第03講異面直線所成的角（核心考點(diǎn)講與練）

求異面直線所成的角的三步曲

QB）。:、即依據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角;

即證明作出的角是異面直線所成的角'：

,一'、口三鼠形,不山相足百篇，而臬隸由西瓦是前露

（〔三求）〈或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍：

?角，則它的補(bǔ)角才是要求的角]

4^^^＞異面直線所成角的概念及辨析

一、單選題

1.（2021?上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）已知異面直線〃、方所成角為80。，P為空

間一定點(diǎn)，則過(guò)P點(diǎn)且與“、人所成角都是50。的直線有且僅有（）條.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】在空間取一點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作“〃必"/〃，分析直線滿足它的射影尸。在

。‘，少所成角的平分線上時(shí)的情況可得出答案.

【詳解】在空間取一點(diǎn)P,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P分別作a//a\b//b',

設(shè)直線〃確定平面a,

當(dāng)直線PM滿足它的射影PQ在所成角的平分線上時(shí)，PM與"所成的角等于PM與〃

所成的角，

因?yàn)橹本€。、8所成角為80。，得必加所成銳角為80。，

所以當(dāng)直線PM的射影PQ在a',b'所成銳角的平分線上時(shí)，PM與a',b'所成角的范圍是

[40°,90°）,

這種情況下，過(guò)？點(diǎn)有2條直線與a、匕所成角都是50。；

當(dāng)直線的射影戶。在。‘力,所成鈍角的平分線上時(shí)，PM與所成角的范圍是

[50°,90°）,

這種情況下，過(guò)P點(diǎn)有且僅有1條直線（即PMua時(shí)）與a、〃所成角都是50。；

綜上所述，過(guò)P點(diǎn)且與。、匕所成角都是50。的直線有3條.

故選：B.

2.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）已知正方體ABCO-48C。，P為CC,中點(diǎn)，對(duì)于下

列兩個(gè)命題：（1）過(guò)點(diǎn)P有且只有一條直線與直線AB,AR都相交；（2）過(guò)點(diǎn)尸有且只有

一條直線與直線AB,A。都成45。角.則以下判斷正確的是（）

A.（1）為真命題；（2）為真命題B.（1）為真命題；（2）為假命題

C.（1）為假命題；（2）為真命題D.（1）為假命題；（2）為假命題

【答案】B

【分析】作出過(guò)P與兩直線相交的直線昉判斷①；通過(guò)平移直線AB,A。，結(jié)合異面直

線所成角的概念判斷②.

【詳解】解：直線ABLJAR是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)P不在這兩異面直線中的任

何一條上，如圖所示：

取3月的中點(diǎn)。,則PQ//AR,且PQ=AR,設(shè)AQ與A3交于E,則點(diǎn)A、R、Q、E、

P共面，

直線砂必與AA相交于某點(diǎn)尸，則過(guò)尸點(diǎn)有且只有一條直線E尸與AB、4。都相交，故

①為真命題；

分別平移AB,AA,使AB與AM均經(jīng)過(guò)p，則有兩條互相垂直的直線PM,PN與AB,AA,

都成45。角，故②為假命題.

...①為真命題，②為假命題.

故選：B

二、填空題

3.（2021?上海?位育中學(xué)高二階段練習(xí)）空間中三條直線a、從c兩兩垂直，若直線d與直

線久b、c所成角都為凡則cosO=

【答案】3

3

【分析】因三直線兩兩垂直，可以認(rèn)為三直線就是正方體ABCO-AMGR中同一頂點(diǎn)。的

三條棱ZM,DC,。2，由此能夠求出cos。.

【詳解】因三直線兩兩垂直，可以認(rèn)為三直線就是正方體ABCO-A4GR中同一頂點(diǎn)。的

三條棱ZM,DC,DD、,如圖：

直線d與這?:條直線所成的角都為。，

:.0=NADB、=NB、DD\=NCDB、,

“石△ADg

>/Affijcosi9=-=—.

故答案為：丑.

3

DC

叫?

4.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線a.如果直線b同時(shí)滿足條件:

①。與b異面；②。與b成定角；③。與方的距離為定值.那么這樣的直線b有

條.

【答案】無(wú)數(shù)

【分析】作出兩個(gè)平行平面，兩條異面直線分別在兩個(gè)平面上判斷.

【詳解】如圖所示：

aM0,aua,bu0、異面，

則平面夕內(nèi)任意?條與b平行的直線都滿足要求，

故答案為：無(wú)數(shù)

5.（2021?上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩異面直線〃、人所成的角為60'，過(guò)

空間內(nèi)一點(diǎn)P作與直線。、方所成角均是60的直線/,則所作直線/的條數(shù)為.

【答案】3

【分析】利用異面直線所成的角的概念，平移兩直線。、b,可知當(dāng)/為120的角平分線符

合題意，把60的角平分線旋轉(zhuǎn)可得符合題意的兩條直線，即可求解.

