函數的單調性

【基礎全面練】(20分鐘35分)

1.設(a,b),(c,d)都是f(x)的單調遞增區間,且xi《(a,b),x2S(c,d),xi<x2,則f(x)

與f(xj的大小關系為()

A.f(xi)<f(x2)B.f(xi)>f(x2)

C.f(xi)=f(x2)D.不能確定

【解析】選D.由函數單調性的定義，知所取兩個自變量必須是同一單調區間內的值，才能

由該區間上函數的單調性來比較函數值的大小，而本題中的XI,X2不在同一單調區間內，所

以f(x)與f(xj的大小關系不能確定.

2.函數f(x)的圖象如圖所示，貝N)

A.函數f(x)在［-1,2］上是增函數

B.函數f(x)在［-1,2］上是減函數

C.函數f(x)在［-1,4］上是減函數

D.函數f(x)在［2,4］上是增函數

【解析】選A.函數單調性反映在函數圖象上就是圖象上升對應增函數，圖象下降對應減函

數,故選A.

3.下列函數中，在區間(0,1)上是增函數的是()

A.y=|x|B.y=3—x

1z,

C.y=-D.y=—x'+4

【解析】選A.因為一1<0,所以一次函數y=-x+3在R上單調遞減，反比例函數y=：在

(0,十8)上單調遞減，二次函數y=-x?+4在(0,+8)上單調遞減.故選A.

4.已知函數f(x)為定義在區間［-1,1］上的增函數，則滿足f(x)<f(，的實數x的取值

范圍為_.

—1WxWl,

【解析】由題設得，1解得一IWxg.

答案：一1,0

5.函數一3|x|+2的單調減區間是

X2—3x+2,x20,

【解析】化簡函數為f（x）=

.X2+3X+2,x<0.

作出函數圖象如圖,

/31「3"

由圖象不難得出，函數的單調減區間為（一8,一磯和［0,百

答案：（一8,--和0,j

V-I-1

6.已知函數f(X)=Q5.

證明函數在（-2,+8）上單調遞增.

【證明】設Xi,X2?（-2,+8）,且X2〈X1,

則f(X2)—f(X1)=上言Xi+1

X2-lZXi+2

X2~~Xi

(Xi+2)(X2+2)

因為xi>x2>—2,

所以X2—x】<0,X.+2>0,X2+2>0,

所以（xi+2）（k+2）（°'

所以f（Xl）>f（X2）,

所以f（x）在（-2,+8）上單調遞增.

【綜合突破練】（30分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.定義在R上的函數f（x）對任意兩個不相等的實數a,b,總有‘㈠）一［（」>）>o,則必

有（）

A.f（x）先增后減

B.f（x）是R上的增函數

C.f(x)先減后增

D.f(x)是R上的減函數

f(分)一f(卜)

【解析】選B.由一;——:----->0知，當a>b時，f(a)>f(b)；當a<b時，f(a)<f(b),

a—b

所以函數f(x)是R上的增函數.

2.下列四個函數在(一8,0)上為增函數的是()

①y=|x|+l；?y=~;③丫=一工;④丫二乂十上.

x|x||x|

A.①②B.②③C.③④D.①④

【解析】選C.①y=|x|+1=—x+1(xVO)在(一8,0)上為減函數；②y=-1-=-i(xV

2

0)在(一8,0)上既不是增函數也不是減函數；③丫=一工=x(x<0)在(一8,0)上是增函

|x|

數；@y=x+合=x—l(x〈0)在(一8,0)上是增函數.

|x|

3.設函數f(x)在(-8,+8)上為減函數，則()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)D.f(a2+l)<f(a)

【解析】選D.因為a?+l—a=(a—?+|>0,所以￡+l>a,又因為函數f(x)在(一8,

+8)上為減函數，所以f(a2+l)<f(a).

—x2+2x—1xWl

4.(2021?濟南高一檢測)已知函數f(x)=?若f(1-4)>f(3a),則

Jx—1I,X>1,

實數a的取值范圍是()

A.(-4,1)

B.(—8,—4)U(1,+8)

C.(-1,4)

D.(—8,—1)U(4,+°0)

—x2+2x-1,x〈l,

【解析】選D.作出f(x)=的圖象如圖,

|X—1I,x>1

可知f(x)在R上單調遞增,若f(d-4)>f(3a),

則4>3a,解可得a>4或aV—L

【光速解題】通過特殊值0,1驗證是否滿足不等式確定答案.

5.若函數f(x)=2|x—a|+3在區間［1,+8)上不單調，則a的取值范圍是()

A.［1,+8)B.(1,4-oo)

C.(—8,1)D.(—8,1］

2x—2a+3x>a

【解析】選B.因為函數f(x)=2|x-a|+3=°因為函數f(x)=2|x—

a|+3在區間［1,+8)上不單調，所以a>l,所以a的取值范圍是(1,+~).

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.已知函數y=-x'+4ax在區間［―1,2］上單調遞減，則實數a的取值范圍是.

【解析】根據題意，函數y=—xZ+4ax為二次函數，且開口向下，其對稱軸為x=2a,

若其在區間［-1,2］上單調遞減，則2a<—1,

所以aW-g,即a的取值范圍為(-8,.

答案：(一8,-1

7.若函數y=—?在(0,+8)上是減函數，則b的取值范圍是.

【解析】設OVxiVxz,由題意知f(x)—f(X2)=—上+-=)?七))”>0.

XlX2X1X2

因為0<xi<X2,所以Xi—X2<0,xtX2>0,所以b<0.

答案：(一8,0)

((a-4)x+5(xWl),

8.f(x)={2a,、在(-8,+8)上是減函數，則實數a的取值范圍是

【解析】因為f(x)為R上的減函數，

所以當xWl時，f(x)單調遞減，即a—4<0①，

當x>l時，f(x)單調遞減，即a>0②，

且(a-4)Xl+5N2a③，聯立①②③解得，0<aWl.

答案：(0,1]

三、解答題(每小題10分，共20分)

2x+l

9.已知函數f(x+l)=一工3.

(1)求f⑵,f(x).

(2)用定義證明函數f(x)在(-1,+8)上的單調性.

【解析】(1)因為f(x+D=^2x4-1，令x=i，

得f(2)=f(1+1)=1,令t=x+l,則*=1一1,

LLtI/X2t—1/\2x—1

所以f(t)=I.，a即rIf(x)="I..

t+1x+1

(2)證明如下：任取一lVxi〈X2,

/、/、2XL12X2~~1

f(x.)-f(x2)=-^n-

x2+l

3(xi-X2)

(X1+1)(X2+I)

又因為一l<Xi〈X2,Xi—x2<0,(xi+1)(X2+I)>0,

LL23(X1—X2)/、，/\

所以~~TTT~~/~~,,x<0,f(Xi)<f(x),

(Xi+1)(X2+1)2

所以函數f(x)在(-1,+8)上單調遞增.

10.已知函數f(x)=x—2+/在(1,+8)上是增函數，求實數a的取值范圍.

【解析】設IVxiVxz,所以X[X2>1.

因為函數f(x)在(1,+8)上是增函數,

所以f(x，T(X2)=XL?+1一

=(XLX2)(T)

<0.

因為XI—X2V0,所以l+色->0,

XiX2

即a>—X1X2.

因為IVX1VX2,XIX2>L所以一X1X2V—1,所以a2—1.

所以a的取值范圍是[-1,+8).

【應用創新練】

已知f(x)=