關于能控性、能觀性

古典中：C(s)既是輸出又是被控量(1)、C(s)肯定與R(s)有關系，(2)、C(s)肯定是可測量的，因此，只要滿足穩定，肯定能控能觀現代中：被控制量是X（狀態變量）第2頁,共58頁，星期六，2024年，5月問題：1、每個狀態X(t)是否受u(t)控制2、狀態變量在系統內部，能否通過觀測Y(t)來測量X(t)

第3頁,共58頁，星期六，2024年，5月分析：1、x1與輸入u無關，不能控，x2能控，x1,x2不完全能控。2、y=x1+x2,x1或x2都能對y產生影響，通過y能確定x1或x2

，能觀測。3、能控能觀是最優制和最優估計的設計基礎。--第4頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.1線性連續系統的能控性一、線性時變系統的能控性（一）定義：對于系統若存在輸入信號u(t)，能在有限時間區間[t0,tf]內將系統的任意一個初始狀態x(t0)轉移到終端狀態x(tf),稱x(t)在t0時刻或[t0,tf]區間上是完全能控的，或稱系統在t0時刻是能控的，否則不能控。（二）性質線性時變系統方程的解第5頁,共58頁，星期六，2024年，5月

意義：系統狀態x(t0)能控，即[t0,tf]區間上受u(t)控制。第6頁,共58頁，星期六，2024年，5月

（三）能控性判據[定理3.1]系統∑(A(t),B(t),C(t))在t0時刻或[t0,tf]完全能控的充要條件是矩陣Φ(t0,t)*B(t)是行線性無關的（滿秩的、非奇異的）注意：1、某些狀態能控≠系統完全能控

2、系統完全能控→肯定狀態能控系統，如果存在分段連續的u(t)在[t0,tf]內，將系統的任一x(t0)轉移到x(tf),稱此系統是狀態完全能控制的，或狀態能控的。若n個狀態變量中，至少有一個狀態變量不能控時,稱系統是狀態不完全能控或不能控.二、線性定常系統的能控性（一）定義:對第7頁,共58頁，星期六，2024年，5月

（二）能控性判別準則:---三個定理[定理3.2]線性定常系統完全能控的充要條件是矩陣是滿秩的證明：線性定常系統狀態方程的解第8頁,共58頁，星期六，2024年，5月方程有解的充要條件是系數陣滿秩即第9頁,共58頁，星期六，2024年，5月都與u有關，所以狀態完全能控，即能控第10頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.2有系統如下，判斷其是否能控解：第11頁,共58頁，星期六，2024年，5月故它是一個三角形矩陣，斜對角線元素均為1，不論a2、a1取何值，其秩為3，系統總是能控的。因此把凡是具有本例形式的狀態方程，稱之為能控標準型。第12頁,共58頁，星期六，2024年，5月[定理3.3]若線性定常系統的系數矩陣A有互不相同的特征值，則系統能控的充要條件是輸入矩陣B沒有任何一行的元素全部為零。[定理3.4]若A為約旦型，則系統能控的充要條件是（1）B中對應于互異的特征值的各行，沒有一行的元素全為零。（2）B中與每個約旦塊最后一行相對應的各行，沒有一行的元素全為零。第13頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.4判斷下列系統的能控性第14頁,共58頁，星期六，2024年，5月所以A為約旦陣，但有兩個相同特征值的約旦塊對應b雖為最后一行全為0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.結論：系統的能控性，取決于狀態方程中的A和B。第15頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.2線性定常離散系統的能控性一、定義對于線性定常離散系統x(k＋1）＝Gx(k)+Hu(k)如果存在控制信號序列u(k)、u(k+1)…u(n-1)，使得系統從第k步狀態x(k)開始，能在第n步上達到零狀態（平衡狀態），即x(n)＝0，其中n為大于k的某一個有限正整數，稱系統在第k步上是能控的，x(k)稱為系統在第k步上的能控狀態。如果對于任一個k，第k步上的狀態x(k)都是能控狀態，則系統都完全能控，稱系統完全能控。第16頁,共58頁，星期六，2024年，5月注意：控制信號序列有限，但規律和大小沒有限制二、判別準則[定理3.5]線性定常離散系統∑

(G,H)狀態能控的充要條件是能控性矩陣證明：離散解：假設能控，經n步，x(k)=x(n)=0第17頁,共58頁，星期六，2024年，5月寫成其中[u(0)…u(n-1)]T為n個未知，方程有解的充要條件是系數陣滿秩，即說明：形式上同連續系統，AB→GH第18頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.5已知判斷是否能控解：說明：也可把矩陣G化為對角形或約旦標準型后，按定理3.3、3.4判別系統是否能控。第19頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.3

線性定常系統的能觀測性一、定義：系統如果對任意給定的u(t)，在有限觀測時間內[t0~tf]內測量值，就能唯一地確定x(t0),則稱x(t0)是能觀的，如果每個x(t0)是能觀，稱狀態完全能觀，簡稱狀態能觀-第20頁,共58頁，星期六，2024年，5月二、判別準則[定理3.7]線性定常系統∑(A,B,C)狀態能觀測的充要條件是系統能觀測性與輸入向量無關，令u(t)=0,t0=0第21頁,共58頁，星期六，2024年，5月可見，根據在[0,tf]量測的y(t),能將初始狀態x(0)唯一地確定下來地充要條件是第22頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.8、若系統為試判斷系統的能觀測性第23頁,共58頁，星期六，2024年，5月第24頁,共58頁，星期六，2024年，5月[定理3.8]若矩陣A有互不相同的特征值，則系統能觀測的充要條件是輸出矩陣C沒有任何一列的元素全部為0。[定理3.9]若矩陣A為約旦型，則系統能觀測的充要條件是（1）輸出矩陣C中對應于互異特征值的各列，沒有一列的元素全為0。（2）C中與每個約旦塊的第一列相對應的各列，沒有一列的元素全為0。第25頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.10下列的一些系統是完全能觀測的第26頁,共58頁，星期六，2024年，5月下列的系統是不完全能觀測的第27頁,共58頁，星期六，2024年，5月三、線性定常離散系統的能觀測性（一）定義：當u(k)給定，根據第i步，以及以后若干步對y(i),y(i+1)…y(n)的測量，就唯一地確定出第i步的x(i)，稱x(i)是能觀的。如果每個x(i)都能觀，稱狀態完全能觀，簡稱狀態能觀。（二）判別準則[定理3.10]線性定常離散系統狀態能觀測的充要條件是第28頁,共58頁，星期六，2024年，5月[證明]假設觀測從第0步開始，令u(k)＝0，則第29頁,共58頁，星期六，2024年，5月第30頁,共58頁，星期六，2024年，5月第31頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.5對偶原理一、線性系統的對偶關系稱系統∑1

