預測07基本初等函數

高考預測

概率預測☆☆☆☆

題型預測選擇題、填空題☆☆☆☆

①指數與指數函數的運算與性質

②對數與對數函數的運算與性質

考向預測③指數、對數、二次、幕函數的圖象、不

等式及大小比較等問題

應試必備

基本初等函數的運算與圖像性質等問題是歷年高考的考察重點，通常出現在單選題、填空題中，

因新高考改革出現在多選題也有可能，因此弄清基本初等函數的運算與圖像性質的常見考點至關重

要。

復習本專題要圍繞兩個重點展開：

1.指數與指數函數的運算與性質

2.對數與對數函數的運算與性質

3.指數、對數、二次、幕函數的圖象、不等式及大小比較等問題

■知識必備

1.幕函數

(1)定義：形如y=d(aeR)的函數稱為幕函數，其中底數x是自變量，a為常數.常見的五類基函數

為y=x,y=x2,y=x3,y=d,y=x'I.

(2)性質

①基函數在(0,+oo)上都有定義；

②當a>0時，基函數的圖象都過點(1,1)和(0,0),且在(0,+oo)上單調遞增；

當a<0時，累函數的圖象都過點(1,1),且在(0,+8)上單調遞減.

2.指數函數的圖象與性質

y=ax(a>0且a>\0<4<1

尸Qty

圖象

ZZEZT1

o\i"o\i~°”

定義域R

值域(0,+oo)

過定點(0,1)

當x>0時，y>l；當x>0時,0<y<l；

性質

當x<0時,0<y<l當x<0時，y>l

在R上是增函數在R上是減函數

3.對數函數的圖象與性質

a>\0<a<]

】|r=l

圖象0a.0)*N(L。).

1?尸1。8產

定義域：(0，+co)

值域：R

過定點(1,0)

性質

當x>\時，y>0當心>1時，><0

當0*1時，y<0當04<1時、)>0

在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

比較指數嘉大小的常用方法

一是單調性法，不同底的指數函數化同底后就可以應用指數函數的單調性比較大小，所以能夠

化同底的盡可能化同底.

二是取中間值法，不同底、不同指數的指數函數比較大小時，先與中間值(特別是0,1)比較大

小，然后得出大小關系.

三是圖解法，根據指數函數的特征，在同一平面直角坐標系中作出它們的函數圖象，借助圖象

比較大小.

比較對數值的大小的方法

p向底或TW兩套藪窗般鬲革河桂由裴；

垣研?直莢蚪t利府函藪建最耗在為面底板就說麗藪反猶

L：底缸真藏為示聞一沔仄審面顯防二匚0：語”

2

真題回顧

b

1.【2020年高考全國I卷理數】若2"+log2a=4+2log4b,則

A.a>2bB.a<2b

C.a>h2D.a<b2

【答案】B

【解析】設/(x)=2*+log2x,則f(x)為增函數，因為2"+log2a=4〃+21og4b=22〃+k)g2/7

所以

a2t2b2b

/(?)-fQb)=2+log2a-(2+log22b)=2+log2b-(2+log?2與

=晦g=T<0，

所以/(。)</(2份，所以a<2"

22

/(?)-f(b)=2"+log2a一(2"+Iog2b)=22b+噫b一(2"+log2tr)=

2bb2

2-2-log2b，

當6=1時，f(a)-f(b2)=2>0,此時/(a)>f("),有

當6=2時,/(a)-/(&2)=-l<0,此時/(。)</(/)，有所以c、D錯誤.

故選：B.

【點晴】本題主要考查函數與方程的綜合應用，涉及到構造函數，利用函數的單調性比較大小，

是一道中檔題.

2.【2020年高考全國II卷理數】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網上銷售業務，每天能完成

1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參

加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600份的概率為

0.05.志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概

率不小于0.95,則至少需要志愿者

A.10名B.18名

C.24名D.32名

【答案】B

【解析】由題意，第二天新增訂單數為500+1600—1200=900，設需要志愿者x名,

3

——>0.95,故需要志愿者18名.

900

故選：B

【點晴】本題主要考查函數模型的簡單應用，屬于基礎題.