【詳解】

bT

如圖，將直線“平移與直線b相交于點(diǎn)p,

因?yàn)橹本€。、6所成的角為60。，則其補(bǔ)角為120。,

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)P且為其補(bǔ)角120。的角平分線時(shí)，直線/與“、6所成角均是60，

設(shè)60。的角平分線為。，把c繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中保持與。、匕所成角均是6,

上下旋轉(zhuǎn)各能得到一個(gè)位置，使得與。、匕所成角均是60，

所以共有3條直線符合題意，

故答案為：3.

證明異面直線垂直

一、單選題

1.（2017.上海交大附中高二期中）如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)

點(diǎn)，將AADE沿AE翻折成ASAE,使得平面SAE_L平面ABCE,則下列說(shuō)法中正確的有（）

①存在點(diǎn)E使得直線SA_L平面SBC；

②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行

③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行；

④存在點(diǎn)E使得SE1BA.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查空間中的折疊問(wèn)題，涉及線面垂直，面面垂直，線面平行，線線平行垂直

的判定與性質(zhì)，屬綜合性題目，難度中上.

【詳解】對(duì)于命題①,若直線SAJ_平面SBC,則SA±BC,

又?.?平面SAE1平面ABCE,

故在平面ABCE中作BHXAE與H,

則BHJ_平面SAE,

；.BH_LSA,

XVBHABC=H,BH,BCu平面ABCE,

.?.SA_L平面ABCE,

，SAAE,即NSAE是直角，

但是NSAE即折疊之前的NDAE,在折疊前后保持不變，始終是銳角，

所以命題①不正確；

若SEJ_BC,同樣由于BH平面SAE,可得BH_LSE,

進(jìn)而同上得到SEL平面ABCE,得至IJ/SEA為直角，

ZSEA即為折疊之前的NDEA,在折疊過(guò)程中保持不變，始終是銳角,

命題④錯(cuò)誤；

對(duì)于命題②，因?yàn)槠矫鍿8CI直線必=S,

故平面SBC內(nèi)的直線與必相交或異面，

所以命題②不正確；

對(duì)于命題③,在平面ABCE中作CF〃AE,交AB于F.

如圖所示：

由線面平行的判定定理可得CF〃平面SAE,

所以命題③正確，

綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為1個(gè)，

故選A.

考點(diǎn)：1、線面垂直的判定定理；2、線面平行的判定；

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

二、填空題

2.（2022?上海長(zhǎng)寧?高二期末）如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體

中，則下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是.

①直線AF與直線CN垂直；

②直線BM與直線CN相交；

③直線ME與直線CN平行；

④直線AB與直線CN異面；

【答案】①?

【分析】畫(huà)出正方體，CN//BE,AFA^BE,故AF_LCN,①正確，根據(jù)相交推出矛盾得

到②錯(cuò)誤，根據(jù)QV〃BE,8E與ME相交得到③錯(cuò)誤，排除共面的情況得到④正確，得

到答案.

【詳解】如圖所示的正方體中，CN//BE,AFLBE,故AF_LCN,①正確；

若直線與直線CN相交，則氏M,C,N四點(diǎn)共面，即8在平面CMV內(nèi)，不成立，②錯(cuò)

誤；

CN//BE,BE與ME相交，故直線ME與直線CN不平行，③錯(cuò)誤；

AB//MN,MN與CN不平行，故AB與CN不平行，若AB與CN相交，則A,B,C,N四點(diǎn)

共面，N在平面ABC內(nèi)，不成立，故直線與直線CN異面，④正確；

故答案為：①④.

1.（2022?上海?復(fù)旦附中高二期中）如圖所示，在三棱錐O-ABC中，AC=BD=2,E、F

分別為AD與8C的中點(diǎn)，EF=?，則異面直線AC與8。所成角的大小是.

D

【答案】y

【分析】取AB的中點(diǎn)分別連接ME,MF,把異面直線AC與80所成的角即為直線ME

與M尸所成的角，在AME廠中，根據(jù)ME2+M/2=EF2,即可求解.

【詳解】如圖所示，取A8的中點(diǎn)M,分別連接ME,MF,

因?yàn)镋、尸分別為A。與8C的中點(diǎn)，

可得MEHBD,MFIIAC,§.ME=^BD=1,MF=AC=\,

所以異面直線AC與30所成的角即為宜線ME與M尸所成的角，

在AMEF中，因?yàn)镸E=1,MF=1,EF=&,所以ME?+"=EF?，

TT

所以即直線ME與MF所成的角為5，

1T

所以異面直線AC與3。所成的角

故答案為：y.