和∑2

是互為對偶的。∑1是∑2

的對偶系統或∑2是∑1的對偶系統。第32頁,共58頁，星期六，2024年，5月（二）對偶系統的結構圖特點第33頁,共58頁，星期六，2024年，5月（1）輸入端與輸出端互換，信號傳遞方向相反（2）信號引出點和信號綜合點互換（3）對應矩陣轉置（三）對偶系統的傳遞函數互為轉置∑1圖表示用u1(t)控制y1(t)是“控制問題”，∑2圖表示用輸出量去求輸出量，稱為“估計問題”第34頁,共58頁，星期六，2024年，5月對偶系統的特征值是相同二、對偶原理系統∑1(A1,B1,C1)和∑2(A2,B2,C2)是互為對偶的兩個系統，則∑1

的能控性等價于∑2

的能觀性，∑2的能觀性等價于∑1

的能控性。或者說，若∑1是狀態完全能控的（完全能觀的），則∑2是完全能觀的（完全能控的）證明：對∑2

而言，能控性判別矩陣的秩為n，則系統狀態完全能控的。第35頁,共58頁，星期六，2024年，5月說明∑1

的能觀性判別矩陣N1的秩也為n，從而說明∑1為完全能觀的。同理有即若∑2

的N2滿秩，∑2為完全能觀，則∑1

的M1亦滿秩而為狀態完全能控。第36頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.6線性系統的結構分解（1）當系統不能控或不能觀測時，并不是所有狀態都不能控或不能觀測（可通過坐標變換對狀態空間進行分解。）（2）把狀態空間按能控性或能觀性進行結構分解。一、結構分解舉例第37頁,共58頁，星期六，2024年，5月由定理3.3知：x1,x2能控，x3,x4不能控由定理3.8知：x2,x3能觀測，x1,x4不能觀第38頁,共58頁，星期六，2024年，5月系統有：（1）能控能觀（2）能控不能觀（3）不能控能觀（4）不能控不能觀四種情況結構圖：第39頁,共58頁，星期六，2024年，5月x1能控不能觀x2能觀能控x3不能控能觀x4不能控不能觀上述是通過變換把一個系統分解成4個子系統第40頁,共58頁，星期六，2024年，5月第41頁,共58頁，星期六，2024年，5月二、系統按能控性分解(一)定理3.10設系統∑(A,B,C)不能控，則rankM=rank[B,AB…An-1B]=r<n，必存在一非奇異矩陣T=Rc

，使得第42頁,共58頁，星期六，2024年，5月則系統得狀態空間被分解成能控和不能控的兩部分第43頁,共58頁，星期六，2024年，5月(二)變換矩陣T的求法：（1）從M=[B,AB…An-1B]中選擇r個線性無關的列向量（2）以（1）求得的列向量，作為T的前r個列向量，其余列向量可以在保持T為非奇異的情況下，任意選擇。(三)說明：（1）系統按能控性分解后，其能控性不變。（2）系統按能控性分解后，其傳遞函數陣不變。第44頁,共58頁，星期六，2024年，5月三、系統按能觀測性分解(一)定理3.11設系統∑(A,B,C)不能觀，則第45頁,共58頁，星期六，2024年，5月原狀態方程被分解成能觀和不能觀測的兩部分(二)變換矩陣R0的求法：第46頁,共58頁，星期六，2024年，5月例3.16設線性定常系統如下，判別其能觀性，若不是完全能觀的，將該系統按能觀性進行分解。解：系統的能觀性判別矩陣所以該系統是狀態不完全能觀的。第47頁,共58頁，星期六，2024年，5月為構造非奇異變換陣R0-1，取得其中R3,是在保證R0-1非奇異的條件下任意選取的。于是系統狀態空間表達式變換為第48頁,共58頁，星期六，2024年，5月第49頁,共58頁，星期六，2024年，5月3.7系統的實現一、概念：根據給定的傳遞函數陣G(s)，求其相應的狀態空間表達式(A,B,C,D)使其滿足C(SI-A)-1B+D=G(S)，稱該狀態空間表達式(A,B,C,D)為傳遞函數陣G(S)的一個實現。二、實現的目的是為了仿真（做模仿）通過模擬結構圖，用積分器、加法器等（集成電路塊）連接試驗，物理可實現條件為1、G(S)中的每一個元素Gij(S)的分子分母多項式的系數均為實常數。2、G(S)中每一個元素均為S的真有理分式函數第50頁,共58頁，星期六，2024年，5月三、如何實現：狀態變量的選擇有無窮多組，實現的方法有無窮多。單變量系統可以根據G(S)直接寫出其能控標準型實現和能觀標準型實現。四、最小實現第51頁,共58頁，星期六，2024年，5月