習題10.1(A)組1．寫出下列集合的全部內點，外點，邊界點，聚點，并指出是否為開集，閉集，連通集，開區域，閉區域，有界集？(1)解：E為有界開區域，連通集，內點為E上所有的店，外點為，邊界點為，聚點為(2)解：E為無界開集，非連通集，內點為E，邊界點為，聚點為平面上所有的點。(3)解：E為有界閉區域，連通集，邊界點以為頂點的三角形三邊上的點，聚點為該閉區域上所有的點。2．設，求解：令，，則則即。3.設，證明。解：4.確定下列函數的定義域(1)解：，則，則定義域為(2)解：&y≥0&x≥y(3)解：且，則定義域為(4)解：，定義域為5.求下列各極限(1)解：(2)解：(3)解：lim&x→0(4)解：(5)解：(6)解：lim&x→0(B)組1.證明極限．證明：，limr→02.證明極限不存在。解：令，，當取不同值時，極限值不同。3.討論下列函數的連續性：(1)解：的定義域為當，且時，不存在，因此在直線上都間斷，為第二類間斷點，在點為可去間斷點，其他點為連續點。(2)解：設，則，無論取何值，所以在點連續，因此在上處處連續。習題10．2(A)組1．求下列函數的一階偏導數：(1)解：(2)解：；(3)解：(4)解：?u(5)解：(6)解：2、(1)設，求。解：則，，，(2)設，求。解：則，。3、曲線，在點處的切線對于軸的傾角是多少？解：曲線在處的切線方向為，設與的夾角為， 4．求下列函數的各個二階偏導數：(1)解：?z?x=4x3?8xy2?2(2)解：；?2z?x(3)解：；；；。(4)解：；；；。5．設，求及．解：；；；；。6．求函數的偏導函數．解：當時，當時，因此：7.驗證函數z=lnx解：；；則成立。(B)組1.(1)設，求證：。證明：則(2)設，求證：。證明：；；則。2.設其中可導，證明。證明：；即成立。習題10．3(A)組1．求下列函數的全微分：(1)解：；(2)解：(3)解：?u?x=yzexyz(4)解：；2.求函數在點處的全微分。解：；令得3.求函數在時的全增量和全微分。解：全增量△令x=2,y=1,△x=0.1,4.求函數z=exy當x=1,y=1,x=0.15,解：；則當x=1,y=1,△x=0.15,(B)組1.計算的近似值。解：；令x=1,y=2,則f(x+即的近似值為2.95。2.設有一無蓋圓柱形容器,容器的壁與底的厚度均為0.1cm,內高為20cm,內半徑為4cm,求容器外殼體積的近似值.解：由題意得，容器外殼體積令，則。習題10．4組1.求下列全導數：(1)設，而，求.解：。(2)設，而，求.解：。(3)設，而，求.解：(4)設，而，求.解：2．設，而，求.解：=x3．設，而，求.解：=?24．設，而，求解：5．設，而，驗證：。解：則。6．求下列函數的一階偏導數（其中具有一階連續偏導數）：(1)解：；。(2)解：；；。(3)解：；；。7．設，而，可微，證明：.證明：則8．求下列函數的各個二階偏導數（其中具有二階連續偏導數）：(1)解:；???(2)解：；???(3)解：；???(4)解：???9．設，有連續偏導數，證明：。證明：；；;即成立。10．設（其中函數可微），證明：證明：；得證。11．設，其中為可導函數，證明：。證明：則。12．設有二階連續偏導數，而，證明：(1)證明：同理則，得證。(2)證明：則得證。(B)組1．設，其中為可微函數，證明：。解：；；；相加得得證。2．設函數具有二階連續偏導數，試證明在變換下可以將方程化簡為。證明：則習題10．5(A)組1．設，求．解：令。2．設，求．解：令；；。3．設，求．解：令；；；；。4．設，求證：．證明：F(x,y)=2；；；。5．設具有連續偏導數，證明由方程所確定的函數滿足．