2.（2021?上海市徐匯中學(xué)高二期中）如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M,N

分別是A反尸C的中點(diǎn)，若仰=8。=2,%=2石，則異面直線出與阿所成角的大小為

p

A1~M-----%

【答案】J

o

【分析】連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接MG,NG,根據(jù)M,N分別是A氏尸C的中點(diǎn)，得到

MG/IBC,NG//PA,則/MVG是異面直線B4與MN所成的角，然后利用余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示：

連接AC,取AC的中點(diǎn)G,連接MG,NG,

又因?yàn)镸,N分別是A8,PC的中點(diǎn)，

所以MGUBC,NG“PA,

所以NMNG是異面直線R4ijMN所成的角,

因?yàn)镸N=BC=2,PA=26,

所以MG=1,NG=^,

22(V3)2-l73

MN-NG2-MG2+

則cos4MNG=

2,MN?NG2.2.V3-2

因?yàn)镹MMGe（0,g,

所以NMNG=g,

6

故答案為：7

o

3.（2021.上海市進(jìn)才中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體上，a,b是兩條異面直線的面對(duì)角線,

則它們所成的角大小可能為

【答案】90。或60

［分析］通過(guò)求異面直線AD,與B}C和異面直線ADt與AC,所成角即可.

【詳解】解：正方體的面對(duì)角線成異面直線的，分平行的面和相交的面兩類

如圖找兩對(duì)代表進(jìn)行計(jì)算：

1.異面直線AR與8。，其所成的角即為直線AR與所成的角，90。;

2.異面直線AQ與AG，其所成的角即為直線AR與4c所成的角，60.

故答案為：90或60.

4.（2021?上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）正方體ABC。-的面對(duì)角線中，與

所成角為60。的有條.

【答案】8

【分析】根據(jù)AA，C,AAD-VABG，A。8cl是等邊三角形判斷.

【詳解】如圖所示：

因?yàn)锳AQC，是等邊三角形，

所以AC,D￡,D島ABjjAD,所成角為60。，

又VA8G，AOBG是等邊三角形，

所以AG，4仇DG,DB與8G所成角為60°,

因?yàn)锳R//BG，

所以AG,A8,OG,￡>8與4R所成角為60°,

所以與AR所成知為60。的面對(duì)交線有8條，

故答案為：8

5.（2021?上海?華東師范大學(xué)松江實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在正方體42CQ-ABCQ

中，與AR成60角的面對(duì)角線的條數(shù)是

【答案】4

【分析】分別連接A綜。結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征和異面直線所成角的定義，即

可求解.

【詳解】如圖所示，連接入耳,。聲.可得用。為等邊三角形，

所以ZDABt=ZAD,B,=60,所以ABt,D向與AD,所成的角為60-

連接BD,CQ,可得BD//BBCD//AB一則皮）,CQ與A。所成的角為60。，

綜上可得，與A，成6（T角的面對(duì)角線的條數(shù)為4條.

故答案為：4.

6.（2021.上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期末）空間內(nèi)有三條直線，其中任意兩條都不相

交但相互垂直，若直線/與這三條直線所成的角的大小都是。，則tan9=.

【答案】V2

【分析】在空間任取一點(diǎn)。，分別作三條直線的平行線04，OB,OC,構(gòu)造一個(gè)正方體,

則直線/即直線OO與04、OB、0c所成的角相等均為，，山此即可求出tan。.

【詳解】解：在空間任取一點(diǎn)。，

分別作三條直線的平行線3，OB,OC.

構(gòu)造一個(gè)正方體如右圖所示，

則直線/即直線。。與。4、OB、OC所成的角相等均為6,

即。=NCO￡）,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則CO=V^，

貝！］tane=tanNCW=0=夜.

故答案為：血.

c

7.（2021.上海市建平中學(xué)高二期中）已知圓錐的軸截面R記是等邊三角形，C為底面弧A8

的中點(diǎn)，。為母線尸8的中點(diǎn)，則異面直線必和C￡＞所成角的大小為

-JT

【答案】V

【分析】如下圖所示，連接OP,OC,過(guò)點(diǎn)。作。底面于，，連接C”，根據(jù)中位線定

理得OD//B4,所以NQDC（或其補(bǔ)角）就是異面直線R4和CD所成的角，設(shè)

PA=PB=AB=2,解三角形可求得答案.

【詳解】如下圖所示，連接。p,OC,過(guò)點(diǎn)。作￡歸_1底面于H,連接CH,

因?yàn)椤槟妇€距的中點(diǎn)，所以O(shè)D//PA,所以N8C（或其補(bǔ)角）就是異面直線抬和8所

成的角，

iSiPA=PB^AB=2,則PO=6,。"=且,0"='，所以CH=，0。2+。“2,

222

所以DC=+CH。=泉咚）+［亭）

=0,又OD=OC=1,所以滿足

OD2+OC2DC1，

rr7T

所以NOOC=丁，所以異面直線R4和所成角為二,

44

1T

故答案為：

4

R

三、解答題

8.（2021?上海浦東新?高二期中）在三棱錐P—ABC中，M,N分別是如，8c的中點(diǎn),

己知AC=P8=2,MN=6求異面直線AC,尸8所成角的大小.

