1.1變化率與導數1.2導數的計算

(一)基礎知識梳理：

1.導數的定義：函數y=/(x)在/處的瞬時變化率lim包稱為函數y=/。)在》=/處的導數。

Ax

/(%+Ar)-/(%)

記作y,=/(/)=Jim,

X=X。Ax

2.導數的幾何意義：函數y=f(x)在/處的導數是曲線y=/(x)上點(%,/(%))處的切線的斜率。

3.求曲線y=/(x)在切點(Xo，/(x0))處的切線方程的的一般步驟是：

(1)求函數y=/(x)的導數//(X)；(2)求切線的斜率&=/'(%)；(3)寫出切線的方程

4.常用的求導公式：C'=O(C為常數)；(fl=〃x"T,〃eN+；(sinx)'=cosx

v

(cosx)=-sinx；(/)-e';(?')=aIna；(Inx)=—;(logax)--!—

xx\na

f

公式(心:內刀的特例：①⑻/二.②6).③(4)'=.

5.求導法則：⑴fw(x)±v(x)]=w(x)±v(x)(2)[w(x)v(x)]=u(x)v(x)+u(x)v(x)

(3)[史2].="(x)u(x)—“(x)》(x)-0⑷[c?/*)]/=夕⑺；

V(x)V*2(x)

(5)復合函數的求導法則：若y=/(〃),〃=g(x),則曠=_______________.

X

6.解與切線有關的問題必須考慮的三個條件：

(1)切點在曲線上；(2)切點在切線上；(3)切點的導數等于切線的斜率。

(二)例題分析:

cinr1TT

例1.(2011湖南文)曲線)=——-----上在點M(2,0)處的切線的斜率為)

sinx+cosx24

1「V2D.顯

B.一c.------

2222

例2.(2009江西理)設函數/(x)=g(x)+/，曲線y=g(x)在點(1,g(D)處的切線方程為y=2x+1,

則曲線y=/(x)在點(1,7(1))處切線的斜率為()

，1c1

A.4B.——C.2D.——

42

例3.(2012遼寧理)設f(x)=ln(x+1)+?TT+ar+雙wR,a,b為常數)，曲線y=/(x)與直

3

線y=—x在(0,0)點相切。(I)求a,6的值。

2

(三)基礎訓練：

1.(2011江西理)若/。)=/一2》一410%,則尸(幻＞0的解集為()

A.(0,+oo)B.(-l,0)U(2,+8)C.(2,+oo)D.(-1,0)

X

2.(2009遼寧理)曲線廣——在點(1,-1)處的切線方程為()

x-2

(A)y=x—2(B)y=—3x+2(C)y=2x—3(D)y=-2x+l

3.(2009安徽理)已知函數/(幻在口上滿足/(為=2/(2-幻一/+8%-8,則曲線丁=70)在

點(1,/(I))處的切線方程是()

(A)y=2x-l(B)y=x(C)y=3x-2(D)y=-2x+3

4.(2010全國II卷文)若曲線＞=/+℃+〃在點(o,b)處的切線方程是％-丁+1=0則()

(A)a=l,b=l(B)a=-l,b=l(C)a=l,b=—1(D)a=-l,b=-l

5.(2007全國1文)曲線丫=」/+尤在點([,￡)處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為()

33

(A)-(B)-(C)-(D)-

9933

尤+[

6.(2008全國I卷理)設曲線y=——在點(3,2)處的切線與直線以+丫+1=0垂直，則〃=()

x-1

A.2B.1C._1D.-2

22

，，!

