2017-2018學年河北省衡水中學高三（下）第十六次模擬數學試

卷（理科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）復數z="的實部與虛部分別為（）

i

A.7,-3B.7,-3zC.-7,3D.-7,31

2.（5分）已知尸={T,0,V2},Q={y|y=sin6,0eR},則尸Q=（）

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,72}

3.（5分）已知隨機變量X服從正態分布N（a,4）,且尸（X）,尸（X>2）=0.3,尸（X<0）

等于（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（5分）下列有關命題的說法正確的是（）

A.命題“若孫=0,則x=O”的否命題為：“若孫=0,則XHO”

B.“若x+y=0,則比，y互為相反數”的逆命題為真命題

C.命題“去eR,使得2犬_1<0”的否定是：“VxcR,土勻有2犬-1<0”

D.命題“若cosx=cosy,則x=y"的逆否命題為真命題

5.（5分）已知a滿足sina=g,那么cos（?+（z）cos（3-（z）值為（）

252577

A.—B.一一-C.—D.--

18181818

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的正方形的邊長均為6,俯視圖中的兩

條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為（）

正視圖側視圖

B.216—4.54C.216—6萬D.216—9萬

7.（5分）已知函數/（x）=2sin（2x+三），現將y=/（x）的圖象向左平移三個單位，再將所

612

得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的工倍，縱坐標不變，得到函數y=g（無）的圖象，則

2

g（x）在[0,2]的值域為（）

24

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,0]

8.（5分）我國古代名著《九章算術》用“更相減損術”求兩個正整數的最大公約數是一個

偉大創舉.這個偉大創舉與我國古老的算法-“輾轉相除法”實質一樣.如圖的程序框

圖即源于“輾轉相除法”，當輸入a=6402,6=2046時，輸出的。=（）

A.66B.12C.36D.198

x+y-5..0

9.（5分）已知實數x,y滿足約束條件vy-x..O,若不等式(1-a)x2+2xy+(4-2a)y2..0

y_5x_2,,0

恒成立，則實數〃的最大值為（）

A.-B.-C.有D.V6

33

10.(5分)已知函數/(x)=加％,g(x)=(2m+S)x+n,若對任意的%￡(0,+oo)，總有/(x)?g(x)

恒成立，記（2根+3）〃的最小值為了（根,〃），則/（w）最大值為（）

A.1B.-C.D.

ee2&

22

11.（5分）設雙曲線C:二-斗=l（a>0,6>0）的左、右焦點分別為月，F2,過F2的直線與

ab

雙曲線的右支交于兩點A,B,若|4片|:|4洌=3:4,且F?是旗的一個四等分點，則雙

曲線C的離心率是（）

A亞R癡c5

222

12.(5分)已知偶函數/(x)滿足/(4+%)=/(4-,且當％￡(0,4］時，于(x)="(2*)

x

關于工的不等式/(%)+4(%)〉0在［-200,200］上有且只有300個整數解，則實數。的

取值范圍是()

A.(一仇2,—；山6)B.(—歷2,—；加6］

z13歷2z131n2

Cr.(——I7nAo,----)D.(——7/nAo,-----1

3434

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.(5分)已知平面向量Q,b,\a\=l,|匕|=2且aZ?=l,e為平面單位向量，則(〃+b)e

的最大值為一.

14.(5分)二項式(尤6+」方)5展開式中的常數項是_.

xjx

15.(5分)已知點A是拋物線C:x?=2py(p>0)上一點，O為坐標原點，若A,5是以點

M(0,8)為圓心，|Q4|的長為半徑的圓與拋物線C的兩個公共點，且AABO為等邊三角形,

則p的值是,

16.（5分）已知在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=120°,AB=AC=\,AA,=2,若A4,

棱在正視圖的投影面々內，且AB與投影面0所成角為。(30輟吩60°),設正視圖的面積

為"7,側視圖的面積為〃，當0變化時，的最大值是,

三、解答題(本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

17.(12分)等差數列｛%｝的前〃項和為S"，數列｛2｝是等比數列,滿足4=3,4=1,

a

+§2=1°，5~2b2=a3.