【答案】60°

【分析】取AB中點(diǎn)Q,連接QM,QN,可得QM//BP,QN//AC,從而可得NMQN就

是異面直線AC,PB所成的角或其補(bǔ)角，從而可的答案.

【詳解】解：取AB中點(diǎn)Q,連接。歷，QN,

。是AB中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，=>QN//AC,QN=^AC=\,

同理，=QM"BP,QM=lpB=l,

所以

在△MQN中，QM=QN=l,MN=^,

cosZMQN='+；-（同=-1=>ZMQN=120°.

???異面直線AC，加所成的角的大小為60。.

堂曳%>由異面直線所成的角求其他量

一、填空題

TT

1.（2021?上海市控江中學(xué)高二期中）異面直線4、b所成角為《，直線C與4、〃垂直且分

另IJ交于4、8,點(diǎn)C、。分別在直線“、b上,若AC=1,AB=2,BD=3,則C￡>=.

【答案】而或如

【分析】過(guò)8作BE//AC且過(guò)。作OEL3E于E,連接8E、CE,要注意￡C在AB的同側(cè)

7T

或異側(cè)兩種情況，結(jié)合已知有NOBE=石，再過(guò)C作CFLBE于F,求出。從EC的長(zhǎng)度，

在放△OEC中應(yīng)用勾股定理求CD.

【詳解】由題意，過(guò)8作8E//AC且過(guò)。作于E,連接8E、CE,如下示意圖，

，由題設(shè)知：面48EC為直角梯形且NO8E=t，

過(guò)C作C/_L8E于尸，則CF=AB=2,BD=3,可得DE=更,BE=-,

22

如圖1,易得EF=g,則EC=^-,

22

在心AOEC中，CD=dDE2+EC2=JFL

如圖2,易得EF=],則￡C=①，

22

在RtxDEC中，CD=YIDE2+EC2=＞/17.

故答案為：拒或歷

7T

2.（2021?上海市洋涇中學(xué)高二期中）已知異面直線所成角為過(guò)空間一點(diǎn)尸有且僅有

2條直線與對(duì)匕所成角都是。，則夕的取值范圍是.

【分析】將直線。力平移交于點(diǎn)P,并作Na'/W及其外角的角平分線；根據(jù)過(guò)空間一點(diǎn)P有

且僅有2條直線與。所成角都是6,可知4方向上有兩條，4方向上不存在，由此可得范圍.

【詳解】將直線“力平移交于點(diǎn)尸，設(shè)平移后的直線為

過(guò)點(diǎn)尸作47W及其外角的角平分線//,則Za'Ph'=y；

在4方向，要使過(guò)空間一點(diǎn)P的直線，且與方所成角都是。的宜線有兩條，則。＞TT￡；

O

在4方向，要使過(guò)空間一點(diǎn)尸的直線，目.與所成角都是。的直線不存在，則

綜上所述:

故答案為:

3.（202卜上海市建平中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形ABC。中，AB=CD=S,M、N分

別是對(duì)角線AC、3。的中點(diǎn)，若異面直線A3、。＞所成角的大小為30。，則MN的長(zhǎng)為

A

［答案］J32±16G

【分析】取8c的中點(diǎn)P，連接NAMP,利用三角形中位線定理可得N尸〃CDMP〃/18,

由異面直線所成角的定義，異面直線A3,所成的角即為NMPN或其補(bǔ)角，在AMPN中,

利用余弦定理求解即可

【詳解】解：取BC的中點(diǎn)P,連接NP,MP,

因?yàn)锳8=8=8,"、N分別是對(duì)?角線AC、BO的中點(diǎn)，

赤以NP〃CD、MP〃AB,NP=-CD=4,MP=-AB=4.

22

所以，異面直線A8,8所成的角即為NMPN或其補(bǔ)角，

因?yàn)楫惷嬷本€48、8所成角的大小為30。，

所以NMPN=30°或150°,

當(dāng)/M/W=30。時(shí)，在&MPN中,由余弦定理可得

MN=y/NP2+MP2-2NP-MPcos30°

=^42+42-2x4x4x^y

=小32-16月

當(dāng)/用取=150。時(shí)?，在△MPN中，由余弦定理可得

MN=y］NP1+MP2-2NP-MPcos150°

=^42+42+2X4X4X^-

="32+16&

綜上，MN的氏為。32土16四，

故答案為：，32±16,

P

C

4.（2021.上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）已知四面體A8a>中，AB=CD=4,E、尸分別

TT

為BC、AD的中點(diǎn)，且異面直線A8與CO所成的角為則EF=.

【答案】2或2百

【分析】取AC中點(diǎn)M,先通過(guò)平行關(guān)系分析異面直線A8與C。所成的角為/麗或其補(bǔ)

角，然后通過(guò)分類討論結(jié)合角度以及長(zhǎng)度、余弦定理求解出E尸的長(zhǎng)度.

