第25章銳角的三角比（基礎、常考、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·上海市青浦區教育局二模）在中，，的余弦是（

）A． B． C． D．2．（2021·上海·九年級期末）在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（

）A． B． C． D．3．（2021·上海金山·九年級期末）在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．4．（2021··九年級專題練習）已知中，，CD是AB上的高，則=（

）A． B． C． D．5．（2022·上海寶山·九年級期末）如圖，已知Rt是斜邊邊上的高，那么下列結論正確的是（

）A． B． C． D．6．（2021·上海市文來中學九年級期中）在中，，，，那么邊的長為（

）A． B． C． D．7．（2022·上海嘉定·九年級期末）在中，，，那么的長是（

）A． B． C． D．8．（2021·上海楊浦·一模）在中，如果，，那么這個三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形9．（2019·上海·九年級期中）在中，，下列等式中正確的是(

)A． B． C． D．10．（2019·上海浦東新·九年級期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，則tanA等于(

)A． B． C． D．11．（2022·上海虹口·九年級期末）在Rt中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．二、填空題12．（2022·上海·華東師范大學第四附屬中學九年級期中）如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，它的頂點在小正方形頂點位置，那么cotB的值為___________13．（2022·上海青浦·九年級期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．14．（2022·上海市徐匯中學九年級期中）的________值等于．15．（2021··九年級專題練習）△ABC中，，，則△ABC的形狀是___________．三、解答題16．（2022·上海·模擬預測）計算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．17．（2022·上海虹口·九年級期末）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側面結構示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當，時，求托板頂點A到底座CD所在平面的距離（結果精確到1mm）．（參考數據：，，，，）18．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，在中，，點D是BC邊上的一點，，，．（1）求AC和AB的長；（2）求的值．【常考】一．選擇題（共4小題）1．（2021?上海模擬）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于（）A． B． C． D．2．（2021秋?徐匯區校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則cosA的值為（）A． B． C． D．3．（2020秋?浦東新區期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的長等于（）A． B．2sinα C． D．2cosα4．（2020秋?徐匯區期末）已知海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30°方向，海監船C在燈塔B的正東方向5海里處，此時海監船C發現貨輪A在它的正北方向，那么海監船C與貨輪A的距離是（）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里二．填空題（共9小題）5．（2022春?嘉定區校級期中）為了測量樓房BC的高度，在距離樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，那么樓房BC的高為．6．（2020秋?松江區期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的長為．7．（2020秋?寶山區期末）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1：0.75，那么該大壩迎水坡AB的長度為米．8．（2022春?青浦區校級期中）如圖，當小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距離AC＝米．（結果可以用根號表示）．9．（2020秋?黃浦區期末）已知一個銳角的正切值比余切值大，且兩者之和是3，則這個銳角的正切值為．10．（2020秋?浦東新區期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，DE⊥AB，交AC于E，若＝，則tan∠A＝．11．（2020秋?虹口區校級期末）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船與觀測站之間的距離（即OB的長）為km．12．（2022春?楊浦區校級月考）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著斜坡從P處出發，走了13米到達M處，此時在鉛垂方向上上升了5米，那么該斜坡的坡度是i＝1：．13．（2020秋?楊浦區期末）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么邊AD的長為．三．解答題（共6小題）14．（2022?楊浦區三模）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC的延長線于點D．（1）求∠D的正弦值；（2）求點C到直線DE的距離．15．（2022春?金山區月考）在一次課外活動中，某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度．如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結果保留根號）16．（2021秋?長寧區校級期中）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D已滑動到點D'的位置，且A，B，D′三點共線，AD′＝40cm，B為AD′中點．當∠BAC＝140°時，傘完全張開．（1）求AB的長．（2）當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）17．（2020秋?松江區期末）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處（點A、B、C在同一直線上）．某測量員從懸崖底C點出發沿水平方向前行60米到D點，再沿斜坡DE方向前行65米到E點（點A、B、C、D、E在同一平面內），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為37°，懸崖BC的高為92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的長；（2）求信號塔AB的高度．