重難點05反比例函數與一次函數的綜合考點一：一次函數一次函數在中考數學中主要考察其圖象、性質以及其簡單應用，考察題型較為靈活。但是一張中考數學與試卷中，單獨考察一次函數的題目占比并不是很大，更多的是考察一次函數與其他幾何知識的結合。占比也比較大，需要對該考點掌握的更為熟練。題型01一次函數圖象上點的坐標特征解題大招01：一次函數解析求法是待定系數法，即：①設，②代，③解，④寫；解題大招02：當說明“點在函數圖象上”時，立刻想“點的坐標符合其解析式”；解題大招03：一次函數的k決定直線的增減性，b決定直線與y軸的交點縱坐標；解題大招04：一次函數圖象平移規律：左加右減（x），上加下減（整體）；【中考真題練】1．（2023?臨沂）對于某個一次函數y＝kx+b（k≠0），根據兩位同學的對話得出的結論，錯誤的是（）A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b【分析】根據一次函數的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征判斷即可．【解答】解：∵一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象不經過第二象限，∴b≤0，又∵函數圖象經過點（2，0），∴圖象經過第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴錯誤的是k+b＞0．故選：C．2．（2023?雅安）在平面直角坐標系中，將函數y＝x的圖象繞坐標原點逆時針旋轉90°，再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為（）A．y＝﹣x+1 B．y＝x+1 C．y＝﹣x﹣1 D．y＝x﹣1【分析】找出y＝x上一個點坐標，進而旋轉90°后對應點的坐標，即可得到旋轉后一次函數解析式，再根據上加下減的平移規則即可求得直線的函數表達式為y＝﹣x+1．【解答】解：在函數y＝x的圖象上取點A（1，1），繞原點逆時針方向旋轉90°后得到對應的點的坐標A′（﹣1，1），則旋轉后的直線的解析式為y＝﹣x，再向上平移1個單位長度，得到y＝﹣x+1．故選：A．3．（2023?荊州）如圖，直線y＝﹣x+3分別與x軸，y軸交于點A，B，將△OAB繞著點A順時針旋轉90°得到△CAD，則點B的對應點D的坐標是（）A．（2，5） B．（3，5） C．（5，2） D．（，2）【分析】先根據坐標軸上點的坐標特征求出B點坐標為（0，3），A點坐標為（2，0），則OA＝2，OB＝3，再根據旋轉的性質得∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，然后根據點的坐標的確定方法即可得到點D的坐標．【解答】解：當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則B點坐標為（0，3）；當y＝0時，﹣x+3＝0，解得x＝2，則A點坐標為（2，0），則OA＝2，OB＝3，∵△AOB繞點A順時針旋轉90°后得到△ACD，∴∠OAC＝90°，∠ACD＝∠AOB＝90°，AC＝AO＝2，CD＝OB＝3，即AC⊥x軸，CD∥x軸，∴點D的坐標為（5，2）．故選：C．4．（2023?無錫）一次函數y＝x﹣2的圖象與坐標軸圍成的三角形的面積是2．【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征，可求出一次函數y＝x﹣2的圖象與兩坐標軸的交點坐標，再利用三角形的面積公式，即可求出一次函數y＝x﹣2的圖象與坐標軸圍成的三角形的面積．【解答】解：當x＝0時，y＝1×0﹣2＝﹣2，∴一次函數y＝x﹣2的圖象與y軸交于點（0，﹣2）；當y＝0時，x﹣2＝0，解得：x＝2，∴一次函數y＝x﹣2的圖象與x軸交于點（2，0）．∴一次函數y＝x﹣2的圖象與坐標軸圍成的三角形的面積是×|﹣2|×2＝2．故答案為：2．5．（2023?蘇州）已知一次函數y＝kx+b的圖象經過點（1，3）和（﹣1，2），則k2﹣b2＝﹣6．【分析】利用待定系數法即可解得．【解答】解：由題意得，將點（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴，另一種解法：由題意得，將點（1，3）和（﹣1，2）代入y＝kx+b得：，∴k2﹣b2＝（k+b）（k﹣b）＝﹣（k+b）（﹣k+b）＝﹣3×2＝﹣6．故答案為：﹣6．6．（2023?南充）如圖，直線y＝kx﹣2k+3（k為常數，k＜0）與x，y軸分別交于點A，B，則+的值是1．【分析】根據一次函數的解析式，可以求得點A和點B的坐標，然后即可計算出+的值．【解答】解：∵直線y＝kx﹣2k+3，∴當x＝0時，y＝﹣2k+3；當y＝0時，x＝；∴點A的坐標為（，0），點B的坐標為（0，﹣2k+3），∴OA＝，OB＝﹣2k+3，∴+＝+＝﹣＝＝1，故答案為：1．7．（2023?青海）如圖是平面直角坐標系中的一組直線，按此規律推斷，第5條直線與x軸交點的橫坐標是10．【分析】根據每條直線與x軸交點的橫坐標解答即可．【解答】解：由題知，這組直線是平行直線，每條直線與x軸交點的橫坐標依次是2，4，6...，∴第5條直線與x軸的交點的橫坐標是10．故答案為：10．8．（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在直線l1：y＝x上，頂點B在x軸上，AB垂直x軸，且OB＝2，頂點C在直線l2：y＝x上，BC⊥l2；過點A作直線l2的垂線，垂足為C1，交x軸于B1，過點B1作A1B1垂直x軸，交l1于點A1，連接A1C1，得到第一個△A1B1C1；過點A1作直線l2的垂線，垂足為C2，交x軸于B2，過點B2作A2B2垂直x軸，交l1于點A2，連接A2C2，得到第二個△A2B2C2；如此下去，…，則△A2023B2023C2023的面積是24046．【分析】解直角三角形得出∠AOB＝30°，∠BOC＝60°，求出S△ABC＝，證明△ABC∽△A1B1C1，△ABC∽△A2B2C2，得出＝4S△ABC，＝42?S△ABC＝（22）2?S△ABC，總結得出＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，從而得出＝22×2023×＝24046．【解答】解：∵OB＝2，∴B（2，0），∵AB⊥x軸，∴點A的橫坐標為2，∵直線l1：y＝x，∴點A的縱坐標為＝，∴∠AOB＝，∴∠AOB＝30°，∵直線l2：y＝x，∴C（xC，），∴＝，∴∠BOC＝60°，∴OC＝，∴C點的橫坐標為：＝，∴S△ABC＝＝，∵BC⊥l2，B1C1⊥l2，B2C2⊥l2，∴BC∥B1C1∥B2C2，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝30°，∴∠C1B1O＝∠C2B2O＝∠CBO＝∠AOB，∴AO＝AB1，A1O＝A1B2，∵AB⊥x軸，A1B1⊥x軸，∴OB＝，OB1＝，∵AB⊥x軸，A1B1⊥x軸，A2B2⊥x軸，∴AB∥A1B1∥A2B2，∴，，∵BC∥B1C1∥B2C2，∴，，∴，∵∠ABC＝∠A1B1C1＝90°﹣30°＝60°，∴△ABC∽△A1B1C1，同理△ABC∽△A2B2C2，∴＝4S△ABC，＝42?S△ABC＝（22）2?S△ABC，∴＝（2n）2S△ABC＝22nS△ABC，＝22×2023×＝24046．故答案為：24046．9．（2023?西寧）一次函數y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點A，且經過點B（m，4）．（1）求點A和點B的坐標；（2）直接在圖的平面直角坐標系中畫出一次函數y＝2x﹣4的圖象；（3）點P在x軸的正半軸上，若△ABP是以AB為腰的等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標．【分析】（1）把y＝0和4分別代入函數解析式，即可求得相應的x和m的值，即可得點A、B的坐標；（2）利用描點法畫圖象即可；（3）根據等腰三角形的性質即可得出答案．【解答】解：（1）∵一次函數y＝2x﹣4的圖象與x軸交于點A，∴令y＝0，2x﹣4＝0，解得x＝2，∴點A的坐標是（2，0），∵點B（m，4）在一次函數y＝2x﹣4的圖象上，把B（m，4）代入y＝2x﹣4，得2m﹣4＝4，∴m＝4，∴點B的坐標是（4，4）；（2）圖象過點A的坐標是（2，0），點B的坐標是（4，4），如圖：（3）∵A（2，0），B（4，4），∴AB＝＝2，∵點P在x軸的正半軸上，△ABP是以AB為腰的等腰三角形，∴P的坐標為（6，0）或（2+2，0）．【中考模擬練】1．（2024?長豐縣模擬）如圖，直線與坐標軸交于點A、B，過點B作AB的垂線交x軸于點C，則點C的坐標為（）A． B．（﹣6，0） C． D．