2015年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試題

一、選擇題：18小題,每小題4分洪32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,

請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

⑴設函數在(-8,+8)內連續，其中二階導數/“(x)的圖形如圖所示，則曲線y=/(x)的拐點的

個數為()

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設>=1e2'+(x=I/是二階常系數非齊次線性微分方程

23

y"+ay'+by=ce”的一個特解，則()

(A)a=—3,b=2,c=-1

(B)a=3,b=2,c=-\(C)

a=—3,〃=2,c=1(D)a

=3,6=2,c=1

CO廣8

(3)若級數Eg條件收斂，則x=也與x=3依次為募級數Z〃m，(x-1)”的()

n=l?=1

(A)收斂點，收斂點

(B)收斂點，發散點

(C)發散點，收斂點

(D)發散點，發散點

(4)設O是第一象限由曲線2xy=i，4盯=1與直線y=x，y=底圍成的平面區域，函數

/(x,y)在。上連續，則JJ7(x,y)公辦=()

D

n]

(A)2f/(rcosars\n0)rdr

42sin2。

n]

f(rcos0,rsinO)rdr

46sin2J

期]

(C),2。jsin2f/(rcos^,rsin0)dr

42sin2。

n1

(D)\3fl6f/(rcos^,rsin(9)Jr

fl111(1)一

(5)設矩陣A=12a?,b」d寸若集合Q={1,2},則線性方程組4r=〃有無窮多解的充分

JF

必要條件為()

(A)a生d、d髭C

(B)a任dd￡。

(C)aeQ,d任O

(D)aGQ,deQ

⑹設二次型/(匹,如修)在正交變換為x=4下的標準形為2y；+只一只,其中

?=002，03),若。:佃,-々)，則_/(項,為2，%3)在正交變換*=◎下的標準形為()

(A)2寸一只+優

(B)2才+$一北

(C)2犬一只一只

(口)2尤+9/93

(7)若A,B為任意兩個隨機事件，則()

(A)P(AB)<P(A)P(B)(B)P(AB)>P(A)P(B)

(O①)

(8)設隨機變量x,y不相關，且HX=2,叵丫=1,OX=3，則E[X(X+丫-2)]二()

(A)-3(B)3(C)-5(D)5

二、填空題：914小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

..Incosx

(9)lim------=.

10x2

J至sinx

1+cosx

——11

(10)2(+x)dx=

2

(11)若函數z=z(x,y)由方程e'+盯z+x+cos%=2確定，則dz|(0])=.

(12)設。是由平面x+y+z=1與三個坐標平面平面所圍成的空間區域，則

JJJ(x+2y+3z)dxdydz

2002

-1202

(13)〃階行列式=?

0022

00-12

(14)設二維隨機變量(X,y)服從正態分布N(l,0;1,1,0)，則P{xr-y<0(=

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

(15)(本題滿分10分)設函數/(x)=x+aln(l+x)+Z?xsinx,8(％)=小？，若/(x)與g(x)在

xf0是等價無窮小，求°,的值.

(16)(本題滿分10分)設函數/(x)在定義域I上的導數大于零，若對任意的x0&I,由線y=f(x)在點

(與，/(%))處的切線與直線％=%及工軸所圍成區域的面積恒為4,且/(0)=2,求/(x)的表達式.

(17)(本題滿分10分)

已知函數/(x,y)=x+y+xy,曲線C：x2+y24-xy=3>求/(x,y)在曲線C上的

最大方向導數.

(18)(本題滿分10分)

(D設函數“(X),v(x)可導，利用導數定義證明[“(X)vG)T=u'(x)V(x)+u(x)v,(jc)

(H)設函數M/(X),〃2(X)，，/(x)可導，/(X)=%(無)〃2(尤)““(X)，寫出/U)的求導公式.

