專題04立體幾何一、選擇題：1．（考點1）已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則(D)A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?α C．P?α，Q?α D．Q∈α[解析]∵Q∈m，m?α，∴Q∈α.∵P?m，∴有可能P∈α，也可能有P?α.2．（考點1）設P表示一個點，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是(D)①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①② B．②③ C．①④ D．③④[解析]當a∩α＝P時，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯；a∩β＝P時，②錯；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經過直線a與點P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確，選D．．3．（考點2）異面直線是指(D)A．空間中兩條不相交的直線B．分別位于兩個不同平面內的兩條直線C．平面內的一條直線與平面外的一條直線D．不同在任何一個平面內的兩條直線[解析]對于A，空間兩條不相交的直線有兩種可能，一是平行(共面)，另一個是異面．∴A應排除．對于B，分別位于兩個平面內的直線，既可能平行也可能相交也可異面，如右圖，就是相交的情況，∴B應排除．對于C，如圖的a，b可看作是平面α內的一條直線a與平面α外的一條直線b，顯然它們是相交直線，∴C應排除．只有D符合定義．∴應選D.4．（考點2）若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則(D)A．a∥c B．a、c是異面直線C．a、c相交 D．a、c平行或相交或異面[解析]例如在正方體ABCD－A1B1C1D1中，取AB，CD所在直線分別為a，c，B1C1所在直線為b，滿足條件要求，此時a∥c；又取AB，BC所在直線分別為a，c，DD1，所在直線為b，也滿足題設要求，此時a與c相交；又取AB，CC1所在直線分別為a，c，A1D1所在直線為b，則此時，a與c異面．故選D.5．（考點3）如圖，在正方體中，直線與平面的位置關系是A．直線與平面平行 B．直線與平面垂直C．直線與平面相交 D．直線在平面內【答案】A【分析】連接，通過證明直線//，即可求得直線與平面的位置關系.【詳解】連接，作圖如下：因為是正方體，故可得//，且，故四邊形是平行四邊形，故可得//，又因為平面，平面，故//平面.故選：A.6．（考點3）已知直線與直線平行，直線與平面平行，則直線與平面的位置關系為（

）A．平行 B．相交 C．直線在平面內 D．平行或直線在平面內【答案】D【分析】根據線面平行的性質，得到直線必與平面內的某直線平行，再由，即可得出結果.【詳解】依題意，直線必與平面內的某直線平行，又，所以；因此直線與平面的位置關系是平行或直線在平面內.7．（考點4）若直線平面，則過作一組平面與相交，記所得的交線分別為，，，…，那么這些交線的位置關系為（

）A．都平行 B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點 D．都平行或交于同一點【答案】A【分析】根據線面平行的性質，過平行于平面的直線作平面與相交，則交線與平行，即可知正確選項.【詳解】由直線平面，過作平面且，則，同理有，，…，∴，即交線均平行.故選：A8．（考點5）若平面平面，直線，點，過點M的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線

B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線

D．有且只有一條與a平行的直線【答案】D【詳解】平面平面，直線，點，故點，過直線和點可以確定唯一一個平面，且，則直線就是唯一的一條滿足條件的直線，故選D.9．（考點5）在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】在正方體中觀察可判斷①；由平面平行的傳遞性可判斷②；由線面垂直的性質可判斷③；根據面面平行判定定理可判斷④.【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因為，，所以，所以因為，，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D10．（考點6）已知m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列條件能使n⊥α成立的是（）A．α⊥β，m?β B．α∥β，n⊥βC．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m【答案】B【分析】n⊥α必有n平行α的垂線，或者n垂直α的平行平面，依次判定選項即可．【詳解】α⊥β，m?β，不能說明n與α的關系，A錯誤；α∥β，n⊥β能夠推出n⊥α，B正確；α⊥β，n∥β可以得到n與平面α平行、相交或在平面α內，所以C不正確；m∥α，n⊥m則n與平面α可能平行，所以D不正確．故選：B．11．（考點6）已知直線和平面，則“垂直于內任意直線”是“”的（