3.【2020年高考全國U卷理數】設函數.f(x)=ln|2x+l|Tn|2x-l|,則於)

A.是偶函數，且在(工,+8)單調遞增B.是奇函數，且在(-,,！)單調遞減

222

C.是偶函數，且在(f,-；)單調遞增D.是奇函數，且在(—,-；)單調遞減

【答案】D

【解析】由/(x)=ln|2x+l|-ln|2x-l|得/(X)定義域為卜關于坐標原點對稱,

又/(-%)=ln|l-2x|-ln|-2x-l|=ln|2x-l|-ln|2x+l|=-/(x),

.../(x)為定義域上的奇函數，可排除AC；

當時，/(x)=ln(2x+l)-ln(l-2x),

上單調遞增，丁=111(1-2力在上單調遞減,

上單調遞增，排除B；

X(2

/(X)=ln(-2x-l)-ln(l-2x)=In^—1=ln1+-----

2x—1<2x—1

4=1+在(一°0,一；)上單調遞減，/(〃)=In〃在定義域內單調遞增，

根據復合函數單調性可知：/(x)在-g)上單調遞減，D正確.

故選：D.

【點睛】本題考查函數奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前

提下，根據〃-x)與外力的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據自變量的范圍化簡函

數，根據單調性的性質和復合函數“同增異減”性得到結論.

4.(2020年高考全國IH卷理數】Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領城.有學

4

者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數/(/)(r的單位：天)的Logistic模型:

K

/Q)=]+e“3(T3)，其中K為最大確診病例數?當4/*)=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則/

約為(Inl9u3)

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】?"(/)=jS3(f),所以/('*)=1詢詢=0-95K,則0。到。3),

l+e1+e''

所以，0.23(y-53)=In19=3,—+53*66.

''0.23

故選：c.

【點睛】本題考查對數的運算，考查指數與對數的互化，考查計算能力，屬于中等題.

5.【2020年高考全國III卷理數】已知55<84,134V85,設a=k)g53,Z?=logs5,c=logi38,則

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】由題意可知。、b、ce(0,l)

a^log53^1g3lg81_pg3+lg8V=(Ig3+lg8Y=(lg24V<1

2

blog85lg5lg5(lg5)12JI21g5JVg25j“

4

由b=log85,得8〃=5，由5'<84，得8“<84,「.5人v4,可得〃<二；

4

由c=k)g】38,得13-8，由134<8「得13,〈狂。，.7。，小可得。>不

綜上所述，a<b<c.

故選：A.

【點睛】本題考查對數式的大小比較，涉及基本不等式、對數式與指數式的互化以及指數函數單

調性的應用，考查推理能力，屬于中等題.

6.【2020年高考全國II卷理數】若2'-2，’<3一匚3T則

A.ln(^-x+l)>0B.\n(y-x+\)<0C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

【答案】A

5

［解析］由2X-2V<3-'-3-y得:2X-3r<2-v-，

?.?丁=2'為/?上的增函數，y=3-'為R上的減函數，.../（/）為R上的增函數,

Qy-x>0,.,.y—x+l>l,/.ln(y-x+l)>0,則A正確，B錯誤;

Q|%-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點睛】本題考查對數式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構造函數的方式，利用函數

的單調性得到的大小關系，考查了轉化與化歸的數學思想.

AB

CD

【答案】A

-Ay

【解析】由函數的解析式可得；/（-力=*石=-/（力，則函數/（X）為奇函數，其圖象關于

坐標原點對稱，選項CD錯誤；

4

當x=l時，y=——=2>0,選項B錯誤.

1+1

故選：A.

【點睛】函數圖象的識辨可從以下方面入手：（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數

的值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢.（3）從函數的奇偶性，

6

判斷圖象的對稱性.(4)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

8.【2020年高考天津】設aMBMSMigq.Cfogo’os,則a,0,c的大小關系為

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】因為a=3°】>l,

b=[JJ=3。8>3°~，

c=log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<Z?.

故選：D.

【點睛】本題考查的是有關指數幕和對數值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應用指數函

數和對數函數的單調性，確定其對應值的范圍.

比較指對基形式的數的大小關系，常用方法：

(1)利用指數函數的單調性：y=ax,當時，函數遞增；當0<。<1時，函數遞減；

(2)利用對數函數的單調性：y=log.％,當。>1時，函數遞增：當0<a<l時，函數遞減；

(3)借助于中間值，例如：。或1等.

9.[2020年新高考全國I卷】基本再生數Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數.基本再

生數指一個感染者傳染的平均人數，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情

初始階段，可以用指數模型：/?)=e”描述累計感染病例數/⑺隨時間X單位:天)的變化規律，指

數增長率r與Ro,T近似滿足Ro=l+rT.有學者基于己有數據估計出Ro=3.28,K6.據此，在新冠

肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間約為(ln2=0.69)

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

328—1

【解析】因為&=3.28,7=6,%=1+，7，所以廠=-----=0.38，所以/(。=e"=e038',

設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數增加1倍需要的時間為4天,

7

則0。38?+4)=2e。.38r,所以6。3跖=2,所以0.3跖=In2,

.In20.69,0

所以力=----?-----a1.8天,

'0.380.38

故選：B.

