PAGE吉林省遼源市第五中學2024-2025學年高一數學下學期期中試題文（含解析）一．選擇題1.某鎮有、、三個村，，它們的精準扶貧的人口數量之比為，現在用分層抽樣的方法抽出容量為的樣本，樣本中村有15人，則樣本容量為（）A.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【解析】【分析】運用分層抽樣的學問，村抽出15人，結合三個村的人口比例解出答案【詳解】設、B、三個村的人口分別為則由題意可得解得故選【點睛】本題主要考查了分層抽樣法，解題的關鍵是駕馭分層抽樣的定義，屬于基礎題．2.數列3，7，13，21，31，…的通項公式是（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】利用累加法求得數列的通項公式.詳解】依題意可知，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.3.如圖是調查某學校高三年級男女學生是否喜愛數學的等高條形圖，陰影部分的高表示喜愛數學的頻率．已知該年級男生女生各500名（全部學生都參與了調查），現從全部喜愛數學的同學中按分層抽樣的方式抽取32人，則抽取的男生人數為A.16 B.32 C.24 D.8【答案】C【解析】【分析】依據等高條形圖可得到喜愛數學的女生和男生的比為1:3，再由分層抽樣計算出抽取的男生人數．【詳解】由等高條形圖可知：喜愛數學的女生和男生的比為1:3，所以抽取的男生數為24人．故選C．【點睛】本題考查高條形圖與分層抽樣，需駕馭等高條形圖的性質與分層抽樣方法，屬于基礎題．4.在中，，那么是（）A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.銳角三角形 D.非鈍角三角形【答案】B【解析】因為，所以可設，由余弦定理可得，所以，是鈍角三角形，故選B.【方法點睛】本題主要考查利用余弦定理的應用以及推斷三角形形態，屬于中檔題.推斷三角形態的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行推斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行推斷；（3）依據余弦定理確定一個內角為鈍角進而知其為鈍角三角形.5.已知等差數列，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數列通項公式可得方程組得到代入通項公式得【詳解】由題意得所以，故選C.【點睛】本題考查等差數列通項公式，考查基本運算實力．6.設是等差數列的前項和，若，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】題目已知數列為等差數列，且知道某兩項的比值，要求某兩個前項和的比值，故考慮用相應的等差數列前項和公式，將要求的式子轉化為已知條件來求解.【詳解】，故選A.【點睛】本小題主要考查等差數列前項和公式和等差中項的應用.等差數列求和公式有兩個，它們分別是，和.在解題過程中，要選擇合適的公式來解決.本題中已知項之間的比值，求項之間的比值，故考慮用其次個公式來計算，簡化運算.7.某公司的班車在7：00，8：00，8：30發車，小明在7：50至8：30之間到達發車站乘坐班車，且到達發車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出小明等車時間不超過分鐘的時間長度，代入幾何概型概率計算公式，可得答案．【詳解】設小明到達時間為，當在7：50至8：00，或8：20至8：30時，小明等車時間不超過10分鐘，依據幾何概型概率計算公式得.故選B.【點睛】本題考查求幾何概型中長度型的概率，屬于簡潔題．8.等差數列的前項和為，已知，則的值為（）A.38 B.-19 C.-38 D.19【答案】C【解析】由等差數列的性質可知．即．．故本題答案選．9.依據如下樣本數據得到的回來直線方程，則下列推斷正確的是（）x23456y4.02.5-050.5-2A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據增減性得再求代入驗證選項．【詳解】因為隨著增加，大體削減，所以因為，所以，故選D【點睛】本題考查回來直線方程，考查基本分析推斷實力，屬基礎題.10.