第四章圓與方程

4.1圓的方程

4.1.1圓的標準方程

［目標］1.明確圓的基本要素，能用定義推導圓的標準方程；2.會求圓的標準方程，能

夠判斷點與圓的位置關系.

［重點］求圓的標準方程.

［難點］圓的標準方程及應用.

，要點整合夯基礎/.....……本欄目通過課前自主學習,整合知識，飾理主干.夯基固本

知識點一圓的標準方程

［填一填］

1.圓的定義

(1)條件：平面內到定點的距離等于定長的點的集￡

(2)結論：定點是圓心,定長是半徑.

2.圓的標準方程

(1)圓心為A(a,b),半徑長為r的圓的標準方程為Cv—a)2+(y—6)2=產.

(2)圓心在原點，半徑長為r的圓的標準方程為*+弦=/.

［答一答］

1.若圓的標準方程為(%+汕2+o+〃)2=a2(a/o),此圓的半徑一定是〃嗎？圓心坐標

是(機，〃)嗎？

提示：圓的半徑不一定是當。X)時，半徑是。：當4V0時，半徑是一a圓心坐標不

是(m,〃)，應是(一〃?，—ri),因為(工+機)2+&+〃)2=，化為標準結構是口―(―Mp+［y—(―

〃加=1#

2.判一判.(正確的打“,錯誤的打“X”)

(1)方程(x—a)2+(y—6>=加一定表示圓.(X)

(2)確定一個圓的幾何要素是圓心和半徑.(V)

(3)圓。+1)2+3+2)2—4的圓心坐標是(1,2),半徑是2.(X)

知識點二點與圓的位置關系

［填一填］

設點P到圓心的距離為d,半徑為廣，則點在圓內Pd<r；點在一上Od=r；點在圓外

0d>r.

［答一答］

3.判斷點和圓的位置關系的依據是什么？

提示：判斷點與圓的位置關系的依據是圓心到該點的距離和圓的半徑的大小關系.

4.點尸(-2,一2)和圓/十丁=4的位置關系是(B)

A.在圓上B.在圓外

C.在圓內D.以上都不對

---本欄目通過課堂講練互動.聚焦節點.剖析難點,全線突破

類型一求圓的標準方程

［例1］已知圓過兩點4(3,1),8(—1,3),且它的圓心在直線3x-y-2=0上，求此圓

的方程.

［分析］

二定系數法人列方程組求解

老壁(幾何性質法人利用圓的幾何性質求得圓心和半徑

［解］方法1：設所求圓的方程為(X—4+°，一歷2=戶.由題意，得

(3—4)2+(1一份2=尸

<(_L4)2+(3f)2=匕

.3。-6—2=0,

222

a+b-()a-2b=i-\0t4=2,

解得《人

即，a2+lj2-{-2a—6h=i2—10,=4.

,3a~b~2=0,7=^/10.

故所求圓的方程是。-2)2+0一4)2=10.

3—11

方法2:由直線48的斜率9=_］_3=一￡，知線段AB的垂直平分線機的斜率為2,

3~~I??3

線段AB中點的橫坐標和縱坐標分別為x='9=1,y=一二廠=2,因此直線m的方程為y

-2=2(x-l),即2x-y=0.

又圓心在直線3x-y—2=0上，所以圓心在這兩條直線的交點上.聯立得方程組

2x—y=0,卜=2,

"解得

3x—y-2=0,［y=4.

設圓心為C,所以圓心的坐標為(2,4).

又半徑r=\CA\=y［\0,故所求圓的方程是(％—2)2+。-4)2=10.

方法3:設圓心為C,因為圓心在直線3x-y—2=0上，故可設圓心。的坐標為3,3〃

一2).

又因為|CA|=|C8|,所以,(6_3)2+(3。_2_1)2

=：5+1)2+(3〃-2一3門,

解得。=2.所以圓心的坐標為(2,4),半徑「=|。|=亞5.故所求圓的方程為2)2+°，

-4)2=10.

通法提煉

確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a,份及半徑r,求解的方法一是待定系數法，

如方法1,建立關于。，瓦r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求

得圓心坐標和半徑，如方法2、3.一般地，在解決有關圓的問題時，利用圓的幾何性質作轉

化較為簡捷.

［變式訓練1］根據下列條件，分別求網的方程.

(1)經過4(6,5),8(0』)兩點，并且圓心在直線3x+10)，+9=0上；

(2)已知圓被x軸平分，且過點A(5,2)和8(3,-2).

