《橢圓的簡單兒何性質》教學設計

一、復習回顧，新知導入

這節課我們繼續研究有關橢圓的相關知識，在進入本節課的知

識之前，我們先復習一下上節課的知識。

【設計意圖】引導學生用所學研究新知，重視基礎

22

提出問題：橢圓二+匕=1的圖象怎么畫？

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【設計意圖】引導學生重視數形結合

學生活動：學生自主完成圖象，找學生板演，并讓學生們解釋如

何作圖，從學生的答案中尋找橢圓的范圍、對稱性等直觀性質。

二、探究問題，觀察發現

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質呢？學生紛紛討論之后老師

確定從橢圓的對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。

探究一：橢圓的范圍

通過剛才作圖，學生們得到了橢圓的范圍。教師

引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數學圖形，數

學問題，在平面直角坐標系內來研究。

【設計意圖】利用“橢圓的頂點.PPt”課件展示，使學生直觀感性認

識橢圓范圍所在區域。

1

學生得出：橢圓位于直線x=±a,k坊所圍成的矩形內。

問題1：如何從數的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也

就是形）得來的結論呢？

【設計意圖】體驗用代數的方法研究幾何問題過程，體會數形結合思

想。學生可能有如下方法：

方法1：由《+弓=1利用兩個實數的平方和為1，結合不等式知識得

ab

,貝［J有-aMxMaT"交。那么它的范圍就是直線

入=切,了=出所圍成的區域。，

方法2:從《+==1中解出2cl-4），利用/NO可得y的取值范圍，

abb

同樣可得X的取值范圍。。

方法3：把上合標〒和尸一上萬二泰分別看作是一個函數，只需求

aa

丁=合戶下（043a）的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得范圍…

a

（板書）教師指出橢圓的范圍：-a<x<a,-b<y<b.^

探究二：橢圓的對稱性

問題2：從圖形上看，你能找到橢圓對稱軸和對稱中心么？

【設計意圖】讓學生直觀感知，更深入認識橢圓的對稱性。

得出結論：橢圓具有對稱性。

①橢圓是軸對稱圖形，它關于x軸和y軸對稱；

2

②實物演示：橢圓繞中心旋轉180。后與原橢圓重合——橢圓也是中心

對稱圖形，這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢

圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題3：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

【設計意圖】經歷幾何問題代數化的過程，感受解析幾何研究問題的

思路和方法。

學生討論：設P(x,y),則P點關于x軸、y軸和坐標原點的對稱點

分別是(x,-y)、(-x,y)、(-x,-y),若曲線關于x軸對稱，則尸點關于x軸對

稱點也在曲線上，即(x,-y)滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。

問題4：通過上面研究同學們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有

這些對稱性？

【設計意圖】為培養學生觀察、分析、歸納問題的能力。為進一步的

學習打下良好的基礎。

學生討論得出：以7代x,方程不變，則曲線關于y軸對稱；以

7代y,方程不變，則曲線關于x軸對稱；同時以-工代八以7代y,

方程不變，則曲線關于原點對稱。

(板書)橢圓的對稱性：橢圓關于x軸，y軸和原點對稱。

探究三：橢圓的頂點

問題5：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸

有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎？

3

學生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。

問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點？

【設計意圖】體驗用代數的方法研究幾何問題過程。

令尤=0則有y=b或y=-b;同理可得x=〃或x=-a。

教師指出：其實，我們把橢圓3+A=l（a>0>0）與坐標軸的交點

a2b2

A（-。,0）,4（。,0）,B］（o,-b）,與（o⑼就叫做橢圓的頂點o

其中線段A1A2、BB分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|AA|=

2a,短軸長|BB|=2b,a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，

此時長軸在x軸上。（整合點：教師通過ppt演示“橢圓的頂點”）

（板書）橢圓的頂點:4（一。,0）,430），4（。，-匕），4（0,b）o

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離

心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學生的理解與接受，設

計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來，在自己的探究中獲

得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。

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問題8：請同學們畫出橢圓二+匕=1和二+匕=1的圖象，觀察它們的

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形狀有何不同？橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的