【詳解】取AC中點(diǎn)“，連接因?yàn)镋,F分別為BC,A。的中點(diǎn)，

所以ME//A8,A8=2,MF//CD,MF=-CD=2,

22

所以異面直線AB與CD所成的角即為NEMF或其補(bǔ)角，

當(dāng)異面宜線AB與8所成的角為Z.EMF時(shí)，

1T

ZEMF=-,HME=MF=2,所以AMEF為等邊三角形，所以EP=2；

當(dāng)異面直線AB與CD所成的角為AEMF的補(bǔ)角時(shí)，

NEMF=卷,ELME=MF=2,所以防？=ME?+M/？—2MF-MECOSNEMF,

所以EF=j22+22-2x2x2xcos等=26，

綜上可知，EF長(zhǎng)為2或2百，

故答案為：2或2方.

5.（2019?上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）空間四邊形ABC。，AB=CD=S,M、N、P分別為

8D、AC、BC的中點(diǎn)，若異面直線A8和CD所成的角為60。，則線段MN的長(zhǎng)為.

【答案】4或

【分析】先根據(jù)異面直線AB和C。成60。的角，則NMPN=60。或120。，然后利用余弦定理

求出MN的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：?.?AB=C￡>=8,M、N、P分別為30、AC,8c的中點(diǎn)，連接MN,MP.

NP

：.NP=MP=4,NP//AB,MPIICD,所以NM/W為異面向線AB和8所成的角或補(bǔ)角，

因?yàn)楫惷嬷本€AB和8成60。的角,:.4MPN=60。或120°

當(dāng)/MPN=60。時(shí)，MN=4

當(dāng)ZMPN=120°時(shí)，MN=y/PN2+PM2-2PNPMCOSZMPN=4百

故答案為：4或46

6.（2021.上海?華師大二附中高二開(kāi)學(xué)考試）如圖，空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC=BO=8,

M,N分別為AB,CD的中點(diǎn)，且AC1.8。，則MN等于

【答案】4夜

【分析】取BC中點(diǎn)尸，連接MP,NP,由中位線的性質(zhì)及ACJ.8。，利用直角三角形求解.

【詳解】取8c中點(diǎn)尸，連接歷P,NP,

又因?yàn)锳C=8,BD=8,M,N分別為A8,CD的中點(diǎn),

所以「A〃/AC,PM=-AC=4,

2

PN//BD.PN=>BD=4.

2

又因?yàn)楫惷嬷本€AC與由）所成的角為90。，

所以NMPN=90。，

所以MN?=/>"+.2=42+42=32,

所以MN=4jL

故答案為：4夜

7.（2021.上海市徐匯中學(xué)高二期中）空間四邊形兩對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8,所成的角為

60°,連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是.

【答案】673

【分析】空間四邊形A—8co中，分別取A3、BC、CD、D4的中點(diǎn)E、F、G、H,連

接EF、FG、GH、HE,則連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是S四邊忤MH=25?刖，由此能求

出結(jié)果.

【詳解】如圖，空間四邊形A-8C。中，

兩對(duì)角線的長(zhǎng)AC、的長(zhǎng)分別為6和8,所成的角為60。，

分別取AB、BC、CD、ZM的中點(diǎn)￡、F、G、H,連接EF、FG、GH、HE,

則EF//GH//AC,且EF=G"=；AC=3,

EH//GF//BD,^.EH=GF=-BD=4,

2

NHEF=60°或NHEF=120°,

???連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是：

S四邊脛￡?;〃=2S,FEH=2x（；x3x4xsinNHEF）=6G.

故答案為：6G.

8.（2021?上海市寶山中學(xué)高二階段練習(xí)）若兩條異面直線所成的角為60°,則稱這對(duì)異面直

線為“黃金異面直線對(duì)“，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，”黃金異面直線對(duì)“共有

對(duì).

【答案】24

【分析】由異面直線的定義和正方體的對(duì)稱性，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線的直線

有4條，從而計(jì)算得到答案.

【詳解】正方體如圖所示，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線需為面對(duì)角線，

以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對(duì)的直線有AB,BC,A'。，8C這4條，

而正方體的面對(duì)角線有12條，

所以所求的黃金異面宜線對(duì)共有12寧x4=24對(duì)（每一對(duì)被計(jì)算兩次，所以要除以2）,

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線及其所成的角，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、解答題

9.(2021?上海師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二階段練習(xí))已知四棱錐P-ABCZ),底面ABC。

為正方形，邊長(zhǎng)為3,P￡)_L平面A8CD

⑴若PC=5,求四棱錐P-ABC。的體積；

(2)若直線與8P的夾角為60。，求尸。的長(zhǎng).