【點睛】本題考查了指數型函數模型的應用，考查了指數式化對數式，屬于基礎題.

3

x，X-0,若函數g(x)=/(x)-向-2M(LeR)恰有4

10.【2020年高考天津】已知函數/(幻=<

—x,x<0.

個零點，則2的取值范圍是

A.(—00,-U(2^2,4-00)B.(—oo,——)U(0,2A/2)

C.SO)U(0,2揚D.(-oo,0)0(272,+oo)

【答案】D

f(x)

【解析】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個零點，只需方程I丘一2|=彳一恰有3個實

\x\

根

即可,

令久幻=曾，即y=|日-2|與力*)=答的圖象有3個不同交點.

|x|\x\

x2,x>0

因為〃(x)=

klI1,x<0

此時y=2,如圖1,y=2與/i(x)=g里有2個不同交點，不滿足題意;

當左=0時,

\x\

當k<0時,如圖2,此時y=|日-2|與〃(x)="恒有3個不同交點，滿足題意;

\x\

當2〉0時,如圖3,當>="―2與y=/相切時，聯立方程得彳2一奴+2=0,

令△=()得標一8=(),解得左=2夜(負值舍去)，所以女>20.

綜上，Z的取值范圍為(一oo,0)U(2&,+oo).

故選：D.

8

【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.

11.【2020年高考北京】已知函數/(x)=2"-x—1,則不等式/'(x)>0的解集是

A.(-1,1)B.(->x>-l)U(l,4w)

C.(0,1)D.(-oo,0)0(1,+oo)

【答案】D

【解析】因為〃力=2'-％—1,所以〃x)>0等價于2'>x+l，

在同一直角坐標系中作出y=2A'和y=x+l的圖象如圖：

9

兩函數圖象的交點坐標為(。,1),(1,2),

不等式2戈>x+l的解為x<0或無>1.

所以不等式〃X)>0的解集為：(—8,O)D(1,+8).

故選：D.

【點睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎題.

12.【2020年高考北京】函數/(x)=—I—+lnx的定義域是.

x+1

【答案】(0,+8)

x>0

【解析】由題意得《,:.x>0

尤+1

故答案為：(0,+8)

【點睛】本題考查函數定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

13.【2020年高考江蘇】已知)=")是奇函數，當應0時，〃x)=j，則/(-8)的值是▲

【答案】-4

2

【解析】y(8)=83=4.因為為奇函數，所以，(-8)=-/(8)=-4

故答案為：—4

【點睛】本題考查根據奇函數性質求函數值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.

名校預測

一、單選題

1.(2021?全國高一課時練習)已知"X)=3、"(2WxW4"為常數)的圖象經過點(2,1),則“X)

的值域為()

A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[l,4w)

【答案】C

【分析】

由/(2)=1求出實數人的值，再利用指數型函數的單調性可求得函數/(x)在[2,4]匕的值域.

【詳解】

10

因為函數f（x）=3j的圖象經過點（2,1）,則〃2）=32-&=1,所以，b=2,則“6=3*-2,

因為函數〃力=3*-2在［2,4］上為增函數，

當2VxV4時，/（2）＜/（x）＜/（4）,B|Jl＜/（x）＜9.

故選：C.

【點睛】

思路點睛：指數函數性質的綜合問題，主要涉及單調性、奇偶性、最值等，應在有關性質的基礎上

進行解決，而指數函數性質的重點是單調性，注意利用單調性實現問題的轉化.

2.（2021.全國高課時練習）若指數函數y=6優在［上2］上的最大值與最小值的和為6,則4=

（）

A.2或-3B.—3

1

C.2D.

2

【答案】C

【分析】

根據指數函數的定義可得出6=1,然后分。＞1、（）＜。＜1兩種情況討論，分析函數的單調性，結合

已知條件可得出關于實數。的方程，解出即可.

【詳解】

因為函數y=為指數函數，所以6=1.

當。＞1時，y=罐在口,2］上的最大值為力,最小值為。，則/+a=6,解得。=2或。=一3（舍）；

當0＜。＜1時，y=a'在口，2］上的最大值為。，最小值為則。2+。=6,解得a=2（舍）或

a=-3（舍）.

綜上可知，。=2.

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查利用指數函數在區間上的最值求參數，解題的關鍵在于對指數函數的底數的

取值范圍進行分類討論，結合函數的單調性得出等式求解.