【分析】直線與坐標軸交于點A、B，得到，結合CB⊥AB，得到∠ACB＝∠ABO，利用正切函數計算OC即可．【解答】解：∵直線與坐標軸交于點A、B，∴，∴，∴，∵CB⊥AB，CO⊥OB，∴∠ACB＝90°﹣∠BAO＝∠ABO，∴，解得，∴，故選：A．2．（2024?靜安區二模）一次函數y＝kx+b中，如果k＜0，b≥0，那么該函數的圖象一定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據一次函數圖象與系數的關系進行判斷即可．【解答】解：當一次函數y＝kx+b中k＜0，b≥0，該函數的圖象一定不經過第三象限，故選：C．3．（2024?太白縣一模）在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣5x+m（m是常數）的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＞x2，則y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2【分析】由k＝﹣5＜0，利用一次函數的性質，可得出y隨x的增大而減小，再結合x1＞x2，即可得出y1＜y2．【解答】解：∵k＝﹣5＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點A（x1，y1），B（x2，y2）都在一次函數y＝﹣5x+m（m是常數）的圖象上，且x1＞x2，∴y1＜y2．故選：B．4．（2024?衡南縣模擬）已知：如圖，直線y＝﹣2x+4分別與x軸，y軸交于A、B兩點，點P（1，0），若在直線AB上取一點M，在y軸上取一點N，連接MN、MP、NP，則MN+MP+NP的最小值是（）A．3 B． C． D．【分析】作點P關于y軸的對稱點E，點P關于AB的對稱點F，連接EN，EM，EF，FM，FP，設FP交AB于C，過點F作FD⊥x軸于D，則EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根據“兩點之間線段最短”得MN+FM+EN≥EF，則MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值為線段EF的長；先求出點A（2，0），點B（0，4），則OA＝2，OB＝4，再由點P（1，0）得OP＝1，則OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝1，再求出AB＝，證△PAC∽△BAO得PC：OB＝PA：AB，由此得PC＝，則PF＝，再證△PFD∽△BAO得FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，由此可得FD＝，PD＝，則ED＝OE+OP+PD＝，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作點P關于y軸的對稱點E，點P關于AB的對稱點F，連接EN，EM，EF，FM，FP，設FP交AB于C，過點F作FD⊥x軸于D，如圖所示：則EN＝NP，FM＝MP，FP⊥AB，OE＝OP，FC＝PC，∴MN+MP+NP＝MN+FM+EN，根據“兩點之間線段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值為線段EF的長，對于y＝﹣2x+4，當x＝0時，y＝4，當x＝0時，x＝2，∴點A（2，0），點B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，又∵點P（1，0），∴OP＝1，∴OE＝OP＝1，PA＝OA﹣OP＝2﹣1＝1，在Rt△OAB中，OA＝2，OB＝4，由勾股定理得：AB＝＝，∵FP⊥AB，FD⊥x軸，∠BOA＝90°，∴∠PCA＝∠BOA＝∠PDF＝90°，又∵∠PAC＝∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB＝PA：AB，∠APC＝∠ABO，即，∴PC＝，∴FC＝PC＝，∴PF＝FC+PC＝，∵∠APC＝∠ABO，∠BOA＝∠PDF＝90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA＝PD：OB＝PF：AB，即，∴FD＝，PD＝，∴ED＝OE+OP+PD＝1+1+＝，在Rt△EFD中，ED＝，FD＝，由勾股定理得：EF＝＝．故選：C．5．（2024?普陀區二模）已知直線y＝2x+4與直線y＝1相交于點A，那么點A的橫坐標是﹣．【分析】代入y＝1，求出x的值即可．【解答】解：將y＝1代入y＝2x+4得：1＝2x+4，解得：x＝﹣，∴點A的橫坐標是﹣．故答案為：﹣．6．（2023?鄲城縣三模）某班數學興趣小組對函數y＝﹣2|x﹣1|+3的圖象與性質進行了探究，探究過程如下：（1）自變量x的取值范圍是全體實數，x與y的幾組對應值列表如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y＝﹣2|x﹣1|+3…﹣5m﹣1131n﹣3﹣5…填空：m＝﹣3，n＝﹣1；（2）根據上表數據，在如圖所示的平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；（3）觀察函數圖象，寫出該函數的兩條性質：①該函數圖象是軸對稱圖形；②該函數有最大值3（答案不唯一）；（4）點A（a，b）是該函數圖象上一點，現已知點A在直線y＝2的下方，且b＞﹣2，那么a的取值范圍是﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．【分析】（1）分別求出x＝﹣2和x＝3時對應的y值即可；（2）根據表中數據，描點后畫出函數圖象即可；（3）根據函數圖象，結合增減性和最值寫出性質；（4）分別求得y＝2與y＝﹣2時的自變量的值，進而根據函數圖象即可求解．【解答】解：（1）當x＝﹣2時，m＝﹣2|﹣2﹣1|+3＝﹣3，當x＝3時，n＝﹣2|3﹣1|+3＝﹣1，故答案為：﹣3，﹣1；（2）根據描點連線，如圖所示．（3）觀察函數圖象，寫出該函數的兩條性質：①該函數圖象是軸對稱圖形；②該函數有最大值3（答案不唯一）．故答案為：①該函數圖象是軸對稱圖形；②該函數有最大值3（答案不唯一）；（4）當y＝2時，即﹣2|x﹣1|+3＝2，解得：x＝0.5或x＝1.5，當y＝﹣2時，﹣2|x﹣1|+3＝﹣2解得x＝﹣1.5或x＝3.5，根據函數圖象可得，點A在直線y＝2的下方，且b＞﹣2，∴﹣1.5＜a＜0.5或1.5＜a＜3.5．7．（2023?太平區二模）小明在學習一次函數后，對形如y＝k（x﹣m）+n（其中k，m，n為常數，且k≠0）的一次函數圖象和性質進行了探究，過程如下：【特例探究】（1）如圖所示，小明分別畫出了函數y＝（x﹣2）+1，y＝﹣（x﹣2）+1，y＝2（x﹣2）+1的圖象（網格中每個小方格邊長為1），請你根據列表、描點、連線的步驟在圖中畫出函數y＝﹣2（x﹣2）+1的圖象．【深入探究】（2）通過對上述幾個函數圖象的觀察、思考，你發現y＝k（x﹣2）+1（k為常數，且k≠0）的圖象一定會經過的點的坐標是（2，1）．歸納：函數y＝k（x﹣m）+n（其中k、m、n為常數，且k≠0）的圖象一定會經過的點的坐標是（m，n）．【實踐運用】（3）已知一次函數y＝k（x+2）+3（k為常數，且k≠0）的圖象一定過點N，且與y軸相交于點A，若△OAN的面積為4，求k的值．【分析】（1）根據列表、描點、連線作圖．（2）將x＝2代入解析式求解．（3）將x＝m代入解析式求解．（4）根據一次函數解析式求出點N及點A坐標，進而求解．【解答】解：（1）列表：x﹣10123y﹣5﹣3﹣113如圖：（2）將x＝2代入y＝k（x﹣2）+1得y＝1，∴函數y＝k（x﹣2）+1的圖象一定經過（2，1）．故答案為：（2，1）．（3）將x＝m代入y＝k（x﹣m）+n得y＝n，∴函數y＝k（x﹣m）+n的圖象一定經過（m，n），故答案為：（m，n）．（4）將x＝﹣2代入y＝k（x+2）+3得y＝3，∴點N坐標為（﹣2，3），將x＝0代入y＝k（x+2）+3得y＝2k+3，∴點A坐標為（0，2k+3），∴OA＝|2k+3|，∴S△OAN＝OA?|xN|＝OA＝|2k+3|＝4，解得k＝﹣或k＝．8．（2023?花都區一模）在平面直角坐標系中，直線y＝kx+4（k≠0）交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．（1）k的值是﹣；（2）點C是直線AB上的一個動點，點D和點E分別在x軸和y軸上．①如圖，點D的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，1），若四邊形OECD的面積是9，求點C的坐標；②當CE平行于x軸，CD平行于y軸時，若四邊形OECD的周長是10，請直接寫出點C的坐標．