【答案】(1)12(2)3五

【分析】(1)由錐體體積求四棱錐P-ABCD的體積；(2)由直線4。與8P的夾角為60。可得

NT8C=6(r.由此可求尸8,再解三角形求PO的長(zhǎng).

(1)；尸。,平面ABC。，CDu平面ABCD,

.?.點(diǎn)尸到平面A8C。的距離為「。，PDLCD,

"：PC=5,CD=3,

PD=4,

???底面A8c。為正方形，邊長(zhǎng)為3,

底面ABC。的面積為9,

四棱錐P-A8CO的體積V=gx9x4=12,

(2)VAD//BC,

直線4。與8P的夾角的平面角為NPBC,；直線AO與8P的夾角為60。，

?*.^PBC=60,

設(shè)尸￡>=x,則PC=j9+x?，PB=&+18，

在APBC中,PC=y/9+x2>PB=df+18，BC=3,

由余弦定理可得cos4PBC=BP-+BC-

2BPBC

?181

-6&+182，

??x=3\/2?

10.（2020?上海交大附中高二期中）如圖，圓錐的頂點(diǎn)是S,底面中心為。，OC是與底面

直徑AB垂直的一條半徑，O是母線SC的中點(diǎn).

（1）求證：BC與SA不可能垂直；

（2）設(shè)圓錐的高為4,異面直線AO與8C所成角的余弦值為正，求圓錐的體積.

6

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）/

【解析】（1）假設(shè)5CLSA,得到AB_L8C,不成立，得到證明.

（2）如圖所示：延長(zhǎng)CO與圓交于點(diǎn)E,連接AE,。在底面的投影為OC中點(diǎn)產(chǎn)，

易知BCHEA，故ND4E為異面直線A。與BC所成角，根據(jù)余弦定理解得r=2,計(jì)算得到

體積.

【詳解】（1）假設(shè)3CLSA,易知SO_L平面ABC,8Cu平面A8C,故SOL5C,

故BC_L平面SOA,AB\平面SOA,故ABJ_8C,不成立，故假設(shè)不成立.

BC與54不可能垂直.

（2）如圖所示：延長(zhǎng)CO與圓交于點(diǎn)E,連接AE,。在底面的投影為OC中點(diǎn)尸，

易知BQ/EA，故NZME為異面直線AO與3c所成角，設(shè)底面半徑為小

222

在AA￡）E中：AE=?，￡>E={4+寧,DA=7OF+<9A+FO=^4+^r.

根據(jù)余弦定理：DE2=DA2+AE2-2DA-AEcosZDAE,計(jì)算得到r=2.

故體積丫=!乃產(chǎn)力=殍.

【點(diǎn)睛】本題考查了線線位置關(guān)系，異面直線夾角，體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力

和空間想象能力.

Q鞏固提升

一、單選題

1.（2021?上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，已知正方體4B8-A4GA中，尸為線段Bq

的中點(diǎn)，E為線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（）

A.存在點(diǎn)E,使EF〃BD

B.存在點(diǎn)E,使平面A8CQ

C.E尸與A0所成的角不可能等于60°

D.三棱錐用-ACE的體積隨動(dòng)點(diǎn)E變化而變化

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面平行的判定、線面垂直的判定、異面直線夾角的求法以及錐體

的體積公式，一一判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，如圖所示，連接AB.

對(duì)于選項(xiàng)A,平面平面A.BG，

:.若EFHBD,一定有50〃平面A/G，又；與平面4陽(yáng)相交，

:.不存在點(diǎn)E，使EF//BD，故A錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，易知E尸〃4出，?.?在正方體ABCD-AMGA中，AB1AB,,

AOIA*且A￡>nA81=A,A8_L平面4BCQ,即瓦?，平面A8CQ,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，易知EF"A'B,ADt//BCt,

?；在正方體ABC。-ABC。］中，AtB=BCt=A,Ct,

.?.48與8G所成的角為60,即瓦'與A"所成的角為60,故C錯(cuò)；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,因?yàn)锳C//AC，AAt//BBt,所以二棱錐瓦-ACE的體積

V

\-ACE=VE-ACB,=A-4CB,=VH-A,AC=S^AC-'故D錯(cuò)?

故選：B.

2.（2021??高二階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCO-ABCR中，過(guò)點(diǎn)4作平面4/D的垂線,

垂足為點(diǎn)”，給出以下命題：①”是的垂心；②4”垂直于平面CB|R；③A”的延

長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)G;④直線A4和所成角的大小為45。，其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）

【答案】C

【分析】首先，判斷三棱錐A-3。為正三棱錐，然后，得到△BA。為正三角形，得到”

為A在平面A3。內(nèi)的射影，然后，根據(jù)平面4即，平面BG。，得到②正確，最后，結(jié)合

線面角和對(duì)稱性求解.

【詳解】解：對(duì)于①，???AB=AA1=AO,BA=BQ=A。，

三棱錐A-84。為正三棱錐，

...點(diǎn)，是AABZ）的垂心，故①為真命題；

對(duì)于②，?；BD/iB、D、，AB"D、C,R&）u平面BD^,BA,<=平面BD\.

