第

1章集合與常用邏輯用語人教A版2019必修第一冊1.4.1充分條件與必要條件目錄CATALOG01.充分條件與必要條件03.典型例題分析02.充分條件與必要條件的應用04.小結及隨堂練習學習目標理解充分條件、必要條件的概念．(重點)了解充分條件與判定定理，必要條件與性質定理的關系.能通過充分性、必要性解決簡單的問題．(難點)01充分條件與必要條件充分條件與必要條件導入新知在初中，我們已經對命題有了初步的認識．一般地，我們把語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．中學數學中的許多命題可以寫成“若

p，則

q”，“如果

p，那么

q”等形式．其中

p稱為命題的條件，q稱為命題的結論．本節主要討論這種形式的命題．下面我們將進一步考查“若

p，則

q”形式的命題中

p和

q的關系，學習數學中的三個常用的邏輯用語：充分條件、必要條件和充要條件導入新知從前有一個牧民，養了幾十只羊，白天放牧，晚上趕進一個用柴草和木樁等物圍起來的羊圈內。一天早晨，這個牧民去放羊，發現羊少了一只。原來羊圈破了個窟窿，夜間有狼從窟窿里鉆了進來，把一只羊叼走了。鄰居勸告他說：“趕快把羊圈修一修，堵上那個窟窿吧?！彼f：“羊已經丟了，還去修羊圈干什么呢?”沒有接受鄰居的好心勸告。第二天早上，他去放羊，發現又少了一只羊。原來狼又從窟窿里鉆進羊圈，又叼走了一只羊。這位牧民很后悔沒有認直接受鄰居的勸告，去及時采取補救措施。于是，他趕緊堵上那個窟窿，又從整體進行加固，把羊圈修得十分牢固的。從此，這個牧民的羊就再也沒有被野狼叼走過了。圖片來源：百度圖片從這個小故事咱們發現一問題，在有狼的情況下，要想不丟羊，修理好羊圈是必要條件。導入新知思考:

下列“若

p

，則

q

”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若x2-4x+3=0，則x=1；(4)若平面內兩條直線a和b均垂直于直線

l，則a∥b．條件

p通過推理可以得出結論

q，所以(1)、(4)是真命題條件

p

通過推理不能得出結論

q，所以(2)、(3)是假命題判定命題為真命題，要依據定義、定理或常用結論能由

p出發推出

q成立；判定命題為假命題，只需舉出一個反例即可.學習新知上述命題（1）、（4）中的

p是

q的充分條件，q是

p的必要條件．而命題（2）、（3）中的

p不是

q的充分條件，q不是

p的必要條件．充分條件：有它就行必要條件：沒它不行認識新知

若

，那么p是

q的充分條件，q是

p的必要條件，這是同時成立的；不會出現p是

q的充分條件，而

q卻不是

p的必要條件．

故要判斷

p、q的充分必要關系，得先判斷“若

p則

q”是否為真命題，即判斷

是否成立．總結新知命題真假推理關系條件關系例子“若p，則q”真“若p，則q”假p是q的充分條件q是p的必要條件若x=2，則x2=4.(真)p不是q的充分條件q不是p的必要條件若兩個三角形周長相等，則這兩個三角形全等.(假)p有充分的理由使q成立(有p就有q)q不成立則p必然不成立（沒q就沒p）充分條件與必要條件02充分條件與必要條件的應用應用新知

應用新知思考2：例1中命題(1)給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？

①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個四邊形是平行四邊形.應用新知所以，“平行四邊形的兩組對邊分別相等”、“四邊形的一組對邊平行且相等”、“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件.事實上，例1中命題(1)及上述①②③均是平行四邊形的判定定理.所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即這個條件能充分保證四邊形是平行四邊形.類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個充分條件，例如“內錯角相等”這個條件就充分保證了“兩條直線平行”.一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件.應用新知充分條件的判斷方法(1)判定p是q的充分條件要先分清什么是p，什么是q，即轉化成p?q問題．(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關系判斷，若p構成的集合為A，q構成的集合為B，A?B，則p是q的充分條件．應用新知例2：下列“若