(I)求數列｛4｝和｛〃｝的通項公式;

--"為奇1數^

（II）令C"={s「設數列{QJ的前〃項和7；,求耳.

bn〃為偶數

18.（12分）如圖，在底面是菱形的四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,ZABC=60°,

PA=AB=2,^E,尸分別為3C,PD的中點，設直線PC與平面AEF交于點Q.

（1）已知平面B4BC平面尸CD=/,求證：AB//1.

（2）求直線A。與平面PCD所成角的正弦值.

19.（12分）作為加班拍檔、創業伴侶、春運神器，曾幾何時，方便面是我們生活中重要的

“朋友”，然而這種景象卻在近5年出現了戲劇性的逆轉.統計顯示，2011年之前，方便

面銷量在中國連續18年保持兩位數增長,2013年的年銷量更是創下462億包的輝煌戰績;

但2013年以來，方便面銷量卻連續3年下跌，只剩385億包，具體如下表.相較于方便

面，網絡訂餐成為大家更加青睞的消費選擇.近年來，網絡訂餐市場規模的“井噴式”

增長，也充分反映了人們消費方式的變化.

全國方便面銷量情況（單位：億包/桶）（數據來源：世界方便面協會）

年份2013201420152016

時間代號f1234

年銷量y（億包/462444404385

桶）

（I）根據上表，求y關于f的線性回歸方程￡=0+應，用所求回歸方程預測2017年Q=5）

方便面在中國的年銷量；

（II）方便面銷量遭遇滑鐵盧受到哪些因素影響？中國的消費業態發生了怎樣的轉變？某媒

體記者隨機對身邊的10位朋友做了一次調查，其中5位受訪者表示超過1年未吃過方便

面；3位受訪者認為方便面是健康食品；而9位受訪者有過網絡訂餐的經歷.現從這10

人中抽取3人進行深度訪談，記J表示隨機抽取的3人認為方便面是健康食品的人數，

求隨機變量J的分布列及數學期望E?）.

參考公式：

.八之4-亍）（％-歹）。

回歸方程：y=bt+a,其中^二-25-------------,a=y-bt

Z=1

5

參考數據：^a,-F）（x-y）=-135.5.

Z=1

20.（12分）如圖，設拋物線G：y2=Y〃a（加>o）的準線/與x軸交于橢圓

尤2v21

。2：）+今=1（">6>0）的右焦點居，片為C2的左焦點.橢圓的離心率為6=—，拋物

線G與橢圓c2交于x軸上方一點p,連接尸耳并延長其交G于點。，“為G上一動點，

且在尸，。之間移動.

（1）當4+且取最小值時，求C1和c,的方程；

2b

（2）若△尸耳匕的邊長恰好是三個連續的自然數，當AMP。面積取最大值時，求面積最大

21.（12分）已知函數/（尤）=6一,（/3-2無）（左為常數，e=2.71828…是自然對數的底數）,曲

線y=/（x）在點（1,f（1））處的切線與y軸垂直.

（1）求/（x）的單調區間；

（2）設gO）=j如+D,對任意x>0,證明：（x+l）g（尤）</+產一2.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.［選修4-4：坐標

系與參數方程］

22.(10分)已知曲線C1的參數方程為卜=夜85。矽為參數)，以直角坐標系的原點。為

［y=sin。

極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為0sin2e=4cos6.

(1)求G的普通方程和G的直角坐標方程；

(2)若過點/(1,0)的直線/與G交于A,B兩點,與C2交于M,N兩點，求IF4—的

|FM||FN|

取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(x)=|x-l|+l,P(x)=；

［12-3x,x>3

(1)解不等式/(x),,2x+3；

(2)若方程"x)=a有三個解，求實數。的取值范圍.

2017-2018學年河北省衡水中學高三（下）第十六次模擬

數學試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）復數z=丑3的實部與虛部分別為（）

i

A.7,-3B.7,-3zC.-7,3D.-7,3i

【考點】加：虛數單位i、復數

【專題】11：計算題；35：轉化思想；4A：數學模型法；5N：數系的擴充和復數

【分析】直接由復數代數形式的乘除運算化簡復數z得答案.

