第1章分式1.1分式1.分式的基本性質：（1）分式的分子與分母都乘_________________，所得分式與原分式相等.（2）分式的分子與分母都除以它們的一個________，所得分式與原分式相等.知識回顧同一個非零整式公因式2.把下列多項式因式分解：(1)a2-2a=________a2-4a+4=_______(2)x2-9=____________x2+6x+9=________a(a-2)(a-2)2由此得它們的公因式是____.a-2(x+3)(x-3)(x+3)2由此得它們的公因式是____.x+3歸納：由以上可得2.把一個分式的分子與分母的________約去的運算叫作分式的約分.約分的依據是_______________.1.分子與分母沒有__________的分式叫作

.

公因式分式的基本性質公因式最簡分式（1）把分子與分母因式分解，找出分子與分母的公因式.約分的一般步驟:（2）根據分式的基本性質約去分子與分母的公因式.自我檢測交流1.下列分式，最簡分式的個數是（）

①②③④

A.1B.2C.3D.4a2-b2________(a-b)2a-b______a+bx-y_______y-xx2+1_______x+1B-x-y=-(x+y)(-x-y)2

=(x+y)2

y-x=-(x-y)(y-x)2

=(x-y)2

提示：找公因式時要熟悉以下轉化關系

思考：當x=5，y=3時，怎樣求分式的值？當x=5，y=3時，約分的應用方法：先約分化成最簡分式，再代值計算.第1章分式1.2分式的乘法和除法背景導入上節課我們學習了：分式的基本性質：分式的分子與分母都乘同一個非零整式，所得分式與原分式相等。能對分式進行約分。將一個分式化成最簡分式。接下來我們將學習分式的乘除法運算。一、做一做，回顧分數的乘除法。１、

２、

解:(1)(2)回顧分數的乘、除法法則分數的乘法法則：分數乘分數，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因數。分數的除法法則：分數除以分數，把除數的分子和分母顛倒位置后，再與被除數相乘。提問：你能用代數式表示上題的計算過程嗎？經觀察、類比，不難發現：分式的乘、除法法則：分式的乘法法則：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母。然后約去分子與分母的公因式。分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子和分母顛倒位置后，再與被除式相乘。例題講解例１計算：（１）（２）例題解答解：（１）

（２）

注意：分式運算的最后結果要化為最簡分式。（２）（分析：若分式的分子、分母可以因式分解，則先分解因式，再進行計算）例２計算：（１）解：（１）（２）教學總結提問：通過本節課的學習，你學到了哪些知識和數學思想？１、分式的乘除法。２、數學中重要的一種思想—類比轉化思想。由小學所學的分數的乘除法類比分式的乘除法，分式的除法可以化歸為分式的乘法。第1章分式1.3整數指數冪說一說正整數指數冪的運算法則有哪些？am·an=am+n(m，n都是正整數)；(am)n=amn(m，n都是正整數)；(ab)n=anbn(n是正整數).(a≠0，m，n都是正整數，且m＞n)；

(b≠0，n是正整數).

在前面我們已經把冪的指數從正整數推廣到了整數.

可以說明：當a≠0，b≠0時，正整數指數冪的上述運算法則對于整數指數冪也成立.am

·an=am+n(a≠0，m，n都是整數)，(am)n=amn(a≠0，m，n都是整數)，(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數).①②③即實際上，對于a≠0，m，n是整數，有(a≠0，m，n都是正整數，且m＞n)；因此，同底數冪相除的運算法則被包含在公式①中.am

·

an=am+n(a≠0，m，n都是整數)而對于a≠0，b≠0，

n是整數，有因此，分式的乘方的運算法則被包含在公式③中.(ab)n=anbn(a≠0，b≠0，n是整數)③例7設a≠0，b≠0，計算下列各式：

（1）a7·

a-3；（2）(a-3)-2；

（3）a3b(a-1b)-2.

舉例解：（1）a7·a-3（2）(a-3)-2=a7+(-3)=

a(-3)×(-2)=a4.=a6.（3）a3b(a-1b)-2=a3b·a2b-2=a3+2b1+(-2)=a5b-1=舉例例8計算下列各式：練習1.設a≠0，b≠0，計算下列各式：（1）-a

·

(-a)3；答案：a4.（2）(-a)3·(a-1)2

；（3）[(-a)2]-1；（4）a-5(a2b-1)3.答案：-a.答案：.答案：.2.計算下列各式：

第1章分式1.4分式的加法和減法

類似地，同分母的分式的加、減法運算法則是：

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.

即同分母的分數相加減，分母不變，把分子相加減.

例1

計算：舉例

分式運算的最后結果要化為最簡分式.分式運算的最后結果要化為最簡分式.注意下列等式是否成立？為什么？說一說

因為所以

因為所以例2

計算：舉例練習1.計算：答案：x-y2.計算：答案：1做一做

；

.計算：

異分母的分數相加減，要先通分，化成同分母的分數，再加減.