解：(1)易求線段48的垂直平分線的方程為3x+2y-15=0.

3x+2y-15=0,［x=7,

由J「?解得，???圓心為C(7,-3).

［3x+lQy+9=0,卜=一3.

又半徑|C8|=，存，

???圓的方程為(%—7)2+()，+3)2=65.

(2)方法1:由題意得圓心在x軸上.

設圓心坐標為MQ,0),則附川=|歷B|,即(°一5)2+(0-2)2=3—3。+(0+2)2,解得a

=4.所以圓心坐標為(4,0),半徑r=|MA|=3.

所以圓的標準方程為(x—4)2+)2=5.

方法2:線段A8的垂直平分線方程為y=—/x—4),即x+2y—4=0.令y=0,得4=

4,所以圓心坐標為(4,0),半徑「=|”川=小.所以圓的標準方程為。-4)2+)2=5.

類型二點與圓的位置關系

［例2］如圖，己知兩點Pi(4,9)和尸2(6,3).

(1)求以P02為直徑的圓的方程；

(2)試判斷點M(6,9),N(3,3),Q(5,3)是在圓上,在圓內,還是在圓外？

4+69+3

［解］(1)設圓心C(a,b),半徑廠，則由。為P1P2的中點得4=h=5,8=”~=6.

又由兩點間的距離公式得r=\CP\|=^/(4-5)2+(9-6)2=VlO，，所求圖的方程為。-5)2+。

-6y=10.

(2)由⑴知，圓心C(5,6),則分別計算點到圓心的距離：|CM=4(6—5產+(9-6>=恒:

\CN\=，(3—5)2+(3—6)2=V13>VT0:

\CQ\=比5—5>+(3—6>=3<V10.

因此，點M在圓上，點N在圓外，點。在圓內.

通法提煉

判斷點與圓的位置關系的方法

(1)從形的角度，比較圓的半徑與圓心到定點的距離的大小，從而作出判斷.

(2)從數的角度，將定點的坐標代入圓的標準方程的左邊，再與右邊的值比較，從而作

出判斷.

［變式訓練2］已知圓C的標準方程為(X—1)2+。-2)2=，(r>0),若點尸(1,1)在圓內，

點N(3,2)在圓外，求半徑r的取值范圍.

解：??,點P(l,l)在圓內,圓心C(l,2),

：.r>\PC\=^/(1-1)2+(1-2)2=1.

又???點M3,2)在圓外，

故WC］=)(3—1A+(2—2)2=2.

/.l<r<2.

類型三與圓有關的最值問題

［例3］設點尸)，)是圓/+()，+4)2=4上任意一點，則―(x-1產+&-Ip的最大值為

\/(x-I)2+(y-I)2轉化為圓外一點與圓

［分析］

的幾何意義上一點距離的最值

數形結

—>

合求解

［解析1因為點P(x,y)是國f+()，+4)2=4上的任意一點,因比,(k-[)2+。_])2表

示點、(1,1)與該圓上點的能離.易知點、(1,1)在圓爐十()，+4)2=4外，結合下圖易得

1)2+0—1)2的最大值為、(1-0)2+(1+4)2+2=亞+2.

[答案]V26+2

4

通法提煉

求圓外一定點A與圓。上動點尸連線距離的最值方法：

設|4C|=d,圓C半徑為r,則|AP|max=d+r,HHmin=d-r；

求圓內一定點A與圓C上動點P連線距離的最值方法：

設|ACl=d,圓C半徑為r,貝］|APlmax=d+r,14Hmin=r—d.

［變式訓練3］已知圓C：(1-3)2+。-4)2=1,點A(0,-1),8(0,1),設P是圓C上

的動點，令d=|用F+|PB|2求的最大值及最小值.

解：

如圖，設P(xo,>'o),

???1=石+(邪+1)2+蒲+3)—l)2=2M+yg)+2=2|POF+2,問題轉化為求尸點到原點

。的距離的最值.

???。在圓外，

10Plmx=|OCl+1=5+1=6,

???|PO|min=|OC1-l=5—1=4.

22

AJnm=2X6+2=74,t/mil=2X44-2=34.