7.(2005湖南理)設fo(x)=sinx,fj(x)=/o(x),f2(x)=/(x),…，fn+i(x)=力(x),nCN,則f2oo5(x)=()

A、sinxB、-sinxC、cosxD、-cosx

8(2009全國I理)已知直線y=x+l與曲線y=ln(x+a)相切，則a的值為()

(A)l(B)2(C)-l(D)-2

9.(2016山東文、理)若函數y=/(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂

直，則稱y=/(x)具有T性質.下列函數中具有T性質的是()

(A)y=sinx(B)y=Inx(C)y=ex(D)y=x3

10.(2008全國II卷理)設曲線y=*在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直，則a=

11.(2008北京理)如圖，函數/(x)的圖象是折線段A8C,其中

AB,C的坐標分別為(0,4),(2,0),(6,4),則/(./?(()))=

.也出讓幽.(用數字作答)

AXT。Ax

12.(2016天津文)已知函數/(x)=(2x+l)e'J'(x)為/(x)的導函數，則尸(0)的值為.

13.(2007湖北文)已知函數y=/(x)的圖象在朋(1,/(D)處的切線方程是y=gx+2,

f(l)-f,(l)=.

14.(2016全國HI文)已知/(x)為偶函數，當無<0時，/(x)=erT—X,則曲線y=在點(1,2)

處的切線方程式.

15.(2016全國HI理)己知/(")為偶函數，當x<()時，/(x)=ln([x)+3x,則曲線)'="》)

在點(L—3)處的切線方程是.

海南省歷屆高考中的“導數、切線”試題匯編

1.(2007海南、寧夏文)曲線y=e、在點(2,e?)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為()

O,2

A.-e2B.2e2C.e2D.—

42

1

2.(2007海南、寧夏理)曲線曠=/'在點(4,e?)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為()

9

A.-e2B.4e2C.2e2D.e2

2

3、(2008海南、寧夏文)設/(x)=xlnx,若/、'(/)=2,則%=()

，八In2,c

A.e~B.eC.---D.In2

2

4.(2009海南、寧夏文)曲線丁=%/+2》+1在點(0,1)處的切線方程為。

5.(2010全國新課標文)曲線丫=》3一28+1在點(1,0)處的切線方程為()

(A)y=x—1(B)y=—x+1(C)y-2x-2(D)y=—2x+2

6.(2010全國新課標理)曲線y=—在點(-1,-1)處的切線方程為()

x+2

(A)y=2x+l(B)y=2x-l(C)y=-2x-3(D)y=-2x-2

7(2012全國新課標文)曲線y=x(31nx+l)在點(1,1)處的切線方程為

8.(2014全國新課標H理)設曲線y=axlnGH)在點(0,0)處的切線方程為片2筋則折()

A.OB.1C.2D.3

9.(2015全國新課標II文)已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=o?+5+2卜+1

相切，貝！I4=.

10.(2015全國新課標^理)設函數.尸(x)是奇函數/(x)(xeK)的導函數，/(—1)=0，當x〉0時，

xf'(x)-/(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(0,1)B.(-1,0)(1,+8)C.(-oo,-l)(-1,0)D.(0,1)(1,+刃)

11.(2016全國H理)若直線y="+人是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+l)的切線，

則,=.

12.(2008海南、寧夏文)設函數/(幻=奴_2,曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為

X

7x—4y—12=0。(1)求y=/(x)的解析式；(2)證明：曲線y=/(x)上任一點

處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值。

13、(2008海南、寧夏理)設函數/(x)=ax+」一(a,beZ),曲線y=/(x)在點(2,八2))處

x+h

的切線方程為y=3。(1)求y=/(x)的解析式；

14.(2011全國新課標卷文、理)已知函數/a)=色吧+”曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線

x+1X

方程為x+2y-3=0。(I)求。、力的值；

15.(2014全國新課標II文)已知函數/(%)=/一3/+依+2.曲線產f4)在點(0,2)處的切線與x

軸交點的橫坐標為-2.(I)a;

16.(2016全國H文)已知函數/(x)=(x+l)lnx-a(x-l).

(I)當。=4時，求曲線y=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程；

1.3.1函數的單調性與導數

(一)基礎知識梳理：

1.設函數y=/(x)在某個區間(a,b)內有導數，如果在這個區間內,則y=/(x)在

這個區間內單調遞增；如果在這個區間內,則y=/(x)是這個區間內單調遞減.