/（37

【解答】解：z=—=~t0=7-3/,

i—i

；.Z的實部與虛部分別為7,-3.

故選：A.

【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎題.

2.（5分）已知尸={-1,0,5,Q={y|y=sin6,3&R},則尸Q=（）

A.0B.{0}C.{-1,0}D.{-1,0,72}

【考點】IE：交集及其運算；H4：正弦函數的定義域和值域

【專題】11：計算題

【分析】由題意尸={-1,0,近},Q={y|y=sind,6&R},利用三角函數的值域解出集

合。，然后根據交集的定義和運算法則進行計算.

【解答］解：Q={y|y=sin0,9&R},

；.Q={yl-啜61},

P={-1,0,偽，

：.PQ={-1,0}

故選：C.

【點評】本題考查兩個集合的交集的定義和求法，以及函數的定義域、值域的求法，關鍵是

明確集合中元素代表的意義.

3.(5分)已知隨機變量X服從正態分布N(a,4),且尸(X，距，尸(X>2)=0.3,尸(X<0)

等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【考點】CP-.正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義

【專題】35：轉化思想；4G：演繹法；51：概率與統計

【分析】畫正態曲線圖，由對稱性得圖象關于x=a對稱且尸(X>“)=0.5,結合題意得到。

的值.

【解答】解：隨機變量J服從正態分布N(a,4),

，曲線關于x=a對稱，且P(X>a)=0.5,

由尸(X>1)=0.5,可知〃=a=1.

尸(X>2)=尸(X<0)=0.3

【點評】本題考查正態分布，正態曲線有兩個特點：(1)正態曲線關于直線x="對稱；(2)

在正態曲線下方和無軸上方范圍內的區域面積為1.

4.(5分)下列有關命題的說法正確的是()

A.命題“若孫=0,則x=0”的否命題為：“若孫=0,則XHO”

B.“若x+y=0,則比，y互為相反數”的逆命題為真命題

C.命題“玉使得的否定是：“VxeR,均有2/-1<0”

D.命題“若cos;c=cosy,則工=了”的逆否命題為真命題

【考點】21：四種命題；2人存在量詞和特稱命題；2K：命題的真假判斷與應用

【專題】15：綜合題

【分析】若孫=0,則x=0的否命題為：若孫H。，貝！IxwO；若x+y=O,則x,y互為

相反數的逆命題為真命題為若x,y互為相反數，則x+y=O；*eR,使得-1<0

的否定是："VxeR,均有2丁-1..0；若cosx=cosy,則x=y為假命題，則根據互為

逆否命題的真假相同可知逆否命題為假命題.

【解答】解：若孫=0,則x=0的否命題為：若孫/0,貝iJxwO,故A錯誤

若x+y=0,則x,y互為相反數的逆命題為真命題為若x,y互為相反數，則x+y=O,

為真命題

使得的否定是：“VxeR,均有2元?-L.0,故C錯誤

若cosx=cosy,貝Ux=y為假命題，則根據互為逆否命題的真假相同可知逆否命題為假命題,

故。錯誤

故選：B.

【點評】本題主要考查了命題真假相同的判斷，解題中主要涉及到了，命題的逆命題、否命

題、逆否命題的寫法及互為逆否命題的真假關系的應用.

5.（5分）已知夕滿足sina=g,那么cos￡+a）cos￡-a）值為（）

252577

A.—B.---C.—D.--

18181818

【考點】GP：兩角和與差的三角函數

【專題】35：轉化思想；49：綜合法；57：三角函數的圖象與性質

【分析】利用兩角和差的三角公式、二倍角公式，求得要求式子的值.

【解答］解：S1，那么

3

n7i，A/2,2「2

c——For-s-a=（——a—閂一ac——QZHsa

4422

=—cos2a--sin2=—cos2cr=—（l-2sin26z）=—（l-2x—）=—，

22222918

故選：C.