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1.圓(彳-1)2+/=1的圓心到直線丁=乎二的距離是(A)

B亞

A，2

C.lD.于

解析：圓心為(1,0),則圓心到直線丁=坐￥的距離d=

2.經過點P(5,l),圓心在點。(8,—3)的圓的標準方程是(B)

A.(X+8)2+()，+3)2=13

B.(x—8)2+()，+3)2=25

C.(X-8)2+(J-3)2=13

D.(x+8)2+(y-3)2=25

3.點(一1,一1)在圓(%+。)2+。一。)2=4的內部，則a的取值范圍是(A)

A.—1<?<1

C.a<—I或a>l

D.a=±l

解析：因為點(一1,—1)在圓(x+a)2+(y—a)2=4的內部，所以點(一1,一1)到圓心(一

a,。)的距離小于2,所以(-1+。產+(-1—a)2V4,化簡得“々1,解得一Ivavl,故選A.

4.已知圓C經過4(5,1),8(1,3)兩點，圓心在“軸上，則圓。的標準方程為(X—2尸+

v2=10.

解析：圓心是線段AB的中垂線與K軸的交點.

5.已知一個圓C：(x+2)2+(y—6>=1和一條直線/：3x—4y+5=0,求圓關于直線/

對稱的圓的方程.

解：圓C:(%+2)2+(y—6月=1的圓心為C(—2,6),設所求圓C的方程為(%—。)2+。

一b>=l,半徑與圓C半徑相等，其圓心為C'3,匕).?.,點。和點C'關于直線/:3x-4y

+5=0對稱，，點C和點C'的中點從“2乙在直線/上..匕，區廣一4?與"+5=0,

即3。一48-20=0.①

?:CC±/,即4q+3b-10=0.②

聯立①②，解得a=4,b=-2.

故所求圓C'的方程為—4)2+()，+2)2=1.

—>??課堂小結

—本課須掌握的三大問題

1.對于圓的標準方程，我們要從其結構形式上，準確地記憶.

2.由圓的標準方程，可直接得到圓的圓心坐標和半徑大小；反過來說，給出了圓的

圓心和半徑，即可直接寫出圓的標準方程，這一點體現了圓的標準方程的直觀性.

3.確定圓的標準方程需要三個獨立的條件，一般運用待定系數法求a,b,r.

4.1.2圓的一般方程

［目標］1.知道二元二次方程表示圓的條件，會根據圓的一般方程求圓的圓心坐標和半

徑；2.會根據所給條件求圓的一般方程；3.會解答簡單的軌跡問題.

［重點］求圓的一般方程.

［難點］求動點的軌跡方程.

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知識點一圓的一般方程

［填一填］

二元二次方程:

對于方程f+y2+￡＞x+￡y+尸=0,①

配方得到：(葉32+(＞，+聶=。2+,4,

(1)當。2+爐一4代＞0時，方程表示以(一彳，一全)為圓心,牛/。2+產-4尸為半徑的圓;

(2)當D2+E2—4F=0時，方程表示點(一］，一§.

(3)當。2+序一4尸＜。時，方程不表示任何圖形.

當Z^十^—dQ。時，方程/+),2+0工+小，+尸=。表示一個圓，稱方程①為圓的一般

方程.

［答一答］

1.形如$+)2+￡＞彳+4+尸=。的二元二次方程都表示圓嗎？

提示：不是，只有序一4F＞0時才表示圓.

2.圓的標準方程和一般方程各有什么特點？二者怎樣互化？

提示：(1)圓的標準方程明確地表達了圓的幾何要素，即圓心坐標和半徑長.

(2)圓的一般方程表現出明顯的代數姑構膨式，圓心和半徑長需要代數運算才能得出.

(3)二者可以互化：將圓的標準方程展開成二元二次方程的形式即得一般方程，將圓的

一般方程配方即得標準方程.

3.已知尸(孫知)，圓的方程f+V+Ox+E)，+尸=0,如果看+京+。出+石泄+產＜0,

那么點P一定在圓內嗎？

提示：一定在圓內.圓的方程化為標準方程得。+寧)2+6，+縣2=——-——，由上節

OF少+序一4戶

標準方程知點P在圓內分(出+萬產+(yo+］)2＜---------0/+)4+。.句+￡\()+F＜0.

知識點二動點的軌跡方程

［填一填］

在宜角坐標平面上，一個動點按照某種規律運動，所形成的曲線稱為這個動點的凱跡,

曲線的方程稱為動點的軌跡方程.

求軌跡方程的一般步驟為；

(1)建系：建立適當的直角坐標系；

(2)設點：用(x,y)表示動點的坐標，該點是軌跡(曲線)上任意一點；

(3)列式：列出關于x,y的方程；

(4)化簡：化方程為最簡形式；

(5)證明：證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

說明：因為除個別情況外，化簡過程都是同解變形過程，所以步驟(5)可以省略不寫，

如果有特殊情況，可適當予以說明.