2.求函數的單調區間的方法：(1)求導數y'=f'(x)；(2)解方程f'(x)=O；

(3)使不等式f'(x)>0成立的區間就是遞增區間，使f'(x)<0成立的區間就是遞減區間。

(二)例題分析：

例1.(2012遼寧文)函數y=；x2—Inx的單調遞減區間為()

(A)(-1,1J(B)(0,1](C.)[I,+8)(D)(0,+8)

例2.(2008安徽理)設函數/(幻=」一(%>0且1。1)。(I)求函數/(X)的單調區間；

xlnx

例3.(2011安徽文、理)設/。)=—其中。為正實數。

(II)若/(%)為R上的單調函數，求。的取值范圍。

例4.(2008全國I卷文、理)已知函數/(X)=X3+G?+X+1,?GR.

(21、

(I)討論函數/(x)的單調區間;(H)設函數/(幻在區間-一內是減函數，求。的取值范圍

\33y

(三)基礎訓練：

1.(2009廣東文)函數/(幻=。—3)/的單調遞增區間是()

A.(9,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,-+w)

2.(2008福建文)如果函數y=/(x)的圖像如右圖，那么導函數y=_f(x)的圖像可能是()

3.(2004全國卷II理科)函數y=xcosx-sinx在下面哪個區間內是增函數()

,、Ti3)兀、，、3乃57，、

(A)(—>—)(B)(乃,24)(C)(—，—)(D)(2),3zr)

2222

4.(2004浙江理科)設/'(幻是函數f(x)的導函數，y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)的

圖象最有可能的是()

5.(2014全國新課標II文)若函數=在區間(l,+oo)上單調遞增，則A的取值范圍是()

A.(—00,-2]B.(—oo,—l]C.[2,+oo)D.[1)+oo)

6.(2009海南、寧夏理)己知函數/。)=(*3+3/+奴+力6-、

(I)如a=h=—3,求/(x)的單調區間；

7.(2010全國新課標卷文)設函數/(x)=x("-1)一"/

(I)若a=；,求/(x)的單調區間；(II)若當x20時/(x)20,求a的取值范圍

8.(2010全國新課標卷理)設函數f(x)=e=l—x-加.

(I)若a=0,求f(x)的單調區間；(H)若當x20時f(x)》0,求a的取值范圍.

9.(2012全國新課標卷文)設函數/(x)=e'一以一2。(I)求段)的單調區間。

10.(2012全國新課標卷理)已知函數/(x)滿足滿足/(幻=/‘⑴ei-/(0)x+gx2；

(1)求/(x)的解析式及單調區間；

11.(2014全國新課標II理)已知函數/(x)=e-I—2x.(I)討論f3的單調性;

1.3.2函數的極值與導數

(-)基礎知識梳理：求函數y=/(x)的極值的方法：

(1)求導數y'=f'(x)；(2)求方程的根(臨界點)；

(3)如果在與附近的左側f'(x)—0,右側f'(x)—0,那么f(x0)是y=/(x)的極大值；

如果在與附近的左側f'(x)—0,右側f'(x)—0,那么f(x°)是y=.f(x)的極小值

(二)例題分析：

例1.(2001江西、山西、天津卷文科)已知函數/(x)=x3-3ax2+2"在點x=l處有極小值-l.

試確定a、b的值.并求出f(x)的單調區間.

Inx

例2.(2008遼寧理)設函數/(尤)=---lnx+ln(x+l).(I)求的單調區間和極值;

1+x

13

例3.(2012重慶理)設/(x)=alnx+—+—x+1,其中aeR,曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的

lx2

切線垂直于y軸.(I)求。的值；(II)求函數/(X)的極值.

