1版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版拓展拔高2指數(shù)、對數(shù)、冪值的比較大小拓展拔高2指數(shù)、對數(shù)、冪值的比較大小【高考考情】指數(shù)與對數(shù)是高中一個重要的知識點(diǎn),也是高考必考考點(diǎn),其中指數(shù)、對數(shù)及冪的大小比較是近幾年的高考熱點(diǎn)和難點(diǎn),主要考查指數(shù)、對數(shù)的互化、運(yùn)算性質(zhì),以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì),一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在壓軸題的位置.視角一臨界值法比較大小[例1](1)(2023·上饒模擬)已知a=log53,b=212,c=7-0.5,則a,b,c的大小關(guān)系為(A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.c>b>a【解析】選C.因?yàn)?=log55>log53>log55=log5512=12,即12<a<1,b=212>20=1,(17)

12<(14)

12=1(2)已知a=log52,b=1log0.10.7,c=0.70.3,則A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<b【解析】選A.因?yàn)閘og51<log52<log55,所以0<a<12,因?yàn)閎=1log0.10.7=log0.7所以b>1,因?yàn)?.71<0.70.3<0.70,所以0.7<c<1,所以a<c<b.【思維升華】臨界值法比較大小的關(guān)鍵是尋找合適的中間值,如常考慮a,b,c與特殊數(shù)字“0”“1”“12”的大小關(guān)系【遷移應(yīng)用】(2023·天津南開模擬)已知a=20.2,b=1-2lg2,c=2-log310,則a,b,c的大小關(guān)系是()A.b>c>a B.a>b>cC.a>c>b D.b>a>c【解析】選B.由題意可得:a=20.2>20=1,b=1-2lg2=1-lg4,且0<lg4<1,則0<b<1,因?yàn)閘og310>log39=2,則c=2-log310<0,所以a>b>c.視角二含變量問題的比較大小[例2](1)(一題多法)x,y,z為正數(shù),且2x=3y=5z,則 ()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【解析】選D.解法一(特值法):取z=1,則由2x=3y=5得x=log25,y=log35,所以2x=log225<log232=5z,3y=log3125<log3243=5z,所以5z最大.取y=1,則由2x=3得x=log23,所以2x=log29>3y.綜上可得,3y<2x<5z.解法二(作差法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lgklg2,y=lgklg3,因?yàn)閗>1,所以lgk>0,所以2x-3y=2lgklg2-3lgklg3=故2x>3y,2x-5z=2lgklg2-5lgklg5=lgk·(2lg5-5lg2)lg2·解法三(作商法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1.則x=lgklg2,y=lgklg3,所以2x3y=23·lg3lg2=lg95z2x=52·lg2lg5=所以5z>2x>3y.解法四(函數(shù)法):令2x=3y=5z=k,由x,y,z為正數(shù),知k>1,則x=lnkln2,y=lnkln3,設(shè)函數(shù)f(t)=tlnklnt(則f(2)=2lnkln2=2x,f(3)=3lnkln3=3y,ff'(t)=lnk·ln易得當(dāng)t∈(e,+∞)時,f'(t)>0,函數(shù)f(t)單調(diào)遞增.因?yàn)閑<3<4<5,所以f(3)<f(4)<f(5).又f(2)=2lnkln2=2×2lnk2ln2=所以f(3)<f(2)<f(5),即3y<2x<5z.(2)已知實(shí)數(shù)x,y,z∈R,且滿足lnxex=yey=-zez,y>1,則xA.y>x>z B.x>z>yC.y>z>x D.x>y>z【解析】選A.因?yàn)閘nxex=yey則lnx>0,-z>0,即x>1,z<0,令f(x)=x-lnx,x>1,則f'(x)=1-1x>0,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,有f(x)>f即lnx<x,從而當(dāng)x>1,y>1時,yey=lnx令g(t)=tet,t>1,g'(t)=1-te則由x>1,y>1,yey<xex得y>x>1,所以y【思維升華】(1)若題設(shè)涉及三個指數(shù)式連等或三個對數(shù)式連等,則可利用特例法求解,也可在設(shè)元變形的基礎(chǔ)上,通過作差、作商或運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解.(2)涉及不同變量但結(jié)構(gòu)相似的式子相等時,細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)造函數(shù),分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.【遷移應(yīng)用】(2023·大理模擬)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足lnaea=lnbb=-lncc<0,則aA.b<a<c B.c<b<aC.a<b<c D.c<a<b【解析】選C.