［答一答1

4.軌跡和軌跡方程等價嗎？二者的聯系是什么？

提示：(1)“軌跡”與“軌跡方程”有區別.“軌跡”是圖形，是指出形狀、位置、大

小(范圍)等特征；“軌跡方程”是方程(等式)，不僅要給出方程，還要指出變量的取值范圍.

(2)求動點的胱跡往往先求出動點的軌跡方程，然后由方程研究凱跡圖膨；求動點的軌

跡方程有時需要先由條件判斷軌跡圖形，再由圖形求方程.

本欄目通過課堂講練互動，聚焦地點，剖析堆點,全線突破

類型一圓的一般方程的概念

［例11下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑.

(l)f+V+x+l=O；

(2)f+y2+2or+/=0(。W0)：

(3)23+2)2+2ax~2ay=0(aW0).

［解］(1)VD=1,E=QtF=l,

AZ)24-￡'2-4F=1-4=-3<0.

???方程(1)不表示任何圖形.

(2)VD=2a,E=0,F=a2,

：.D2+E2-4F=4a2-4a2=0.

:.方程表示點(-4,0).

(3)兩邊同除以2,得『+9+如一—=0,D=a,E=-a,F=0,：.D2+E^~4F=2a2>0.

???方程(3)表示圓，它的圓心為(一冬分,

半徑/"http://A+Ez—4/=當況

通法提煉

形如f+V+Qx+E)，+產=0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：

22

①由圓的一般方程的定義令b+E-4F>0t成立則表示圓，否則不表示圓；②將方

程配方后，根據圓的標準方程的特征求解，應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是f

+產+以+與，+尸=0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解.

[變式訓練1](1)圓f+y2—4x+6y=0的圓心坐標是(D)

A.(2,3)B.(-2,3)

C.(-2,-3)D.(2,-3)

解析：(1)圓的方程化為(X-2)2+0+3)2=13,圓心Q,—3),故選D.

(2)若方程x24-y2+2/nx—2y-F/n2+5m=0表示圓，求：

①實數〃，的取值范圍；

②圓心坐標和半徑.

解：①據題意知02+七2—4/=(26)2+(—2)2—4(〃尸+56)>0,即4w2+4-4w2-20m>0,

解得〃耳，

故機的取值范圍為(一8,!).

②將方程f+y+Z/MX—25+m2+5帆=0寫成標準方程為a+,〃)2+(y—1)2=1—5/〃，故

圓心坐標為(一〃?』)，半徑r=yj1-5/n.

類型二求圓的一般方程

［例2］已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(4,3),8(3,4),。(一4,-3),求它的外接

圓的方程.

［解］設△ABC外接圓方程為d+y+Dr+Ey+F=O,

16+9+4O+3E+尸=0,

將三頂點坐標代入圓的方程得，<9+16+3O+4E+產=0,

16+9-4D-3E+F=0,

解方程組得，。=0,E=0,F=-25,

???△ABC外接圓的方程為丁+產=25.

通法提煉

一般地，當給出了圓上的三點坐標，特別是當這三點的橫坐標和橫坐標之間、縱坐標

和縱坐標之間均不相同時，選用圓的一般方程比選用圓的標準方程簡捷，而其他情況下的首

選應該是圓的標準方程，此時要注意，從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯

系的可用條件.

［變式訓練2］求經過兩點A(4,2),B(-l,3),且在兩坐標軸上的四個截距之和為2的

圓的方程.

解：設圓的一般方程為/+/+04+或+尸=0,令)，=0,得K+DY+F=0,所以圓

在X軸上的截距之和為X1+.X2=-。；令x=0,得爐+玲+尸=0,所以圓在>軸上的截距之

和為#+丁2=一七；

由題設，?+x2+yi+”=-(O+E)=2,所以D+E=-2.①

又A(4,2),僅一1,3)兩點在團上，

所以16+4+4O+2E+尸=0,②

1+9—。+3七+尸=0,③

由①②③可得。=-2,E=0,F=-12,

故所求圓的方程為*+/一〃-12=0.

類型三軌跡問題

命題視角1:直接法求軌跡方程

［例3］等腰三角形的頂點是4(4,2),底邊一個端點B是(3,5).求另一個端點C的軌

跡方程，并說明它的軌跡是什么.