3.（2020?湖北高三期中）若=log2a=02,c5=2Y,則a,b,c的大小關系是（）

11

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】

i1

分別畫出函數y=(；)*,y=log2%,y=/的圖象，由圖象交點坐標，即可判斷得出a,4c的大小關

系.

【詳解】

]1

分別畫出函數丁=(5)\卜=1082%4=彳2的圖象，如圖所示,

由圖象，可得c<8<a.

4.(2020?全國高一課時練習)函數於)=l°g[(x2-3%-10)的單調遞增區間為()

2

3

A.(—co,-2)B.(—00,—)

2

3

C.(-2,-)D.(5,+oo)

【答案】A

【分析】

求出函數的定義域，轉化為求函數-3x—10在(一8,—2)U(5,+8)上的單調遞減區間，根據

二次函數單調性可求出結果.

【詳解】

由題意，得X2—3%-10>0,

12

.*.(%—5)(x+2)>0?.*.x<—2或x>5.

令u=x2—3x—10,

函數/U)的單調遞增區間即為函數〃=N—3x—10在(-8,-2)U(5,+8)上的單調遞減區間，又u

=x2-3%—10在(一8,—2)上遞減，

所以函數y(x)=log](X?-3%-10)的單調遞增區間為(-8,-2).

2

故選：A.

5.(2021.全國高?課時練習)函數f(x)=>/匚i+lg(x+2)的定義域為()

A.(—2,1)B.[-2,1]C.(—2,+QO)D.(—2,1]

【答案】D

【分析】

解不等式組《cc得出定義域.

x+2>0

【詳解】

函數/(x)=J=+lg(x+2)有意義等價于〈cc=-2<x?l,所以定義域為(-2,1]

x+2>0

故選：D.

二、多選題

6.(2021?山東高三二模)已知則下列結論一定正確的是()

ab

A.cr<h~B.—l—>2C.1g>1gahD.|a|"<|a

ab

【答案】AB

【分析】

根據題目所給不等式判斷a、人的大小及符號，然后運用不等式的性質判斷A,利用基本不等式判斷

B選項，利用不等式的性質及對數函數的單調性判斷C選項，舉反例判斷D選項.

【詳解】

—<0,.'.b<a<0<則同<同，

:.a2<b2,A正確;

13

,.也>0,3>0,+曙2、口=2,當且僅當2=:時取等號,

abab\abab

又/.—+—>2,B正確；

abab

QZ?<^z<0?:,Q<a1<ab^/.lg?2<IgczZ?,C錯誤；

取。=-2,。=一3時，|a|"=L|a-=L此時|浦>|",D錯誤.

48

故選：AB

7.(2021?全國高一課時練習)已知函數/(x)=M^,則下面幾個結論正確的有()

A./(x)的圖象關于原點對稱

B.7(x)的圖象關于y軸對稱

C.的值域為(一1,1)

D.Vx,,x2G/?,且Xk形,/(“)/(々)<0恒成立

%—x2

【答案】ACD

【分析】

利用奇函數的定義和性質可判斷AB的正誤，利用參數分離和指數函數的性質可判斷CD的正誤.

【詳解】

1-2X2'-\

對于A,1-22

/(%)=1+27則f(-x)==-f(x)，

1+2~x-1+2,

則/(x)為奇函數，故圖象關于原點對稱，故A正確.

對于B,計算/(l)=—g,/(-I)=故f(x)的圖象不關于y軸對稱，故B錯誤.

1一2"2

對于C,/(%)=-----=—Id-------,1+2'￡(1,十8),

1+2、1+2、

22

故y=/(x)=—1+一，易知：故/(幻的值域為(—1/),故c正確.

tt

1-2X2

對于D,/(X)=JL^=—1+^^,

1+2、1+2”

2

因為y=1+2、在R上為增函數，y=-l+——為(1,3)上的減函數，

1+t

14

由復合函數的單調性的判斷法則可得了（X）在R上單調遞減，

y（x）-/（x）八一

故VXi./eR,且X|7z，---——~9J<°恒成立，故D正確.

王一“2

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：復合函數的單調性的研究，往往需要將其轉化為簡單函數的復合，通過內外函數的單調

性結合“同增異減”的原則來判斷.

8.（2021?全國）對數函數y=log〃x（a〉0且4H1）與二次函數y=（a—l）/一X在同一坐標系內的

圖象不可能是（）

【答案】BCD

【分析】

討論參數。的取值，根據對數函數的單調性、二次函數的開口及對稱軸，判斷函數圖象是否符合函

數性質即可.