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）18．（2022?徐匯區校級模擬）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的40°減至35°．已知原樓梯AB長為5m，調整后的樓梯所占地面CD有多長？（結果精確到0.1m．參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）19．（2022?松江區校級模擬）如圖，山區某教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米．為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造．經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡．（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長．（2）為了消除安全隱患，學校計劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結果精確到1米）（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【易錯】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?閔行區校級期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則下列關系式錯誤的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝2．（2020?南崗區校級開學）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．二．解答題（共1小題）3．（2022春?普陀區校級期中）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺DE構成．已知天橋高度BC＝5.4米，引橋水平跨度AB＝9米．（1）求水平平臺DE的長度；（2）若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數據：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【壓軸】一、填空題1．（2022·上海普陀·九年級階段練習）如圖，已知在Rt中，，將繞點逆時針旋轉后得，點落在點處，點落在點處，聯結，作的平分線，交線段于點，交線段于點，那么的值為____________．2．（2022·上海崇明·九年級期末）定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做“對等四邊形”，如圖，在中，，點A在邊BP上，點D在邊CP上，如果，，，四邊形ABCD為“對等四邊形”，那么CD的長為_____________．3．（2022·上海·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是AC邊的中點，聯結BD．將△ABC繞著點A逆時針旋轉，點B恰好落在射線BD上的點E處，點C落在點F處，聯結FD、FC．如果AB＝1，BC＝2時，那么∠CFD的正切值是____．4．（2022·上海市復旦初級中學九年級期中）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為______．二、解答題5．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，在中，，，點為邊上的一個動點（點不與點、點重合）．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點．（1）求證：；（2）當平分時，求的長；（3）當是等腰三角形時，求的長．6．（2022·上海市復旦初級中學九年級期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，點D是AC邊上一點（不與端點A、C重合），過點C作CE垂直于射線BD，垂足為E，點F在射線BD上，且EF＝2EC，連接AF、CF、AE．(1)求證：△ACF∽△BCE；(2)如圖2，連接AE，點G、H、P分別為線段AB、AE、EF的中點，連接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；(3)在（2）的條件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，請寫出y關于x的函數關系式．7．（2022·上海·測試·編輯教研五九年級階段練習）如圖，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，點C、E分別為射線BM上的動點（點C、E都不與點B重合），聯結AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射線EA交射線CD于點F．設(1)如圖1，當x＝4時，求AF的長；(2)當點E在點C的右側時，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；(3)若AC⊥AE，求AF的長．8．（2022·上海虹口·九年級期末）已知：如圖，在中，，，，點D是邊BC延長線上的一點，在射線AB上取一點E，使得，過點A作于點F．(1)當點E在線段AB上時，求證：；(2)在（1）題的條件下，設，，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)記DE交射線AC于點G，當時，求CD的長．9．（2022·上海寶山·九年級期末）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點A逆時針方向旋轉到AP的位置，分別過點作，垂足分別為點、．(1)求證：；(2)聯結，如果，求的正切值；(3)聯結，如果，求的值．10．（2022·上海青浦·九年級期末）在四邊形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如圖）．點E是射線AD上一點，點F是邊BC上一點，聯結BE、EF，且∠BEF=∠DCB．(1)求線段BC的長；(2)當FB=FE時，求線段BF的長；(3)當點E在線段AD的延長線上時，設DE=x，BF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍．第25章銳角的三角比（基礎、常考、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·上海市青浦區教育局二模）在中，，的余弦是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據角的余弦可進行求解．【詳解】解：在中，，則；故選C．【點睛】本題主要考查角的余弦，熟練掌握求一個角的余弦是解題的關鍵．2．（2021·上海·九年級期末）在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據銳角A的鄰邊a與對邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．【詳解】解：∵∠C=90°，∴=，故選：A．【點睛】此題主要考查了銳角三角函數的定義，關鍵是掌握余切定義．3．（2021·上海金山·九年級期末）在中，，那么銳角的正弦等于（