【分析】（1）根據點A的坐標，利用待定系數法可求出k值；（2）①利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點C的坐標，由四邊形OECD的面積是9，得出S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）?m+（﹣m+4）?（6﹣m）＝9，解方程求得m的值，即可求得C的坐標；②由題意可知2（m﹣m+4）＝10，解方程求得m的值，即可求得C的坐標【解答】解：（1）將A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣，故答案為：﹣；（2）①如圖1，由（1）可知直線AB的解析式為y＝﹣x+4．∴設C（m，﹣m+4）（0＜m＜8），∵點D的坐標為（6，0），點E的坐標為（0，1），∴OD＝6，OE＝1，∴OM＝m，CM＝﹣m+4，∵四邊形OECD的面積是9，∴S梯形CEOM+S△CDM＝（1﹣m+4）?m+（﹣m+4）?（6﹣m）＝9，整理得2m＝6，解得m＝3，∴點C的坐標為（3，）；②∵CE平行于x軸，CD平行于y軸，∴四邊形CEOD是矩形，∵四邊形OECD的周長是10，∴2（m﹣m+4）＝10或2（﹣m+4﹣m）＝10，解得m＝2或m＝6，點C的坐標為（2，3）或（﹣，）．題型02一次函數的應用解題大招01：常用等量關系：總利潤=單件利潤×數量解題大招02：利用函數的增減性得到最大利潤解題大招03：和函數圖象結合時，注意圖象對應的“起點”、“拐點”、“終點”的意義【中考真題練】1．（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質量x（kg）之間的函數關系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【分析】根據不掛物體時彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，可得在彈性限度內，y與x的函數關系式．【解答】解：根據題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故選：B．2．（2023?聊城）甲乙兩地相距a千米，小亮8：00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×時×分）的函數圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（）A．8：28 B．8：30 C．8：32 D．8：35【分析】設小亮與小瑩相遇時，小亮乘車行駛了x小時，因為小亮、小瑩乘車行駛的速度分別是a千米/時，2a千米/時，即可得到方程：ax+2a（x﹣）＝a，求出x的值，即可解決問題．【解答】解：設小亮與小瑩相遇時，小亮乘車行駛了x小時，∵小亮、小瑩乘車行駛完全程用的時間分別是小時，小時，∴小亮、小瑩乘車行駛的速度分別是a千米/時，2a千米/時，由題意得：ax+2a（x﹣）＝a，∴x＝，小時＝28分鐘，∴小亮與小瑩相遇的時刻為8：28．故選：A．3．（2023?郴州）第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會在我市舉行，小方一家上午9：00開車前往會展中心參觀．途中汽車發生故障，原地修車花了一段時間．車修好后，他們繼續開車趕往會展中心．以下是他們家出發后離家的距離s與時間的函數圖象．分析圖中信息，下列說法正確的是（）A．途中修車花了30min B．修車之前的平均速度是500m/min C．車修好后的平均速度是80m/min D．車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍【分析】根據圖象即可判斷A選項，根據“路程÷時間＝速度”即可判斷B和C選項，進一步可判斷D選項．【解答】解：由圖象可知，途中修車時間是9：10到9：30共花了20min，故A不符合題意；修車之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min），故B不符合題意；車修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min），故C不符合題意；900÷600＝1.5，∴車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的1.5倍，故D符合題意，故選：D．4．（2023?朝陽）甲乙兩人騎自行車分別從A，B兩地同時出發相向而行，甲勻速騎行到B地，乙勻速騎行到A地，甲的速度大于乙的速度，兩人分別到達目的地后停止騎行．兩人之間的距離y（米）和騎行的時間x（秒）之間的函數關系圖象如圖所示，現給出下列結論：①a＝450；②b＝150；③甲的速度為10米/秒；④當甲、乙相距50米時，甲出發了55秒或65秒．其中正確的結論有（）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【分析】根據函數圖象中的數據，可以計算出甲和乙的速度，從而可以判斷③；然后根據甲的速度可以計算出a的值，即可判斷①；根據乙的速度，可以計算出b的值，可以判斷②；根據甲和乙相遇前和相遇后相距50米，可以計算出甲出發的時間，即可判斷④．【解答】解：由圖可得，甲的速度為：600÷100＝6（米/秒），故③錯誤，不符合題意；乙的速度為：600÷60﹣6＝4（米/秒），a＝4×100＝400，故①錯誤，不符合題意；b＝600÷4＝150，故②正確，符合題意；設當甲、乙相距50米時，甲出發了m秒，兩人相遇前：（600﹣50）＝m（6+4），解得m＝55；兩人相遇后：（600+50）＝m（6+4），解得m＝65；故④正確，符合題意；故選：C．5．（2023?鎮江）小明從家出發到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程s（m）與時間t（min）之間的函數關系，已知小明購物用時30min，返回速度是去商場的速度的1.2倍，則a的值為（）A．46 B．48 C．50 D．52【分析】設小明家距離商場為sm，先根據題意求出小明去商場的所用時間，再根據速度＝得出小明去商場時的速度速度，，再根據返回速度是去商場的速度的1.2倍，求出小明返回時所用時間即可．【解答】解：設小明家距離商場為sm，∵小明購物用時30min，∴小明從家到商場所用時間為42﹣30＝12（min），∴小明從家到商場的速度為（m/min），∵小明返回速度是去商場的速度的1.2倍，∴小明返回所用時間為＝10（min），∴a＝42+10＝52，故選：D．6．（2023?威海）一輛汽車在行駛過程中，其行駛路程y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數關系如圖所示．當0≤x≤0.5時，y與x之間的函數表達式為y＝60x；當0.5≤x≤2時，y與x之間的函數表達式為y＝80x﹣10．【分析】根據當0≤x≤0.5時，y與x之間的函數表達式為y＝60x，可得當x＝0.5時，y＝30，設當0.5≤x≤2時，y與x之間的函數表達式為y＝kx+b，用待定系數法可得答案．【解答】解：∵當0≤x≤0.5時，y與x之間的函數表達式為y＝60x，∴當x＝0.5時，y＝30，設當0.5≤x≤2時，y與x之間的函數表達式為y＝kx+b，把（0.5，30），（2，150）代入得：，解得，故答案為：y＝80x﹣10．7．（2023?恩施州）為積極響應州政府“悅享成長?書香恩施”的號召，學校組織150名學生參加朗誦比賽，因活動需要，計劃給每個學生購買一套服裝．經市場調查得知，購買1套男裝和1套女裝共需220元；購買6套男裝與購買5套女裝的費用相同．（1）男裝、女裝的單價各是多少？（2）如果參加活動的男生人數不超過女生人數的，購買服裝的總費用不超過17000元，那么學校有幾種購買方案？怎樣購買才能使費用最低，最低費用是多少？【分析】（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意列方程組求解即可；（2）設參加活動的女生有a人，則男生有（150﹣a）人，列不等式組找到a的取值范圍，再設總費用為w元，得到w與a的關系，根據一次函數的性質可得當a取最小值時w有最小值，據此求解即可．【解答】解：（1）設男裝單價為x元，女裝單價為y元，根據題意得：，解得：，答：男裝單價為100元，女裝單價為120元．（2）設參加活動的女生有a人，則男生有（150﹣a）人，根據題意可得，解得：90≤a≤100，∵a為整數，∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個數，故一共有11種方案，設總費用為w元，則w＝120a+100（150﹣a）＝15000+20a，∵20＞0，∴當a＝90時，w有最小值，最小值為15000+20×90＝16800（元），此時，150﹣a＝60（套），答：當女裝購買90套，男裝購買60套時，所需費用最少，最少費用為16800元．