(三)基礎訓練：

1.(2016四川文)已知a函數/*)=丁一12%的極小值點，則a=()

(A)-4(B)-2(C)4(D)2

2.(2011.福建文)若a>0,b>0,且函數f(x)=4x3-ax?-2bx+2在x=l處有極值，則ab的最大值等于()

A.2B.3C.6D.9

3.(2012陜西理)設函數J.(x)=x/,則()

(A)x=l為/(x)的極大值點(B)x=l為/(X)的極小值點

(C)x=-l為/(x)的極大值點(D)x=-l為/(x)的極小值點

4.(2004湖北理科)函數/(》)=。/+》+1有極值的充要條件是()

(A)”>0(B)a>0(C)a<0(D)?<0

5.(2008廣東文)設aeR,若函數y=e*+ax,xeR有大于零的極值點，則()

1

A.a<—1B.a>—1C.a>—D.a<—

e

6、(2006天津理)函數/(x)的定義域為開區間(a,b),

導函數./"(x)在(a力)內的圖象如圖所示，則函數

/(x)在開區間(a力)內有極小值點()

A.1個B.2個C.3個D.4個

7、(2013全國新課標fl文、理)已知函數/。)=/+依2+云+c,下列結論中錯誤的是()

(A)3x()eR,/(xo)=O(B)函數y=/(x)的圖象是中心對稱圖形

(C)若%是/(x)的極小值點，則/(x)在區間(-8,%)單調遞減

(D)若%是/(%)的極值點，則/'(%)=0

X2+〃

8.(2009遼寧文)若函數-----在x=l處取極值，則。=______.

x+1

9.(2007海南、寧夏理)設函數_/(x)=ln(x+a)+x2

(I)若當尤=—1時，/(x)取得極值，求a的值，并討論/(幻的單調性;

10(2009海南、寧夏文)已知函數/(x)=/—Bar?-9a2X+詭(1)設“=],求函數/(x)的極值;

11.(2013全國新課標II文)已知函數f(x)=x2e-\(I)求/(x)的極小值和極大值;

(II)當曲線y=/(x)的切線/的斜率為負數時，求/在x軸上截距的取值范圍。

12.(2013全國新課標II理)已知函數共0二^一皿^+機).

(1)設x=0是式x)的極值點，求m,并討論凡r)的單調性；(2)當mW2時，證明4x)>0.

1.3.3函數的最大(小)值與導數

(一)基礎知識梳理：

1.蛔旬［a,b］y=/(X)

(1)求函數y=/(x)在(a/)內的懿；(2)求懶y=/(x)在(。力)內的極值；

(3)將函數y=f(x)在(。,與內的各極值與端點處的函數值/(a),/(。)作比較，

其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值

2.有關最值的幾個結論：

(1)閉區間［a,”上的連續函數必定有最大值和最小值；

(2)若函數y=/(x)(xw［a,b］)單調遞增，則最小值是,最大值是

(-)例題分析：

例1.(2011北京文)已知函數/(x)=(x—Z)e*。

(I)求/(x)的單調區間；(II)求/(幻在區間［0,1］上的最小值。

例2.(2010重慶文)已知函數例x)=a*3+山+加(其中常數a,bGR),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函數.

(I)求/(x)的表達式；(II)討論g(x)的單調性,并求g(x)在區間［1,2］上的最大值和最小值.

例3.(2012重慶文)已知函數/(》)=成：3+云+，在％=2處取得極值為c一16

(1)求a、b的值；(2)若/(x)有極大值28,求/(x)在［-3,3］上的最大值.

(三)基礎訓練：

1.(2008安徽文)設函數/(X)=2X+L-1(X<0),則/(x)()

X

A.有最大值B.有最小值C.是增函數D.是減函數

2.(2006浙江文)/(幻=/-3/+2在區間［—1,1］上的最大值是()

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3.(2011重慶文)若函數/'(x)=x+」一，(x>2)在x=。處取最小值，則。=()

x-2

A.1+72B.1+MC.3D.4

4.(2011湖南理)設直線x=t與函數=/g(x)=lnx的圖像分別交于點M,N,則當|的V|

達到最小時t的值為()

5.(2012全國新課標卷理)設點P在曲線y=ge'上，點。在曲線y=ln(2x)上,則歸。|最小值為()

(A)l-ln2(B)72(1-In2)(C)l+ln2(D)72(1+In2)

6.(2011遼寧文)已知函數/(x)=e*—2x+a有零點，則a的取值范圍是.