）A． B． C． D．．【答案】B【分析】根據銳角三角函數的定義可直接得出結果．【詳解】在中，，那么銳角的正弦=，故選：B．【點睛】本題考查銳角三角函數的定義，屬于基礎題，需要熟練掌握銳角三角函數的定義．4．（2021··九年級專題練習）已知中，，CD是AB上的高，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據銳角三角函數的定義解答．【詳解】解：∵△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD，∴.故選D．【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義．三角函數：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．5．（2022·上海寶山·九年級期末）如圖，已知Rt是斜邊邊上的高，那么下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據銳角三角函數的定義分析即可；【詳解】解：A．，故A錯；Ｂ．，故Ｂ錯；Ｃ．，故Ｃ錯；Ｄ=BC，故D正確;故答案為:D【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義,熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵6．（2021·上海市文來中學九年級期中）在中，，，，那么邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先畫好直角三角形，再利用從而可得答案.【詳解】解：如圖，，，，故選A【點睛】本題考查的是利用銳角三角函數求解三角形的邊長，掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵7．（2022·上海嘉定·九年級期末）在中，，，那么的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作底邊上的高，根據銳角三角函數的概念和等腰三角形的三線合一的性質求解．【詳解】解：作AD⊥BC于D．∵，，∴BD＝AB?cosB＝10×＝4，∴BC＝2BD＝8．故選：B【點睛】考查了銳角三角函數的概念以及等腰三角形的三線合一性質，解題關鍵是作高構建直角三角形．8．（2021·上海楊浦·一模）在中，如果，，那么這個三角形一定是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據特殊的三角函數值可知，∠A＝30°，∠B＝60°，即可判斷三角形的形狀．【詳解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＋∠B＝90°，∴這個三角形一定是直角三角形，故選：D．【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，三角形內角和定理，屬于基礎題型．9．（2019·上海·九年級期中）在中，，下列等式中正確的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根據勾股定理可以將直角三角形的第三邊求出來，然后再根據三角函數的求法根據每個選項進行一一驗證即可得出答案.【詳解】如圖，根據中，，，可得：，A.,故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C正確；D.，故D錯誤.故答案選C.【點睛】本題考查利用勾股定理以及三角函數解直角三角形，熟記各個三角函數的求值方法，并區分是解題關鍵，在做題時最好畫一個直角三角形進行輔助.10．（2019·上海浦東新·九年級期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，則tanA等于(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據銳角三角函數的定義，結合勾股定理，用同一個未知數表示直角三角形的三邊；再根據銳角三角函數的定義求解．【詳解】解：由sinB=，可設∠B的對邊是3k，斜邊是5k．則∠B的鄰邊是4k．∴tanA=．故選D．【點睛】理解銳角三角函數的概念．11．（2022·上海虹口·九年級期末）在Rt中，，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出直角三角形，結合余切函數的定義（鄰邊比對邊）可直接得出．【詳解】解：直角三角形中，，，則，故選：C．【點睛】本題考查的是銳角三角函數的定義，理解余切函數的定義是解題關鍵．二、填空題12．（2022·上海·華東師范大學第四附屬中學九年級期中）如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，它的頂點在小正方形頂點位置，那么cotB的值為___________【答案】##【分析】如圖，取點，連接，根據網格的特點以及余切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，取點，連接，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了求余切，掌握直角三角形三角函數的定義是解題的關鍵．13．（2022·上海青浦·九年級期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．【答案】【分析】利用正切的定義求解．【詳解】解：∵∠C=90°，∴tan∠A==2，∴BC=2AC=2×3=6．故答案為：6．【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義：在Rt△ABC中，∠C=90°．銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．14．（2022·上海市徐匯中學九年級期中）的________值等于．【答案】正切【分析】根據特殊角的三角函數值求解即可．【詳解】解：因為，所以的正切值等于，故答案為：正切【點睛】此題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．15．（2021··九年級專題練習）△ABC中，，，則△ABC的形狀是___________．【答案】直角三角形【分析】根據特殊的三角函數值，求得∠A，∠B的度數，再進行判斷．【詳解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，故△ABC是直角三角形，故填：直角三角形．【點睛】本題考查特殊的三角函數值，熟練記憶是關鍵．三、解答題16．（2022·上海·模擬預測）計算：（1）sin260°-tan30°?cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1）（2）-【分析】根據特殊的銳角三角函數值以及基本的四則運算法則可直接求解最后結果．【詳解】解：（1）原式==