8．（2023?青島）某服裝店經銷A，B兩種T恤衫，進價和售價如下表所示：品名AB進價（元/件）4560售價（元/件）6690（1）第一次進貨時，服裝店用6000元購進A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？（2）受市場因素影響，第二次進貨時，A種T恤衫進價每件上漲了5元，B種T恤衫進價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進量不超過A種T恤衫購進量的2倍．設此次購進A種T恤衫m件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．①請求出W與m的函數關系式；②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．【分析】（1）根據條件，購進AT恤衫x件，購進BT恤衫y件，列出方程組解出x、y值，最后求出獲利數；（2）①根據條件，可列W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m），整理即可；②由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），一次函數W隨m的增大而減小，當m＝50時，W取最大值計算出來和第一次獲利比較即可．【解答】解：（1）設購進AT恤衫x件，購進BT恤衫y件，根據題意列出方程組為：，解得，∴全部售完獲利＝（66﹣45）×80+（90﹣60）×40＝1680+1200＝2880（元）．（2）①設第二次購進A種T恤衫m件，則購進B種T恤衫（150﹣m）件，根據題意150﹣m≤2m，即m≥50，∴W＝（66﹣45﹣5）m+（90﹣60﹣10）（150﹣m）＝﹣4m+3000（150≥m≥50），②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由如下：由①可知，W＝﹣4m+3000（150≥m≥50），∵﹣4＜0，一次函數W隨m的增大而減小，∴當m＝50時，W取最大值，W大＝﹣4×50+3000＝2800（元），∵2800＜2880，∴服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利．9．（2023?黑龍江）已知甲，乙兩地相距480km，一輛出租車從甲地出發往返于甲乙兩地，一輛貨車沿同一條公路從乙地前往甲地，兩車同時出發，貨車途經服務區時，停下來裝完貨物后，發現此時與出租車相距120km，貨車繼續出發h后與出租車相遇．出租車到達乙地后立即按原路返回，結果比貨車早15分鐘到達甲地．如圖是兩車距各自出發地的距離y（km）與貨車行駛時間x（h）之間的函數圖象，結合圖象回答下列問題：（1）圖中a的值是120；（2）求貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系式；（3）直接寫出在出租車返回的行駛過程中，貨車出發多長時間與出租車相距12km．【分析】（1）由圖象知，C（4，480），設直線OC的解析式為y＝kx，把C（4，480）代入，解方程即可得到結論；（2）由停下來裝完貨物后，發現此時與出租車相距120km，可得此時出租車距離乙地為120+120＝240（km），把y＝240代入y＝120x求得貨車裝完貨物時，x＝2，B（2，120），根據貨車繼續出發h后與出租車相遇，可得×*出租車的速度+貨車的速度）＝120，根據直線OC的解析式為y＝120x，可得出租車的速度為120km/h，于是得到相遇時，貨車的速度為120﹣120＝60（km/h）故可設直線BG的解析式為y＝60x+b，將B（2，120）代入求得b＝0，于是得到直線BG的解析式為y＝60x，故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，于是得到結論；（3）把y＝480代入y＝60x，得到G（8，480），求得F（8，0），根據出租車到達乙地后立即按原路返回，經過比貨車早15分鐘到達甲地，可得EF＝，設在出租車返回的行駛過程中，貨車出發t小時，與出租車相距12km，此時貨車距離乙地為60tkm，出租車距離乙地為128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時，②出租車和貨車第二次相遇后，相距12km時，列方程即可得到結論．【解答】解：（1）由圖象知，C（4，480），設直線OC的解析式為y＝kx，把C（4，480）代入得，480＝4k，解得k＝120，∴直線OC的解析式為y＝120x；把（1，a）代入y＝120x，得a＝120，故答案為：120；（2）由停下來裝完貨物后，發現此時與出租車相距120km，貨車行駛時間為小時，∵a＝120（km），∴貨車卸貨時與乙地相距120km，∴出租車距離乙地為120+120＝240（km），∴出租車距離甲地為480﹣240＝240（km），把y＝240代入y＝120x得，240＝120x，解得x＝2，∴貨車裝完貨物時，x＝2，B（2，120），根據貨車繼續出發h后與出租車相遇，可得×（出租車的速度+貨車的速度）＝120，根據直線OC的解析式為y＝120x（0≤x≤4），可得出租車的速度為120km/h，∴相遇時，貨車的速度為120﹣120＝60（km/h），故可設直線BG的解析式為y＝60x+b，將B（2，120）代入y＝60x+b，可得120＝120+b，解得b＝0，∴直線BG的解析式為y＝60x（2≤x≤8），故貨車裝完貨物后駛往甲地的過程中，距其出發地的距離y（km）與行駛時間x（h）之間的函數關系式為y＝60x，（3）把y＝480代入y＝60x，可得480＝60x，解得x＝8，∴G（8，480），∴F（8，0），根據出租車到達乙地后立即按原路返回，經過比貨車早15分鐘到達甲地，可得EF＝，∴，∴出租車返回后的速度為480÷（）＝128km/h，設在出租車返回的行駛過程中，貨車出發t小時，與出租車相距12km，此時貨車距離乙地為60tkm，出租車距離乙地為128（t﹣4）＝（128t﹣512）km，①出租車和貨車第二次相遇前，相距12km時，可得60t1﹣（128t1﹣512）＝12，解得t1＝；②出租車和貨車第二次相遇后，相距12km時，可得（128t2﹣512）﹣60t2＝12，解得t2＝，故在出租車返回的行駛過程中，貨車出發h或h與出租車相距12km．【中考模擬練】1．（2024?蘭山區校級模擬）甲、乙兩家商場平時以同樣的價格出售相同的商品．端午節期間兩家商場都讓利酬賓，兩家商場的購物金額y甲、y乙（單位：元）與商品原價x（單位：元）之間的關系如圖所示，張阿姨計劃在其中一家商場購原價為620元的商品，從省錢的角度你建議選擇（）A．甲 B．乙 C．甲、乙均可 D．不確定【分析】利用待定系數法即可求出y甲，y乙關于x的函數關系式，將x＝620代入計算即可作出判斷．【解答】解：設y甲＝kx，把（1200，960）代入，得1200k＝960，解得k＝0.8，所以y甲＝0.8x，當0＜x＜200時，設y乙＝ax，把（200，200）代入，得200a＝200，解得a＝1，所以y乙＝x；當x≥200時，設y乙＝mx+n，把（1200，900），（200，200）代入，得，解得．所以y乙＝，x＝620時，y甲＝0.8×620＝496，y乙＝0.7×620+60＝494，494＜496，∴從省錢的角度建議選擇乙商場，故選：B．2．（2024?錫山區一模）明明和亮亮都在同一直道A、B兩地間做勻速往返走鍛煉．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉頭等時間）．明明從A地出發，同時亮亮從B地出發．圖中的折線段表示從開始到第二次相遇止，兩人之間的距離y（米）與行走時間x（分）的函數關系的圖象，則下列結論錯誤的是（）A．a＝2100 B．b＝2000 C．c＝20 D．【分析】由兩次相遇知兩人共走了（3×2800）米，且速度不變，得c＝60÷3＝20（分）．故C選項不符合題意；由拐點得此時亮亮到達A地，故亮亮的速度為2800÷35＝80（米/分），由速度和為2800÷20＝140（米/分），得明明的速度為60米/分，因此a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100，故A選項不符合題意；在35～d時，兩人相向而行，速度之差為80﹣60＝20（米/分），最后一段兩人相對而行，速度之和為80+60＝140（米/分），第二次相遇時距離A地距離為60×80﹣2800＝2000（米），因此b＝2000，故B選項符合題意；最后一段兩人相對而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D選項符合題意．