(20)(本題滿11分)

設向量組內可的一個基，4=2囚+2垢3，42=2“2，[=a+](%+l)(Z.3

(I)證明向量組力A用為R3的一個基；

(II)當k為何值時，存在非0向量/在基6。2，”3與基44△下的坐標相同，并求所有的

(21)(本題滿分11分)

(02-3,(1-20)

設矩陣A=T3-3：相似于矩陣3=0b0]

?1-2?031#

I)I)

⑴求a2的值；

(II)求可逆矩陣尸，使P-ZP為對角矩陣..

[2-xln2,x>0,

(22)(本題滿分11分)設隨機變量X的概率密度為/(x)=4

[0,x<0.

對X進行獨立重復的觀測，直到2個大于3的觀測值出現的停止.記y為觀測次數.

⑴求丫的概率分布；

(II)求EY

(23)(本題滿分11分)設總體X的概率密度為：

[1,0-x-

/(X,0)=\\-0

〔0,其他

其中。為未知參數，%,,x2,,x，為來自該總體的簡單隨機樣本.

⑴求。的矩估計量.

(II)求8的最大似然估計量.

2016年全國碩士研究生入學統一考試數學（一）試卷

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求

的，請將所選項前的字母填在答型紙指定位置上.

(1)若反常積分j-----------的收斂，則()

J。xa(l+x)6

(A)Q<1且〃〉1(B)Q>1且b>1(C)Q<1且a+力>1(￡))〃〉1且Q+/?>1

[2(x-l),x<1

(2)已知函數/(x)=《，則,f(x)的一個原函數是()

[inx.x>\

If(x-l)2,x<lI1

卜)口型、、

[x(lnx-l),x>1[x(lnx+l)-l,x>1

廠](1)><1\DF」("T)2，X<1

[x(lnx+l)4-l,x>1[x(Inx-l)+l,x>1

(3)若y=(l+x2『—=+是微分方程y+p(x)y=q(x)的兩個解，則

q(x)=<)

（A）3x（l+/）（B）-3x（l+r）（C）/⑼-言

■1?4JL十人

/、[x.x<0

（4）已知函數/（尤）=111，則（）

I,-----<x4一,〃=l,2,

Inn+1n

（A）x=0是/（x）的第一類間斷點（B）x=0是〃x）的第二類間斷點

（C）/（x）在x=0處連續但不可導（D）/（x）在x=0處可導

（5）設A,B是可逆矩陣，且A與B相似，則下列結論錯誤的是（）

（A）”與3T相似（B）A-'與相似

（C）A+A'與3+8,相似（D）4+4-|與8+貨'相似

（6）設二次型/（不，毛，七）=%：+%22+%2+4司Z+4*芻+4叫曰3，則/（項,々*）=2在空間直角坐標

下表示的二次曲面為（）

（A）單葉雙曲面（B）雙葉雙曲（C）橢球面（D）柱面

（7）設隨機變量X~N（4,/）（b>0）,記〃=尸{乂44+/},則（）

（A）〃隨著〃的增加而增加（B）〃隨著O■的增加而增加

（C）”隨著〃的增加而減少（D）〃隨著b的增加而減少

（8）隨機試驗E有三種兩兩不相容的結果A,A,A,且三種結果發生的概率均為1,將試驗E獨立重復

1233

做2次，x表示2次試驗中結果A發生的次數，y表示2次試驗中結果A2發生的次數，則x與丫的相關

系數為（）

1111

（A）（B）__（C）-（D）-

2323

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

j'iln（l+tsint）df

（9）lim0=___________

.r-?八01八CGV/9

（10）向量場A（x,y,z）=（%+y+z）i+%O+z左的旋度rotA=

（ID設函數『（"/）可微，2=2（%,），）由方程（工+1）2-丫2=；12/（%一個）確定，則喝（。廣

（12）設函數/（x）=arctanx---二，且/，（（））=],則a=

1+or--------

2-100

0A-10

（B）行列式—

002-1

432A+1

（14）設％],電，…，與為來自總體N（〃,CF2）的簡單隨機樣本，樣本均值％=9.5,參數〃的置信度為0.95

的雙側置信區間的置信上限為10.8,則〃的置信度為0.95的雙側置信區間為.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題綱指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.r）

（15）（本題滿分10分）已知平面區域。=^r,3）2<r<2（l+cos6>）,--<6><~計算二重積分

xdxdy?

