意,直線x+my+1+m=0在兩坐標軸上的截距相等,當直線x+my+1+m=0過原點時,在坐標軸上的截距都為零,則1+m=0,解得m=-1;當直線x+my+1+m=0不過原點時,要使得在坐標軸上的截距相等,此時直線的斜率為-1,即-QUOTE=-1,解得m=1,綜上可得,實數m=±1.6.設點P是函數fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1)圖象上的任意一點,點P處切線的傾斜角為α,則角α的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTE∪QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗選B.因為fQUOTE=2ex-f′(0)x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-f′(0),所以f′(0)=2-f′(0),f′(0)=1,所以fQUOTE=2ex-x+f′(1),所以f′QUOTE=2ex-1>-1.因為點P是曲線上的任意一點,點P處切線的傾斜角為α,所以tanα>-1.因為α∈QUOTE,所以α∈QUOTE∪QUOTE.7.已知兩條直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數,當這兩條直線的夾角在QUOTE內變動時,a的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE∪QUOTE D.QUOTE〖解析〗選C.由直線方程l1:y=x,可得直線的傾斜角為α=45°,又因為這兩條直線的夾角在QUOTE內,所以直線l2:ax-y=0的傾斜角的取值范圍是30°<α<60°且α≠45°,所以直線l2的斜率a的取值范圍為tan30°<a<tan60°且a≠tan45°,即QUOTE<a<1或1<a<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.直線l經過點A(1,2),傾斜角等于直線2x-3y+21=0的傾斜角的兩倍,則直線l的一般式方程為.

〖解析〗設直線2x-3y+21=0的傾斜角為α,則tanα=QUOTE,則直線l的傾斜角為2α,所以直線l的斜率為k=tan2α=QUOTE=QUOTE,所以直線l的方程為y-2=QUOTE,整理得直線l的一般式方程為12x-5y-2=0.〖答案〗:12x-5y-2=09.已知函數fQUOTE=ax+2a-1的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m·n>0,則QUOTE+QUOTE的最小值為.

〖解析〗因為fQUOTE=ax+2a-1=aQUOTE-1,所以函數y=fQUOTE的圖象恒過定點AQUOTE,由于點AQUOTE在直線mx+ny+1=0上,則-2m-n+1=0,則2m+n=1,因為mn>0,則QUOTE>0,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE+4≥2QUOTE+4=8,當且僅當n=2m,即n=QUOTE,m=QUOTE時,等號成立,因此,QUOTE+QUOTE的最小值為8.〖答案〗:810.將直線y=x+QUOTE-1繞它上面一點(1,QUOTE)沿逆時針方向旋轉15°,所得到的直線方程是.

〖解析〗由y=x+QUOTE-1得直線的斜率為1,傾斜角為45°.因為沿逆時針方向旋轉15°,角變為60°,所以所求直線的斜率為QUOTE.又因為直線過點(1,QUOTE),所以直線方程為y-QUOTE=QUOTE(x-1),即y=QUOTEx.〖答案〗:y=QUOTEx1.(5分)已知實數a,b滿足a+2b=1,則直線ax+3y+b=0必過定點,這個定點的坐標為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選D.因為a+2b=1,所以a=1-2b.因為直線ax+3y+b=0,所以(1-2b)x+3y+b=0,即b(1-2x)+(x+3y)=0.因為QUOTE所以QUOTE所以直線必過點QUOTE.〖解題反思〗求定點定值問題常見的方法有兩種:(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關.(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.〖加練備選·拔高〗已知直線kx-y+2-4k=0,當k變化時,所有的直線恒過定點 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗選B.直線kx-y+2-4k=0整理可知y=kQUOTE+2,故必過定點QUOTE.2.(5分)設直線l的方程為x+ycosθ+3=0(θ∈R),則直線l的傾斜角α的取值范圍是 ()A.〖0,π) B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE∪QUOTE〖解析〗選C.當cosθ=0時,方程變為x+3=0,其傾斜角為QUOTE;當cosθ≠0時,由直線l的方程,可得斜率k=-QUOTE.因為cosθ∈〖-1,1〗且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),即tanα∈(-∞,-1〗∪〖1,+∞),又α∈〖0,π),所以α∈QUOTE∪QUOTE,綜上知,直線l的傾斜角α的取值范圍是QUOTE.3.(5分)過點PQUOTE在兩坐標軸上的截距都是非負整數的直線有條 ()

A.4 B.5 C.6 〖解析〗選D.當截距為0時,是直線OP,只有1條,當截距大于0時,設截距分別為a,b,則直線方程為QUOTE+QUOTE=1,因為直線過點PQUOTE,所以QUOTE+QUOTE=1①,因為a>0,b>0,所以QUOTE>0,QUOTE>0,結合①可得,QUOTE<1,QUOTE<1,所以a>3,b>4,又因為a,b為整數所以a≥4,b≥5,由①解得b=QUOTE=4+QUOTE,a-3為12的因數,所以a-3=1,2,3,4,6,12,對應a=4,5,6,7,9,15,相應b=16,10,8,7,6,5,對應的直線有6條,綜上所述,滿足題意的直線共有7條.〖加練備選·拔高〗1.(2021·西安模擬)已知直線x+a2y-a=0(a是正常數),當此直線在x軸,y軸上的截距和最小時,正數a的值是 ()A.0B.2C.QUOTED.1〖解析〗選D.直線x+a2y-a=0(a是正常數)在x軸,y軸上的截距分別為a和QUOTE,此直線在x軸,y軸上的截距和為a+QUOTE≥2,當且僅當a=1時,等號成立.故當直線x+a2y-a=0在x軸,y軸上的截距和最小時,正數a的值是1.2.已知MQUOTE,NQUOTE為不同的兩點,直線l:ax+by+c=0,δ=QUOTE,下列說法正確的有 ()①不論δ為何值,點N都不在直線l上;②若δ=1,則過點M,N的直線與直線l平行;③若δ=-1,則直線l經過MN的中點;④若δ>1,則點M,N在直線l的同側且直線l與線段MN的延長線相交.A.1個B.2個C.3個D.4個〖解析〗選D.因為δ=QUOTE中,ax2+by2+c≠0,所以點N不在直線l上,故①正確;當b≠0時,根據δ=1得到QUOTE=1,化簡得QUOTE=-QUOTE,即直線MN