類似地，異分母的分式進行加、減運算時，也要先化成同分母的分式，再加減.

根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式化成同分母的分式的過程，叫作分式的通分.動腦筋如何把分式通分？

通分時，關鍵是確定公分母.

一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的公分母稱為最簡公分母.2x的因式有2，x；

兩式中所有因式的最高次冪的積是6xy，3y的因式有3，y，

所以這兩個分式的最簡公分母為6xy.

從而可以根據分式的基本性質，分別把原來各分式的分子和分母都乘同一個適當的整式，使各分式的分母都化成6xy.通分過程如下:舉例例3通分：解:

最簡公分母是12xy2.最簡公分母是20a2b2c2.舉例例4通分：解

最簡公分母是x(x-1).最簡公分母是2(x+2)(x-2).

練習

1.通分：2.通分：動腦筋

從甲地到乙地依次需經過1km的上坡路和2km的下坡路.已知小明騎車在上坡路上的速度為v

km/h，在下坡路上的速度為3v

km/h，則他騎車從甲地到乙地需多長時間？

這是異分母的分式的加法，因此我們應先把它們化成同分母的分式，然后再相加，即

小明騎車走1km上坡路和2km下坡路的時間分別為，，那么騎行所需的總時間為.因此，小明騎車從甲地到乙地需.舉例例5計算：解：舉例例6計算：解:原式舉例例3計算：注意

把“x+1”看作“”，有助于尋找兩個分式的公分母.練習

1.計算：2.計算：3.甲、乙兩城市之間的高鐵全程長1500km，列車的運行速度為bkm/h.經過長時間試運行后，鐵路部門決定將列車運行速度再提高50km/h，則提速后列車跑完全程要少花多長時間？答：提速后列車跑完全程要少花中考試題例1化簡：的結果是（）.A.-x-y

B.y-x

C.x-y

D.x+y解析A中考試題例2計算：=

.解析1中考試題例3解析當時，=

.

當時，原式第1章分式1.5可化為一元一次方程的分式方程動腦筋

某校八年級學生乘車前往某景點秋游，現有兩條線路可供選擇：線路一全程25km，線路二全程30km；若走線路二平均車速是走線路一的1.5倍，所花時間比走線路一少用10min，則走線路一、二的平均車速分別為多少？

設走線路一的平均車速為xkm/h，則走線路二的平均車速為1.5xkm/h.又走線路二比走線路一少用10min，即因此，根據這一等量關系，我們可以得到如下方程：走線路一的時間-走線路二的時間=像這樣，分母中含有未知數的方程叫作分式方程.議一議

分式方程的分母中含有未知數，我們該如何來求解呢？

聯想到我們在七年級已經學過一元一次方程的解法，因此我們應通過“去分母”，將分式方程轉化為一元一次方程來求解.方程兩邊同乘6x，得解得x=30.25×6-30×4=x

.經檢驗，x=30是所列方程的解.

由此可知，走線路一的平均車速為30km/h，走線路二的平均車速為45km/h.

從上面可以看出，解分式方程的關鍵是把含未知數的分母去掉，這可以通過在方程的兩邊同乘各個分式的最簡公分母而達到.例1解方程

：舉例解：方程兩邊同乘最簡公分母x(x-2)，得5x-3(x-2)=0.

解得x=-3.檢驗：把x=-3代入原方程，得因此x=-3是原方程的解.左邊==右邊，分式方程的解也叫作分式方程的根.例2解方程

：舉例

解：方程兩邊同乘最簡公分母(x+2)(x-2)，得

x+2=4.

解得x=2.檢驗：把x=2代入原方程，方程兩邊的分式的分母都為0，這樣的分式沒有意義.因此，x=2不是原分式方程的根，從而原分式方程無解.

從例2看到，方程左邊的分式的分母x-2是最簡公分母(x+2)(x-2)的一個因式.

這啟發我們，在檢驗時只要把所求出的未知數的值代入最簡公分母中，如果它使最簡公分母的值不等于0，那么它是原分式方程的一個根；

如果它使最簡公分母的值為0，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根.

例2解方程：

解分式方程有可能產生增根，因此解分式方程必須檢驗.說一說解可化為一元一次方程的分式方程的基本步驟有哪些？可化為一元一次方程的分式方程一元一次方程一元一次方程的解

把一元一次方程的解代入最簡公分母中，若它的值不等于0，則這個解是原分式方程的根；若它的值等于0，則原分式方程無解.方程兩邊同乘各個分式的最簡公分母求解檢驗練習1.解下列方程：答案：x=5答案：無解2.解下列方程：答案：x=0答案：x=4動腦筋

A，B兩種型號機器人搬運原料.已知A型機器人比B型機器人每小時多搬運20kg，且A型機器人搬運1000kg所用時間與B型機器人搬運800kg所用時間相等，求這兩種機器人每小時分別搬運多少原料.