【點評】本題主要考查兩角和差的三角公式、二倍角公式的應用，屬于基礎題.

6.（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，三個視圖中的正方形的邊長均為6,俯視圖中的兩

條曲線均為圓弧，則該幾何體的體積為（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.216—3乃B.216—4.5萬C.216—6萬D.216—9萬

【考點】￡!：由三視圖求面積、體積

【專題】11：計算題；31：數形結合；5F：空間位置關系與距離

【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以6為棱長的正方體，截去兩個底面半徑

為3的高為6的四分之一的圓椎，畫出其直觀圖，計算其體積即可.

【解答】解：由三視圖知：該幾何體是一個正方體，棱長等于6,

截去兩個底面半徑為3,高為6的四分之一的圓錐，

畫出其直觀圖如圖所示：

則該幾何體的體積為63-、萬X32XLX2X6=216-9TT,

34

【點評】本題考查的知識點是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的

形狀.然后計算出它的體積.

7.(5分)已知函數/(x)=2sin(2x+三)，現將y=/(x)的圖象向左平移三個單位，再將所

612

得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的工倍，縱坐標不變，得到函數y=g(x)的圖象，則

2

g。)在[0,—]的值域為()

24

A.[-1,2]B.[0,1]C.[0,2]D.[-1,0]

【考點】HJ：函數y=Asin(ox+0)的圖象變換

【專題】35：轉化思想；49：綜合法；57：三角函數的圖象與性質

【分析】利用y=Asin(s+0)的圖象變換規律求得g(x)的解析式，再利用正弦函數的定義

域和值域，求得g(x)在[0,2]上的值域.

24

【解答】解：把函數〃x)=2sin(2x+￡的圖象向左平移5個單位，

可得y=2sin(2x+^-+^)=2sin(2x+2的圖象，

再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的1倍，縱坐標不變，

2

得到函數y=g(x)=2sin(4x+9的圖象，

在[0,苦]上，4x+[eg,2],

24336

故當4%+三=必時，g(x)取得最小值為-1；當4%+生=生時，g(x)取得最大值為2,

3632

故函數g(x)的值域為[-1,2],

故選：A.

【點評】本題主要考查y=Asin(0x+°)的圖象變換規律，正弦函數的定義域和值域，屬于

基礎題.

8.(5分)我國古代名著《九章算術》用“更相減損術”求兩個正整數的最大公約數是一個

偉大創舉.這個偉大創舉與我國古老的算法-“輾轉相除法”實質一樣.如圖的程序框

圖即源于“輾轉相除法”，當輸入a=&402,6=2046時，輸出的。=()

C.36D.198

【考點】EF：程序框圖

【專題】11：計算題；27：圖表型；45：試驗法；5K：算法和程序框圖

【分析】模擬程序框圖的運行過程，該程序執行的是歐幾里得輾轉相除法，求出運算結果即

可.

【解答】解：模擬程序框圖的運行過程，如下；

a=6402,6=2046

執行循環體，r=264,a=2046,b=264

不滿足退出循環的條件，執行循環體，廠=198,a=264,6=198,

不滿足退出循環的條件，執行循環體，r=66,a=198,b=66,

不滿足退出循環的條件，執行循環體，r-0,a=66,b-0,

滿足退出循環的條件r=0,退出循環，輸出。的值為66.

故選：A.

【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正

確的答案，是基礎題.

x+y-5..0

9.(5分)已知實數％，y滿足約束條件＜y-x..O，若不等式(1-a)/+2xy+(4-2?)y*2..O

恒成立，則實數，的最大值為()

A.-B.-C.75D.76

33

【考點】6P：不等式恒成立的問題；7C：簡單線性規劃

【專題】31：數形結合；48：分析法；59：不等式的解法及應用

【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用不等式恒成立轉化為最值問題，利用斜率的幾

何意義以及對勾函數的性質進行轉化求解即可.