量來刻畫橢圓"扁"的程度呢？

【設計意圖】在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己作圖過程中

4

就會發現橢圓形狀的變化，引起思考。第一個橢圓比較“圓”，第二

個橢圓比較“扁二

本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平

面直角坐標系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強大功能會發

揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓

學生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進而對橢圓的離心率充分

了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認識。

（整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長

不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學生觀察出橢

圓形狀的變化。）教師指出：在剛才的演示中，我們發現在橢圓長

軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率

來描述。

（1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。（2）定義式：e-

a

問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關系呢？

【設計意圖】學生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變

化的規律，他到突破難點的效果。

再一次演示幾何畫板。學生發現“不變時，c變大，即離心率變

大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

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從式子e=￡上看：e-O，c-。，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，

a

此時也可認為圓為橢圓在e=0時的特例。e-l,c-a,橢圓變扁，直至

成為極限位置線段招瑪，此時也可認為線段為橢圓在e=l時的特例。

（板書）橢圓的離心率：e=—,0<e<1

a

【比一比】比較下列各組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為

什么？

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①9x2+丁=36和土+—=1；②無2+9丁=36和土+—=1。

-1612610

【設計意圖】為了讓學生能真正理解離心率的意義，教學中利用數形

結合的思想，從幾個具體的橢圓標準方程入手，通過對圖形的觀察、

方程的驗證，從數的方面，發現了橢圓形狀與￡的本質聯系，使學生

a

體驗了學習數學的樂趣，感悟和體會了特殊到一般、由具體到抽象的

認識問題的一般方法和數形結合、歸納、類比等數學思想方法的運用O

學生活動：搶答。

三、總結歸納，能力提升

讓學生學會將課堂上所學的知識整合成塊，形成屬于自己的知識

2222

體系。要求課堂填寫*+==l（a”>0）的性質，課后完成與+彳=1

aba-b

Ca>b>0）的性質。

四、典例賞析，學以致用

6

為了加深對橢圓的幾何性質的認識，掌握用描點法畫圖的基本方

法，給出如下例題：

【例1】求橢圓16/+25^=400的長軸和短軸的長，離心率、焦點和

頂點的坐標。

【練習1】求橢圓9/+4/=36的長軸和短軸的長，離心率、焦點和頂

點的坐標。

【例2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：

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(1)焦點在x軸上，"6,e=§；(2)焦點在)軸上，c=3,e=g。

【練習2】求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)經過點P(-3,0),Q(0,-2)；

3

(2)長軸長等于20,離心率等于

五、課堂小結，競爭合作

請你談談通過這節課的收獲，你學習到了什么？

六、課后作業，鞏固提高

基礎：課本P49習題A組第2、3、4題。

拓展：1、分別用2、￡的代數式子表示離心率；

ab

2、預習課本P47例6、例7。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質在現實生活中的其

他應用。

7

《橢圓的簡單幾何性質》學情分析

離心率是本節課的重點，也是本節課的難點，同時也是最能滲透

數學思想和方法的知識點，估計對普通班的學生有一定的難度，但是

之前學習過圓，類比圓，教學中較合適的方法是啟發、講授、數形結

合，尤其是2、￡對橢圓形狀的刻畫，是本節課最難的點，因而采用

ab

幾何畫板，用動態圖向同學們展示離心率變化對橢圓扁平程度的影響。

此外，看圖時同學們的思維并不一致，所以在內容的處理順序上與課

本略有不同。

《橢圓的簡單幾何性質》效果分析

一、課堂教學效果

1.各個教學環節學生都能積極參與，都能比較深刻的理解和熟

練地應用知識點；

2.應用幾何畫板，非常形象的展示了橢圓離心率的變化對橢圓

形狀的影響，激發了學生學習的興趣，同時將難點直觀化，學生接

受新知效果較好；

3.通過學生板演，激勵學生學習，同時也是對本節課的驗收。

二、學生學習效果

1.抽查發現學生掌握很好；

2.通過作業，體現出學生做題比較嚴謹，態度也比較好

《橢圓的簡單幾何性質》教材分析

一、教學分析:

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（一）教學內容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學生學習第二章所接觸到的第一個

重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質，對于后續學習圓錐曲線有著重

要的指導作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎。

（二）教學對象分析

本節課是在學生學習了橢圓的定義、標準方程的基礎上，根據方

程研究曲線的性質。按照學生的認知特點，改變了教材中原有安排順

序，引導學生從觀察課前預習所作的圖形入手，從分析對稱開始，循

序漸進進行探究。

（三）教學環境分析

因為本節內容比較抽象，再者學校條件的有限所以利用數形結合,

增強直觀性,激勵學生的學習動機，培養學生的觀察能力、數學想像能

力和抽象思維能力。

二、本課教學目標：

根據大綱要求和新課改理念，結合本課教學內容和學生的實際，

我將本課的教學目標確定為：

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質，學會由已知橢圓的標準方程求橢圓

的幾何性質的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

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通過實際活動培養學生發現、觀察、歸納的能力；培養分析、抽