［解］設底邊另一端點。的坐標是(3y).依題意，得

14cl=|AB|.由兩點間距離公式,，得

”。-4)2+。-2)2="(4-3尸+(2-5落

整理，得。一4)2+()-2)2=10.

y

o34

這是以點A(4,2)為圓心，以加為半徑的圓，如圖所示，又因為A,B,C為三角形的

三個頂點，所以A,B,C三點不共線，即點8,C不能重合且8,。不能為圓A的一直徑

x+3v+5

的兩個端點，所以點C不能為(3,5),—^4,且j-W2,即點。也不能為(5,-1).故端

點。的軌跡方程是(x—4)2+。-2)2=10(除去點(3,5)和(5,-1)),它的軌跡是以點4(4,2)為

圓心，屈為半徑的圓，但除去(3,5)和(5,—1)兩點.

通法提煉

解答本題時易出現忘記除去兩點(3,5)和(5,-1)的錯誤答案，導致這種錯誤的原因是

忽視了構成三角形的條件.

［變式訓練3］已知圓。的方程為《+產=9,求經過點A(l,2)的圓的弦的中點。的軌

跡.

解：設動點P的坐標為(X,y).當AP垂直于x軸或點A與點P重合時，點尸的坐標

分別為(1,0),(1,2),符合題意，此時x=l;

當點P在原點，或AP垂直于)，軸時，即當點P的坐標為(0,0)或(0,2)時，也符合題意，

此時x=0;

當xKO,且時，根據題意可知AP_LOP,即必P?如「=一1,

—1，即/十9一x—2y=0(xW0,且xWl).經檢驗，

X14XI

點(1,0),(0,0),(0,2)也適合上式.

綜上所述，點P的軌跡是以1)為圓心，坐為半徑長的圓.

命題視角2：代入法求軌跡方程

［例41已知動點M到點A(2,0)的距離是它到點8(8,0)的距離的一半.

(1)求動點”的軌跡方程；

(2)若N為線段4M的中點，試求點N的軌跡.

2

［解］⑴設動點M的坐標為。，y),VA(2,0),B(8,0),\MA\=^MB\tA(x-2)+^=|

［(X-8)2+^］.

化簡得Ar4-y2=16,

即動點M的抗跡方程為,r24-y2=16.

(2)設點N的坐標為(x,y),

VA(2,0),N為線段AM的中點，

???點M的坐標為(2r-2,2y).

又點M在圓/+)，2=16上，.,.(2x-2)24-4/=l6,即(工一1)2+)，=4.

???點N的軌跡是以(1,0)為圓心，2為半徑的圓.

4

通法提煉

求軌跡方程的常用方法

(1)直接法：能直接根據題目提供的條件列出方程.

(2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓及以后要學習到的橢圓、

雙曲線、拋物線等)，可用定義直姿求解.

(3)代入法(也稱相關點代入法)：找到所求動點與已知動點的關系，代入已知動點所在

的方程.

［變式訓練4］點P(4,-2)與圓丁十尸一4上任一點連線的中點軌跡方程是(A)

A.(x-2)2+()，+1)2=1

B.(L2)2+G，+1尸4

C.(x+4)2+G，-2)2=4

D.(x+2>+1產=1

X\+4

解析：設圓上任意一點為(xi,yi),它與點尸連線的中點坐標為(x,y),則x=—一，y

州一2

一2，

所以“i=2x—4,yi=2)，+2.

又(M,yi)在圓/+)2=4上，

所以(2x-4)2+(2y+2)2=4,

即2)2+。+1)2=1.

J課堂達標練經典/......……本欄目通過課堂自主達標,巧練經典.強基提能.全面提升

1.方程『+y2+2#—4y—6=0表示的圖形是(D)

A.以(1,一2)為圓心，迎為半徑的圓

B.以(1,2)為圓心，/為半徑的圓

C.以(一1,一2)為圓心，/為半徑的圓

D.以(一1,2)為圓心，，TT為半徑的圓

解析：方程配方為(工+1)2+。-2)2=11,表示以(一1,2)為圓心，半徑為肝的圓.

2.方程f+y2+2av—外+。=0表示圓心為C(2,3),半徑為3的圓，則a,h,c的值

依次是(B)

A.2,6,4B.-2,6,4

C.2?—6,4D.2>—6>—4

解析：由題意可知一4=2,1=3,解得4=—2,b=6,

:、r=2^(—4)2+(—6)2—4c=3,解得c=4.

3.圓/+?—2x+6v+8=0的周長為2啦兀.