由題意知a>0,b>0,c>0,由lnaea=lnbb=-lncc設(shè)f(x)=lnxx(則f'(x)=1-當(dāng)0<x<e時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,因?yàn)閑x≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,故ea>a(0<a<1),又lna<0,所以lnaea>lnaa所以f(b)>f(a),則b>a,即有0<a<b<1<c,故a<b<c.視角三構(gòu)造函數(shù)比較大小[例3](1)(2020·全國Ⅰ卷)若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a>2b B.a<2bC.a>b2 D.a<b2【解析】選B.令f(x)=2x+log2x,因?yàn)閥=2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=2x+log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log22b,所以f(a)<f(2b),所以a<2b.(2)已知a=2(2-ln2)e2,b=ln22,c=1eA.a<b<c B.b<a<cC.a<c<b D.b<c<a【解析】選B.a=2-ln2e22=lne令f(x)=lnxx,所以a=f(e22),b=f(2),f'(x)=1-所以當(dāng)x∈(0,e)時,f'(x)>0,當(dāng)x∈(e,+∞)時,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(e)=lnee=c,所以a<c,b又b=ln22=2ln24=ln44=f所以f(4)<f(e22),所以b<a,所以b<a【思維升華】某些數(shù)或式子的大小關(guān)系問題,看似與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),將各個值中的共同的量用變量替換,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而比較大小.【遷移應(yīng)用】(2023·濰坊模擬)已知a=20222024,b=20232023,c=20242022,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】選D.因?yàn)閘nalnb=2構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnxx+1(x≥e2),f'(x令g(x)=(x+1)-xlnx,則g'(x)=-lnx<0,所以g(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(e2)=1-e2<0,故f'(x)<0,所以f(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(2022)>f(2023)>0?lnalnb=ln20222023ln20232因?yàn)閘nblnc=2構(gòu)造函數(shù)h(x)=lnxx-1(x≥e2),h'(令t(x)=(x-1)-xlnx,則t'(x)=-lnx<0,所以t(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以t(x)≤t(e2)=-1-e2<0,故h'(x)<0,所以h(x)在[e2,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(2023)>h(2024)>0?lnblnc=ln20232022ln20242023=h(2拓展拔高3用構(gòu)造法解決函數(shù)問題【高考考情】函數(shù)中的構(gòu)造問題是高考考查的一個熱點(diǎn)內(nèi)容,既可能在選擇、填空題中運(yùn)用,也可能在解答題中出現(xiàn).【解題關(guān)鍵】通過已知等式或不等式的結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造新函數(shù),解決比較大小、解不等式、恒成立等問題.視角一通過變量構(gòu)造具體函數(shù)[例1](1)若0<x1<x2<1,則()A.ex2-ex1>lnxB.ex2-ex1<lnxC.x2ex1>xD.x2ex1<x【解析】選C.構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-lnx,所以f'(x)=ex-1x所以f(x)在(0,1)上有一個極值點(diǎn),所以f(x)在(0,1)上不單調(diào),無法判斷f(x1)與f(x2)的大小,故A,B錯誤;令g(x)=exx,所以g'(x)=所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,又因?yàn)閤2>x1>0,所以ex1x1>ex2x2,即(2)(2023·石家莊模擬)若lnx-lny<1lnx-1lny(x>1,A.ey-x>1 B.ey-x<1C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1【解析】選A.依題意,lnx-1lnx<lny-令f(t)=t-1t(t則f'(t)=1+1t所以f(t)在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增;又x>1,y>1,得lnx>0,lny>0,因?yàn)閒(lnx)<f(lny),所以lnx<lny,所以1<x<y,即y-x>0,所以ey-x>e0=1,A正確,B不正確;又無法確定y-x-1與0的大小關(guān)系,故C,D不正確.【思維升華】若題目所給的條件含有兩個變量,可通過變形使兩個變量分別置于等號或不等號兩邊,即可構(gòu)造函數(shù),并且利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【遷移應(yīng)用】(2020·全國Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,則()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【解析】選A.