平面ABO與平面BCR平行，

又：A"L平面A8。，

A4垂直平面Cg〃，故②為真命題；

對(duì)于③，連接AR,A”則有BA—BA

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，B￡-LBA,,

又與所以BAL平面AB?,

又AC,u平面AB￡,所以AG±BA,.同理可得AC,1BD.

又姐08。=8,所以AG，平面A/。,又AH上平面AB。，

且過(guò)平面外一點(diǎn)作平面的垂線有且只有一條，故A、H、G三點(diǎn)共線，故③為真命題.

對(duì)于④，：AA〃網(wǎng)，.?.NAAH就是直線4〃和B片所成角，

在直角三角形AHA中，

,/AAt=\,AtH=-x—xy/2=—,

1,323

smZ.AiAH=,故④為假命題；

故選：C.

3.（2021.上海市松江二中高二期中）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A8C。（及

其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是力尸的中點(diǎn)，設(shè)尸是CE上的一

點(diǎn)，且AP_LBE,則4G與BP所成角的大小為（）

E

A.45°B.15°C.30°D.0°

【答案】C

【分析】根據(jù)■得8EJ■平面ABP,進(jìn)而得到再在平面EBC內(nèi)找到AG

的平行線，進(jìn)而得出AG與所成角即可

【詳解】因?yàn)锳BYBE,AP^}AB=A,故BE1平面ABP,故BE工BP,

取弧EC的中點(diǎn)H,連接易得AG//BH,且NEB"=60。，故AG與3P所成角即

ZPBH=90°-60°=30°

故選：c

4.（2021?上海市市西中學(xué)高二期中）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①BM

與平行；②CN與8E是異面直線；③CN與成60。；④。例與BN垂直.以上四個(gè)命題

A.①?@B.②④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)平面展開(kāi)圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).

【詳解】由平面展開(kāi)圖可得原正方體如圖所示：

山圖可得：為異面直線，CN與BE不是異面直線，故①②錯(cuò)誤；

連接47,4。,。河,附,8￡,貝曙4\9為等邊三角形，

而B(niǎo)M//AN,故ZANC或其補(bǔ)角為CN與BM所成的角，

因?yàn)镹AAC=6O。，故CN與所成的角為60。，故③正確；

因?yàn)镈WJ.NC,又BC_L平面。0區(qū)＞,所以ZW_L8C,故DW_L平面8CN

又BNu平面8CN,所以。例，8N,則④正確；

綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.

故選：C.

二、填空題

5.（2021?上海交大附中閔行分校高二階段練習(xí)）如圖甲，將三棱錐P-A8C沿三條側(cè)棱剪

開(kāi)后，展開(kāi)成如圖乙所示的形狀，其中點(diǎn)P/,A,丹共線，點(diǎn)匕，B,巳共線，點(diǎn)巴，C,

8共線，且PP2=P2P3,則在如圖甲所示的三棱錐P-ABC中，外與8c所成角的大小為

A

pPlPs

BS-------V

尸2

甲乙

【答案】90°

【分析】根據(jù)展開(kāi)圖和中位線定理可知PB=PC,AB=AC,取8c中點(diǎn)。，則可證8。_1平

面以D,得出8cl.PA.

【詳解】

解：=."是P島的中點(diǎn),

同理可知8是P/P2的中點(diǎn)，C是P2P3的中點(diǎn)，

??.AB=gp/，AC=/&

又P\P[=P[P3,AB=AC,PB=PC,

在圖甲中，取2C的中點(diǎn)。，連接A。，PD,

則A￡>_L8C,PDLBC,又ADIPD=D,

.?.3。_1平面以。，又以u(píng)平面附。，

：.BC±PA,

現(xiàn)與8c所成角的大小為90。.

故答案為：90°.

6.（2021?上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué)高二期中）如圖已知A是△BCD所在平面外一點(diǎn),

AD=BC,民尸分別是A8、8的中點(diǎn)，若異面直線AD與BC所成角的大小為（，則A￡）與

EF所成角的大小為.

【答案】g或5

36

【分析】取AC的中點(diǎn)G,連接EG,G尸，則NEGF=（或/及力=與，分別分析這兩種情

況下NGFE的大小即為4。與EF所成角.

【詳解】解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)G,連接￡G,GF,則EG//8C,GF//AD,

所以NEG尸為異面直線與BC所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)锳Q=BC,所以EG=GF,

rrTT

當(dāng)NEGF=§時(shí)，△EGF為等邊三角形，ZGFE=-,

即AZX與EF所成角的大小為?；

當(dāng)NEGF=4時(shí)，EG=GF,AEGF為等腰三角形，乙GFE=j

36

即AD與EF所成角的大小為.

O

故答案為：g或3.