7.(2007海南、寧夏文)設函數/*)=111(2%+3)+/

■3r

(I)討論/〈X)的單調性；31)求/'(x)在區間-一，—的最大值和最小值.

44

8.(2005北京理科、文科)已知函數4x)=-V+3f+9x+a.(I)求人x)的單調遞減區間;

(II)若犬x)在區間［-2,2］上的最大值為20,求它在該區間上的最小值.

第05講生活中的優化問題

（一）基礎知識梳理：

結論：若函數f（x）在區間A上有唯一一個極值點/,且/（%）是這個函數的極大（小）

值，那么這個極值必定就是函數f（x）在區間A上的最大（小）值。

（-）例題分析：

例1.（2008廣東文）某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層

2000平方米的樓房。經測算，如果將樓房建為x（xN10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48X

（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應建為多少層？

（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=駕嬰嬰■）

建筑總面積

例2.（2011福建理）某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售

價格x（單位：元/千克）滿足關系式丁=，一+10（尤一6）2,其中3Vx<6,a為常數，己知銷售價格

x—3

為5元/千克時，每日可售出該商品11千克。（I）求a的值

（II）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最

大。

例3.（2007北京理）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為2r,短半軸長為r,計劃將此鋼板切割

成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記C0=2x,梯形面積為

S.

（I）求面積S以x為自變量的函數式，并寫出其定義域；（H）求面積S的最大值.

（三）基礎訓練：

1.（2000江西、天津文、理）用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的

底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積。

2.（2007湖北文）某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件.如果降低價格。銷售量可

以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低銷x（單位：元，0WXW30）的平方成正比.

已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.（I）將一個星期的商品銷售利潤表示成x的

函數；（II）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

3.（2010湖北理）為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱

層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年

的能源消耗費用C（單位；萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=—^（0<%<10）,

3x+5

若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之

和。

（I）求k的值及f（x）的表達式?（II）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值。

4.（（2011山東文、理）某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間

為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為啊立方米，且/N2r.假設該容器的

3

建造費用僅與其表面積有關.己知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造

費用為c（c>3）.設該容器的建造費用為y千元.

（I）寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域;

（II）求該容器的建造費用最小時的心

1.5-1.7定積分

(一)基礎知識回顧：

1.幾個概念：在公中，a與b分別叫做犯，區間［a,b］叫做一,

函數/(x)叫做x叫做，以x)dx叫做.

2.定積分的幾何意義：如果在區間［a,b］上函數*x)連續且恒有f(x)20,則fibf/(x)dx表示由

Ja

直線,________,和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。

3.微積分基本定理(牛頓--萊布尼茲公式)：如果f(x)是區間［a,b］上的連續函數，并且

F'(x)=/(x),那么/f(x)dx=F(b)-/3)。常常把F(b)—尸(a)記作F(x)|\

Ja

ch

4.定積分的性質：⑴Ikf(x)dx(k為常數);

Ja

⑵(x)+f2(x)]dx=

(3)f6f(x)dx=Tf(x)+

(a<b<C).

JaJa

5.定積分在幾何中的應用：如圖，用定積分表示圖中陰影部分

的面積S=

6.定積分在物理中的應用：(1)物體以速度n=v(f)作變速直線運動，其所經過的路程s=f次。力；

Ja

(2)物體在變力尸(x)作用下，沿著與力相同的方向做直線運動，其所作的功心。

(二)例題分析：’

TTTT

例1.(2011湖南理)由直線x=—］,x=§,y=O與曲線y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為()

A.-B.1C.――-D."^3

22

例2.(2010山東理)由曲線y=x2,y=/圍成的封閉圖形面積為()

例3.(2012上海文、理)已知函數y=/(x)的圖象是折線段ABC,其中A(O,O)、B(-,5),C(l,0),

函數y=4(x)(0<x<l)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為.