設的內角所對邊分別為，已知，的面積為，，則的外接圓面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理化簡，可得，化簡即可得到，再利用三角形的面積公式以及余弦定理聯立方程，可得，再依據正弦定理可得，從而求得三角形外接圓的半徑，即可得到面積【詳解】因為，由正弦定理可得：即由于在中，，由誘導公式可得，所以等價于，由于在中，，則，所以，因為在中，，故由于的面積為，，所以由三角形面積公式以及余弦定理可得：解得：所以由正弦定理可得，解得：，則的外接圓的半徑為2，其面積為故答案選A【點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式在三角形中的應用，嫻熟駕馭公式是解題的關鍵，考查學生基本的運算實力，屬于中檔題11.為了從甲乙兩人中選一人參與校籃球隊，教練將二人最近6次籃球競賽的得分數進行統計，甲乙兩人的平均得分分別是、，則下列說法正確的是（）A.，乙比甲穩定，應選乙參與競賽 B.，甲比乙穩定，應選甲參與競賽C.，甲比乙穩定，應選甲參與競賽 D.，乙比甲穩定，應選乙參與競賽【答案】B【解析】【分析】先計算出甲乙兩個學生的平均得分，再分析得解.【詳解】由題得，，所以.從莖葉圖可以看出甲的成果較穩定，所以要派甲參與.故選B【點睛】本題主要考查平均數的計算和莖葉圖，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.12.設為三角形三內角，且方程有兩相等的實根，那么角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據方程有兩相等實根可得判別式，在依據正弦定理把角換成邊，化簡得，代入余弦定理得，再依據兩邊平方，得出與的關系，進而推斷出的范圍.【詳解】依題意有，依據正弦定理得：，即，化簡得：，整理得：，即，且所以，因為，所以，所以，又因為，所以，所以，故選C.【點睛】該題考查的是有關推斷三角形內角取值范圍的問題，涉及到的學問點有一元二次方程根的個數與判別式的關系，正弦定理，余弦定理，屬于中檔題目.二、填空題：13.數列，，，，，…的通項公式______．【答案】【解析】【分析】先考慮的通項公式，由此求得的通項公式.【詳解】由于是首項為，公差為的等差數列，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查依據數列的前幾項猜想數列的通項公式，屬于基礎題.14.已知數列{}的前項和，則其通項；若它的第項滿足，則【答案】2n-10，8【解析】當n=1時，,經檢驗當n=1時，也滿足上式，因而,由所以.15.在某城市青年歌手大賽中，七位評委為某選手打出的分數如下：91，89，91，96，94，95，94.去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的方差為___.【答案】【解析】【分析】去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據為91，91，94，95，94，由此能得出所剩數據的平均值進而得到方差．【詳解】∵七位評委為某選手打出的分數如下：91，89，91，96，94，95，94，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據為91，91，94，95，94，∴所剩數據的平均值為：，所剩數據的方差為：S2＝[（91﹣93）2+（91﹣93）2+（94﹣93）2+（95﹣93）2+（94﹣93）2]＝2.8．故答案為2.8．【點睛】本題考查一組數據的平均值和方差的求法，是基礎題，解題時要仔細審題，留意平均數公式和方差公式的合理運用．16.已知是首項為，公差為1的等差數列，，若對隨意的，都有成立，則實數的取值范圍是____【答案】【解析】【分析】依據已知可求得數列的通項，進而求得，再由數列的性質可得的取值范圍．【詳解】由題得，則，對隨意的，都有成立，而關于的單調性為時單調遞減，時單調遞減，且時，時．而時，最大，所以，且，故.【點睛】此題是關于數列單調性的問題，引用函數的單調性加以解決，但需考慮定義域是正整數集，難度屬于中等．三、解答題：本大題共6個小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知數列}的前項和（）．（1）求的通項公式：（2）當為何值時，達到最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）當時，取得最大值，且最大值為【解析】【分析】（1）依據求得數列的通項公式.（2）利用二次函數的對稱軸，求得當為何值時，達到最大以及最大值.【詳解】（1）當時，，當時，，所以，當時上式也符合.故數列的通項公式為.（2）結合二次函數的性質可知，當時，取得最大值，且最大值為.【點睛】本小題主要考查已知求，考查等差數列前項和的最值，屬于基礎題.18.