設B型機器人每小時搬運xkg，則A型機器人每小時搬運（x+20）kg.由“A型機器人搬運1000kg所用時間=B型機器人搬運800kg所用時間”由這一等量關系可列出如下方程：方程兩邊同乘最簡公分母x(x+20)，得1000x=800(x+20).解得x=80.檢驗：把x=80代入x(x+20)中，它的值不等于0，因此x=80是原方程的根，且符合題意.由此可知，B型機器人每小時搬運原料80kg，A型機器人每小時搬運原料100kg.例3國家實施高效節能電器的財政補貼政策，某款空調在政策實施后，客戶每購買一臺可獲得補貼200元，若同樣用11萬元購買此款空調，補貼后可購買的臺數比補貼前多10%，則該款空調補貼前的售價為多少元？舉例分析本題涉及的等量關系是：

補貼前11萬元購買的臺數×(1+10%)=補貼后11萬元購買的臺數.解:

設該款空調補貼前的售價為每臺x元，由上述等量關系可得如下方程：即方程兩邊同乘最簡公分母x(x-200)，

解得x=2

200.

得1.1(x-200)=x.檢驗：把x=2

200代入x(x-200)中，它的值不等于0，

因此x=2

200是原方程的根，且符合題意.答：該款空調補貼前的售價為每臺2200元.練習1.某單位蓋一座樓房，如果由建筑一隊施工，那么180天就可蓋成；如果由建筑一隊、二隊同時施工，那么30天能完成工程總量的.現若由二隊單獨施工，則需要多少天才能蓋成？解設由二隊單獨施工需x天完成任務，則

答：由二隊單獨施工，則需225天才能蓋成.2.一艘輪船在兩個碼頭之間航行，順水航行60km所需時間與逆水航行48km所需時間相同.已知水流的速度是2km/h，求輪船在靜水中航行的速度.解設輪船在靜水中航行的速度為xkm/h，則

答：輪船在靜水中航行的速度為18km/h.中考試題例1分式方程的解是（）

A.-3B.2C.3D.-2A解析將各選項的值代入檢驗或者直接解出方程.只有A項正確，故選A.中考試題例2

解分式方程，方程的解為（）

A.x=2B.x=4C.x=3D.無解解析在方程兩邊同乘(x-2)，約去分母，得1-x+2(x-2)=-1，1-x+2x-4=-1，x=2.檢驗，當x=2時，x-2=2-2=0，所以x=2是增根.所以原方程無解.D中考試題例3

輪船順水航行40千米所需的時間和逆水航行30千米所需的時間相同.已知水流速度為3千米/時，設輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方程為

.解析V順=(x+3)千米/時，V逆=(x-3)千米/時，故中考試題例4

在達成鐵路復線工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊獨做2天后，再由乙工程隊獨做3天剛好完成這項任務.已知乙工程隊單獨完成這項任務比甲工程隊單獨完成這項任務多用2天，求甲、乙工程隊單獨完成這項任務各需多少天？解：設甲工程隊單獨完成任務需x天，則乙工程隊單獨完成任務需(x+2)天.依題意，得化簡，得x2-3x-4=0，解得x=-1或x=4.

檢驗：當x=4和x=-1時，x(x+2)≠0，

x=4和x=-1都是原分式方程的解.

但x=-1不符合實際意義，故x=-1舍去.

乙單獨完成任務需要x+2=6(天).

答：甲、乙工程隊單獨完成任務分別需要4天、6天.小結與復習1.舉例說明分式的基本性質、運算法則.2.舉例說明如何利用分式的基本性質進行約分和通分.3.整數指數冪有哪些運算法則？4.解可化為一元一次方程的分式方程的基本思路是什么？解分式方程時為什么要檢驗？本章知識結構分式基本性質運算可化為一元一次方程的分式方程乘、除運算整數指數冪的運算加、減運算注意1.分式與分數有許多相似之處，在學習分式的性質與運算時，可類比分數.2.解分式方程的關鍵在于去分母，這時可能產生增根，因此必須檢驗.

除了要看求出的未知數的值是否使最簡公分母的值為0外，在實際問題中還需檢查求出的根是否符合實際問題的要求.第2章三角形2.1三角形觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來.你還能舉出一些實例嗎？不在同一直線上的三條線段首尾相接所構成的圖形叫作三角形.三角形可用符號“△”來表示，如圖中的三角形可記作“△ABC

”，讀作“三角形ABC

”.其中，點A，B，C叫作△ABC的頂點；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的內角（簡稱△ABC的角）；線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.通常∠A，∠B，∠C的對邊BC，AC，AB可分別用a，b，c來表示.

在三角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等.

兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.

在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，

另外一邊叫作底邊，

兩腰的夾角叫作頂角，

腰和底邊的夾角叫作底角.腰腰底邊頂角底角底角

三邊都相等的三角形叫作等邊三角形（或正三角形）.

等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形.