p，則

q

”形式的命題中，哪些

q

是

p

的必要條件？

(1)若四邊形是平行四邊形，則這個四邊形的兩組對角線分別相等；

(2)若兩個三角形相似，則這兩個三角形的三邊成比例；

(3)若四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形是菱形.應用新知思考:例2命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“這個四邊形的兩組對邊分別相等”．這樣的必要條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎？①“四邊形的兩組對邊分別相等”；②“四邊形的一組對邊平行且相等”；我們說的q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結論q，但并不意味著條件p只能推出結論q．一般來說，對給定條件p，由p可以推出的結論q是不唯一的．③“四邊形的兩條對角線互相平分”；都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．應用新知充分條件與必要條件的應用技巧：(1)判斷p是q的什么條件，主要判斷若p成立時，能否推出q成立，反過來，若q成立時，能否推出p成立；若p?q為真，則p是q的充分條件，若q?p為真，則p是q的必要條件．(2)也可利用集合的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若A?B，則甲是乙的必要條件．總結新知充分條件與必要條件

一般地“若

p，則

q”為真命題，是指由

p通過推理可以得出

q．這時，我們就說，由

p

可以推出

q，記作

，并且說，p是

q的充分條件，q是

p的必要條件．如果“若

p，則

q

”為假命題，那么由條件

p

不能推出結論

q，記作p

q．此時，我們就說

p不是

q的充分條件，q不是

p的必要條件．/注：

p是

q的充分條件，也可能

p是

q的必要條件同時成立．“小范圍”推出“大范圍”．如果一個命題中的條件和結論是由一個變量的取值范圍構成的，我們在判定充分或必要性的時候就可以看作對兩個集合關系的判定設

p對應集合P，q對應集合Q，若P?Q，則

p是

q的充分條件，同時

q是

p的必要條件．總結新知充分條件與必要條件

結論

q

的充分條件

p

并不唯一，只能說

q

的一個充分條件是

p，或說

p

是

q

的一個充分條件．同理：p的必要條件也不唯一，只能說

p的一個必要條件

q，或說

q是

p的一個必要條件．“小范圍”推出“大范圍”．如果一個命題中的條件和結論是由一個變量的取值范圍構成的，我們在判定充分或必要性的時候就可以看作對兩個集合關系的判定設

p對應集合P，q對應集合Q，若P?Q，則

p是

q的充分條件，同時

q是

p的必要條件．03典型例題分析充分條件與必要條件能力提升題型一：

充分條件的判斷與探求定義法判斷充分條件的步驟：(1)分清“條件”與“結論”.(2)判斷條件能否推出結論.(3)下結論：若“條件結論”，則是的充分條件；若“條件結論”，則不是的充分條件.能力提升題型二：

必要條件的判斷與探求?充分條件與必要條件的應用技巧(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．(2)求解步驟：先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．能力提升題型三：

利用充分條件與必要條件求參數范圍方法技巧

04小結及隨堂練習充分條件與必要條件充分條件與必要條件課堂總結總結新知本課須掌握的兩大問題1．充分理解“充分條件”與“必要條件”的概念：(1)“p是

q的充分條件”反映了

p?q，而“q是

p的必要條件”也反映了

p?q，所以“p是

q的充分條件”與“q是

p的必要條件”表述的是同一個邏輯關系，只是說法不同．“p是

q的充分條件”只反映了

p?q，與

q能否推出

p沒有任何關系．總結新知本課須掌握的兩大問題(2)注意以下等價的表述形式：①

p?q；②

p

是

q

的充分條件；③

q

的充分條件是

p；④

q

是

p

的必要條件；⑤

p

的必要條件是

q.(3)判斷充分條件(或必要條件)的實質是判斷命題“若

p

，則

q

”(或“若

p

，則

q

”的逆命題)的真假．總結新知本課須掌握的兩大問題2．熟練掌握充分條件與必要條件的判斷方法：(1)定義法：①分清條件和結論：分清哪個是條件，哪個是結論；②找推式：判斷“

p?q

”及“

q?p

”的真假；③下結論：根據推式及定義下結論．(2)命題判斷法：①如果命題：“若

p

，則

q

”為真命題，那么

p

是

q

的充分條件，同時

q

是

p

的必要條件．②如果命題：“若

p，則