【解答】解：∵第一次相遇兩人共走了2800米，第二次相遇兩人共走了（3×2800）米，且二者速度不變，∴c＝60÷3＝20（分）．故C選項不符合題意；∵x＝35時，出現拐點，∴此時亮亮到達A地，路程為2800米，亮亮的速度為2800÷35＝80（米/分），兩人的速度和為2800÷20＝140（米/分），明明的速度為140﹣80＝60（米/分），∴a＝（80+60）×（35﹣20）＝2100；故A選項不符合題意；在35～d時，兩人相向而行，速度之差為80﹣60＝20（米/分），最后一段兩人相對而行，速度之和為80+60＝140（米/分），第二次相遇時距離A地距離為60×80﹣2800＝2000（米），所以b＝2000．故B選項不符合題意；最后一段兩人相對而行，140（60﹣d）＝2000，解得d＝，故D選項符合題意；故選：D．3．（2024?中山市校級模擬）我市供暖改造工程，現甲、乙兩工程隊分別同時開挖兩條600米長的管道，所挖管道長度y（米）與挖掘時間x（天）之間的關系如圖所示，則下列說法中：①甲隊每天挖100米；②乙隊開挖兩天后，每天挖50米；③當x＝4時，甲、乙兩隊所挖管道長度相同；④甲隊比乙隊提前2天完成任務．正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先建立函數關系式，再根據題意逐個判斷即可．【解答】解：設y甲＝kx，代入點（6，600）得：600＝6k，∴k＝100．∴y＝100x，當0≤x≤2時，設y乙＝kx，代入點（2，300）得：300＝2k．∴k＝150，∴y乙＝150x，當x≥2時，設y乙＝kx+b，代入點（2，300），（6，500）得：解得：k＝50，b＝200．∴y乙＝50x+200．∵600÷6＝100米/天，∴①正確．∵（500﹣300）÷（6﹣2）＝50，∴②正確．∵當x＝4時，y甲＝100x＝400（米）．y乙＝50×4+200＝400（米）．∴③正確．當y甲＝100x＝600時，x＝6．當y乙＝50x+200＝600時，x＝8，8﹣6＝2，∴④正確．故選：D．4．（2024?市中區一模）A，B兩地相距60km，甲、乙兩人騎車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，勻速行駛．乙在途中休息了0.5h后按原速度繼續前進．兩人到A地的距離s（km）和時間t（h）的關系如圖所示，則出發2.1h后，兩人相遇．【分析】根據圖形求出兩人的速度，設出發x小時后兩人相遇，再根據兩人相遇時路程之和等于60即可求解．【解答】解：根據圖像：乙的速度為：（60﹣40）÷1＝20（km/h），甲的速度為：（20﹣0）÷1.5＝（km/h），設出發x小時后兩人相遇，根據題意得20（x﹣0.5）+x＝60，解得x＝2.1，故答案為：2.1．5．（2024?昆山市一模）現有甲、乙兩個長方體蓄水池，將甲池中的水勻速注入乙池，甲、乙兩個蓄水池中水的深度y（米）與注水時間x（時）之間的函數圖象如圖所示，當甲、乙兩池中水的深度相同時，注水時間為時．【分析】根據函數圖象中的數據可以求得相應的函數解析式；聯立兩個函數解析式，解方程組求出x即可．【解答】解：設y1為甲池中的水深度與注水時間x之間的函數表達式是y1＝k1x+b1，∴，解得，即y1＝﹣4x+4（0≤x≤1），設y2乙池中的水深度與注水時間x之間的函數表達式是y2＝k2x+b2，∴，解得，即y2＝6x+2（0≤x≤1）；令y1＝y2，則﹣4x+4＝6x+2，解得：x＝，∴當甲、乙兩池中水的深度相同時，則注水時間為小時．故答案為：．6．（2024?桑植縣一模）某校運動會需購買A，B兩種獎品，若購買A種獎品2件和B種獎品1件，共需35元；若購買A種獎品1件和B種獎品2件，共需40元．（1）求A、B兩種獎品的單價各是多少元？（2）學校計劃購買A，B兩種獎品共100件，購買費用不超過1135元，且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍，設購買A種獎品m件，購買費用為W元，寫出W（元）與m（件）之間的函數關系式．求出自變量m的取值范圍，并確定最少費用W的值．【分析】（1）根據題意可以寫出相應的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據題意和題目中的數據，可以寫出W（元）與m（件）之間的函數關系式．【解答】解：（1）設A種獎品的單價為a元，B種獎品的單價為b元，由題意可得：，解得，答：A種獎品的單價為10元，B種獎品的單價為15元；（2）由題意可得，W＝10m+15（100﹣m）＝﹣5m+1500，∴W隨m的增大而減小，∵購買費用不超過1135元，且A種獎品的數量不大于B種獎品數量的3倍，∴，解得73≤m≤75，∴當m＝75時，W取得最小值，此時W＝1125，答：W（元）與m（件）之間的函數關系式是W＝﹣5m+1500（73≤m≤75），最少費用W的值為1125．7．（2024?綏化模擬）根據以下素材，探索完成任務一：如何設計購買方案？素材1某校40名同學要去參觀航天展覽館，e知展覽館分為A，B，C三個場館，且購買1張A場館門票和1張B場館門票共需90元，購買3張A場館門票和2張B場館門票共需230元．C場館門票為每張15元素材2由于場地原因，要求到A場館參觀的人數要少于到B場館參觀的人數，且每位同學只能選擇一個場館參觀．參觀當天剛好有優惠活動：每購買1張A場館門票就贈送1張C場館門票．問題解決任務1確定場館門票價格求A場館和B場館的門票價格．任務2探究經費的使用若購買A場館門票贈送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學使用，求此次購買門票所需總金額的最小值．任務3擬定購買方案若參觀C場館的同學除了使用掉贈送的門票外，還需購買部分門票，且讓去A場館的人數盡量的多，最終購買三種門票共花費了1100元，請你直接寫出購買方案．購買方案門票類型ABC購買數量/張探索完成任務二：如圖，在參觀航天展覽館活動中，某班學生分成兩組，第一組由A場館勻速步行到B場館后原路原速返回，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續前行到C場館后原路原速返回．兩組同時出發，設步行的時間為t（單位：h），兩組離B場館的距離為s（單位：km），圖中折線分別表示兩組學生s與t之間的函數關系．（1）B，C兩場館之間的距離為2km；（2）第二組步行的速度為10km/h；（3）求第二組由A場館出發首次到達B場館所用的時間．【分析】任務一．任務1．根據購買1張A場館門票和1張B場館門票共需90元，購買3張A場館門票和2張B場館門票共需230元列出二元一次方程組求解即可得到A場館和B場館的門票價格；任務2．若購買A場館門票贈送的C場館門票剛好夠參觀C場館的同學使用，那么參觀A場館的人數和參觀C場館的人數相等．購買門票所需總金額＝購買A場館的門票費用+購買B場館的門票費用．根據到A場館參觀的人數要少于到B場館參觀的人數可得自變量的取值范圍，根據一次項系數的符號及自變量的取值范圍可得此次購買門票所需總金額的最小值；任務3．設購買A場館門票m張，購買B場館門票n張，則購買C場館門票（40﹣m﹣n）張．根據最終購買三種門票共花費了1100元可得二元一次方程，進而根據去A場館的人數少于去C場館的人數，去A場館的人數盡量多求得合適的正整數解即可；任務二、（1）、由題意得：“W”形狀的函數圖象表示第二組同學離B場館的距離與步行的時間的函數關系式，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續前行到C場館后原路原速返回．到達點C處時對應y軸上的數是2，那么B，C兩場館之間的距離為2km；（2）、由圖象可得：第二組同學從A場館到B場館，步行了8千米，從B場館到C場館，步行了2千米，原路返回后，步行的總路程為20千米，除以總用時，即為第二組步行的速度；（3）、第二組由A場館出發首次到達B場館所用的時間＝第二組同學從A場館到B場館的路程÷第二組步行的速度，把相關數值代入計算即可．【解答】解：任務一．任務1：設A場館門票為x元/張，B場館門票為y元/張．由題意，得：．解得：．答：A場館門票的單價為50元，B場館門票的單價為40元．任務2：設購買A場館門票a張，則購買B場館門票（40﹣2a）張．依題意，得a＜40﹣2a．解得．設此次購買門票所需總金額為w元，則w＝50a+40（40﹣2a）＝﹣30a+1600．∵﹣30＜0，∴w隨a的增大而減小．∵，且a為整數，∴當a＝13時，w取得最小值，最小值＝﹣30×13+1600＝1210（元），答：此次購買門票所需總金額的最小值為1210元．任務3：設購買A場館門票m張，購買B場館門票n張，則購買C場館門票（40﹣m﹣n）張．