在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度之間有怎樣的大小關系？為什么？動腦筋

在△ABC中，BC是連接B，C兩點的一條線段，由基本事實“兩點之間，線段最短”可得AB+AC>BC.同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB

.結論三角形的任意兩邊之和大于第三邊.一般地，我們可以得出：做一做

有三根木棒，其長度分別為2cm，3cm，6cm，它們能否首尾相接構成一個三角形？舉例例1如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD=BD，試判斷AC與BC的大小.解在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又AD=BD，所以BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.練習1.（1）如圖，圖中有幾個三角形？把它們分別表示出來.答：五個三角形.（2）如圖，在△DBC

中，寫出∠D的對邊，BD

邊的對角.答：∠D的對邊是BC，

BD邊的對角是∠BCD.2.三根長分別為2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接構成一個三角形嗎？答：能.

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高.

如圖，AH⊥BC，垂足為點H，則線段AH是△ABC的BC邊上的高.如圖，試畫出圖中△ABC的BC邊上的高.做一做D

在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.

如圖，∠BAD=∠CAD，則線段AD是△ABC的一條角平分線.

在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中線.

如圖，BE=EC，則線段AE是△ABC的BC邊上的中線.

任意畫一個三角形，畫出三邊上的中線.你發現了什么？做一做EFDEFD

事實上，三角形的三條中線相交于一點.

我們把這三條中線的交點叫作三角形的重心.

如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點G，則點G為△ABC的重心.G舉例例2如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高.（1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來.解（1）圖中有6個三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解：因為AD是△ABC的中線，所以BD=DC.因為AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又練習1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫出一個三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高以及這條邊所對的角的平分線.2.如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，

BF是△EBD的角平分線，根據已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE動腦筋

在小學，我們通過對一個三角形進行折疊、剪拼等操作（如圖），知道三角形的內角和是180°，你能說出這些方法的原理嗎？

上述兩種操作都是將三角形的三個內角拼到一起構成一個平角.結論三角形的內角和等于180°.舉例例3

在△ABC中，∠A的度數是∠B的度數的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.解：設∠B為x，則∠A為(3x)°，∠C為(x+15)°，從而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：∠A，∠B，∠C的度數分別為99°，33°，48°.議一議

一個三角形的三個內角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？

三角形的內角和等于180°，因此最多有一個直角或一個鈍角.

三角形中，三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形，

有一個角是直角的三角形叫直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.銳角三角形直角三角形鈍角三角形

直角三角形可用符號“Rt△”來表示，例如直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”.

在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對邊叫作斜邊.

兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.

如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD.

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.

對外角∠ACD來說，∠ACB是與它相鄰的內角，∠A，∠B是與它不相鄰的內角.D

探究

在圖中，外角∠ACD和與它不相鄰的內角∠A，∠B之間有什么大小關系？

我覺得可以利用“三角形的內角和等于180°”的結論.因為∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD-∠A-∠B=0（等量減等量，差相等），于是∠ACD=∠A+∠B.結論

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.練習1.填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，則∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，∠C-∠B=40°，則∠B=

.60°30°2.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠B=36°，∠C=76°，求∠DAC的度數.答：∠DAC的度數是34°.3.如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數.答：∠C的度數是70°.第2章三角形2.2命題與證明學習目標1.學會判斷命題的真假2.掌握如何證明命題

引入三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫三角形的外角.我們前面學習了許多有關三角形的概念，如：不在同一直線上的三條線段首尾相接所構成的圖形叫三角形.

像這樣，對一個概念的含義加以描述說明或作出明確規定的語句叫作這個概念的定義.

例如：“把數與表示數的字母用運算符號連接而成的式子叫作代數式”是“代數式”的定義.“同一平面內沒有公共點的兩條直線叫作平行線”是“平行線”的定義.下列敘述事情的語句，哪些是對事情作出了判斷？（1）三角形的內角和等于180°;（2）如果|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一條線段等于已知線段;（5）一個銳角與一個鈍角互補嗎？

一般地，對某一件事情作出判斷的語句（陳述句）叫作命題.

如上述語句中,（1）（2）（3）都是命題，（4）（5）沒有對事情作出判斷，不是命題.觀察下列命題的表述形式有什么共同點？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.

它們的表述形式都是“如果……，那么……”.

命題通常寫成“如果……，那么……”的形式，其中“如果”引出的部分就是條件，“那么”引出的部分就是結論.

例如，對于上述命題（2），“兩個角的和等于90°”就是條件，“這兩個角互為余角”就是結論.（2）如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角互為余角.

有時為了敘述的簡便，命題也可以省略關聯詞“如果”、“那么”.

如：“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”可以簡寫成“對頂角相等”；

“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”可以簡寫成“同角的余角相等”.做一做（1）指出下列命題的條件和結論，并改寫成“如果……，那么……”的形式：命題條件結論①能被2整除的數是偶數②有公共頂點的兩個角是對頂角③兩直線平行，同位角相等④同位角相等，兩直線平行那么這個數是偶數如果一個數能被2整除那么這兩個角是對頂角如果兩個角有公共頂點那么它們的同位角相等如果兩條直線平行那么這兩條直線平行

如果兩個同位角相等（2）上述命題③與④的條件與結論之間有什么聯系？③兩直線平行，同位角相等.④同位角相等，兩直線平行.