x+y-5..0

【解答】解：作出不等式組y-x..O表示的可行域,

1八

y--x-2?0

元+y一5=04,=

由2y-1=。'求得A"，

可得上表示原點與(x,y)的斜率,

X

即有上近1,2],

x2

由不等式(1-a)/+2xy+(4-2a)y2..0恒成立,

可得f+產+-2的最小值，

x2+2y2

由…^

1+”+干”一1

可設/=2義一1,即2=匕1,

xx2

2

可得/(%,丁)=2+----------，

2+t+-

t

由[￡口，-],可得方￡口，2],

x2

則/+』在［，6）遞減，在（6，2］遞增,

t

又"1時，,+三在口，2］取得最大值4,

t

一?7

貝的最小值為2+------=—，

2+43

可得。的最大值為？，

3

故選：A.

【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義以及不等式恒成立，利用

參數分離法轉化求求函數的最值是解決本題的關鍵.

10.（5分）已知函數/（x）=/nx,g（x）=（2m+3）x+n,若對任意的%￡（0,+oo）,總有/（x）?g（x）

恒成立，記（2機+3）〃的最小值為了（私〃），則/（根,〃）最大值為（）

A.1B.-C.\D.~^=

ee24^

【考點】3H：函數的最值及其幾何意義

【專題】35：轉化思想；4J：換元法；51：函數的性質及應用；53：導數的綜合應用

【分析】由題意可得加%-（2機+3）%-七,0在x￡（0,+co）恒成立，設"（%）=歷―（2m+3）%,

只要/z（x）的最大值不大于0.求出以防的導數和單調區間，討論2相+3的符號，可得最

小值/（私"），再令￡=2祇+3?>0）,可令左。）=/（-加1）,求出導數和單調區間，可得

極大值，且為最大值.

【解答】解：若對任意的%￡（0,+8）,總有/。）,途（九）恒成立，

即為如:一（2根+3）%-“，0在%￡（0,+oo）恒成立,

設/z(x)=歷x-(2m+3)%-〃,則/z(x)的最大值不大于0.

由/7'(無)=!一(2〃?+3),

X

若2根+3,,0,hXx)>0,/z(x)在(0,+oo)遞增，/z(x)無最大值；

若2m+3>0,貝!]當%>―-一時，h\x)<0,/?0)在(一--,+8)遞減；

2m+32m+3

當0<x<—]—時，〃(x)>0,〃(x)在(0,——)遞增.

2m+32m+3

可得x=—一處人(元)取得最大值，且為—ln(2m+3)-1-〃，

2m+3

!Uy-ln(2m+3)-1-M,,0，可得〃…一加(2機+3)-1,

(2m+3)〃..(2m+3)[-ln(2m+3)-1],

可得/(根，n)=(2m+3)[-/n(2m+3)-l],

令1=2加+3?>0),可令左?)=*-/加一1),

左'(力=—Int—1—1=—Int—2,

當/時，k\t)<0,左⑺在(二，+8)遞減；

當0<，<4時，W)>0,左⑺在(。二)遞增.

ee

可得r=[處h(t)取得極大值，且為最大值4H?4-I)=4.

eeee

則/(私〃)最大值為

e

故選：c.

【點評】本題考查函數的最值的求法，注意運用導數判斷單調性，考查不等式恒成立問題的

解法，注意轉化為求函數的最值，考查換元法和構造函數法，屬于綜合題.

22

H.(5分)設雙曲線C:二-馬=l(q>0,6>0)的左、右焦點分別為耳，F2,過F2的直線與

ab

雙曲線的右支交于兩點A,B,若|Af；|:|AB|=3:4,且F?是y15的一個四等分點，則雙

曲線C的離心率是()

A亞R癡c5

222

【考點】KC：雙曲線的性質

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；4G：演繹法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程

【分析】根據雙曲線的定義得到三角形GAB是直角三角形，根據勾股定理建立方程關系即

可得到結論.

【解答】解：設|AB|=4x,則|A4|=3x,|然|=工,

|AFt|-|AF21=2a,:.x=a,

:\AB\^Aa,\BFt|=5a,

22

滿足IA片|+\AB^=\BFt|,

則N/AB=90。，

則耳『+1伍『=|耳瑪

即9a2+a2—4c*,

HP10(?2=4c2,

得e，=巫，

a2

故選：B.