根據題意，得：50m+40n+15（40﹣m﹣n）＝1100．50m+40n+600﹣15m﹣15n＝1100．35m+25n＝500．25n＝500﹣35m．n＝20﹣m．∵m、n均為正整數，m足夠多，m＜40﹣m﹣n，∴m＝10，n＝6，c＝24．購買10張A場館門票，6張B場館門票，24張C場館門票．任務二．（1）由題意得：“W”形狀的函數圖象表示第二組同學離B場館的距離與步行的時間的函數關系式，第二組由A場館勻速步行到B場館繼續前行到C場館后原路原速返回．到達點C處時對應y軸上的數是2，∴B，C兩場館之間的距離為2km．故答案為：2．（2）由題意得：第二組同學步行的路程為：2（8+2）＝20（km），步行用的時間為2小時，∴步行的速度為20÷2＝10（km/h）故答案為：10．（3）∵第二組從A場館出發首次到達B場館所走的路程為8km，第二組的速度是10km/h，∴第二組由A場館出發首次到達B場館所用的時間為8÷10＝0.8h．答：第二組由A場館出發首次到達B場館所用的時間為0.8小時．題型03一次函數與幾何的綜合解題大招：一次函數與幾何圖形結合時，與誰結合，就想結合圖形具有的性質以及一次函數圖象點的坐標特征；【中考真題練】1．（2023?蘭州）在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果點P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”．例如：如圖1，已知點A（1，2），B（3，2），P（2，2）在線段AB上，則點P是直線EF：x軸的“伴隨點”．（1）如圖2，已知點A（1，0），B（3，0），P是線段AB上一點，直線EF過G（﹣1，0），T（0，）兩點，當點P是直線EF的“伴隨點”時，求點P的坐標；（2）如圖3，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥y軸，頂點A在y軸上且在BC上方，OC＝，點P是△ABC上一點，且點P是直線EF：x軸的“伴隨點”，當點P到x軸的距離最小時，求等邊三角形ABC的邊長；（3）如圖4，以A（1，0），B（2，0），C（2，1）為頂點的正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點”，請直接寫出b的取值范圍．【分析】（1）由已知點的坐標可求出∠TGO＝30°且P到EF的距離為2，從而利于三角比可求出線段GP的長，進而可得點P的坐標；（2）設等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），當P在線段BC上時，P到x軸的距離最小，從而可得＝2a，求出a即可求出三角形的邊長；（3）由已知點的坐標，求出正方形的邊長為1，即可求出P到EF的距離為，從而可得P既在正方形的邊上，也在到EF距離為的直線上，當b≤1時，EF向上平移2個單位長度得l1，分別求出l1過A，C時b的值；當b＞1時，EF向下平移2個單位長度得l1，分別求出l1過A，C時b的值，即可求出b的取值范圍．【解答】解：（1）AB線段上任意兩點距離的最大值為3﹣1＝2，即P到EF的距離為2，過P作PC⊥EF于點C，由題意知，GO＝1，TO＝，則tan∠TGO＝＝，∴∠TGO＝30°，∴GP＝＝＝4，∴P（3，0）．（2）設等邊三角形△ABC的邊長為2a（0＜a＜），則C（a，），△ABC上任意兩點距離的最大值即為2a，當P在線段BC上時，P到x軸的距離最小，距離為，由題意知，＝2a，解得，a＝1或﹣1（舍去），所以此時等邊三角形ABC的邊長為2．（3）由題意知，正方形ABCD的邊長為1，所以正方形ABCD上任意兩點距離的最大值為＝，即正方形ABCD上始終存在點P，P到EF的距離為．則EF向上或者向下平移2個單位長度得到直線l1，l1與EF平行，且兩直線間的距離為，所以P既在l1上，又在正方形ABCD的邊上，即l1與正方形ABCD有交點．當b≤1時，l1為y＝﹣x+b+2，當l1過A時，b＝﹣1，當l1過C時，b＝1，即﹣1≤b≤1；當b＞1時，l1為y＝﹣x+b﹣2，當l1過A時，b＝3，當l1過C時，b＝5，即3≤b≤5；綜上所述，當﹣1≤b≤1或3≤b≤5時，正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y＝﹣x+b的“伴隨點”．2．（2023?沈陽）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象交x軸于點A（8，0），交y軸于點B．直線y＝x﹣與y軸交于點D，與直線AB交于點C（6，a）．點M是線段BC上的一個動點（點M不與點C重合），過點M作x軸的垂線交直線CD于點N．設點M的橫坐標為m．（1）求a的值和直線AB的函數表達式；（2）以線段MN，MC為鄰邊作?MNQC，直線QC與x軸交于點E．①當0≤m＜時，設線段EQ的長度為l，求l與m之間的關系式；②連接OQ，AQ，當△AOQ的面積為3時，請直接寫出m的值．【分析】（1）根據直線y＝x﹣的解析式求出C點的坐標，用待定系數法求出直線AB的解析式即可；（2）①用含m的代數式表示出MN，再根據MN＝CQ得出結論即可；②根據面積得出l的值，然后根據①的關系式得出m的值即可．【解答】解：（1）∵點C（6，a）在直線y＝x﹣上，∴a＝＝，∵一次函數y＝kx+b的圖象過點A（8，0）和點C（6，），∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+6；（2）①∵M點在直線y＝﹣x+6上，且M的橫坐標為m，∴M的縱坐標為：﹣m+6，∵N點在直線y＝x﹣上，且N點的橫坐標為m，∴N點的縱坐標為：m﹣，∴|MN|＝﹣m+6﹣m+＝﹣，∵點C（6，），線段EQ的長度為l，∴|CQ|＝l+，∵|MN|＝|CQ|，∴﹣＝l+，即l＝（0≤m＜）；②∵△AOQ的面積為3，∴OA?EQ＝3，即，解得EQ＝，由①知，EQ＝6﹣，∴|6﹣|＝，解得m＝或，即m的值為或．3．（2023?黑龍江）如圖，在平面直角坐標系中，菱形AOCB的邊OC在x軸上，∠AOC＝60°，OC的長是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，過點C作x軸的垂線，交對角線OB于點D，直線AD分別交x軸和y軸于點F和點E，動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿OD向終點D運動，動點N從點F以每秒2個單位長度的速度沿FE向終點E運動．兩點同時出發，設運動時間為t秒．（1）求直線AD的解析式；（2）連接MN，求△MDN的面積S與運動時間t的函數關系式；（3）點N在運動的過程中，在坐標平面內是否存在一點Q，使得以A，C，N，Q為頂點的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，說明理由．【分析】（1）過點A作AH⊥OC于H，解方程可得OC＝6，然后解直角三角形求出CD、OH和AH的長，得到點A、D的坐標，再利用待定系數法求出解析式即可；（2）首先證明△EOD是等邊三角形，求出DO＝DF＝4，然后分情況討論：①當點N在DF上，即0≤t≤2時，過點M作NP⊥OB于P，②當點M在DE上，即2＜t≤4時，過點M作NT⊥OB于T，分別解直角三角形求出NP和NT，再利用三角形面積公式列式即可；（3）分情況討論：①當AN是直角邊時，則CN⊥EF，過點M作NK⊥CF于K，首先求出CN，然后解直角三角形求出CK和NK，再利用平移的性質得出點Q的坐標；②當AN是對角線時，則∠ACN＝90°，過點M作NL⊥CF于L，證明∠NCF＝∠NFC，可得CL＝FL＝3，然后解直角三角形求出NL，再利用平移的性質得出點Q的坐標．