第02講利用向量法解決空間直線、平面的平行，垂直關系目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：線面平行的判定 1題型二：面面平行的判斷 5題型三：線面平行的性質 11題型四：面面平行的性質 15題型五：直線與平面垂直 22題型六：平面與平面垂直 29題型一：線面平行的判定典型例題例題1．（2023春·重慶北碚·高一西南大學附中校考期末）如圖，正三棱柱的各棱長均為1，點為棱的中點．

(1)證明：平面；(2)求異面直線和所成角的余弦值．例題2．（2023春·四川成都·高一統考期末）如圖，在三棱錐中，，在上，且．

(1)求三棱錐與三棱錐的體積之比；(2)若點在上，且．證明：平面．例題3．（2023春·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第三高級中學校考期中）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點是上一點，當時，平面.精練核心考點1．（2023春·遼寧·高一校聯考期末）在直三棱柱中，是的中點．

(1)求證：//平面；(2)求三棱錐的體積；2．（2023春·貴州黔西·高一統考期末）如圖，在正方體中，是棱的中點.

(1)證明：平面；(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積.3．（2023·全國·高一專題練習）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為AA1中點，點P在側面BCC1B1上運動，當點P滿足條件時，A1P平面BCD(答案不唯一，填一個滿足題意的條件即可)題型二：面面平行的判斷典型例題例題1．（2023春·陜西西安·高一統考期末）如圖，在幾何體中，已知四邊形是正方形，，分別為的中點，為上靠近點的四等分點.

(1)證明：//平面；(2)證明：平面//平面.例題2．（2023春·新疆喀什·高一統考期末）如圖，已知棱長為6的正方體中，點在線段上運動.

(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積.例題3．（2023春·新疆昌吉·高一統考期末）如圖，在三棱柱中，若，分別是線段，的中點．(1)求證：//面．(2)在線段上是否存在一點，使得平面//平面，若存在，指出的具體位置并證明；若不存在，說明理由．精練核心考點1．（2023春·山東臨沂·高一山東省臨沂第一中學校考階段練習）如圖：在正方體中，為的中點.

(1)試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；(2)若為的中點，求證：平面平面.2．（2023春·福建泉州·高一福建省泉州市培元中學校考階段練習）如圖：在正方體中，，為的中點.

(1)求證：平面；(2)若為的中點，求證：平面平面.3．（2023春·廣西百色·高一統考期末）如圖：在正方體中，M為的中點.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點N，使得平面平面，說明理由.題型三：線面平行的性質典型例題例題1．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在五面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，其中，，，，．求證：．例題2．（2023·全國·高二假期作業）如圖所示，在四棱錐中，平面，，是的中點．

(1)求證：；(2)求證：平面；例題3．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，已知，分別是菱形的邊，的中點，與交于點，點在平面外，是線段上一動點，若平面，試確定點的位置．

精練核心考點1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一校考期中）如圖，在四棱錐中，//平面PAD，，，，點N是AD的中點．求證：

(1)//；(2)求異面直線PA與NC所成角余弦值．2．（2023春·廣西河池·高一校聯考階段練習）如圖所示，在多面體中，四邊形，，ABCD均為邊長為2的正方形，E為的中點，過，D，E的平面交于點F．

(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，，且．點是線段上一動點．當平面時，求的值．

題型四：面面平行的性質典型例題例題1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區兆麟中學校考期中）如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，的中點．(1)若平面與直線交于點，求的值；(2)若為棱上一點且，若平面，求的值．例題2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）.作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；例題3．（2023春·江西上饒·高一統考期末）如圖，正四棱臺中，，，.

(1)證明：平面；(2)若，求異面直線與所成的角的余弦值.精練核心考點1．（2023春·全國·高一專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F，G分別為線段BC，PB，AD的中點．

(1)證明：平面PAC；(2)在線段BD上找一點H，使得平面PCG，并說明理由．2．（2023春·廣東汕尾·高一統考期末）如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點，是線段上的動點.證明：

(1)平面；(2)平面.3．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示正四棱錐，，P為側棱上的點．且，求：側棱上是否存在一點E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，試說明理由．題型五：直線與平面垂直典型例題例題1．（2023春·吉林長春·高一東北師大附中校考期末）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，，是棱的中點.

(1)證明：直線平面PBC；(2)求直線與平面所成角的余弦值.例題2．（2023春·福建南平·高一統考期末）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，為的中點，，且，，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面.例題3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在四棱錐中，，，平面，，為的中點．（1）求證：平面．（2）平面內是否存在一點，使平面？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由．精練核心考點1．（2023春·北京西城·高一統考期末）如圖，在正方體中，E，F分別是棱，的中點．

(1)證明：平面；(2)證明：平面．2．（2023春·江蘇鎮江·高一揚中市第二高級中學校聯考階段練習）在四棱錐P-ABCD中，，，，，E為PA的中點.

(1)求證：BE∥平面PCD；(2)求證：PA⊥平面PCD.3．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考模擬預測）如圖所示，已知正方體的棱長為，..分別是..的中點.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由.題型六：平面與平面垂直典型例題例題1．（2023春·江蘇鎮江·高一統考階段練習）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點

(1)證明：直線//平面；(2)若平面平面，證明：直線平面.例題2．（2023春·湖南長沙·高一湖南師大附中校考期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面，是的中點.

(1)求證：⊥平面；(2)求直線與底面所成角的正弦值.例題3．（2023·江蘇·高一專題練習）如圖，在直三棱柱中，為棱的中點，，，.在棱上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.精練核心考點1．（2023春·四川成都·高一成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期末）如圖，中，，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點．

(1)求證：