嚴家斌地球科學與信息物理學院物探所CSPYRY@CSU.EDU.C學樓215#電法勘探原理第二章電阻率法基本理論P60基本要求：熟習掌握地中電流密度的性質及地中穩定電流場的邊界條件；掌握點電源與偶極源電流場的分布特征；掌握視電阻率的概念及其微分表達式的意義；了解電阻率模擬方法各種巖、礦石均有不同程度的導電性能，若將直流電源的兩端通過電極與大地相連，地下便建立起穩定的電流場，分布特征決定于地下具有不同電阻率的巖、礦石（體）的賦存狀態，從各種不同的角度去觀測電場的分布特性并了解地下介質的情況，為電阻率的基本任務，也是本章要分析討論的內容。第一節地中穩定的電流場（1）地中穩定電流場的基本性質電流密度與電場的正比性歐姆定律的微分形式可以是張量也可是標量地中電流的連續性電荷守恒定律穩定的電流場中任一點電流密度散度恒等于零穩定電流場的勢場性勢場是無旋場，任一回路中功恒為零。電流場在空間上的分布是穩定的不隨時間而變，故與靜電場一樣是勢場，即某點M的電位U等于正電荷從M移到無窮遠電場所作的功。(一)庫侖定律真空中兩靜止電荷的相互作用力的大小與電量的絕對值的乘積成正比,與距離的平方成反比;方向在兩點荷的連線上,同號電荷相斥,異號相吸引.電場強度:單位實驗電荷受的電場力:場的疊加原理靜電場的旋度:在電場中實驗電荷沿閉合回線所做的功靜電場的散度:自內而外穿過任意封閉曲面的電場強度能量等于該曲面內部所包含的總電荷量的4π倍。（二）電荷守恒定律單位時間自內而外穿出任一封閉曲的電量等于該曲面所包圍區域內電量的減少率。（1）電流密度:某點電流密度矢量的大小為單位時間內通過垂直于電荷運動方向的單位面積的電量，方向為正電荷運動的方向。（2）電荷守恒數學表示（三）穩定的電流場在穩定電流情況下，電荷分布不隨時間而變，所以有：（1）歐姆定律:導電物質內的自由電荷作定向運動，形成的自由電流密度，稱為傳導電流密度（2穩定電流場的散度與旋度（2）地中穩定電流場的邊界條件第一類邊界條件（極限條件）第二類邊界條件（地面條件）第三類邊界條件（界面兩側ρ為有限值）第二節均勻介質中的點電源電流場（1）穩定電流場的拉普拉斯方程求解簡單地電條件下的位場分布時常用解析法，即根據邊界條件解以下微分方程：拉普拉斯方程不同坐標系中拉氏方程的形式直角坐標系（x,y,z）圓柱坐標系（r,Φ,z）球坐標系（r,θ,Φ）（2）一個點電流源的地中電流場均勻介質中問題具有球對稱性，電位與方向角與極角無關，因此在球坐標系拉氏方程為：積分極限條件得：C1=0由電流密度得：（3）點電流源在地面若點電流源位于電阻率為的均勻半空間的表面，地中電流線有分布便以A為中心向周圍輻射，電流密度應較無限介質中大一倍M點的電位及電場強度為：問題:在電導率分別為的兩均勻導電物質各組成一個均勻半空間,其分界面為平面,在導電介質中距離分界面h處有一個電流源,電流強度為I.求任意點的電位.從全空間到半空間的推導:球面上任意點的電流密度為:球面上法向矢量方向的電場在介質1和介質2中的電位V1(x,y,z)和V2(x,y,z)滿足拉氏方程及邊界條件

由于在同一水平面場對稱所以應用柱坐標求解(分離變量法),1區z=h電位不等于零,因此電位表達式可以表示為:問題關鍵是計算參數,a和b,由韋伯-李普希茲公式:邊界條件(3):由于上式對所有r成立,所以有:邊界條件(4):(1)和(2)可得:注意到對于區域12h-z>0,區域2也有z>0,因此有:在地表（4）點電流源在地下