）.A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】C【分析】根據線面垂直的判定和性質，結合題意，即可容易判斷和選擇.【詳解】若垂直于內任意直線，顯然有，故充分性成立；若，則垂直于平面內任意直線，故必要性成立，故“垂直于內任意直線”是“”的充要條件.故選：.12．（考點7）設，為兩個平面，則的充要條件是（

）A．，平行于同一個平面 B．，垂直于同一個平面C．內一條直線垂直于內一條直線 D．內存在一條直線垂直于【答案】D【分析】由面面關系及面面垂直的判定方法依次判斷4個選項即可.【詳解】，平行于同一個平面時，則，A錯誤；，垂直于同一個平面時，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，B錯誤；內一條直線垂直于內一條直線，，可能垂直，也可能相互平行，也可能相交但不垂直，C錯誤；內一條直線垂直于，則，反之也成立，D正確.故選：D．13．（考點7）設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若m⊥α，n?β，m⊥n，則α⊥βB．若m∥α，m∥n，則n∥αC．若m∥n，n⊥β，m?α，則α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β【答案】C【分析】分別根據面面垂直的判定定理，線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理判斷選項即可.【詳解】m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，對于,若m⊥α，n?β，m⊥n，則與平行或相交，故錯誤；對于,若m∥α，m∥n，則n∥α或，故錯誤；對于,若m∥n，n⊥β，m?α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故正確；對于,若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則或與相交或∥，故錯誤.故選：.14．（考點8）如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將平移到與相交，求所成的角，即異面直線所成的角.【詳解】正方體中，，所以與所成的角即異面直線與所成的角，因為為正三角形，所以與所成的角為，所以異面直線與所成的角為.故選：C.15．（考點9）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，則D1A與平面ABCD所成的角為（

）A．45° B．60° C．90° D．135°【答案】A【分析】根據正方體的性質可知即為直線與平面所成的角，從而求出結果．【詳解】解：依題意，如圖所示，根據正方體的性質可知，平面，∴即為直線與平面所成的角，又∵，，∴為等腰直角三角形，∴，故選：A．16．（考點10）如圖，在正方體中，下列結論錯誤的為（

）

A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成的角為C．直線平面D．平面與平面所成的二面角為【答案】D【分析】對A，證明直線平面即可；對B，根據線面角的定義，根據直線與平面所成的角為即可；對C，根據線面垂直的判定證明即可；對D，根據二面角的定義可得平面與平面所成的二面角為即可.【詳解】對A，連接如圖，由正方體性質可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.故直線與直線所成的角為，故A正確；

對B，因為平面，故直線與平面所成的角為，故B正確；對C，連接如圖，由正方體性質可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.同理，又，平面，故平面，故C正確；二、填空題1．（考點1）若，，且，，則（填“”、“”、“”、“”）.【答案】【解析】由已知，，且，，則直線與有無數個公共點，即直線，2．（考點1）若一直線a在平面α內，則正確的圖形是(A)[解析]選項B、C、D中直線a在平面α外，選項A中直線a在平面α內．3．（考點3）若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是．【答案】或【分析】畫出空間圖形判斷得解.【詳解】解：若直線l與直線m垂直，平面，則l與的位置關系是或.故答案為：或4．（考點4）在長方體所有的表面所在的平面中，與直線平行的平面是．【答案】平面和平面【分析】直接觀察長方體即可得出.【詳解】如圖長方體中，與直線平行的平面是平面和平面.故答案為：平面和平面.5．（考點4）在長方體所有的棱所在的直線中，與平面平行的直線有．【答案】AB、、、【分析】根據正方體的圖象與性質，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：則與平面平行的直線有AB、、、，故答案為：AB、、、6．（考點5）判斷正誤．（1）若平面平面，平面，平面，則．()（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等．()【答案】×√【詳解】（1）l與m可以平行或異面，故錯誤；（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等，故正確.7．（考點5）已知直線l、m，平面α、β，下列結論正確的是(D)A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β[解析]如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB∥CD，則直線AB∥平面DC1，直線AB?平面AC，但是平面AC與平面DC1不平行，所以選項A錯誤；取BB1的中點E，CC1的中點F，則可證EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC與平面BC1不平行，所以選項B錯誤；直線AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC與平面BC1不平行，所以選項C錯誤；很明顯選項D是兩個平面平行的判定定理，所以選項D正確.8．（考點6）在如圖所示的正方體中，垂直于平面的平面有.（寫出兩個，多寫不加分，寫錯扣分）