解析：由圓的一般方程『+y2-2x+6y+8=0可得。=-2,￡=6,尸=8,則半徑，?

='----2-----="------2--------=、/2，故圓的周長為2小兀

4.已知點E(1,O)在圓廣十9一4%+2)，+5左=0的外部，則女的取值范圍是

解析：方程表示圓的條件是(-4)2+22-4X540,即K1;點E在圓的外部的條件為

12+02—4X1+2X0+5Q0,解得心>予所以火的取值范圍為(予1).

5.設4為圓。-1)2+產=1上的動點，見是圓的切線且求P點的軌跡方程.

解：如圖所示，出是圓C:U—1)2+>^=1的切線，所以4c_LAP,\PC\=yj\ACf-\~\AP\2

二小,所以尸的軌跡是以。為圓心，色為半徑的圓，其方程為(彳-1尸+9=2.

典式課堂小結

—不課須掌握的三大問題

1.圓的一般方程f+)，2+Dr+E)，+/=0(。，E,尸為常數)具有以下特點：

(1號,丁項的系數相等且不為0(如果f和9項的系數是不等于1的非零常數，只需在

方程兩邊除以這個數，就可以變系數為1);

(2)沒有孫項；

(3)Z)24-￡：2-4E>0.

2.圓的一般方程和標準方程的關系：

圓的一般方程和圓的標準方程從本質上講并無區別，它們只是表達形式不同，它們也

可互相轉化.如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑，或需利用圓心、半徑來求解，則用

圓的標準方程比較方便；否則，用圓的一般方程較好.

3.求軌跡方程的一般步驟：

(1)建立適當坐標系，設出動點M的坐標。，y).

(2)列出點M滿足條件的集合.

(3)用坐標表示上述條件，列出方程外，)，)=0.

(4)將上述方程化簡.

(5)證明化簡后的以方程的解為坐標的點都是軌跡上的點.

4.2直線、圓的位置關系

4.2.1直線與圓的位置關系

［目標］1.會用代數方法與幾何方法判斷直線與圓的位置關系；2.能解決直線與圓相切、

相交的有關問題.

［重點］直線與圓位置關系的判斷，直線與圓相切、相交問題的解答.

［難點］直線與圓位置關系問題的解答.

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知識點直線與圓的位置關系

［填一填I

直線4x+By+C=0和圓(x—a)2+(y—8)2=尸的位置關系及判斷

I.幾何法：

判定依據：圓心到直線的距離與圓半徑進行大小比較.

判定結論：設圓心到直線的距離為d,圓半徑為八

(1)若血，則直線與圓相離；

(2)若金，則直線與圓相切；

(3)若婦:，則直線與圓相交.

2.代數法：

判定依據：將直線方程代入圓的方程，消元得關于x(或y)的一元二次方程的判別式4

判定結論：

(1)若皿，則直線與圓相交；

(2)若4=0,則直線與圓相切；

(3)若生Q,則直線與圓相離.

［答一答］

1.(1)“代數法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系，各有什么優勢？

(2)如何選擇判斷直線與圓的位置關系的方法？

提示：(1)“代數法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系是從不同的方面，不同的

思路來判斷的，“代數法”側重于“數”，更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”

則側重于“形”，結合了圖形的幾何性質：

(2)對于具體用哪種方法判即直線與圓的位置關系，應由條件而定，代數法是從方程角

度考慮，但較為繁瑣；幾何法是從幾何角度考慮，方法簡單，成為判斷直線與圓位置關系的

常用方法.

2.(1)直線3x+4y=5與圓^+丁=16的位置關系是相交;

(2)過P(—2,0)向圓/+產=1引切線，則切線長是小.

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類型一直線與圓位置關系的判斷

［例1］已知圓的方程是直線y=x+b.當〃為何值時，

(1)圓與直線只有一個公共點；

(2)圓與直線有兩個公共點；

(3)圓與直線沒有公共點.

［分析］可聯立方程組，由方程組解的個數求解，也可求出圓心到直線的距離，與半

徑比較求解.

y=x+b,c

［解］方法1：聯立直線和圓的方程組成方程組：一。整理可得2f+2笈+

f+)2=1,

b2-1=0,其中』=4（2一〃）.

(D當/=o,即人=±\/5時，直線和圓相切，此時直線和圓僅有一個公共點.

⑵當/＞0,即一也＜從、歷時，直線和圓相交，此時直線和圓有兩個公共點.

(3)當』＜0,即6〈一也或打，5時，直線和圓相離，此時直線和圓沒有公共點.