原已知條件等價于2x-3-x<2y-3-y,設(shè)函數(shù)f(t)=2t-3-t.因?yàn)楹瘮?shù)y=2t與y=-3-t在R上均單調(diào)遞增,所以f(t)在R上單調(diào)遞增,即f(x)<f(y),所以x<y,即y-x>0,所以A正確,B不正確.因?yàn)閨x-y|與1的大小不能確定,所以C,D不正確.視角二利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)微切口1利用f(x)與xn構(gòu)造函數(shù)[例2]已知f'(x)是定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足xf'(x)+f(x)>0對任意的x∈R都成立,則下列選項(xiàng)中一定正確的是()A.f(1)>f(2)2 B.C.f(1)<f(2)2 D.【解析】選D.設(shè)F(x)=xf(x),則F'(x)=xf'(x)+f(x)>0,故F(x)為R上的增函數(shù),所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1).【思維升華】(1)出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);(2)出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(微切口2利用f(x)與ex構(gòu)造函數(shù)[例3](2023·南昌模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(x)>0,且有f(3)=3,則f(x)>3e3-x【解析】設(shè)F(x)=f(x)·ex,則F'(x)=f'(x)·ex+f(x)·ex=ex[f(x)+f'(x)]>0,所以F(x)在R上單調(diào)遞增.又f(3)=3,則F(3)=f(3)·e3=3e3.因?yàn)閒(x)>3e3-x等價于f(x)·ex>3e3,即F(x)>F(3),所以x>3,即所求不等式的解集為(3,+∞).【思維升華】(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(【遷移應(yīng)用】已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的x∈R,都有f'(x)-f(x)<1,且f(0)=2022,則不等式f(x)+1>2023ex的解集為()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1e) D.【解析】選A.構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(則F'(x)=f'(x)·因?yàn)閒'(x)-f(x)<1,所以F'(x)<0恒成立,故F(x)=f(x)+1ex在R上單調(diào)遞減,f(又f(0)=2022,所以F(0)=f(所以F(x)>F(0),解得x<0.微切口3利用f(x)與sinx,cosx構(gòu)造函數(shù)[例4](多選題)已知定義在(0,π2)上的函數(shù)f(x),f'(x)是f(xf'(x)sinx-f(x)cosx<0成立,則()A.f(π6)>2f(π4) B.2f(π6)>fC.3f(π6)>f(π3) D.2f(π6)>f【解析】選CD.令g(x)=f(x)sinx,則g'(x)=f'(又由x∈(0,π2),且恒有f'(x)sinx-f(x)cosx則有g(shù)'(x)<0,即函數(shù)g(x)在(0,π2)上單調(diào)遞減由π6<π3,則有g(shù)(π6)>g即f(π6)sinπ6>f(π3又由π6<π4,則有g(shù)(π6)>g即f(π6)sinπ6>f(π4)【思維升華】函數(shù)f(x)與sinx,cosx相結(jié)合構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)的幾種常見形式:F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx;F(x)=f(x)sinx,F'F(x)=f(x)cosx,F'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx;F(x)=f(x)cosx,F'【遷移應(yīng)用】已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-π2,π2),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),當(dāng)0<x<π2時,有f'(xf(x)sinx<0成立,則關(guān)于x的不等式f(x)<2f(π3)cosx的解集為(A.(-π2,-π3)∪(π3B.(-π3,πC.(-π2,-πD.(π3,π【解析】選A.因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?-π2,π所以設(shè)g(x)=f(則g(-x)=f(-x)即g(x)也是偶函數(shù).當(dāng)0<x<π2根據(jù)題意g'(x)=f'(則g(x)在(0,π2則g(x)在(-π2,0)上單調(diào)遞增.所以f(x)<2f(π3)cosx?f(x)cosx<f(π所以|解得x∈(-π2,-π3)∪(π3,拓展拔高4極值點(diǎn)偏移問題【高考考情】極值點(diǎn)偏移是指函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣,導(dǎo)致函數(shù)圖象不具有對稱性.極值點(diǎn)偏移問題常常出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題中,這類題往往對思維要求較高,過程較為煩瑣,計(jì)算量較大,難度大.【研究對象】一般地,證明兩數(shù)x1,x2之和(之積)的不等式問題,常涉及函數(shù)的極值點(diǎn)偏移.