某商場實行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編號為，則獲得獎金元；若抽到的小球編號為偶數，則獲得獎金元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現某顧客依次有放回的抽獎兩次.（1）求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率；（2）求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用列舉法得到全部的基本領件數，然后依據古典概型概率公式可得事務發生的概率；（2）依據互斥事務的概率加法公式求解可得結果．【詳解】（1）由題意得，該顧客有放回抽獎兩次的全部可能結果為：共有25種狀況．設“該顧客兩次抽獎后都沒有中獎”為事務A，則事務A包含的結果為，共4種，所以．即該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率為．（2）兩次抽獎獎金之和為100元包括三種狀況：①第一次獎金為100元，其次次沒有獲獎，其包含的狀況為，概率為；②第一次沒中獎，其次次獎金為100元，其包含的狀況為，概率為；③兩次各獲獎金50元，包含的狀況有，概率為．由互斥事務有一個發生的概率公式可得所求概率為，即該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率為．【點睛】（1）求古典概型概率的關鍵是得到基本領件的個數，常用的方法是列舉法，解題時要分清抽取是有放回的還是無放回的，列舉時要做到不重不漏．（2）對于一些困難的事務，在求概率時可將其分解為若干個互斥事務的和來求解，然后利用概率的加法公式可得結果．19.某城市在進行創建文明城市的活動中，為了解居民對“創文”的滿足程度，組織居民給活動打分（分數為整數．滿分為100分）．從中隨機抽取一個容量為120的樣本．發覺全部數據均在內．現將這些分數分成以下6組并畫出了樣本的頻率分布直方圖，但不當心污損了部分圖形，如圖所示．視察圖形，回答下列問題：（1）算出第三組的頻數．并補全頻率分布直方圖；（2）請依據頻率分布直方圖，估計樣本的眾數、中位數和平均數．（每組數據以區間的中點值為代表）【答案】（1）18人，見解析；（2）眾數為75分，中位數為75分，平均數為73.5分【解析】【分析】（1）先求出分數在內的頻率，再求第三組的頻數,補全頻率分布直方圖；(2)利用頻率分布直方圖中的眾數、中位數和平均數的求解方法求解即可.【詳解】（1）因為各組頻率之和等于1，所以分數在內的頻率為：，所以第三組的額數為（人）．完整的頻率分布直方圖如圖．（2）因為眾數的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形的中點，從圖中可看出眾數的估計值為75分．由題得左邊第一個矩形面積為0.05，其次個矩形的面積為0.15,第三個矩形的面積為0.15,第四個矩形的面積為0.3，所以中位數在第四個矩形里面，設中位數為x,則0.05+0.15+0.15+(x-70)×0.03=0.5，所以x=75.所以中位數為75.又依據頻率分布直方圖，樣本的平均數的估計值為：（分）．所以樣本的眾數為75分，中位數為75分，平均數為73.5分．【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖中頻率頻數的計算，考查眾數中位數和平均數的計算，意在考查學生對這些學問的理解駕馭水平和分析推理實力.20.己知數列滿足，（1）數列是否為等差數列？說明理由．（2）求．【答案】（1）數列等差數列，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據遞推關系證得數列是等差數列；（2）由（1）求得數列的通項公式，由此求得.【詳解】（1）依題意，所以，所以數列是以為首項，公差為的等差數列.（2）由（1）得，所以.【點睛】本小題主要考查依據遞推關系求數列的通項公式，屬于基礎題.21.的內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，面積為2，求．【答案】（1）；（2）2．【解析】試題分析：（1）利用三角形的內角和定理可知，再利用誘導公式化簡，利用降冪公式化簡，結合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），∴，∵，∴，∴，∴；（2）由（1）可知，∵，∴，∴，∴．22.在中，分別為角的對邊，且.（1）求角