=．（2）原式===-=-【點睛】本題考查了銳角三角函數函數值，熟記特殊的銳角三角函數值是解決本題的關鍵．17．（2022·上海虹口·九年級期末）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構成．工作時，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側面結構示意圖，已知托板AB長200mm，支撐板CB長80mm，當，時，求托板頂點A到底座CD所在平面的距離（結果精確到1mm）．（參考數據：，，，，）【答案】托板頂點A到底座CD所在平面的距離為248mm．【分析】過點B作，，交CD于點G，過點A作，交BE于點F，由平行線的性質可得，得出，在與中，分別利用銳角三角函數求解得出，，托板頂點A到底座CD所在平面的距離即可得出．【詳解】解：如圖所示：過點B作，，交CD于點G，過點A作，交BE于點F，∵，∴，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，答：托板頂點A到底座CD所在平面的距離為．【點睛】題目主要考查平行線的性質，利用銳角三角函數解三角形，理解題意，作出相應輔助線，綜合運用銳角三角函數是解題關鍵．18．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，在中，，點D是BC邊上的一點，，，．（1）求AC和AB的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）在Rt△ACD中，利用，CD=6求出AD的長，再求出AC的長.再在Rt△ABC中，利用==求出BC的長，再求出AB的長；（2）過點D作DH⊥AB于點H，利用S△ABD=AB·DH=BD·AC，其中AB、BD、AC都可知，則可求出DH，再在Rt△ADH中利用正弦三角形函數定義求解.解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠ADC==，CD=6，∴AD=10，∴在Rt△ACD中，AC==8.又∵在Rt△ABC中，==，∴BC=12，∴AB==4.（2）過點D作DH⊥AB于點H，∴S△ABD=AB·DH=BD·AC，其中AB=4，BD=BC-CD=6,AC=8,∴DH==,∴在Rt△ADH中，sin∠BAD==.【常考】一．選擇題（共4小題）1．（2021?上海模擬）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于（）A． B． C． D．【分析】根據銳角三角函數的定義，直接得出cotA＝即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴cotA＝＝，故選：C．【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義，熟練地應用銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵，本題是道基礎題，比較簡單．2．（2021秋?徐匯區校級期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則cosA的值為（）A． B． C． D．【分析】根據勾股定理求出斜邊AB，再根據銳角三角函數的定義求出答案即可．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝10，∴cosA＝＝＝，故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數，掌握銳角三角函數的定義以及勾股定理是解決問題的前提．3．（2020秋?浦東新區期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的長等于（）A． B．2sinα C． D．2cosα【分析】根據銳角三角函數的意義即可得出答案．【解答】解：∵sinB＝sinα＝，AC＝2，∴AB＝＝，故選：A．【點評】本題考查銳角三角函數的定義，理解銳角三角函數的意義是解決問題的前提．4．（2020秋?徐匯區期末）已知海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30°方向，海監船C在燈塔B的正東方向5海里處，此時海監船C發現貨輪A在它的正北方向，那么海監船C與貨輪A的距離是（）A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里【分析】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根據三角函數的定義即可得到結論．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC?tan60°＝5（海里），即海監船C與貨輪A的距離是5海里，故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形并求解．二．填空題（共9小題）5．（2022春?嘉定區校級期中）為了測量樓房BC的高度，在距離樓房30米的A處，測得樓頂B的仰角為α，那么樓房BC的高為30tanα．【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了已知角的鄰邊求對邊，用正切值計算即可．【解答】解：如圖；在Rt△ABC中，AB＝30米，∠A＝α；∴BC＝AB?tanA＝30tanα．【點評】本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角解直角三角形．6．（2020秋?松江區期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cosA＝，那么AB的長為8．【分析】根據銳角三角函數的意義求解后，再做出判斷即可．【解答】解：∵cosA＝＝，AC＝6，∴AB＝＝8，故答案為：8．【點評】本題考查銳角三角函數，掌握銳角三角函數的意義是解決問題的關鍵．7．（2020秋?寶山區期末）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1：0.75，那么該大壩迎水坡AB的長度為15米．【分析】根據坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比，再根據勾股定理即可求出該大壩迎水坡AB的長度．