（16）（本題滿分10分）設函數y（x）滿足方程丫，+2尸+6=0其中0<%<1.

+00

（I）證明：反常積分［,y（x）心:收斂；

（II）若y（0）=1,yf（0）=1，求J。y（X）dx的值.

（17）（本題滿分10分）設函數f（x.v）滿足.a,y）=（2x+i）e,，且/（0,y）y是從點（o,o）到

2x—y—I

dx-'t

點（l,r）的光滑曲線，計算曲線積分/?）=:"公+）/（x,.v）功，并求/⑺的最小值

"■<dxdy

（18）設有界區域O由平面2x+y+2z=2與三個坐標平面圍成，E為。整個表面的外側，計算曲面積分

/=，(%)+\jdydz-lydzdx+3zdxdy

￡

（19）（本題滿分10分）已知函數/（X）可導，且"0）=1，0</'（%）<\設數列｛8｝滿足

2"

%=/（%”）（“=L2…），證明：

8

（I）級數Z（x,+i-%）絕對收斂；

n=\

（II）limx〃存在，且Ovlim怎<2.

〃一>8?!—>00

分）設矩陣4-1?如

1-11a"?-a-l-2+

當。為何值時，方程AX=3無解、有唯一解、有無窮多解?

,I僅T口

(21)(本題滿分11分)已知矩陣A=|2-30,

、00Oj

(I)求A"

di)設3階矩陣8=(a,a,a)滿足外二%，記4°°=(/，/，夕)將夕，夕，夕分別表示為a,a,a的

23123123123

線性組合。

(22)(本題滿分11分)設二維隨機變量(XI)在區域O={(X,y)|)<X<l,x2<y<、。}上服從均勻分

布,令

h,x<Y

u=[o,x>y

(I)寫出(X,y)的概率密度；

(ID問U與X是否相互獨立？并說明理由;

(ill)求2=[/+乂的分布函數尸⑵.

,[3X2

(23)設總體X的概率密度為了(X,。)=[尹。<x<°，其中Je(0，+8)為未知參數，X”X2,X3為來

自總體X的簡單隨機樣本，令T=max(X1,X2,X3)。

(1)求T的概率密度

(2)確定使得為。的無偏估計

2017年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目

要求的

1-cos/,X>0

(1)若函數=J———在x=0處連續，則()

b,x<0

,1,1

(A)ah=_(B)ab=(C)"=0(D)ab=2

22

(2)設函數/(x)可導，且/(x)/'(x)〉0則()

(A)/(l)>/(-l)(B)/(l)</(-l)

(C)

mINA-01(叩⑴<心)|

(3)函數/(九,，2)=/>，+22在點(1,2,0)處沿向量〃(1,2,2)的方向導數為()

(A)12(B)6(C)4(D)2

(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位:m)處，如下圖中，實線表示甲的速度曲線丫=%。)

(單位:m/s)虛線表示乙的速度曲線v=七。)，三塊陰影部分面積的數值依次為10,20,3,計時開始后

乙追上甲的時刻記為》(單位:s)，則()

(A)f0=10(B)15<Z0<20(C)r0=25(D)r0>25

(5)設a為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則()

(A)E-aa，不可逆(B)E+不可逆

(C)E+2aa'不可逆(D)E-2aa'不可逆

2OO

O21210100

(6)已知矩陣人=20k」02則()

||||

l[0011]011]02|]

(A)A與C相似，B與C相似(B)A與C相似，B與C不相似

(C)A與C不相似，B與C相似(D)A與C不相似，B與C不相似

(7)設為隨機事件，若0<尸(4)<1,0<尸(8)<1廁。缶8)>《48項充分必要條件是()

A.P(B|A)〉P(BR)BP(S|4)<P(B|T)