解決極值點(diǎn)偏移問題的關(guān)鍵是消元,有時待證的結(jié)論需要利用不等式轉(zhuǎn)化變形.【極值點(diǎn)偏移的定義】一般地,若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)x0,對于任意的x1,x2∈[a,b],當(dāng)f(x1)=f(x2)時有x1+x22≠x0,則稱函數(shù)(1)左偏移:當(dāng)x1+x22>x0時,極值點(diǎn)x0在[a(2)右偏移:當(dāng)x1+x22<x0時,極值點(diǎn)x0在[a(3)無偏移:當(dāng)x1+x22=x0時,極值點(diǎn)x0在[a視角一極值點(diǎn)偏移問題之消參減元、比值代換[例1]已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(x>0),a為常數(shù),若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1,x2(x1≠x2).證明:x1x2>e2.【證明】不妨設(shè)x1>x2>0,因?yàn)閘nx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,所以lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2),所以lnx1欲證x1x2>e2,即證lnx1+lnx2>2.因?yàn)閘nx1+lnx2=a(x1+x2),所以即證a>2x1+x2,所以原問題等價于證明lnx令c=x1x2(c>1),則不等式變?yōu)閘nc令h(c)=lnc-2(c-1)c+1,c>1,所以h'(c所以h(c)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(c)>h(1)=ln1-0=0,即lnc-2(c-1)c+1>0(c>1),因此原不等式x【思維升華】比值換元法的解題策略(1)聯(lián)立消參:利用方程f(x1)=f(x2)消掉解析式中的參數(shù)a.(2)抓商構(gòu)元:令t=x1x2,消掉變量x1,x2,構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)h((3)用導(dǎo)求解:利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h(t)的最值,從而可證得結(jié)論.視角二極值點(diǎn)偏移問題之消參減元、差值代換[例2]若函數(shù)f(x)=x-aex+b(a>0,b∈R)有兩個不同的零點(diǎn)x1,x2,證明:x1+x2<-2lna.【證明】由題知x1-aex1+b=0,x2-aex2故要證x1+x2<-2lna,只需證x1+x2<-2lnx1-x2ex1即證(x1-x2)2<ex1-x2-2+ex2-令x2-x1=t>0,則需證t2<e-t-2+et.設(shè)g(t)=t2-e-t+2-et,則g'(t)=2t+e-t-et.設(shè)h(t)=2t+e-t-et,則h'(t)=2-e-t-et<0,所以h(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以h(t)<h(0)=0,即g'(t)<0,所以g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(t)<g(0)=0,故原不等式成立.【思維升華】差值換元法的解題策略(1)取差構(gòu)元:記s=t2-t1,則t2=t1+s,利用該式消掉t2.(2)巧解消參:利用g(t1)=g(t2),構(gòu)造方程,解之,利用s表示t1.(3)構(gòu)造函數(shù):依據(jù)消參之后所得不等式的形式,構(gòu)造關(guān)于s的函數(shù)G(s).(4)轉(zhuǎn)化求解:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)G(s)的單調(diào)性和最值,從而證得結(jié)論.視角三極值點(diǎn)偏移問題之對稱構(gòu)造[例3]已知函數(shù)h(x)=xe-x,如果x1≠x2且h(x1)=h(x2),證明:x1+x2【證明】h'(x)=e-x(1-x),令h'(x)=0,解得當(dāng)x變化時,h'(x),h(x)的變化情況如表:x(-∞,1)1(1,+∞)h'(x)+0-h(x)單調(diào)遞增1單調(diào)遞減由x1≠x2,不妨設(shè)x1>x2,根據(jù)h(x1)=h(x2)可知x1>1,x2<1.令F(x)=h(x)-h(2-x),x∈[1,+∞),則F'(x)=(x-1)(e2x-因?yàn)閤≥1,2x-2≥0,所以e2所以F'(x)≥0,所以F(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又因?yàn)镕(1)=0,所以x>1時,F(x)>F(1)=0,即當(dāng)x>1時,h(x)>h(2-x),則h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因?yàn)閤1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1∈(-∞,1),因?yàn)閔(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得證.【思維升華】對稱構(gòu)造法,主要用來解決與兩個極值點(diǎn)之和(積)相關(guān)的不等式問題.其解題要點(diǎn)如下:(1)定函數(shù)極值點(diǎn):利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)x0;(2)構(gòu)造函數(shù):根據(jù)極值點(diǎn)構(gòu)造對稱函數(shù)F(x)=f(x)-f(2x0-x);(3)判斷單調(diào)性:利用導(dǎo)數(shù)討論F(x)的單調(diào)性;(4)比較大小:判斷函數(shù)F(x)在某段區(qū)間上的