【點評】本題主要考查雙曲線離心率的求解，根據條件結合雙曲線的定義判斷三角形是

直角三角形是解決本題的關鍵.

ln(2x)

12.(5分)已知偶函數/(x)滿足/(4+x)=/(4-x),且當xe(0,4］時，f(x)

x

關于X的不等式r(x)+W(x)>0在［-200,200］上有且只有300個整數解，則實數。的

取值范圍是()

〃

A.(-/w2,-gz6)B.(—歷2,歷6]

「/17A31n2、「/17/31n2、

C.(—/no,--------)D?(—/no,-------1

3434

【考點】53：函數的零點與方程根的關系

【專題】33：函數思想；49：綜合法；51：函數的性質及應用

【分析】根據/(處的周期和對稱性得出不等式在(0,4］上的整數解的個數為3,計算

f(k)(k=1,2,3,4)的值得出“的范圍.

【解答】解：偶函數/(%)滿足/(幻滿足/(4+x)=/(4-x),

「./(1+4)=/(4-%)=/(%-4),

.-./(%)的周期為8,且/(x)的圖象關于直線1=4對稱.

由于［-200,200］上含有50個周期，且/(%)在每個周期內都是軸對稱圖形,

二.關于％的不等式/(%)+4(%)>0在(0,4］上有3個整數解.

當xe(0,4］時，r(x)=L_^,

尤

在(0,與上單調遞增，在昌4)上單調遞減，

22

f(1)=ln2,f(2)>f(3)>f(4)=—=-/n2>0,

44

當天=周上=1,2,3,4)時，/(x)>0,

.?.當a..O時，r(x)+4(x)>o在(0,4］上有4個整數解，不符合題意，

<0,

由產(x)+5*(尤)>0可得/(%)<0或/(x)>-a.

顯然/(x)<0在(0,4］上無整數解，

故而/(%)〉-。在(0，4］上有3個整數解，分別為1,2,3.

:.-a..于(4)=［ln29—a<f(3)=~~~，—a〈于(1)=/〃2,

故選：D.

【點評】本題考查了函數單調性與不等式的解的關系，屬于中檔題.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.(5分)已知平面向量a,b,|a|=l,|b|=2且ab=l,e為平面單位向量，則(a+8)e

的最大值為一夕

【考點】90：平面向量數量積的性質及其運算

【專題】11：計算題；35：轉化思想；5A：平面向量及應用；49：綜合法

【分析】通過已知條件求出向量平面向量a,8的夾角，設出向量，化簡斜率的數量積，然

后利用兩角和與差的三角函數轉化求解即可.

【解答】解：平面向量a,b,|a|=1,|b|=2且ab=1,得cos<a,b>=""=:,

|a||b|2

<a,b>=60°,

設出a=(1,0),b=(1,A/3),e=(cos。,sin6)

(a+Z?)e=2cos6+Gsin6=近cos(6+7),其中tan/=,

則(a+Z?)e的最大值為,

故答案為：近.

【點評】本題考查向量的數量積的應用，向量的夾角以及兩角和與差的三角函數的應用.

14.(5分)二項式(尤6+」方)5展開式中的常數項是5.

x/x

【考點】DA：二項式定理

【專題】11：計算題；34：方程思想；35：轉化思想；5P：二項式定理

【分析】根據題意，由二項式定理可得二項式(犬+」產彳展開式的通項，令x的系數為0,

x/x

分析可得r的值，將廠的值代入通項，分析可得答案.

【解答】解：根據題意，二項式(爐+」方》展開式的通項為

xqx

[60-15r

7；M=C；(x6)5T()r=C#k,

令上二上匕=0,解可得廠=4,

2

當r=4時，T5=C^X°=5,

即其展開式中的常數項為5；

故答案為：5.

【點評】本題考查二項式定理的應用，關鍵是求出該二項式的通項.