命題③與④的條件與結論互換了位置.

對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個叫作逆命題.

例如，上述命題③與④就是互逆命題.

從以上我們可以看出，只要將一個命題的條件和結論互換，就可得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題.1.下列語句，哪些是命題，哪些不是命題？（2）兩點之間，線段最短；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.（3）任意一個三角形的三條中線都相交于一點嗎？（1）如果x=3，求的值；2.將下列命題改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線相交，只有一個交點；（2）個位數字是5的整數一定能被5整除；（3）互為相反數的兩個數之和等于0；（4）三角形的一個外角大于它的任何一個內角.練習3.寫出下列命題的逆命題：（1）若兩數相等，則它們的絕對值也相等；（2）如果m是整數，那么它也是有理數；（3）兩直線平行，內錯角相等；（4）兩邊相等的三角形是等腰三角形.4.在下列空格上填寫適當的概念：（1）垂直且平分一條線段的直線叫作這條線段的

.

（2）在數軸上，表示一個實數的點與原點的距離叫作這個實數的

.垂直平分線絕對值練習議一議

下列命題，哪些是正確的，哪些是錯誤的？說一說你的理由.（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數，那么a是整數；（3）同位角相等；（4）同角的補角相等.錯誤錯誤錯誤正確上面五個命題，命題(4)是正確的，命題(1)(2)(3)都是錯誤的.我們把正確的命題稱為真命題，把錯誤的命題稱為假命題.

（1）每一個月都有31天；（2）如果a是有理數，那么a是整數；（3）同位角相等.

（4）同角的補角相等.結論（1）如果a是整數，那么a是有理數；解:

如果a是整數，根據有理數的定義：“整數和分數統稱為有理數”,得出a是實數.因此命題(1)為真．（2）如果a是有理數，那么a是整數.解:

0.5是有理數，因此命題(2)為假．但是0.5不是整數.

像此例的第(1)題那樣，從一個命題的條件出發，通過講道理(推理)，得出它的結論成立，從而判斷該命題為真，這個過程叫作證明.

像此例的第(2)題那樣，找出一個例子，它符合命題的條件，但它不滿足命題的結論，從而判斷這個命題為假，這個過程叫作舉反例.判斷下列命題為真命題是根據什么呢？

分別根據有理數、等腰（等邊）三角形的定義作出判斷．（1）如果a是整數，那么a是有理數；（2）如果三角形ABC是等邊三角形，那么它是等腰三角形．

從上面的例子看到，在判斷一個命題是否為真命題時常常要利用一些概念的定義，但是光用定義只能判斷一些很簡單的命題是否為真.

對于絕大多數命題的真假的判斷，光用定義是遠遠不夠的，那么除了根據定義外，還能根據什么來推理，去判斷命題的真假呢？數學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據，這樣的真命題叫作基本事實.有些命題可以從公理或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷它們是正確的，并且可以進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫作定理.

古希臘數學家歐幾里得(Euclid，約公元前330—前275)對他那個時代的數學知識作了系統化的總結，他挑選出一些人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，作為證明的原始依據，稱這些真命題為公理.

歐幾里得本書中，我們把少數真命題作為基本事實.

例如，兩點確定一條直線；兩點之間線段最短；經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.

人們可以用定義和基本事實作為推理的出發點，去判斷其他命題的真假.基本事實同位角相等，兩直線平行.內錯角相等，兩直線平行.同旁內角互補，兩直線平行.我們把經過證明為真的命題叫作定理.

例如，“三角形的內角和等于180°”稱為“三角形內角和定理”.

定理也可以作為判斷其他命題真假的依據，由某定理直接得出的真命題叫作這個定理的推論.

例如，“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”稱為“三角形內角和定理的推論”，也可稱為“三角形的外角定理”.

當一個命題是真命題時，它的逆命題不一定是真命題.

例如，“如果∠1和∠2是對頂角，那么∠1=∠2”是真命題，但它的逆命題“如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是對頂角”就是假命題.

如果一個定理的逆命題能被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫作互逆定理.

我們前面學過的定理中就有互逆的定理.

例如，“內錯角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，內錯角相等”是互逆的定理.

采用剪拼或度量的方法，猜測“三角形的外角和”等于多少度.從剪拼或度量可以猜測三角形的三個外角之和等于360°，但是剪拼時難以真正拼成一個周角，只是接近周角；分別度量這三個角后再相加，結果可能接近360°，但不能很準確地都得360°．

另外，由于不同形狀的三角形有無數個，我們也不可能用剪拼或度量的方法來一一驗證，因此，我們只能猜測任何一個三角形的外角和都為360°．此時猜測出的命題僅僅是一種猜想，未必都是真命題．要確定這個命題是真命題，還需要通過推理的方法加以證明.證明命題“三角形的外角和為360°”是真命題.動腦筋

已知：如圖，∠BAF，∠CBD和∠ACE分別是△ABC的三個外角.