證明：；；；；。6．設，求．解：令；；?z7．設，求．解：；；；8．設，求。解：令；dydx=?Fx9．求由下列方程組所求確定的函數的導數或偏導數：設求解：方程組兩邊同時對x求導數，得得，。設求解：解：方程組兩邊同時對z求導數，得得，設，其中具有一階連續偏導數，求解：方程組兩邊同時對x求導數，得得設求解：方程組兩邊同時對求導，得解得方程組兩邊同時對求導，得解得。設求解：方程組兩邊同時對求偏導數，得解得方程組兩邊同時對求偏導數，得解得10．設，其中具有連續偏導數，且，求證。解：。11.設有三元方程xyzlny+exz=1,根據隱函數存在定理,存在點(0,1,1)的一個鄰域,在此鄰域內該方程能確定幾個具有連續偏導數的隱函數?解：令則因此在鄰域內該方程能確定2個具有連續偏導數的隱函數(B)組1．設，求。解：對方稱分別求的偏導數，得解得2.設，其中具有連續偏導數，且，求。解：習題10.6(A)組1.求下列曲線在給定點處的切線及法平面方程：(1)在處。解：曲線在處的切線方程為 法平面方程為，即。(2)在點處。解：曲線在的切向量為切線方程為化為法平面方程為化為(3)在點處。解：曲線在處的切向量為切線方程為法平面方程為即。2.求曲線上的點，使該點的切線平行于平面。解：，設曲線在點的切線平行于平面該平面的法向量為，則，解得或，即所求點為或。3.求曲面上點處的切平面和法線方程。解：曲面在點出的切平面的法向量為n→故所求切平面方程為，即所求法線方程為。4.在曲面上求一點的坐標,使此點的切平面平行于yOz平面。解：曲面在點切平面的法向量為切平面平行于yoz平面，即解得或5.在曲面上求一點，使這點處的法線垂直于平面，并寫出該法線的方程。解：曲面在處法線的方向向量因為法線垂直于平面，則，解得即所求點為，該法線方程為。6.求拋物面在點處的切平面與法線方程,以及法向量的方向余弦。解：拋物面在處切平面的法向量為，則切平面方程為，即法線方程為法線的方向余弦為。7.證明曲面上所有點處的切平面都過一定點。證明：曲面在處的切平面的法向量為則切平面方程為e因為，故?x即，因此切平面必過點。8.試證明曲面上任何點處的切平面方程在各個坐標軸上的截距之和等于。證明：曲面在處切平面的法向量為則切平面方程為各坐標軸截距分別為，，則截距之和(B)組1.證明球面與錐面正交。(所謂兩曲面正交是指它們在交點處的法向量互相垂直)。證明：設兩個曲面在交點的法向量為滿足，即兩曲面正交。習題10.7(A)組1.求下列各函數的駐點和極值：(1)解：解得，駐點，又?2?(?2)?0=4>0，，則為極大值。(2)解：解得或或或或即駐點為處不是極值處不是極值處不是極值處不是極值處為極大值。(3)解：?z?x=2&2e2x，則，因此為極小值。(4)解：解得，駐點為點則，則為極大值。2.要造一個容積等于定數的長方形無蓋水池，應如何設計水池的尺寸，方可使它的表面積最小。解：設容積為定數，分別表示水池的長寬高表面積設令，得解得為唯一駐點所以當長寬為，高為時，無蓋水池的表面積最小。3.在平面上求一點，使得它到及三條直線的距離平方之和最小。解：設該點為，則該點到的距離平方分別為d則d=x2+y解得為唯一駐點，所以為所求點。4.求半徑為的球中具有最大體積的內接長方體。解：設球心在圓點，長方體長寬高為，則設解得唯一駐點則當長方體邊長都等于時，體積最大為。5.將周長為定數的矩形繞它的一邊旋轉而構成的一個圓柱體，問矩形的邊長如何設計，才能使圓柱體的體積最大。解：設舉行邊長為，則為定數，沿邊長為的邊繞一圈，圓柱體體積解得唯一駐點即繞長邊旋轉所得的圓柱體體積最大為。6.求在條件下的最小值，其中為常數。