【詳解】

若a>1,則對數函數y=log/在（0,+8）上單調遞增，二次函數丁=3—1）/一刀開口向上，對稱

1c

軸x=H—^>0'經過原點，可能為A，不可能為B.

2（。T）

15

若0<。<1,則對數函數y=log。X在(0,+8)上單調遞減，二次函數y=(a—1)Y—X開口向下，

1八

對稱軸^=3；；--<0,經過原點，c、D都不可能.

2(。-1)

故選：BCD.

e*—3,x<1,

9.(2021?全國高三專題練習)(多選題)函數/(x)={則關于函數7U)的說法正確的是

Inx,x>1,

()

A.定義域為RB.值域為(-3,+8)

C.在R上為增函數D.只有一個零點

【答案】ACD

【分析】

根據.f(x)的解析式即可判斷A；分別求每段解析式的對應的值域可判斷B；畫出函數的圖象可判斷

C；令每段等于零可判斷D.

【詳解】

，/、>-3x<l

由〃龍)=《，得f(x)的定義域為R，A正確；

Inxx>\

當x<l時，〃x)=e'—3,由0<e'Ve，得一3<e'-3Ve—3，

當xNl時，/(x)=lnx,由lnx21nl=0,

所以值域為(-3,e-3)U[0,+8),B錯誤；

由圖象知/(x)在R上為增函數,C正確:

16

當x<l時，/(x)=e'-3=0,得e，=3，x=In3>1>不滿足，

當尤21時，f(x)=Inx=0,得x=l,滿足，

???/(x)只有一個零點,D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題考查了函數定義域和值域的定義及求法，分段函數、指數函數和對數函數的單調性的判斷，函

數零點的定義及求法，考查了數形結合思想，考查了計算和推理能力.

10.(2021?河北唐山市?高三二模)已知且"=4,則()

ab

A.2~>1B.log2a-log2b>I

C.2"+2〃>8D.log2a-log,b<1

【答案】ACD

【分析】

利用不等式的性質和基本不等式的應用，結合指數函數與對數函數的單調性，對選項逐一分析判斷.

【詳解】

Q3

因為。>。>0,且a/?=4,對A,a-b>0,所以2"">2°=1，故A正確；對B,取,

所以log?a一log"=log,/=log,或<log,2=1,故B錯誤;對C,2U+2b>2品".2b,

b9

當且僅當a=。取等號，乂因為a+力N2j拓=4，當且僅當a=b取等號，所以

2"+2〃226動N2叵=8，當且僅當。=力取等號，因為。>。>0，所以不能取等號，故C正

確；對當所以當

D,a>l>b>0，log2a>0,log2/?<0,logzelog2b<1；

唯所以唱啕°+噫叭—?當且僅當取

log2a>0,1b>0,1a.bgQ(1=1，a=b

等號，因為a>〃>0,所以不能取等號，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正：二定——

積或和為定值；三相等——等號能否取得“，若忽略了某個條件，就會出現錯誤.

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11.(2021?湖南長沙市?長沙一中高一月考)已知函數/(x)=2*+/，則()

A./(log23)=^|B..“X)的最小值為2

C.y(x)為偶函數D./(X)在(YO,+O>)上單調遞增

【答案】BC

【分析】

A直接代入計算并驗證；B利用換元法得到g?)=f+L結合基本不等式確定最值：C根據奇偶性

t

的定義判斷即可；D由B中換元法，所得對勾函數的性質可直接判斷單調區間.

【詳解】

A："Iog23)=2臉③+*=3+；=與,錯誤：

B：令，=2*>0,則/(x)=g(r)=r+；22s=2當且僅當t=l,即x=0時取等號，正確；

(2：/(—幻=27+」7=2'+±=/。)且X€11,/(幻為偶函數，正確；

D：由B,若f=2'>0，&x)=g?)=f+L則g?)在(0,1)上遞減，在(1,”)上遞增，所以

t

“X)在(-8,0)上遞減，(0,+0。)上遞增，錯誤；

故選：BC.

12.(2021?山東煙臺市?高三一模)若0<a<6<l,C>l,則()

A.ca<cbB.bac<abc

b-ah.,

C.----<-D.logflc<logftc

c-ac

【答案】ABC

【分析】

根據指數函數，對數函數，基函數的單調性可判斷.

【詳解】

對于A,當c>l時，y=c，單調遞增，所以由可得c"<<?，故A正確；

對于B,當c>l時，所以c—1>(),所以y=x'T在((),+8)單調遞增，由可得<6日，

故B正確;

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h-ab（b-a\c-b（c-a\a（h-c\

對于C,因為--------=-——j———-=