象、概括的能力，加強數形結合等數學能力的培養；經歷幾何問題代

數化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態度

通過有關橢圓幾何性質的實際應用的介紹，激發學生研究橢圓的幾

何性質的積極性。

三、依據教學大綱的要求及本課在教材中所處的地位及作用，我將

本課的教學重、難點設計為：

（-）教學重點：由標準方程分析出橢圓的幾何性質

（二）教學難點：橢圓離心率幾何意義的理解

四、教學用具：多媒體設備、直尺

五、教學方法：講授法、啟發法、討論法、情境教學法、小組合作交

流

六、教學時間：一課時

橢圓的簡單幾何性質評測練習

一、選擇題

1.橢圓25/+9尸=225的長軸長、短軸長、離心率依次是（）

4,4

A.5,3,5B.10,6,§

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C.5,3,5D.10,6,5

2.焦點在x軸上，長、短半軸長之和？焦距為4小，則橢圓的方程為（）

A-審落1B.三+裊1

c.D->

10

22

3.若焦點在x軸上的橢圓r5+v5=1的離心率為I;，則〃?等于()

38

A--

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4.如圖所示，A、B、C分別為橢圓，+百=1(a>b>0)的頂點與焦點，若/4BC=90。,

則該橢圓的離心率為(

A二I座

a.2

C.V2-1

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5.若直線與圓0：/+y2=4沒有交點，則過點尸(加，〃)的直線與橢圓方+§

=1的交點個數為()

A.至多一個B.2C.1D.0

6.已知尸I、巳是橢圓的兩個焦點。滿足加?加2=0的點M總在橢圓內部，則橢圓

離心率的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1

C.(0,坐)D.坐，1)二、填空題

7.已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為帽，且過點尸(-5,4),則橢圓的

方程為.

7,2

8.直線x+2)-2=0經過橢圓，+j=1(a?>0)的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的

離心率等于______.

9.橢圓E：會+9=1內有一點尸(2,1),則經過戶并且以P為中點的弦所在直線方程為

《橢圓的簡單幾何性質》教學反思

本節課是人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修

2-1第二章2.2.2的內容，它是在學完橢圓的標準方程的基礎上，通

過研究橢圓的標準方程來探究橢圓的簡單幾何性質。這是學生第一次

正式學習使用代數方法研究圓錐曲線的幾何性質，因此，上好本節課

顯得尤為重要。

本節課總體上是以橢圓為載體研究橢圓的幾何性質，通過對橢圓

方程的研究，讓學生自然得出相應的幾何性質。因此，我在教學上采

11

22

用從特殊到一般的數學思想：先提出讓學生畫橢圓言+三=1的圖象，

在作圖過程中引導學生發現橢圓的幾何性質，并及時和圖象進行聯系,

體現了“數是形之源”的思想。學生在作圖過程中發現：作圖需要描

點，因此可以先求出橢圓與坐標軸的四個交點；橢圓是封閉圖形，要

畫圖就得先確定范圍；最后連線成圖時必須考慮到圖象的對稱性等特

點。通過這個作圖活動，學生能直觀的了解橢圓的幾何特點，并且在

這個過程中發現問題，提高了學習的積極性。然后，我趁熱打鐵，從

特殊到一般，歸納出橢圓的頂點、范圍、長短軸等概念，并揭示了橢

圓方程中a,Ac的幾何意義。本節課的重點是利用橢圓方程來研究幾何

性質，所以在歸納一般概念時，應注重強調代數方法和坐標法。例如，

由方程可直接求得x的范圍；利用對稱點的坐標，可以檢驗曲線的對

稱性；分別令x=0和＞=0可以求出四個頂點（即橢圓與對稱軸交點）

的坐標。從教學情況來看，學生接受還是比較好的。

離心率是本節課的難點，課本直接提出利用a與c可以刻畫橢圓

的圓扁程度，接著給出離心率的定義，學生接受起來是比較困難的。

因此我在學生對橢圓的圓扁變化有了初步的感性認識之后，讓學生合

作討論，尋找一個合適的量來刻橢圓的扁平程度。學生們不難發現，

橢圓的扁平程度與長軸，