例4.一列火車在平直的鐵軌上行駛，由于遇到緊急情況，火車以速度u(r)=5-，+二匕(單位:m/s)緊

1+/

急剎車到停止。(1)從開始緊急剎車至火車完全停止所經過的時間；(2)緊急剎車后火車運行的路程。

（三）基礎訓練：

1.（2011福建理）J；（ex+2x）dx等于（）

A.lB.e-IC.eD.e+1

2（2000江西、天津理科）右圖中陰影部分的面積是（）

（A）26（B）9-273（C）—（D）—

33

71

3.（2009福建理）冗（1+以拈幻小：等于（）

~2

A.7tB.2C.TT-2D.71+2

4.（2008海南、寧夏理）由直線x=,，x=2,曲線y及x軸所圍圖形的面積是（）

2x

15171,c…c

A.—B.—C.—In2D.2In2

442

5.（2011全國新課標卷理）由曲線>=五，直線y=x-2及y軸所圍成的圖形的面積為（）

（A）—（B）4（C）—（D）6

33

6.（2014山東理）直線y=4x與曲線y=V在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（）

（A）272（B）472（C）2（D）4

7.（2014陜西理）定積分+的值為（）

A.c+2B.c+1C.eD.c—1

8.（2013江西理）若$=/便必，S2=J*r,S3=Jre'd.r,則舟,S*S3的大小關系為（）

A.Sl<S2Vs3B.S2<S]<S3C.S2Vs3VsiD.S3Vs2<S1

9.（2014江西理）若/。）=入*+2]0/（尢）&則[）/。）公=（）

11-1

A.—1B.—C.-D.1

33

10.（2008山東理）設函數火》）=加+以。#0）.若J"（x）dr=/（x0）.OWxoWl,則%o的值為L

Igx,x>0

/CO="「2>

11.（2011陜西理）設（無+Jo3r必'七°,若/（/⑴）=1,則“=.

12.（2012山東理）設a>0.若曲線與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a,則a=

13.（2015天津理）曲線y=f與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為

導數及其應用(補充練習題)

1.(2009江西理)設函數/(x)=—。(1)求函數/(X)的單調區間;

X

2.(2016四川理)設函數人犬)=加-小hu,其中a6R.(I)討論式x)的單調性;

3.(2016北京理)設函數/(x)=x/r+bx,曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為

y=(e-l)x+4,(1)求的值：(2)求/(x)的單調區間.

4.(2009遼寧文)設/(x)="(ac2+x+l),且曲線y=f(x)在x=l處的切線與x軸平行。

(I)求a的值，并討論f(x)的單調性；

5.(2009福建文、理)已知函數/(%)=；%3+狽2+加且/(_])=o

(I)試用含a的代數式表示b；(II)求/'(x)的單調區間；

6.(2011重慶文)設/(%)=2爐+◎2+以+1的導數為尸(x),若函數y=7'(x)的圖像關于直線

；對稱，且ra)=o.(I)求實數。涉的值；(［I)求函數/(幻的極值。

7.(2005全國卷H文科)設。為實數，函數/(幻=/一%2一%+。

(I)求/(x)的極值；(II)當a在什么范圍內取值時，曲線y=/(x)與x軸僅有一個交點.

8.(2016山東文)設a￡R.

(I)令g(?可口)，求g(x)的單調區間；(11)已知府)在不二1處取得極大值.求實數。的取值范圍.

2

9.(2009安徽文)已知函數/(x)=x——+1-alnx,a>0.(I)討論/(%)的單調性;

x

(II)設"3,求/(九)在區間［1,/］上的值域。其中e=2.71828…是自然對數的底數。

導數的綜合應用高考試題選編

i.（2oii安徽文、理）設/a）=-J,其中。為正實數.