方法2:圓f+V=l的圓心(0,0)到直線/:的距離d=范，圓的半徑為r=1

(1)當4=果=1,即b=±\「時，直線與圓相切，此時直線與圓有一個公共點;

⑵當1,即一巾＜云6時，直線與圓相交，此時直線與圓有兩個公共點;

⑶當仁皆1,即6＜一啦或b＞啦時，直線與圓相離此時直線與圓沒有公共點.

〔通法提煉〕

“代數法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關系是從不同的方面、不同的思路來判

斷的.“代數法”側重于“數”，更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”則側重于

“形”，結合了圖形的幾何性質.

［變式訓練1］(1)已知點M(a,力在圓O：外，則直線數+力=1與圓。的

位置關系是(B)

A.相切B.相交

C.相離D.不確定

解析：由點M在圓外,得cr-^-b2＞1,

＜l=r,則直線與圓O相交.

???圓心O到直線ax+by=\的距離d=I?,,?

(2)若直線過點(0,。)，其斜率為1,且與圓f+)2=2相切，則。的值為絲.

解析：由題意，得直線的方程為y=x+a,即x-)，+a=0,圓心(0,0)到直線的距離d

|a|=2,。=±2,故填土2.

類型二圓的切線問題

［例2］已知圓的方程為f+k=4,分別求過下列各點的圓的切線方程.

(1)P(＜3,1)；(2)0(4,0).

［分析］先判斷點在圓上還是在圓外，再選用恰當的方法求切線方程.

［解析］⑴因為(小＞+12=4,

所以點P在圓上，從而尸是切點.

又過圓心(0.0)與點P的直線斜率如「=云土=乎，

所以切線的斜率攵=一看=一小.

故所求切線方程為y—1=—y［3(x—y［3),

即，§x+y-4=0.

(2)因為42+02>4,所以點。在圓外，可設切線方程為y=k(x-4),即履一,，一軟=0.

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，從而所以攵=白亭.

故所求切線方程為y=±^(.v—4),即x±，5y-4=0.

通法提煉

經過圓內一點的圓的切線不存在，經過圓上一點的圓的切線有一條，經過圓外一點的

圓的切線有兩條，因此，在求圓的切線方程時，應首先判斷點與圓的位置關系.

［變式訓練2］已知直線/：x+ay—l=0(4￡R)是圓C：f+產一4%-2)，+1=0的對稱

軸.過點4一4,。)作圓C的一條切線，切點為B,則依用=(C)

A.2B.4V5

C.6D.2?

解析：由題意得圓C的標準方程為。-2)2+0，-1產=4,所以圓C的圓心為(2,1),半

徑為2.因為直線/為圓。的對稱軸，所以圓心在直線/上，則2+。一1=0,解得。=一1,

所以依用2=依02一|8。2=(一4一2)2+(一1一1y一4=36,所以|A8|=6,故選C.

類型三圓的弦長問題

［例3］已知圓尸過4(5,-2),8(0,3),C(4,l).

(1)求圓產的方程；

(2)若過點何(-3,一3)的直線/被圓P所截得的弦長為8,求直線/的方程.

［分析］設出直線的斜率，利用圓半徑、弦心距、弦長之間的關系求出斜率，再由點

斜式寫出直線的方程.

［解］(1)設圓P的方程為：^+)?+。X+小，+尸=0,

'25+4+5O-2E+尸=0,0=0,

由題意得，9+3E+F=0,解得，E=4,

[6+1+4。+七+/=0,F=-21,

???圓P的方程為：f+9+4),_21=0.

(2)圓P的標準方程為：『+。，+2)2=25,圓心P(0,-2),半徑r=5,

設直線/:y+3=A(x+3),即乙一)，+3%一3=0,

圓心P到直線/的距離cl=-j===,

41+公

Vd=yJ^—42=3,/.k=—y

4

/:y+3=—善+3）,即4x+3y+21=0.

當直線/斜率不存在時，即x=-3,

圓心P到直線/的距離為3,

弦長為二孕=8,滿足題意.

綜上可知，直線/的方程為：4x+3y+21=0或x=—3.

〔通法提煉〕

直線與圓相交后的弦長問題，常采用幾何法（半弦長、弦心距、圓的半徑構成的直角三

角形）求解.

［變式訓練3］已知一圓C的圓心為（2,-1）,且該圓被直線/：x—y—1=0截得的弦

長為2巾,求該圓的方程.