當電流源A位于地下h深度時，地中電流分布不再呈輻射狀。由于地表電流密度的法向分量應等于零，可用鏡像法求解，即假設在地面以上也充滿電阻率為ρ

的介質，而在電源A與地面對稱位置上設一虛電流源A’,且使二者電流相等，地中任一點的電位為當觀測點位于地表時有R=R`，電位及沿X方向的電場和電流密度為：電位曲線半極值點與拐點：電場強度曲線拐點（5）地面兩個異性點電流的地中電流場電場疊加原理電極處電位高1/3~1/2變化緩AB中點為零電場在地下分布，AB中點垂面上電流密度變化深為H的點上，A，B電極形成的電流密度注意應是分量不是總的電流密度注意此時的L是有方向的所以應有負號在深度H上的電場有：在深度H上沿L總電場：重新導出上面的電場與電流密度在深度H上沿L總電流密度：電流密度隨L的變化特征L等于0或∞時jh均為零（從電場公式理解）電流密度最大值與供電距的關系，這點在應用中很重要深入度H的增加，電流密度迅速減小，當H=3AB/2時，jh=0.032j0。（6）偶極電流源的地中電流場偶極源在地面時地中任一點的電位：設E和ER的夾角為β，E和地面夾角為α＝β＋θ當M位于地表且坐標位于AB中點時有：θ0變向角（7）偶極源在地下的地中電流場P56設地下有一傾斜偶極電流源，其軸線與地面成α角，中心埋深為h時，地面上的電位表達式與地面偶極類似，僅需對cosθ做變換電位曲線不對稱，左右出現負、正極值，正負極值的連線為偶極子在地面的投影，極值點的坐標為：電場強度曲線不對稱，在偶極子的左上方電流集中，出現主極值，在右側零值點兩側有二個次極值點，它們與電流回流到地表的兩個集流區對應。X方向電場表達式：（7）水平偶極源在地下的地中電流場水平極化（α=0）電位極值電位以O點反對稱，左右兩側分別出現負、正極值；偶極子的正上方，電流匯集，有負極值，兩側有二個次極值，在2H外電位與電場均趨于零。（8）垂直偶極源在地下的地中電流場垂直極化（α=90）電場極值第三節均勻大地電阻率的測定P66

設地下均勻無限的各向同性介質中，在水平地面上將A、B兩供電極與電源相連，并向地下攻入電流強度為I的電流，則地表任意測量電極M和N處的電位：K是裝置系數（布極常數），單位是米第四節視電阻率的基本概念及

常用電阻率法P136（1）非均勻介質中的地下電流場

在電阻率為ρ1的介質中有二個電阻率不同的導電體，左邊為高阻體，右邊為低阻體。當AB兩電極向地下供電時，高低阻導電阻體將影響地下電流的分布。由電場在切線方向的連續得到如下關系：高阻體具有排斥電流的能力，電阻率越高，排斥能力超強。當ρ2→∞時，j2=0，即絕緣體將電流全部排斥到周圍介質中。低阻體具有吸引電流的能力，電阻率越低，吸引能力越強；當ρ3=0時，j1=0，即良導體將電流吸引到地下。電流從A極經過避開高阻巖體和通過低阻巖體到達B極，每條電流線的路徑都按所受阻力最小運行，服從最小能量原理。（2）視電阻率概念前面得到均勻半空間的電阻率實際應用地表不是水平，地下也不是均勻各向同性的，通過同樣的裝置得到的電阻率是就不是巖體或礦體的真實電阻率，我們把它稱為視電阻率那么視電阻率與地中的電場分布及電流密度等有何關系呢？當MN很小時，MN范圍內的電場可近似為不變，那么上式可寫為：當地表水平，地下為均勻各向同性介質時，電阻率為ρ，電流密度為j0，上式可寫為：均勻介質可以得到視電阻率公式的微分形式視電阻率的微分公式可以看出視電阻率與電流大小是無關，實際上由于E或J均與電流強度成正比，故所有的視電阻率公式中視電阻率值均與電流大小無關,只與不均勻體的分布及電極排列方式相關，但電流的大小會影響我們的觀測精度。當地下存在高阻體異常體時，觀測視電阻率將會比圍巖電阻率高；有低阻異常體時，視電阻率值比圍巖低；其次，視電阻率曲線不受正常電流場分布不均的影響。地形起伏會改變在面電流的分布，因此地形對視電阻率有影響。（3）常用的電阻率法電阻率剖面法：電極距保持一致，探測深度大致一致ABMNO電測深法：MN不動或有變化，AB逐漸增大以加大探測深度中間梯度法：AB固定，在中間AB/3的區域觀測高密度電法：一種陣列觀測方式第五節電阻率模擬方法簡介P116數值模擬方法：

有限元法、有限差