求證︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.證明:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3).∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形內角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.經過剛才三站的“證明”之旅，你能說出完整的幾何命題證明需要哪幾個步驟嗎？（1）根據題意，畫出圖形.（2）結合圖形，寫出已知、求證.（3）寫出證明過程，并且步步有依據.依據(定義)(定理)(推論)(基本事實)（真命題）條件結論

數學上證明一個命題時，通常從命題的條件出發，運用定義、基本事實以及已經證明了的定理和推論，通過一步步的推理，最后證實這個命題的結論成立.

證明的每一步都必須要有根據.推理例1

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點D在線段BA的延長線上，射線AE平分∠DAC.求證：AE∥BC.證明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）,

∠B=∠C（已知）,∴∠DAC=2∠B（等式的性質）.又∵AE平分∠DAC（已知）,∴∠DAC=2∠DAE（角平分線的定義）,∴∠DAE=∠B（等量代換）,∴AE∥BC（同位角相等，兩直線平行）.例2

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的內角.求證：∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.

分析這個命題的結論是“至少有一個”，也就是說可能出現“有一個”“有兩個”“有三個”這三種情況.如果直接來證明，將很煩瑣，因此，我們將從另外一個角度來證明.證明：假設∠A，∠B，∠C中沒有一個角大于或等

于60°,即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，則∠A+∠B+∠C＜180°.這與“三角形的內角和等于180°”矛盾，所以假設不正確.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一個角大于或等于60°.

像這樣，當直接證明一個命題為真有困難時，我們可以先假設命題不成立，然后利用命題的條件或有關的結論，通過推理導出矛盾，從而得出假設不成立，即所證明的命題正確，這種證明方法稱為反證法.

反證法是一種間接證明的方法，其基本的思路可歸結為“否定結論，導出矛盾，肯定結論”.反證法的步驟：假設結論的反面成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結論正確2.已知：如圖，直線AB，CD被直線MN所截，∠1=∠2.

求證：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.證明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（兩直線平行,內錯角相等）,∠3+∠4=180°（兩直線平行,同旁內角互補）.∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）.3.已知：如圖，AB與CD相交于點E.求證：∠A+∠C=∠B+∠D.證明：∵

AB與CD相交于點E，∴∠AEC=∠BED（對頂角相等）.又∵∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形內角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如圖,有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.

求證：a//b.Aabc證明：假設a與b不平行，則可設它們相交于點A.那么過點A

就有兩條直線a、b分別與直線c平行，這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾,故假設不成立.∴a//b.證明與圖形有關的命題時，一般有以下步驟：第一步第二步第三步畫出圖形寫出已知、求證寫出證明的過程根據題意根據命題的條件和結論，結合圖形通過分析，找出證明的途徑第2章三角形2.3等腰三角形

我們前面已經學習了三角形的一些性質，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質外，還具有哪些特殊的性質呢？探究

任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D12ABABBAD射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點B的像是點C，點C的像是點

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關于直線

對稱.由于點D的像是點D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=結論由此得到等腰三角形的性質定理：

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).

結論

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).動腦筋因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關系呢？由此得到等邊三角形的如下性質：等邊三角形的三個內角相等，且都等于60°.結論

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內角的平分線所在的直線.例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

在邊BC上，且AD=AE.求證：BD=CE.舉例證明:

作AF⊥BC，垂足為點F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴BF=CF，∴BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F

如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點D掛一個重錘，自然下垂，調整架身，使點A恰好在鉛垂線上.（1）AD與BC是否垂直，試說明理由.（2）這時BC處于水平位置，為什么？議一議練習1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數及DC的長.答：∠BAD=24.5°，DC=2.2.如圖，點P為等邊三角形ABC的邊BC上一點，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC的度數.答：∠DPC=20°.

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？探究

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關系嗎？我測量后發現AB與AC相等.3cm3cm事實上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內角和定理得∠ADB=∠ADC.D12沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點B與點C重合，于是AB=AC.結論有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).結論三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結合三角形內角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D，E

分別是AB，AC上的點，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.舉例證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？動腦筋如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內角和定理,得∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，那么∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.由此得到另一條等邊三角形的判定定理：結論有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E

分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.舉例證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.練習1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABD=∠DBC=，∠ACE=∠ECB=，∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE交BC的延長線于點E，且∠ACE=60°.求證：△ACE是等邊三角形.證明:∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°,又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB.∴∠ACD=∠DCB=60°.又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°,∴△ACE是等邊三角形.3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明:∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形.∴∠EDF=∠FDC=60°.又∵DF∥BA，中考試題例1

一個等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形的周長為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB解析

另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關系定理，∴周長為5+5+2=12（cm）.中考試題例2

若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數為（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°解析