解：設圓C的方程是低—2）2+0+1）2=/（7>0）,

則弦長/=2爐二7,其中d為圓心到直線1一），-1=0的距離，d=近

:./=R戶一（，5）2=2，1,3=4.

:.圓方程為（“一2）2+。，+1）2=4.

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1.直線3x+4），+12=0與圓（%—1月+。+1）2=9的位置關系是（D）

A.過圓心B.相切

C.相離D.相交但不過圓心

13X1+4X(-1)4-121H

解析：圓心（1,一1）到直線3x十4），十12=。的距禺d=<r.

432+42~5

2.直線x+y+/n=0與圓/+），=皿加>0）相切，則根的值為（B）

A.0或2B.2C.&D.無解

解析：由圓心到直線的距離4=聶=而，解得用=2.

3.設A、B為直線y=x與圓/+產=1的兩個交點，則|4周等于（D）

A.lB.^2C.小D.2

解析：直線），=x過圓f+,2=l的圓心C（0Q）,則依用=2.

4.由點P（l,3）引圓/+產=9的切線的長是L

解析：點P到原點。的距離為|PO|=屈，Vr=3,???切線長為410-9=1.

5.已知圓的方程為$+產=8,圓內有一點尸（一1,2）,AB為過點P且傾斜角為a的弦.

（1）當a=135。時，求A8的長；

（2）當弦AB被點尸平分時，寫出直線AB的方程.

解：（1）解法1:（幾何法）如圖所示，過點。作OC_LAB.

由已知條件得直線的斜率為^=Unl350=-l,J直線4B的方程為y—2=—。+1),

即x+y-l=O.

???圓心為(0,0),???1。^=招=乎.

,?)=2啦,???|8q=q8一第2=卑

：.\AB\=2\BC\=y[30.

解法2:(代數法)當a=135°時，直線AB的方程為了一2=一儀+1),即)，二一4+1,代

7

入f+y2=8,得Zr2-2i-7=0..'?XI+X2=1,xiX2=~y

\AB\=71+標出—X2\=^/(1+1)[(xi4-X2)2—4XIX2]=^50-

（2）如圖，當弦AB被點P平分時，。尸_LAB,

?kop=12,??/C4B=2?

工直線AB的方程為廠2=米+1）,

即x-2y+5=0.

?》??課堂小結

—本課須掌握的三大問題

1.判斷直線和圓的位置關系的兩種方法中，幾何法要結合圓的幾何性質進行判斷，

一般計算較簡單.而代數法則是道過解方程組進行消元，計算量大，不如幾何法簡捷.

2.一般地，在解決圓和直線相交時，應首先考慮圓心到直線的距離，弦長的一半，

圓的半徑構成的直角三角形.還可以聯立方程組，消去》組成一個一元二次方程，利用方

程根與系數的關系表達出弦長/=，F+1?M（X|+X2）2-4工工2

=，—+1國一對

3.研究圓的切線問題時要注意切線的斜率是否存在.過一點求圓的切線方程時，要

考慮該點是否在圓上.當點在圓上時，切線只有一條；當點在圓外時，切線有兩條.

4.2.2圓與圓的位置關系4.2.3直線與圓的方程的應用

［目標］1.能根據給定的圓的方程，判斷圓與圓的位置關系；2.能解決兩圓相切、兩圓

相交的有關問題；3.能夠利用直線與圓的關系解決簡單的實際問題.

［重點］圓與圓位置關系的判斷；兩圓相切、相交的有關問題.

［難點］兩圓相切、相交的有關問題.

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知識點一圓與圓的位置關系

［填一填］

1.圓與圓的位置關系

圓與圓的位置關系有5種：外離、外切、相交、內切和內含.外切和內切統稱為相切.

兩圓相交兩圓外切兩圓外離

兩圓內切兩圓內含

2.圓與圓位置關系的判定

(1)幾何法

若圓G與圓。2的半徑分別為r和R,兩圓圓心距為d,則當d<|R—H時，兩圓內含;

當d=|R—r|時，兩圓內切;

當|R—十廠時，兩圓相交;

當4=??+??時，兩圓外切:

當心*R+r時，兩圓外離.

(2)代數法

設兩圓方程分別為f+V+Dix+Eiy+Fi=0,

A2-^-y2,+Dzx-\-Ezy-\-Fa=0,聯立方程得

f+V+Dix+Eiy+Pi=0,

f+)2+Z)2A+Ezy-\-民=0，

方程組有兩組不同的實數解㈡兩圓桓文，有一組實數解臺兩