C.P(6|4)>P(咽D.P(瓦|1)"(哨

(8)設X,X……X5?2)來自總體的簡單隨機樣本，記工X則下列結論中不正確的

I2nNg)

r=l

是：()

(A)Z(X,-〃)服從力務布(B)2(X“-XJ服從力分布

n9

(c)z(x,-x)2服從;r分布(D)〃(又一//)2服從32分布

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分。

(9)已知函數'("一工7很M、'"(°)=---------

(10)微分方程y"+2y+3y=0的通解為)，=

(11)若曲線積分｛域曾性在區,D=(x,y)|x2+y2<l內與路徑無關，則“=

8

(12)幕級數Z(-在區間(-1,1)內的和函數S(x)=

n=\

rioii

(13)設矩陣A=”121,a,a,a為線性無關的3維列向量組，則向量組A。,Aa的秩為

I23I23

|011」

(14)設隨機變量X的分布函數為F(x)=0.5①(x)+0.50)小一，其中①(x)為標準正態分布函數,

則EX=

三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(15)(本題滿分10分)

2

設函數/(〃")具有2階連續偏毀，y=4"》),求祟dy

x=0,dr

(16)(本題滿分10分)

求.2JJ1+Q

…n~in.

k=\\J

(17)(本題滿分10分)

已知函數>(X)由方程無3+)3-3%+3y-2=()確定，求y(x)得極值

(18)(本題滿分10分)

/(x)在[0]]上具有2階導數，/⑴>0,lim/(%)

----<U

設函數1。,X

證(1)方程f(x)=0在區間(0,1)至少存在一^??根；

(2)方程/(尤)/'(%)+"'。)]2=0在區間(()」)內至少存在兩個不同的實根.

(19)(本題滿分10分)

設薄片型物體S是圓錐面Z=信一被柱面z2=法割下的有限部分，其上任一點弧度為

〃(x,y,z)=9jQ+y+z?.記圓錐與柱面的交線為c

(1)求C在xOy平面上的投影曲線的方程

(2)求S的質量M

(20)(本題滿分n分)

設三階行列式4=(4,4,%)有3個不同的特征值，且。3=q+2a2

(1)證明r(A)=2

(2)如果/?=/+。2+%求方程組Ax=/3的通解

(21)(本題滿分11分)

設二次型f(x,x,x)=2x2-x2+(v(r+2xx-8xx+2xX在正交變換x=Qy下的標準型為

123123I21323

I

%/+之y2求a的值及一個正交矩陣Q.

1122

(22)(本題滿分11分)

設隨機變量X,Y互獨立，且趕]概率分布為P{X=0}=P{X=2}=」,Y概率密度為

2

[2y,0<y<1

/(>)=《

[0,其他

(1)求P[Y<EY}(2)求Z=X+Y的概率密度

(23)(本題滿分11分)

某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做n次測量，該物體的質量〃是已知的，設n

次測量結果X”當，，玉相互獨立，且均服從正態分布,該工程師記錄的是n次測量的絕對誤差

Zj=|x,-//|,(z=l,2,,〃)，利用Z],Z2,,Z“估計CT

(I)求z,的概率密度

(II)利用一階矩求CT的矩估計量

(III)求。的最大似然估計量

2018年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷

一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目

要求的

(1)下列函數中，在x=0處不可導的是()

(B)f(x)=ksin心

(A)/(x)=|xsinx|

(D)/(x)=cos^xj

(C)/(X)=cos|

(2)過點(1,0,0),(0,1,0),且與曲面z=f+y2相切的平面為()

(A)z=0與x+y-z=l(B)z=0與2%+2y-z=2

(C)x-y-^x+y-z-1(D)x=y與2%+2y-z=2

⑶Q"瑞=()

(A)sinl+cosl2

(B)sin1+

cosl

(C)2sin1+2cosl(D)2sinl+3cosl

f(1+x)2

dx,K=21+jCO").則()

(4)設M2、)dx,N=\x

Le，

L1+F7T

22

(A)M>N>K(B)M>K>N

(C)K>M>N(D)K>N>M

'110)