因為50°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D第2章三角形2.4線段的垂直平分線操作指出下列圖形中的軸對稱圖形，并畫出它們的對稱軸。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）問題怎樣做出一條線段的垂直平分線？2.過點E、F作直線。1.分別以點A、B為圓心，大于長為半徑，畫弧交于點E、F；尺規作圖作法：探究測量證明測量線段垂直平分線上任意一點到線段兩個端點的距離已知，如圖，直線MN經過線段AB的中點O，且MN⊥AB,P是MN上任意一點.求證：.線段垂直平分線上的點與線段兩端的距離相等。線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.定理

如圖，在四邊形ABCD中，直線AC垂直平分BD于點O.（1）圖中有多少對全等三角形，請把它們寫出來；（2）任選（1）中一對全等三角形加以證明.例1范例學習針對性訓練1、如圖，DE是線段AB的垂直平分線，下列結論一定成立的是（）A．ED=CD

B．∠DAC=∠B

C．∠C

＞2∠B

D．∠B+∠ADE=90°2、如圖，在△ABC中，BC的中垂線交斜邊AB于點D，圖中相等的線段有（）A、1組B、2組C、3組D、4組針對性訓練3、已知，如圖，y軸垂直平分線段BC，點A在y軸上，點B、C在x軸上。（1）若點C的坐標為（3，0），則點B的坐標是________；（2）若點B的坐標為（m，0），則點C的坐標是________。針對性訓練4、已知如圖，DE是△ABC的邊AB的垂直平分線，D為垂足，DE交AC于點E，且AC＝8，BC＝5，則△BEC的周長為_______。針對性訓練5、公路l同側的A、B兩村，共同出資在公路邊修建一個停靠站C，使停靠站到A、B兩村距離相等，你如何確定停靠站C的位置。針對性訓練思考

你能寫出上述定理的逆命題嗎？它是真命題嗎？逆命題定理與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。線段垂直平分線上的點與線段兩端的距離相等。定理范例學習例2已知：如圖，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，DE＝DF。求證：AD垂直平分EF。整理小結

一個方法證明線段相等的新方法：利用線段垂直平分線的性質。

兩條定理線段垂直平分線上的點與線段兩端的距離相等。與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

三種作圖折紙過中點作垂線

尺規作圖法樣，也可能因討厭一位老師而討厭學習。一個被學生喜歡的老師，其教育效果總是超出一般教師。無論中學生還是小學生，他們對自己喜歡的老師都會有一些普遍認同的標準，諸如尊重和理解學生，寬容、不傷害學生自尊心，平等待人、說話辦事公道、有耐心、不輕易發脾氣等。教師要放下架子，把學生放在心上。“蹲下身子和學生說話，走下講臺給學生講課”;關心學生情感體驗，讓學生感受到被關懷的溫暖;自覺接受學生的評價，努力做學生喜歡的老師。教師要學會寬容，寬容學生的錯誤和過失，寬容學生一時沒有取得很大的進步。蘇霍姆林斯基說過：有時寬容引起的道德震動，比懲罰更強烈。每當想起葉圣陶先生的話：你這糊涂的先生，在你教鞭下有瓦特，在你的冷眼里有牛頓，在你的譏笑里有愛迪生。身為教師，就更加感受到自己職責的神圣和一言一行的重要。善待每一個學生，做學生喜歡的老師，師生雙方才會有愉快的情感體驗。一個教師，只有當他受到學生喜愛時，才能真正實現自己的最大價值。義務教育課程方案和課程標準（2022年版）簡介新課標的全名叫做《義務教育課程方案和課程標準（2022年版）》，文件包括義務教育課程方案和16個課程標準（2022年版），不僅有語文數學等主要科目，連勞動、道德這些，也有非常詳細的課程標準。現行義務教育課程標準，是2011年制定的，離現在已經十多年了；而課程方案最早，要追溯到2001年，已經二十多年沒更新過了，很多內容，確實需要根據現實情況更新。所以這次新標準的實施，首先是對老課標的一次升級完善。另外，在雙減的大背景下頒布，也能體現出，國家對未來教育改革方向的規劃。課程方案課程標準是啥？課程方案是對某一學科課程的總體設計，或者說，是對教學過程的計劃安排。簡單說，每個年級上什么課，每周上幾節，老師上課怎么講，課程方案就是依據。課程標準是規定某一學科的課程性質、課程目標、內容目標、實施建議的教學指導性文件，也就是說，它規定了，老師上課都要講什么內容。課程方案和課程標準，就像是一面旗幟，學校里所有具體的課程設計，都要朝它無限靠近。所以，這份文件的出臺，其實給學校教育定了一個總基調，決定了我們孩子成長的走向。各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化細化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。進一步優化了課程設置，九年一體化設計，注重幼小銜接、小學初中銜接，獨立設置勞動課程。與時俱進，更新課程內容，改進課程內容組織與呈現形式，注重學科內知識關聯、學科間關聯。結合課程內容，依據核心素養發展水平，提出學業質量標準，引導和幫助教師把握教學深度與廣度。通過增加學業要求、教學提示、評價案例等，增強了指導性。教育部將組織宣傳解讀、培訓等工作，指導地方和學校細化課程實施要求，部署教材修訂工作，啟動一批課程改革項目，推動新修訂的義務教育課程有效落實。

