PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)十八復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(2024·全國(guó)Ⅰ卷)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1C.QUOTE D.2【解析】選D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.(2024·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z=i(2+i),則QUOTE= ()A.1+2i B.-1+2iC.1-2i D.-1-2i【解析】選D.由z=i(2+i)=-1+2i,則QUOTE=-1-2i.3.(2024·北京高考)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)QUOTE的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.復(fù)數(shù)z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以z的共軛復(fù)數(shù)QUOTE=QUOTE-QUOTEi,QUOTE對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為QUOTE,位于第四象限.4.已知i為虛數(shù)單位,z=i2019+i2020的共軛復(fù)數(shù)為 ()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解析】選A.因?yàn)閦=i2019+i2020=i4×504+3+i4×505=i3+1=1-i,所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i.5.設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)是QUOTE,若復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=t+i,且z1·QUOTE是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因?yàn)閦2=t+i,所以QUOTE=t-i.z1·QUOTE=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,又因?yàn)閦1·QUOTE∈R,所以4t-3=0,所以t=QUOTE.6.(多選題)對(duì)于非零復(fù)數(shù)a,b,以下四個(gè)命題肯定為真的有 ()A.a+QUOTE≠0B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.若|a|=|b|,則a=±bD.若a2=ab,則a=b【解析】選BD.對(duì)于A,取a=-i,則a+QUOTE=0,A不正確;對(duì)于B,對(duì)于隨意復(fù)數(shù)a,b,肯定有(a+b)2=a2+2ab+b2,B正確;對(duì)于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由a2=ab及a≠0,得a=b,D正確.所以正確的命題是BD.二、填空題(每小題5分,共10分)7.(1+i)2-QUOTE=________.

【解析】(1+i)2-QUOTE=2i-QUOTE=-QUOTE+QUOTEi.答案:-QUOTE+QUOTEi8.(2024·江蘇高考)若復(fù)數(shù)z滿意i·z=1+2i,其中i是虛數(shù)單位,則z的實(shí)部為_(kāi)_______.

【解析】設(shè)z=a+bi,則i·(a+bi)=ai+bi2=ai-b=1+2i,故a=2,b=-1,故z=2-i,實(shí)部為2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知復(fù)數(shù)z1=(-1+i)(1+bi),z2=QUOTE,其中a,b∈R.若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù),求a,b的值.【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z2=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.由于z1和z2互為共軛復(fù)數(shù),所以有QUOTE解得QUOTE10.若f(z)=2z+QUOTE-3i,f(QUOTE+i)=6-3i,求f(-z).【解析】因?yàn)閒(z)=2z+QUOTE-3i,所以f(QUOTE+i)=2(QUOTE+i)+(QUOTE)-3i=2QUOTE+2i+z-i-3i=2QUOTE+z-2i.又因?yàn)閒(QUOTE+i)=6-3i,所以2QUOTE+z-2i=6-3i.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi,所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.由復(fù)數(shù)相等的定義,得QUOTE解得QUOTE所以z=2+i,故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)QUOTE+(1+QUOTEi)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.QUOTE+(1+QUOTEi)2=QUOTE+QUOTEi+(-2+2QUOTEi)=-QUOTE+QUOTEi,對(duì)應(yīng)點(diǎn)QUOTE在其次象限.2.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中的假命題是 ()A.若|z1-z2|=0,則QUOTE=QUOTEB.若z1=QUOTE,則QUOTE=z2C.若|z1|=|z2|,則z1·QUOTE=z2·QUOTED.若|z1|=|z2|,則QUOTE=QUOTE【解析】選D.A項(xiàng),|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?QUOTE=QUOTE,真命題;B項(xiàng),z1=QUOTE?QUOTE=z2,真命題;C項(xiàng),|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1·QUOTE=z2·QUOTE,真命題;D項(xiàng),當(dāng)|z1|=|z2|時(shí),可取z1=1,z2=i,明顯QUOTE=1,QUOTE=-1,即QUOTE≠Q(mào)UOTE,假命題.3.(多選題)下列敘述正確的是 ()A.方程3x2-2x+1=0的兩個(gè)根互為共軛虛數(shù)B.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i3-QUOTE=iC.a=1是復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)為實(shí)數(shù)的充要條件D.a=6是復(fù)數(shù)QUOTE為純虛數(shù)的充要條件【解析】選ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,兩個(gè)根為共軛虛數(shù),選項(xiàng)A正確.i3-QUOTE=-i-QUOTE=-i-QUOTE=-i+2i=i,選項(xiàng)B正確.因?yàn)閺?fù)數(shù)(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i為實(shí)數(shù)的充要條件是a=±1,所以a=1是復(fù)數(shù)(a+i)(1-ai)為實(shí)數(shù)的充分不必要條件,選項(xiàng)C不正確.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,所以當(dāng)a=6時(shí),復(fù)數(shù)QUOTE為純虛數(shù),反之成立,選項(xiàng)D正確.4.已知集合M=QUOTE,i是虛數(shù)單位,Z為整數(shù)集,則集合Z∩M中的元素個(gè)數(shù)是 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z為整數(shù)集,所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3個(gè)元素.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知i為虛數(shù)單位,則QUOTE=________.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1.答案:-16.已知i是虛數(shù)單位,z=QUOTE,則|z|=________.

【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE=i,所以z=QUOTE=QUOTE·QUOTE=i1009·QUOTE=i4×252+1·QUOTE=i·QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,|z|=1.答案:17.已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值是________.

【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),依據(jù)=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以QUOTE解得QUOTE所以λ+μ=1.答案:18.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),且QUOTE+QUOTE=QUOTE,則x+y=________.

【解析】QUOTE+QUOTE=QUOTE可化為QUOTE+QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTEi=QUOTE+QUOTEi,由復(fù)數(shù)相等的充要條件知QUOTE所以QUOTE所以x+y=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=5,且(3+4i)z是純虛數(shù),求z.【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閨z|=5,所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)+(4x+3y)i是純虛數(shù),所以QUOTE解得QUOTE或QUOTE,所以z=4+3i或z=-4-3i.10.設(shè)z為虛數(shù),求證:z+QUOTE為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|=1.【證明】設(shè)z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+QUOTE=a+bi+QUOTE=a+bi+QUOTE=QUOTE+QUOTEi,所以b≠0,(z+QUOTE)∈R?b-QUOTE=0?a2+b2=1?|z|=1.11.若虛數(shù)z同時(shí)滿意下列兩個(gè)條件:①z+QUOTE是實(shí)數(shù);②z+3的實(shí)部與虛部互為相反數(shù).這樣的虛數(shù)是否存在?若存在,求出z;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】假設(shè)存在虛數(shù)滿意題意,設(shè)虛數(shù)的代數(shù)形式,代入運(yùn)算,看解方程組是否有解.【解析】假設(shè)存在虛數(shù)z滿意題意