(5)下列矩陣中與矩陣01I;相似的為()

、00

(\1-1}」o-0

(A)oir(B)oir

1°…

ni-口(\o-o

(C)010：(D)o10：

、001.[o01]

(6)設48為〃階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X,y)表示分塊矩陣則()

(A)r(A,AB)=r(A)(B)r(A,BA)=r(A)

(C)r(A.,B)=max{r(A),r(B))(D)r(A,B)=r(ATBT)

(7)設隨機變量X的概率密度〃x)滿足〃l+x)=/(l-x),且「/(x)公=0.6,則P{X<0}=()

(A)0.2(B)0.3(C)0.4(D)0.5

(8)設總體

X服從正態分布N(〃,(T2),X,X2，本是來自總體X的簡單隨機樣本，據此樣本檢測

假設：乩：尸氏,乩:嚴氏,則()

(A)如果在檢驗水平a=0.05下拒絕H0,那么在檢驗水平a=0.01下必拒絕乩

(B)如果在檢驗水平a=0.05下拒絕&,那么在檢驗水平a=0.01必接受乩

(C)如果在檢驗水平a=0.05下接受％,那么在檢驗水平a=0.01下必拒絕H0

(D)如果在檢驗水平a=0.05下接受兒，那么在檢驗水平a=0.01下必接受Ho

二、填空題：9~14小題,每小題4分，共24分。

(9)若lin/Jan)]。,則4=

^°\1+tanx')

(10)設函數“X)具有2階連續導數，若曲線y="x)過點(0,0)且與曲線y=2'在點(1,2)處

相切，則J0%"(x)公=.

(11)設F(x,y,z)=xyi-yzj+zx%,則，“F(1,1,0)=.

(12)設乙為球面x2+y2+z2=]與平面x+y+z=。的交線，貝ijJxyds=:

13)

設2階矩陣A有兩個不同特征值，q,％是A的線性無關的特征向量，且滿足4(%+a)=a/a2

則網=,

(14)設隨機事件A與3相互獨立，4與C相互獨立，BC=0,若

尸(4)=P(B)=，,P=(AqABC)=l,

則P(C)=.

三、解答題：15~23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

(15)(本題滿分10分)

求不定積分Je2xarctan&x-Idx.

(16)(本題滿分10分)

將長為的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形.三個圖形的面積之和是否存在最小值？

若存在，求出最小值.

(17)(本題滿分10分)

設Z是曲面元=J1-3y2—3z2的前側,計算曲面積分

I=(Jxdydz++2)dzdx+zdxdy.

(18)(本題滿分10分)

已知微分方程y+y=/(x),其中/㈤是R上的連續函數.

(I)若/(%)=%,求方程的通解

(II)若f(x)是周期為用勺函數，證明：方程存在唯一的以T為周期的解.

(19)(本題滿分10分)

設數列｛%｝滿足：x>0,xeXnt'=ex"-l(n=1,2,)，證明｛x｝收斂，并求limx.

(20)(本題滿分11分)

設實二次型/(x,x,%)=(x,t+x)?+(%+xy+(%+ox了,其中a是參數.

123I232313

(I)求/(占,孫%3)=°的解

(II)求/(%],%2多)的規范形.

(21)(本題滿分11分)

「12a、「1a2、

已知。是常數，且矩陣A，?一可經初等列變換化為矩陣B打11；.

(I)求。；

(II)求滿足人尸=比1勺可逆矩陣P.

(22)(本題滿分11分)

設隨機變量x與丫相互獨立，x的概率分布為P{X=1}=p{x=-1}=」,丫服從參數為丸的泊松分布.

2

令Z=XY.

(I)求Cou(X,Z);

(II)求z的概率分布.

(23)(本題滿分11分)

設總體X的概率密度為

..,_1U*

J(x,b)—e。,—oo<x<+oo,

其中bE(0,+oo)為未知參數，X、,Xz，,X〃為來自總體X的簡單隨機樣本記。的最大似然估計量為b.

(I)求一

(II)求Ecf和0(爐).