本課件是在MicorsoftPowerPoint的平臺上制作的，可以在Windows環境下獨立運行，集文字、符號、圖形、圖像、動畫、聲音于一體，交互性強，信息量大，能多路刺激學生的視覺、聽覺等器官，使課堂教育更加直觀、形象、生動，提高了學生學習的主動性與積極性，減輕了學習負擔，有力地促進了課堂教育的靈活與高效。部分內容取材于網絡，如有雷同，請聯系刪除！作品整理不易，僅供下載者本人使用，禁止轉載！第2章三角形2.5全等三角形能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形。下列同一類的圖形有什么特點？下面各組圖形是不是全等圖形？為什么？（1）（2）（3）邊長都是10cm的兩個正方形。（4）半徑相等的兩個圓。兩個全等三角形重合時，能互相重合的頂點叫做全等三角形的對應頂點，如A與D,互相重合的邊叫做全等三角形的對應邊，如AB與DE。互相重合的角叫做全等三角形的對應角，如∠A與∠D。FEDCBA能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形。三角形全等的表示方法“全等”可用“≌”來表示，如ΔABC和ΔDEF全等，記做“ΔABC≌ΔDEF”，讀做“三角形ABC全等于三角形DEF”。注意

表示兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應位置上。FEDCBA已知圖中的兩個三角形全等，請你找出它們的對應角和對應邊，并用符號表示這兩個三角形全等。練一練如圖，已知ΔOCA≌ΔOBD，請說出它們的對應邊和對應角。ODCBA對應邊：CO和BO，對應角：∠A和∠D，∠C和∠B，∠COA和∠BOD。AO和DO。CA和BD，答案：AB=CD，AD=CB，BD=DB練一練：請找出右圖中對應的邊.ABCDABD≌CDB1、已知：ABCDEABC≌AED2、已知：請找出右圖中對應的角.答案：ABCDE3、已知：ABC≌DCE請找出圖中對應的頂點.答案:A與D，B與C，C與E.總結尋找對應元素的規律（1）有公共邊的，公共邊是對應邊；（2）有公共角的，公共角是對應角；（3）有對頂角的，對頂角是對應角；（4）兩個全等三角形最大的邊是對應邊，最小的邊是對應邊；（5）兩個全等三角形最大的角是對應角，最小的角是對應角；兩個全等三角形的位置變化了，對應邊、對應角的大小有變化嗎？由此你能得到什么結論？觀察與思考全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

∵△ABC≌△DFE,∴AB=DF,BC=FE,AC=DE

（）,∴∠

A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E（）.全等三角形的性質應用全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應角相等CBAD12例題如圖,AD平分∠BAC,AB=AC.△ABD和△ACD全等嗎?BD與CD相等嗎?∠B與∠C呢?請說明理由.1、能夠

的兩個圖形叫全等形；2、兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做

；互相重合的邊叫做

；互相重合的角叫做

；3、全等三角形的對應邊

，對應角

；完全重合對應頂點對應邊對應角相等相等小結4、記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在

；例如△ABC≌△DFE，對應頂點分別是

.

5、兩個三角形全等時，對應頂點所在的角是

，對應邊所對的角是

，對應角所對的邊是

。對應位置點A和點D、點B和點F、點C和點E對應角對應角對應邊2.5全等三角形（2）

三角形全等的判定定理（SAS）思考(2)三條邊(1)三個角(3)兩邊一角(4)兩角一邊當兩個三角形滿足六個條件的三個時，有四種情況:不能!???繼續探討三角形全等的條件：兩邊一角思考：已知一個三角形的兩條邊和一個角，那么這兩條邊與這一個角的位置上有幾種可能性呢？ABCABC圖一圖二在圖一中，∠A是AB和AC的夾角，符合圖一的條件，它可稱為“兩邊及其夾角”。符合圖二的條件，通常說成“兩邊和其中一邊的對角”探究

在紙上的不同位置分別畫一個三角形,它的一個角為50°,夾這個角的兩邊分別為2cm,2.5cm.將這兩個三角形疊在一起,它們完全重合嗎？由此你能得到什么結論？探究

(1)△ABC和△A′B′C′

的位置關系如圖2-38.

圖2-38A’B’C’在△ABC和△A′B′C′中,∠ABC=∠A′B′C′

,AB=A′B′,BC=B′C′

.探究(2)△ABC和△A’B’C’

的位置關系如圖2-39.

圖2-39在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(3)△ABC和△A’B’C’

的位置關系如圖2-40.

圖2-40在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’

,AB=A’B’,BC=B’C’

.

探究(4)△ABC和△A’B’C’

的位置關系如圖2-41.

圖2-41CABA’（B’）（C’）在△ABC和△A’B’C’

中,∠ABC=∠A’B’C’,AB=A’B’,BC=B’C’.