36

7.（2021?上海交大附中高二期中）在長(zhǎng)方體ABCD-AMGR中，AA]=AD=\fAB=2,

則直線AC與4。所成的角的余弦值等于.

【答案】巫

10

【分析】聯(lián)結(jié)81C,B,A,B.CHA.D,則A。與AC的夾角即BC與AC的夾角NACB1,求得

$A,AC,80的長(zhǎng)，從而求得夾角的余弦值.

【詳解】聯(lián)結(jié)BC，B,A,如圖所示:

在長(zhǎng)方體中，B'C"AD,則A。與AC的夾角即BC與與AC的夾角N4CB1,

222

在A4C片中，BlA=AC=-j2+i=45,B、C+1=6，

~B,C—而

則

cosZACB,=2_=_r=_

故答案為：叵

10

8.（2021.上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二期中）在四面體ABCO中，A8=8,8=6,M,

N分別是8C、AD的中點(diǎn)，且MN=5,則A3與C4所成角的大小是.

【分析】取BD中點(diǎn)為。，連接QM,ON,根據(jù)題中條件，由異面直線所成角的概念，得

到NMON即為異面直線AB與CD所成的角，或所成角的補(bǔ)角，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求解，即可得

出結(jié)果.

【詳解】取BD中點(diǎn)為。，連接OM,ON,

因?yàn)镸、N分別是BC、4￡）的中點(diǎn)，

所以O(shè)M//CD,ONHAB,

則NMQV即為異面宜線AB與CQ所成的角，或所成角的補(bǔ)角，

又A8=8,CD=6,MN=5,

則。MJC￡>=3,ON=-AB=4,

22

因此0知2+次2=削2,則OMLQN,所以NMON=90。.

D

故答案為：90°.

三、解答題

9.(2022?上海?復(fù)旦附中高二期中)在長(zhǎng)方體ABCO-A/C。中，AB=\,AD=2,4A=4,

E、尸分別為線段BC、CC上的點(diǎn)，且CE=1,CF=\.

⑴求證："〃平面人。。人;

(2)求異面直線EF與AQ所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)巫

10

【分析】(1)如圖，取的中點(diǎn)M,棱。"上取點(diǎn)N使得￡W=1,根據(jù)長(zhǎng)方體的特征和平

行四邊形的判定定理和性質(zhì)可得所〃MN,利用線面平行的判定定理即可證明：

⑵如圖，取AA,的中點(diǎn)P,連接MP,則NPMV為異面直線EF與的所成角，

在APMN中利用余弦定理求出cosZPMN即可.

(1)取AO的中點(diǎn)M,棱。A上取點(diǎn)N使得〃N=1,如圖，

可得NF〃EM且NF=EM,

所以四邊形EFMW為平行四邊形，所以EF〃MN,

又EF不在平面AORA上，MNu平面ADRA，

所以所〃平面A。。A：

⑵取AA的中點(diǎn)P,連接MP,如圖，

則NPMN為異面直線EF與AD的所成角,

因?yàn)镸N=0，PM=PN=5

PM?+MN?-PN°x/10

所以cosNPMN=

2PM-MNlo-

故異面直線EF與4。所成角的余弦值為叵.

10

10.(2021?上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí))已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周

A

(1)求該圓柱體的表面積；

1T

(2)正方形A8C。繞BC邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)萬(wàn)至ABC。，求證：A.DVAC.

【答案】(1)4萬(wàn)；(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)圓柱的表面積公式求得正確答案.

(2)通過(guò)證明AC,平面4聲。來(lái)證得AC.

(1)圓柱的表面積為2萬(wàn)xI2+2TTX1X1=4%.

⑵依題意可知名1BA,BA,LBC,BAr>BC=B,

所以8A，平面ABC。，所以BAt±AC,

由于四邊形A8CO是正方形，所以ACL5。.

由于84仆8。=8,所以AC,平面A8O,

所以

11.（2021.上海市南洋模范中學(xué)高二期中）在長(zhǎng)方體A88-A8C2中，AB=BC=2,過(guò)

A、G、5三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體A8CO-AGA，且這

個(gè)幾何體的體積為10.

（1）求棱AA的長(zhǎng)；

（2）若4G的中點(diǎn)為。1,求異面直線BO,與A2所成角的余弦值.

【答案】（1）3（2）姮

11

【分析】（1）設(shè)=刀，由題設(shè)匕08-AGO,=匕0co-44GA—,可求出i棱長(zhǎng).

（2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中40〃BC,所以NO/C即為異面直線8。與AQ所成的角（或其補(bǔ)

角）那么借助于三角形求解得到結(jié)論.

（1）解：設(shè)懼=力，

由題設(shè)KlBCO-AGA=匕88-48￡￡>1=1°,

-1'S正方HMfiCOX"-§X工八用。X力=10

即2x2x/z——x—x2x2x/z=10,解得。=3.

3