【答案】平面，平面（答案不唯一）【分析】證明出線面垂直，得到面面垂直，得到答案.【詳解】連接，因為四邊形為正方形，所以⊥，因為⊥平面，平面，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以平面⊥平面，同理平面，所以平面⊥平面，故垂直于平面的平面有平面，平面

故答案為：平面，平面(答案不唯一)9．（考點6）過平面外一點有條直線與該平面垂直．【答案】1【分析】根據點線面的位置關系以及線面垂直的性質，即可得答案.【詳解】根據線面垂直的性質可知，過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直，故答案為：110．（考點7）已知m、l是直線，α、β是平面，給出下列命題：①若l垂直于α內兩條相交直線，則；②若l平行于α，則l平行于α內所有的直線；③若，且，則；④若且，則；⑤若，且，則．其中正確命題的序號是．【答案】①④【分析】對于①，考慮直線與平面垂直的判定定理，符合定理的條件故正確；對于②⑤，可舉出反例；對于③考慮的判定方法，而條件不滿足，故錯誤；對于④符合面面垂直的判定定理，故正確．【詳解】對于①，由線面垂直的判斷定理可知，若l垂直于a內的兩條相交直線，則，故①正確，對于②，若，如圖1，

可知，與是異面關系，故②不正確，對于③，若，且，無法得到，故無法得到，故③不正確，對于④，根據面面垂直的判斷定理可得，若且，，則，故④正確，對于⑤，如圖2，滿足，且，則異面，

故⑤不正確，故正確命題的序號是①④．故答案為：①④11．（考點8）已知正方體中，直線與直線所成角的大小為.【答案】【分析】根據異面直線所成角的定義求解即可.【詳解】

因為為正方體，所以，，所以直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即為.故答案為：.12．（考點8）如圖所示，在正方體中，異面直線與所成的角為．【答案】//【分析】利用幾何法求解異面直線所成的角，通過做輔助線，將異面直線所成的角轉化到同一平面內兩直線所成的角進行求解.13．（考點9）在正方體中，與平面所成角的大小為.【答案】【分析】找到即為與平面所成角，求出大小.【詳解】由于⊥平面，故即為與平面所成角，因為，所以，故與平面所成角為.故答案為：14．（考點9）已知斜線段的長度是斜線段在這個平面內射影的長的倍，則這條斜線和這個平面所成的角的大小為.【答案】/【分析】由可直接得到結果.【詳解】設斜線和平面所成角為，則，.故答案為：.15．（考點10）如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是．【答案】/【分析】根據與二面角大小互補進行求解.【詳解】設二面角的大小為，因為，，垂足為、，所以，又，所以.故答案為：16．（考點10）在正方體中，二面角的大小是.【答案】/【分析】根據二面角的定義判斷二面角的大小.【詳解】畫出圖象如下圖所示，由于，所以是二面角的平面角，根據正方體的性質可知.故答案為：三、解答題1．（考點4）如圖，四棱錐的底面為正方形，E為PB的中點.證明：平面.

【答案】證明見解析【分析】作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而得到線面平行.【詳解】連接，交于，連接，因為底面為正方形，所以為的中點，

因為E為PB的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面.2．（考點5）如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，E分別是BC與B1C1的中點.求證：平面A1EB∥平面ADC1．[解析]如圖，由棱柱的性質知，B1C1