15.（5分）已知點A是拋物線C:x?=2py（p>0）上一點，（9為坐標原點，若A,3是以點

M（0,8）為圓心，|。4|的長為半徑的圓與拋物線C的兩個公共點，且AABO為等邊三角形,

則。的值是_|_.

【考點】K8：拋物線的性質

【專題】31：數形結合；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程

【分析】根據等邊三角形性質及=求出A點代入拋物線方程解出p.

【解答】解：A/WO為等邊三角形，.?.NAOA/=30。，

\MA\=\OA\,:.\OM\=s/3\OA\=8,

代入拋物線方程得：3=8人解得p=2.

33

故答案為：

3

【點評】本題考查了拋物線的方程，屬于基礎題.

16.（5分）已知在直三棱柱ABC—其qG中，ABAC=120°,AB=AC^},9=2,若明

棱在正視圖的投影面。內，且AB與投影面夕所成角為0（30輟以60°）,設正視圖的面積

為機，側視圖的面積為〃，當。變化時，“7〃的最大值是_3^/3

【考點】LI：由三視圖求面積、體積

【專題】49：綜合法；35：轉化思想；31：數形結合；11：計算題；5F：空間位置關系與

距離

【分析】利用AB與投影面。所成角為0,ZBAC=120°,AB=AC=1,AAt=2,ZBAD=0,

建立正視圖的面積為，〃和側視圖的面積為〃的關系，利用30啜！]960。求解〃掰的最大值.

【解答】解：4?與投影面a所成角為8時，平面ABC如下圖所示：

:.BC=6，ZACE=6O°-3,

BD=ABsind?DA=ABcosd?

AE=ACcos(60。—。)，

ED=DA+AE=cos(60°-6)+cos6

故正視圖的面積為根=EDxA4

=2[cos(60。—9)+cos0

側視圖的面積為〃==2sin6>

,mn=4sin^[cos(60°-ff)+cos0]

=4sinacos60°cos夕+sin8sin60°)+cos0]

=sin20+2百sin28+2sin20

=3sin20+百—百cos23

=2氐皿26-30。)+百

30啜⑹60°

「.30輟於8-30。90°,

所以：2候如“3A/3

故得mn的最大值為30.

故答案為：3石.

【點評】本題考查了三視圖的投影的認識和理解，實體圖邊長與投影圖邊長的關系.利用其

夾角建立關系是解題的關鍵.屬于中檔題.

三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）等差數列｛七｝的前〃項和為S"，數列｛2｝是等比數列，滿足4=3,4=1,

么+S2=10,a5—2b2=a3.

（I）求數列｛an｝和｛2｝的通項公式;

—，〃為奇數

（II）令C〃=5“設數列｛。｝的前"項和7；,求應.

6/為偶數

【考點】84：等差數列的通項公式；88：等比數列的通項公式；8￡：數列的求和

【專題】54：等差數列與等比數列

【分析】（/）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出；

711

（II）由4=3,%=2〃+1得5“=〃（〃+2）.貝U〃為奇數，—=-------."分組求和”,

Snnn+2

利用“裂項求和”、等比數列的前〃項和公式即可得出.

【解答】解：（I）設數列｛%｝的公差為d,數列屹〃｝的公比為夕，

由2+邑=1。，a5—2b2=a3.

q+6+d=10d=2

得,解得

3+4d—2q=3+2dq=2

an=3+2(〃-1)=2〃+1,bn=2〃T.

(II)由q=3,。〃=2〃+1得5〃=n(n+2),

711

則〃為奇數，。=一=------

S?nn+2

”為偶數，Q,=2"T.

..T?"=(Cj+c3+…+)+(c2+c4+...+%")

【點評】本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前〃項和公式、“分組求和”、“裂

項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

18.(12分)如圖，在底面是菱形的四棱錐尸-ABCD中，平面ABCD,NABC=60。，

B4=AB=2,點E,尸分別為3C,PD的中點，設直線PC與平面AEF交于點Q.

(1)已知平面B4BC平面尸8=/,求證：AB//1.