【解答】（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2，∴OC＝6，∵四邊形AOCB是菱形，∠AOC＝60°，∴OA＝OC＝6，∠BOC＝∠AOC＝30°，∴CD＝OC?tan30°＝6×＝2，∴D（6，2），過點A作AH⊥OC于H，∵∠AOH＝60°，∴OH＝OA＝3，AH＝OA?sin60°＝6×＝3，∴A（3，3），設直線AD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入A（3，3），D（6，2）得：，解得：，∴直線AD的解析式為y＝﹣；（2）解：由（1）知在Rt△COD中，，∠DOC＝30°，∴，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°，∵直線與y軸交于點E，∴，∴OE＝OD，∴△EOD是等邊三角形，∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，，∴∠OFE＝30°＝∠DOF，∴，①當點N在DF上，即時，由題意得：，，過點N作NP⊥OB于P，則NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4﹣2t）×＝6﹣t，∴S＝DM×NP＝（4﹣t）×（6﹣t）＝t2﹣9t+12；②當點N在DE上，即時由題意得：DM＝OD﹣OM＝，DN＝2t﹣4，過點N作NT⊥OB于T，則NT＝DN?sin∠NDT＝DN?sin60°＝（2t﹣4）×＝，∴S＝＝；綜上，S＝；（3）解：存在，分情況討論：①如圖，當AN是直角邊時，則CN⊥EF，過點N作NK⊥CF于K，∵∠NFC＝30°，，∴∠NCK＝60°，，∴CF＝12﹣6＝6，∴，∴CK＝CN×cos60°＝3×＝，NK＝CN×sin60°＝3×＝，∴將點N向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點C，∴將點A向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點Q，∵，∴Q（，）；②如圖，當AN是對角線時，則∠ACN＝90°，過點N作NL⊥CF于L，∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴∠ACO＝60°，∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC，∴CL＝FL＝CF＝3，∴NL＝CL?tan30°＝3×＝，∴將點C向右平移3個單位長度，再向上平移個單位長度得到點N，∴將點A向右平移3個單位長度，再向上平移個單位長度得到點Q，∵，∴Q（6，4）；∴存在一點Q，使得以A，C，N，Q為頂點的四邊形是矩形，點Q的坐標是或（6，4）．【中考模擬練】1．（2024?潮陽區校級一模）如圖，已知一次函數的圖象與坐標軸分別交于點A，B兩點，⊙O的半徑為1，P是線段AB上的一個點，過點P作⊙O的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為2．【分析】連接OP、OQ．根據勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，當OP⊥AB時，線段OP最短，即線段PQ最短．【解答】解：連接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切線，∴OQ⊥PQ；根據勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵當PO⊥AB時，線段PQ最短；∵一次函數，當x＝0時，y＝3，∴A（0，3），當y＝0時，x＝3，∴B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴AB＝＝6，∴OP＝AB＝3，∴PQ＝＝2．故答案為：2．2．（2024?邯鄲模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（6，0），點B坐標為（2，﹣2），直線AB與y軸交于點C．（1）求直線AB的函數表達式及線段AC的長；（2）點B關于y軸的對稱點為點D．①請直接寫出點D的坐標為（﹣2，﹣2）；②在直線BD上找點E，使△ACE是直角三角形，請直接寫出點E的橫坐標為或7或3+或3﹣．【分析】（1）利用待定系數法解答即可；表示出線段OA，OC，利用勾股定理即可求得線段AC的長度；（2）①利用關于y軸對稱的點的坐標的特征解答即可；②分三種情況討論解答，當∠ACE＝90°時和當∠CAE＝90°時，求出直線EC，AE的解析式，令y＝﹣2，即可求得結論；當∠AEC＝90°時，過點E作EF⊥x軸于點F，過點C作CG⊥FE，交FE的延長線于點G，利用相似三角形的判定與性質求得線段AF，即可得出結論．【解答】解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x﹣3；令x＝0，則y＝﹣3，∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，∵點A坐標為（6，0），∴OA＝6，∴AC＝＝＝3；（2）①∵點B與點D關于y軸的對稱，∴D（﹣2，﹣2）；故答案為：（﹣2，﹣2）；②當∠ACE＝90°時，如圖，∵EC⊥AC，∴直線EC的解析式為y＝﹣2x﹣3，令y＝﹣2，則﹣2x﹣3＝﹣2，∴x＝﹣，∴E（，﹣2）；當∠CAE＝90°時，如圖，∵EC⊥AC，∴設直線EC的解析式為y＝﹣2x+m，∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，∴直線EC的解析式為y＝﹣2x+12，令y＝﹣2，則﹣2＝﹣2x+12，∴x＝7，E（7，﹣2）；當∠AEC＝90°時，如圖，過點E作EF⊥x軸于點F，過點C作CG⊥FE，交FE的延長線于點G，∵∠AEC＝90°，∴∠FEA+∠CEG＝90°，∵CG⊥FE，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∠GCE＝∠FEA，∵∠CGE＝∠AFE＝90°，∴△CGE∽△EFA，∴．由題意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，∴．∴AF＝﹣3．∴OF＝3+，∴E（3+，﹣2），同理可求當點E在y軸左側時，E（3﹣，﹣2）．綜上，在直線BD上找點E，使△ACE是直角三角形，點E的橫坐標為或7或3+或3﹣．故答案為：或7或3+或3﹣．3．（2024?邯鄲模擬）如圖，在平面直角坐標系中有A（﹣4，1），B（1，6）兩點，在線段AB處放置一平面鏡．從點C（﹣1，0）發出一束光線照向平面鏡AB上的動點P．（1）求AB所在直線的解析式；（2）若光線CP的解析式為y＝﹣3x+b，求出點P的坐標；（3）若光線CP經過AB的反射后落在x軸上的點D（﹣2，0）處，直接寫出光線從點C出發經點P反射后到達點D的路徑長．【分析】（1）設直線AB的解析式為y＝kx+t，把A，B坐標代入解析式，用待定系數法求解析式即可；（2）把C（﹣1，0）代入y＝﹣3x+b即可得出b的值；再聯立y＝x+5解方程組，即可求出P的坐標；（3）根據光反射原理，先找到點C關于AB的對稱點C′，再連接C′D交AB于點P，求出直線DC′的長即可．【解答】解：（1）設直線AB的解析式為y＝kx+t（k≠0），∵A（﹣4，1），B（1，6），則，解得，∴直線AB的解析式為y＝x+5；（2）∵直線CP：y＝﹣3x+b過點C（﹣1，0），∴3+b＝0，∴b＝﹣3，即直線CP：y＝﹣3x﹣3，聯立方程組，解得，∴點P的坐標為（﹣2，3）；（3）如圖：作出點C關于直線y＝x+5的對稱點C′，根據光反射原理，反射光線經過點C′，連接C′D交AB于P，∴PC′＝PC，CC′⊥AB，∵直線AB的解析式為y＝x+5，∴E（﹣5，0），F（0，5），∴∠PEC＝45°，∵C（﹣1，0），∴Q（﹣3，2），∴C′（﹣5，4），∴光線從點C出發經點P反射后到達點D的路徑長為CP+PD＝C′P+PD＝C′D，∵點D（﹣2，0），∴C′D＝＝5，∴光線從點C出發經點P反射后到達點D的路徑長為5．4．（2024?龍湖區一模）綜合運用（1）如圖1，∠ACE＝90°，頂點C在直線BD上，過點A作AB⊥BD于點B，過點E作ED⊥BD于點D，當BC＝DE時，判斷線段AC與CE的數量關系（直接寫出結果，不要求寫解答過程）（2）如圖2，直線l1：y＝x+4與坐標軸交于點A，B，將直線l1繞點B順時針旋轉45°至直線l2，求直線l2的函數解析式．（3）如圖3，四邊形ABCO為長方形，其中O為坐標原點，點B的坐標為（8，﹣6），點A在y軸的負半軸上，點C在x軸的正半軸上，P是線段BC上的動點，D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限，若△APD是以D為直角頂點的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．【分析】（1）根據ASA可判定△ACB≌△CED，即可得出結論；（2）過過點A做AC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸于D，根據△ADC≌△BOA，求得C（﹣7，3），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；（3）根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，﹣2x+6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，據此列出方程進行求解即可．