2019年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷

一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題H要求的

C1)當x今0時，若x-tanx'jk；無窮小，貝Uk二()

(A)1(B)2(C)3(D)4

葉，x:e;;0

(2)設函數ftx)={,則x=O是￡尊)的()

xlnx,x>0

(A)可導點，極值點(B)不可導點，極值點

(C)可導點，非極值點()不可導點，非極值點

(3)設何}是單調增加的有界數列，則下列級數中收斂的是()

(ALUIIB)IC-1)-

(C)f(I-)DTI一記)

n=lUn'I

(4)設函數Q(x,y)-今如果對上半平面(y>0)內的任意有向光滑封閉曲線C都有

y

fP(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,那么函數P(x,y)可取為(

o]X?[[T

(A)y-孝(B)-六(O)-—(D)X--

yyy*yy

(5)設A是3階實對稱矩陣，E是3階單位矩陣，若A+A=2E,且岡=4,則二次型KAx的規范為

()

(A)對+對+沁⑻對+Yi?沁

(C)對一對-y；(D)-y/-Yi-Yi

(6i如圖所示，有3張平面兩兩相交，交線相彳「它們的方程.ax+a>Y+ai3z=d:(i=1,2,3)組成的

線性方程組的系數矩陣和增廣矩陣分別記淞，A,則(

(A)r(A)=2,r(A)=3(B)r(A)=2」(力二2

(C)r(A)=l,r(A)=2(D)r(A)=l,r(A)=1

(7)躁,B為隨機事件，則P(A)=P(B)的充分必要條件是(

(A)P(ALJB)=P(A)+P(B)(B)P(AB)=P(A)P(B)

(C)P(AB)=P(BA)(D)P(AB)=P(A趴

(8)設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從于正態分布N(|a,礦)，WJPrf-Yl<1}C

(A)與U無關，而與礦有關(B)與林有關，而與礦無關

(C)與U,礦都有關(D)與口,礦都無關

二、填空題：9'"14小題，每小題4分，共24分。

,10Z10Z

(9)設函數f(u)可導，z=/ksiny一sinx)+xy,則?一+?二.

cosxOXcosy匈

(10)微分方程2yy，一y2—2=0滿足條件y(o)=i的特解y=

(11)幕級數2TVXn在Q+OO)內的和函數S(X)=

n=o(2n)!

(12)設用為曲面乂+y2+4z2=4(z習0)的上側，則ffJ4—X—4z!dxdy=.

L

(13)設4=(ai!.aJ力3階矩陣，若性無關，且3=T+2a2,則線性方程組扛=0的通

解為

(14)設隨機變量X的概率密度為((x){i,Ovxv2,F(x)為X的分布函數，EX為X

0,其他

的數學期望，則P{F(X)>EX-1}=

三、解答題：⑹”23小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

C15)C本題滿分10分)

設函數y(x)是微分方程y'+xy=e2滿足條件y(0)=0的特解

C1)求y(x);

(2)求曲線y=y(x)的凹凸區間及拐點.

06)C本題滿分10分)

設a,b為實數，函數2=2+4*2+1)曠在點(3,4)處的方向導數中，沿方向1=-3i—4)的方向導數最

大，最大值為10.

C1)求a,b;

(2)求曲面z=2+a4+by(z習0)的面積.

C17)C本題滿分10分)

求曲線丫=亡$皿*仁0盧X軸之間圖形的面積.

8)C本題滿分10分)

設m=S：X飛廠言ix(n=0,1,2,…)

n—1

CI)證明：數列憶)單調減少，且a=an-/n=2,3「")

°n+2

a

(2)求lim一二

n-??an.j

9)C本題滿分10分)

設3是由錐面在父+(y-z)—(I—z)2(0z缸)與平面z=(fl成的錐體，救的形心坐標

(20)C本題滿分II分)

設向量組*=(1,2”*2=(1,3,2￡乂3=(1,43廣為礦的?個基，fJ=(l,l,廣在基下的坐標(b,c,lf

(1)求a,b,c;

⑵證明;!’#fj為礦的一個基并求a淄力到a3,13的過渡矩陣

(21)(本題滿分II分)

已知矩陣人=

(1)求X、y.