(2)求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.

【考點】LS：直線與平面平行；M1-.直線與平面所成的角

【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離；5G：空

間角

【分析】(1)證明AB//平面尸CD,然后利用直線與平面平行的性質定理證明AB///.

(2)以點A為原點，直線鉆、AD,"分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系求出平面

PCD的法向量直線AQ的方向向量，然后利用空間向量的數量積求解直線AQ與平面

PCD所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：AB//CD,A3仁平面PCD,CDu平面PCD.

」.AB〃平面PCD,

Afiu平面RW,平面R4BC平面PCD=/

-.AB//I.

(2)解：底面是菱形，E為的中點AB=2,

BE=1,AE=?AE±BC,

\AE±ADB4_L平面ABCD,則以點A為原點，直線AE、AD.AP分別為軸建立如圖

所示空間直角坐標系則0(0,2,0),尸(0,0,2),C(國,0),E(6,0,0)

：.F(0,1,1),AE=(^,0,0),AF=(0,1,1),DC=(A-l,01DP=(0,-2,2),

設平面PCD的法向量為〃=(x,y,z),有PDn=0,CD〃=0得”=(1,6,代)，

設AQ=2AC+(1—N)AP,貝I]AQ=(&,%2(1-/1)),AQ=mAE+nAF

則="解之得》J=〃=4=2,.-.AQ=(—A/3,—,

2(1—A)=n

設直線AQ與平面PCD所成角為a,

貝ljsina=|cos(n,AQ)|=,

，直線AQ與平面PCD所成角的正弦值為主叵.

【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理以及性質定理的應用，直線與平面所成角的求

法考查科技信息能力以及計算能力.

19.（12分）作為加班拍檔、創業伴侶、春運神器，曾幾何時，方便面是我們生活中重要的

“朋友”，然而這種景象卻在近5年出現了戲劇性的逆轉.統計顯示，2011年之前，方便

面銷量在中國連續18年保持兩位數增長,2013年的年銷量更是創下462億包的輝煌戰績;

但2013年以來，方便面銷量卻連續3年下跌，只剩385億包，具體如下表.相較于方便

面，網絡訂餐成為大家更加青睞的消費選擇.近年來，網絡訂餐市場規模的“井噴式”

增長，也充分反映了人們消費方式的變化.

全國方便面銷量情況（單位：億包/桶）（數據來源：世界方便面協會）

年份2013201420152016

時間代號r1234

年銷量y（億包/462444404385

桶）

（I）根據上表，求y關于f的線性回歸方程￡=邑+應，用所求回歸方程預測2017年（"5）

方便面在中國的年銷量；

（II）方便面銷量遭遇滑鐵盧受到哪些因素影響？中國的消費業態發生了怎樣的轉變？某媒

體記者隨機對身邊的10位朋友做了一次調查，其中5位受訪者表示超過1年未吃過方便

面；3位受訪者認為方便面是健康食品；而9位受訪者有過網絡訂餐的經歷.現從這10

人中抽取3人進行深度訪談，記J表示隨機抽取的3人認為方便面是健康食品的人數，

求隨機變量J的分布列及數學期望E?）.

參考公式：

,?之g_7）（》一刃，

回歸方程：y=bt+a,其中5=-^-------------------,d=y-bt

Z=1

5

參考數據：刃=-135.5.

Z=1

【考點】CG-.離散型隨機變量及其分布列；BK-.線性回歸方程；CH：離散型隨機變量

的期望與方差

【專題】51；概率與統計；35：轉化思想；49：綜合法；11：計算題

【分析】（I）求出7=2.5,y=423.75,^=-27.1,a=423.75-（-27.1）x2.5=491.5,由

此能求出y關于f的線性回歸方程￡=應+&,用所求回歸方程能預測2017年《=5）方便

面在中國的年銷量.

（II）依題意，10人中認為方便面是健康食品的有3人，J的可能值為0,1,2,3,分別

求出相應的概率，由此能求出&的分布列和EG）.

【解答】解：（I）7