【解答】解：（1）∵∠ACE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，又∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC＝∠CDE＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，∴∠ACB＝∠CED，∵BC＝DE，∴△ACB≌△CED（ASA），∴AC＝CE；（2）∵直線l1：y＝x+4與坐標軸交于點A，B，∴B（0，4）、A（﹣3，0），如圖2，過點A做AC⊥AB交直線l2于點C，過點C作CD⊥x軸于D，∴∠BAO+∠CAD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，∵將直線l1繞點B順時針旋轉45°至直線l2，∴∠ABC＝45°，∴BC＝CA，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴CD＝AO＝3，AD＝BO＝4，∴OD＝OA+AD＝3+4＝7，∴C點坐標為（﹣7，3），設l2的解析式為y＝kx+b，將B，C點坐標代入，得，解得，∴l2的函數表達式為y＝x+4；（3）當點D是直線y＝﹣2x+6上的動點且在第四象限時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝6﹣（2x﹣6）＝12﹣2x，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF＝AE，即：12﹣2x＝8﹣x，解得x＝4，∴﹣2x+6＝﹣2，∴D（4，﹣2），此時，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合題意；當點D在矩形AOCB的外部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設D（x，﹣2x+6），則OE＝2x﹣6，AE＝OE﹣OA＝2x﹣6﹣6＝2x﹣12，DF＝EF﹣DE＝8﹣x，同理可得：△ADE≌△DPF，則AE＝DF，即：2x﹣12＝8﹣x，解得x＝，∴﹣2x+6＝﹣，∴D（，﹣），此時，ED＝PF＝，AE＝BF＝，BP＝PF﹣BF＝＜6，符合題意，綜上，點D的坐標為（4，﹣2）或，﹣）．考點二：反比例函數反比例函數在中考中的占比比一次函數更大，也常和一次函數的圖象結合考察；在填空題中，對反比例函數點的坐標特征和k的幾何意義考察的比較多，而且難度逐漸增大，考題常結合其他規則幾何圖形的性質一起出題，多數題目的技巧性較強，復習中需要多加注意。另外解答題中還會考察反比例函數的解析式的確定，也是常和一次函數結合，順帶也會考察其與不等式的關系等。題型01反比例函數圖象上點的坐標特征 易錯點：在說反比例函數的增減性之前，必須帶上自變量的取值范圍，不然就是錯的解題大招：當說明“點在函數圖象上”時，立刻想“點的坐標符合其解析式”；【中考真題練】1．（2023?泰州）函數y與自變量x的部分對應值如表所示，則下列函數表達式中，符合表中對應關系的可能是（）x124y421A．y＝ax+b（a＜0） B．y＝（a＜0） C．y＝ax2+bx+c（a＞0） D．y＝ax2+bx+c（a＜0）【分析】根據反比例函數的坐標特征，一次函數的性質，二次函數的坐標特征即可判斷．【解答】解：A、若直線y＝ax+b過點（1，4），（2，2），則，解得，所以y＝﹣2x+6，當x＝4時，y＝﹣2，故（4，1）沒在直線y＝ax+b上，故A不合題意；B、由表格可知，y與x的每一組對應值的積是定值為4，所以y是x的反比例函數，a＝4＞0，不合題意；C、把表格中的函數y與自變量x的對應值代入y＝ax2+bx+c得，解得，符合題意；D、由C可知，不合題意．故選：C．2．（2023?浙江）已知點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數y＝的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1【分析】根據反比例函數的性質，可以判斷出y1，y2，y3的大小關系．【解答】解：∵反比例函數y＝，∴該函數的圖象位于第一、三象限，在每個象限內y隨x的增大而減小，∵點A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在反比例函數y＝的圖象上，∴y2＜y1＜y3，故選：B．3．（2023?通遼）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結論一定正確的是（）A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞0【分析】根據反比例函數的圖象和性質，由x1＜0＜x2，可判斷y1＞0＞y2，進而得出答案．【解答】解：∵反比例函數的圖象在二、四象限，而x1＜0＜x2，∴點A（x1，y1）在第二象限反比例函數的圖象上，B（x2，y2）在第四象限反比例函數的圖象上，∴y1＞0＞y2，∴y1﹣y2＞0，故選：D．4．（2023?牡丹江）如圖，正方形ABCD的頂點A，B在y軸上，反比例函數y＝的圖象經過點C和AD的中點E，若AB＝2，則k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據正方形的性質以及結合已知表示出E，C點坐標，進而利用反比例函數圖象上點的坐標特征得出等式求出答案．【解答】解：由題意可得：設C（2，a），則E（1，a+2），可得：2a＝1×（a+2），解得：a＝2，故C（2，2），則k＝2×2＝4．故選：B．5．（2023?邵陽）如圖，矩形OABC的頂點B和正方形ADEF的頂點E都在反比例函數y＝（k≠0）的圖象上，點B的坐標為（2，4），則點E的坐標為（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）【分析】由題意，首先根據B的坐標求出k，然后可設E（a，），再由正方形ADEF，建立關于a的方程，進而得解．【解答】解：∵點B的坐標為（2，4）在反比例函數y＝圖象上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函數的解析式為y＝．∵點E在反比例函數圖象上，∴可設（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故選：D．6．（2023?湖北）在反比例函數y＝的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），當x1＜0＜x2時，有y1＜y2，則k的取值范圍是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4【分析】根據反比例函數的性質，可得答案．【解答】解：∵當x1＜0＜x2時，有y1＜y2，∴反比例函數y＝的圖象位于一、三象限，4﹣k＞0，解得k＜4，故選：C．7．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是矩形，點B的坐標為（6，3），D是OA的中點，AC，BD交于點E，函數的圖象過點B．E．且經過平移后可得到一個反比例函數的圖象，則該反比例函數的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．【分析】先根據函數圖象經過點B和點E，求出a和b，再由所得函數解析式即可解決問題．【解答】解：由題知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直線AC的函數表達式為y1＝k1x+b1，則，解得，所以．又因為點D為OA的中點，所以D（3，0），同理可得，直線BD的函數解析式為y2＝x﹣3，由得，x＝4，則y＝4﹣3＝1，所以點E坐標為（4，1）．將B，E兩點坐標代入函數解析式得，，解得．所以，則，將此函數圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，所得圖象的函數解析式為：．故選：D．8．（2023?深圳）如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函數y＝（k≠0）恰好經過點C，則k＝4．【分析】解含30°角的直角三角形，依次求出OB，OC的長，再求出∠COx的度數，求出點C的坐標，即可求得k的值．【解答】解：過點C作CE⊥x軸，垂足為E，∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，在Rt△OBC中＝，即＝，∴OC＝4，在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，＝，即＝，∴OE＝2，∴點C（2，2），∴k＝2×2＝4．故答案為：4．9．