并證明不等式解：設，則，解得唯一駐點則，。7.求曲面上距原點最近的點。解：設，令，解得&x=±1&y=?1&z=0或即曲面上距原點最近的是或點。8.某公司通過電臺和報紙兩種方式作銷售某商品的廣告，根據統計資料，銷售收入（萬元）與電臺廣告費（萬元）和報紙廣告費（萬元）間的關系為求（1）在廣告費不受限制情況下的最優廣告策略。解：解得，，則為最大值點。（2）在廣告費限制1.5（萬元）時，其相應的最優廣告策略。解：當加入限制條件設得，解得為唯一駐點因此當時，R取最大值。(B)組1.求函數在條件（為常數）下的最大值。解：令有&Lλ=則為最大值。2.已知，求的最小值。解：令L則&Lλ=x2+y2+z故最小值為?1習題10.8(A)組1.求下列個函數在指定方向的方向導數：(1)在點處沿從點到點的方向；解：由于的方向=的方向余弦為因此(2)在點處沿方向；解：的方向余弦為因此，。(3)在點處沿從點到點的方向；解：的方向=的方向余弦為因此。(4)在點處沿曲線在這點的內法線方向.解：曲線在該點的切線方向為，則內法線方向為方向余弦為2.已知，點，求在點處的方向導數的最大值和最小值，并指出相應的方向。解：沿梯度的方向上方向倒數最大，梯度方向為且沿梯度的反方向上方向導數最小，。3.求下列各函數在指定點處的梯度：(1)在點處。解：(2)在點處。解：(3)在點處。解：(4)在點處。解：4.設有一金屬板在平面上占據的區域為，已知板上各點的溫度是問在點處的一只昆蟲應沿什么方向運動才能盡快地逃到較涼的地方。解：昆蟲應沿的方向(B)組1.設都是的函數，且具有一階連續偏導數，證明：(1)解：(2)解：(3)解：由（2）得(4)解：綜合習題10(A)組1.考慮二元函數的下面4條性質:①f(x,y)在點(x0,y0)連續;②f(x,y)在點(x0,y0)處的兩個偏導數連續;③f(x,y)在點(x0,y0)處可微;④f(x,y)在點(x0,y0)處兩個偏導數存在.則有(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④解：A2.已知函數f(x,y)在點(0,0)的某鄰域內連續,且則(A)點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C)點(0,0)是f(x,y)的極小值點.(D)根據條件無法判斷(0,0)是否為f(x,y)的極值點.解：D。由得。3.證明：極限不存在。解：取，則不存在取，則。4.設，求。解：?25.設有二階連續偏導數，而，，證明：(1)證明：則則。(2)證明：則則6.設，和具有二階連續導數，求?2z?x?y。解：?7.設，其中具有連續的二階偏導數，求。解：?z?=?28.設，而是由方程所確定的函數，其中都具有一階連續偏導數，試證明。解：對方程兩邊關于求導數有①對求導有②聯立①②得9.設在處具有一階連續偏導數，且，，，.求。解：令，則，10.設具有一階連續偏導數，又及分別由和所確定，求。解：①對方程求x的導數得，解得對方程兩邊求x的導數得，解得將代入①后有。11.求旋轉橢球面上點處的切平面與面的夾角的余弦。解：橢球面在點(?1,?2,3)處切平面的法向量方向為的法向量則切平面與面的夾角的余弦為。12.證明曲面上任何點處的切平面與坐標平面圍成的四面體的體積為常數。證明：曲面在處切平面方程為該平面與軸的交點坐標分別為為常數。13.設，其中具有二階連續偏導數，證明：。證明：則得證。14．求由方程所確定的隱函數的極值。解：由隱函數求導得，解得y'=?(x+y)令解得&x=±1&y=?1，則因此極大值為，極小值為。15．若及，證明函數在條件（定值）下的最小值為，并由此證明不等式。證明