\+ax

4

（I）當時，求/（X）的極值點；（H）若/（x）為H上的單調函數，求”的取值范圍。

2.（2007廣東文、理）已知a是實數，函數/（彳）=2以2+2乂一3-。.

如果函數y=/（x）在區間［T,1］上有零點,求a的取值范圍.

a

3.（2008安徽文）設函數/（外=1/一5/+3+1口+1,其中a為實數。

（I）已知函數/（x）在x=l處取得極值，求。的值；

（II）已知不等式（外＞/一》一。+1對任意。€（0,+。。）都成立，求實數X的取值范圍。

4.（2010北京文）設定函數/（用=￡/+瓜2+5+或。0）,且方程/'（X）—9x=0的兩個根

分別為1,4。（II）若/（x）在（—8,+0。）無極值點，求a的取值范圍。

5.（2010江西文）設函數/（%）=6丁+3（。+2）x2+2ax.

⑴若/（X）的兩個極值點為玉,々，且芯々=1，求實數4的值；

⑵是否存在實數使得/（x）是（-8,+oo）上的單調函數？若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

6.(2010全國1卷理)已知函數/(x)=(x+l)lnx—x+l.

(I)xf\x)<x2+ar+1,求a的取值范圍；(II)證明：(x-l)/(x)>0.

7.(2011浙江理)設函數/(x)=(x-a)21nx,aeR.(I)若x=e為y=/(x)的極值點，求實數a;

(II)求實數a的取值范圍,使得對任意的xe(0,3e],恒有/(x)*e2成立.注：e為自然對數的底數.

2

8.(2006江西文、理)己知函數/(%)=%3+如2+區+。在X=一§與％=1時都取得極值.

(1)求。，人的值及函數/(x)的單調區間；

(2)若對xe[—1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.

9.(2011江西理)設f(x)=——x'+—+2,UX.

(1)若/(%)在(；2,+00)上存在單調遞增區間，求a的取值范圍；

(2)當0<a<2時，/(x)在[1,4]上的最小值為一與，求/(幻在該區間上的最大值.

10.（2010江西理）設函數/（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a>0）?

（1）當a=l時，求/（x）的單調區間。（2）若“X）在（0,1］上的最大值為:，求a的值。

11.（2004浙江理）設曲線y=e7（xK））在點M（t,）處的切線/與x軸y軸所圍成的三角形面

積為S（t）。（I）求切線/的方程；（II）求S（t）的最大值。

12.（2009北京理）設函數/（x）=x*（左wO）.（I）求曲線y=/（x）在點（0,/（0））處的切線方程;

（H）求函數/（X）的單調區間；（III）若函數/（幻在區間（一1,1）內單調遞增，求上的取值范圍.

第01講：導數的概念、幾何意義導數的計算

參考答案

(二)例題分析：

.,11AxAy1，「Ay1

例1?解：△/=----------=-----------，=-----------，所以y=lim—=——o

x+Axxx(x+Ax)Axx(x+Ax)-&x

例2.解：(1)—='In2+'(2)yr=xcosx(3)y=-—

2xln2cos2x

1n

(4)y=12x2-8x+l(5)yJa.

xex

例3.解：y'=2x+l.直線l\的方程為y=3x—3.

設直線，2過曲線y=f+x—2上的點B(b,b2+b—2)，則為的方程為y=(2b+l)1一b?一2

1?122

因為/i±/2,則有2b+l=——,/?=——.所以直線li的方程為y=——x——.

1

y=3%-3,x=K1s

°5，所以直線人和/2的交點的坐標為(點,一：).

(ID解方程組4122得＜

V=——X----y=-|.「

39

h、/2與X軸交點的坐標分別為(1,0)、(——,0).

3

1255125

所以所求三角形的面積S=-x—x|--b—.

23212

(三)基礎訓練：

1、A；2.D；3.B；4.D；5。A；6.D；

7.y=3x+l；8.In2-1;9.2_；10.2.-2

(四)鞏固練習:

LA；2.B；3。；4.A；5.B；