⑵求可逆矩陣P,使得p-'AP=B

(22)C本題滿分11分)

設隨機變量X與丫相互獨立，X服從參數為1的指數分布.Y的概率分布為

P{Y=-H=p.P{Y=l}=Lp(O<p<1),^Z=XY

(1)求Z的概率密度；

⑵p為何值時，X與懷相關；

C3)X與Z是否相互獨立

C23)C本題滿分11分)

設總體畫概率密度為'.f(x礦){1e,'";!',x.

0X<p.

其中U是已知參數，”>0是未知參數，A是常數，X"X2、Xn是來自總體X的簡單隨機樣本.

(1)求A;

⑵求礦的最大似然估計量

2015年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題

一、選擇題:1?8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合

題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)下列反常積分中收斂的是()

「史f-RO1X

r3dxdx[-----dx\—dx

(A)2(B)?x(C)J2xlnx(D)j2。

sint_

⑵函數/(x)=lim(l+------)；在(-00,4-00)內()

(A)連續(B)有可去間斷點

(C)有跳躍間斷點(D)有無窮間斷點

[a1

XCOSr、n

(3)設函數/(無)=J7(a>0,〃>0),若/(x)在x=0處連續，則()

[0,x<0

(A)a-/3>\(B)0<?-/?<1

(C)a-/?>2(D)0<?-/?<2

(4)設函數/(x)在(-oo,+oo)連續，其二階導函數/〃(九)的圖形圖所示，則曲線y=/(x)的拐點個數為

()

(A)0(B)l(C)2(D)3

/"(x)八.

(5).設函數/(u,V)滿足了(%+y,5=x2-/,則雪與紅依次是()

X3〃“=1dv?=i

1111

(A)_,0(B)0,_(C)-_,0(D)0

2222

(6).設。是第一象限中曲線2xy=l,4xy=l與直線y=x,y=底圍成的平面區域，函數/(x,y)在。上

連續，則J]/(x,()

(B)畫點f(rcos0,rsmO)dr

n]

sin2

(C)^dOj^f(rcos0,rsin0)dr(D)f(rcos0,rsin0)dr

’72sin26

infn,、

2a',b=\d',若集合Q={1,2},則線性方程組Ar=b有無窮多個解的充分必要

+I+

4a2iU2/

條件為()

(A)a隹。,d生豆(B)。任。,de。(C)〃￡Q,deC(D)aeCl,deQ

(8)什設二次型/(x,x,x)在正交變換元=今下的標準形為2y2+y2-y2,其中p=(e,e,e),

右

123123123

Q=(e?-e3,e2),則/3，/,匕)在正交變換*=。＞'下的標準形為()

2(B)2-2§

(A):2y-y^+y3

。2)?|-/2-/3(D)+只+北

二、填空題：9?14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

[x=arctantd2y

(9)設〈3，則—=

U=3，+P次E

(10)函數/(X)=f2"在x=0處的〃階導數/⑺(0)=

.V2

(11)設函數/(x)連續，夕(x)=fV")力，若以1)=1，。⑴=5,則/(1)=

(12)設函數y=y(x)是微分方程爐+、'一2〉=0的解，且在尤=0處yQO取值3,則y(?=

(13)若函數z=z(x,y)由方程*^s+xyz=1確定，則dz^Q0)=

(14)設3階矩陣A的特征值為2,-2,1,B=A2—A+￡,其中E為3階單位矩陣，則行歹忸B=

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或

演算步驟.

15、（本題滿分10分）

設函數/(x)=x+oln(l+x)+Z?xsinx,g(x)=&,若/(x)與g(x)在x—>0時是等價無窮小，求A

的值。

16、（本題滿分10分）

設A〉O,。是由曲線段y=Asinx（O4x4江）及直線y=o,x=江所形成的平面區域，分別表

2212

示D