【解答】解：如圖，過點B作BC垂直于水平面于點C，∵BC：AC＝1：0.75，∴12：AC＝1：0.75，∴AC＝9（米），∴AB＝＝＝15（米），答：該大壩迎水坡AB的長度為15米．故答案為：15．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，解決本題的關鍵是掌握坡度坡角定義．8．（2022春?青浦區校級期中）如圖，當小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距離AC＝30米．（結果可以用根號表示）．【分析】直接利用坡度的定義得出設BC＝x，則AC＝3x，進而利用勾股定理得出即可．【解答】解：∵小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，∴設BC＝x，則AC＝3x，故x2+（3x）2＝1002，解得：x＝10，那么小明行走的水平距離AC＝30（m）．故答案為：30．【點評】此題主要考查了坡度和坡角問題以及勾股定理，得出BC的長是解題關鍵．9．（2020秋?黃浦區期末）已知一個銳角的正切值比余切值大，且兩者之和是3，則這個銳角的正切值為3．【分析】設這個銳角的正切值為t，根據余切的定義得到這個銳角的余切值為，則t+＝3，解分式方程得到t1＝3，t2＝，然后利用銳角的正切值比余切值大確定t的值．【解答】解：設這個銳角的正切值為t，則這個銳角的余切值為，根據題意得t+＝3，整理得3t2﹣10t+3＝0，解得t1＝3，t2＝，經檢驗t1＝3，t2＝都為原方程的解，因為一個銳角的正切值比余切值大，所以t＝3．即這個銳角的正切值為3．故答案為3．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°．銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．銳角A的鄰邊b與對邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．10．（2020秋?浦東新區期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，DE⊥AB，交AC于E，若＝，則tan∠A＝．【分析】根據線段垂直平分線的性質可得AE＝BE，再根據＝，進而得出若＝，設輔助未知數，求出BC，即可求出tanA的值．【解答】解：連接EB，∵D是AB的中點，DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵＝＝，設EC＝3k，則AE＝BE＝5k，AC＝5k+3k＝8k，在Rt△BCE中，BC＝＝4k，在Rt△ABC中，tan∠A＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查線段垂直平分線的性質，銳角三角函數的意義，利用輔助未知數和勾股定理求出BC是解決問題的關鍵．11．（2020秋?虹口區校級期末）如圖，港口A在觀測站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達B處，此時從觀測站O處測得該船位于北偏東60°的方向，則該船與觀測站之間的距離（即OB的長）為（2+2）km．【分析】作AD⊥OB于點D，根據題目條件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分別求出AD、OD、BD的長，從而得出答案．【解答】解：如圖所示，過點A作AD⊥OB于點D，由題意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，則∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD+BD＝2+2（km），故答案為：（2+2）．【點評】本題主要考查解直角三角形的應用﹣方向角問題，解題的關鍵是構建合適的直角三角形，并熟練運用三角函數進行求解．12．（2022春?楊浦區校級月考）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著斜坡從P處出發，走了13米到達M處，此時在鉛垂方向上上升了5米，那么該斜坡的坡度是i＝1：2.4．【分析】垂直高度、水平距離和坡面距離正好構成一個直角三角形，先根據勾股定理，求出水平距離，然后根據定義解答．【解答】解：由題意得，水平距離＝＝12，∴坡比i＝5：12＝1：2.4．故答案為2.4【點評】本題考查的知識點為：坡度＝垂直距離：水平距離，通常寫成1：n的形式，屬于基礎題．13．（2020秋?楊浦區期末）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形，如圖，已知在對余四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么邊AD的長為9．【分析】如圖，過點A作AH⊥BC于H，過點C作CE⊥AD于E，連接AC．解直角三角形求出AE，DE即可解決問題【解答】解：如圖，過點A作AH⊥BC于H，過點C作CE⊥AD于E，連接AC．在Rt△ABH中，tanB＝＝，∴可以假設AH＝3k，BH＝4k，則AB＝5k＝10，∴k＝2，∴AH＝6，BH＝8，∵BC＝12，∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，∴AC＝＝＝2，∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠B，在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝，∵CD＝5，∴DE＝3，CE＝4，∴AE＝＝＝6，∴AD＝AE+DE＝9．故答案為：9．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．三．解答題（共6小題）14．（2022?楊浦區三模）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分線交AB于點E，交BC的延長線于點D．（1）求∠D的正弦值；（2）求點C到直線DE的距離．【分析】（1）過點A作AH⊥BC于點H．由等腰三角形三線合一的性質得出BH＝BC＝2．在△ABH中，根據正弦函數的定義得出sin∠BAH＝＝，根據三角形內角和定理求出∠BAH＝∠D＝90°﹣∠B，則sin∠D＝sin∠BAH＝；（2）過點C作CM⊥DE于點M．解直角△BED，求出BD＝＝9，則CD＝BD﹣BC＝5．再解直角△MCD，求出CM＝，即點C到DE的距離為．【解答】解：（1）過點A作AH⊥BC于點H．∵AB＝AC，BC＝4，∴BH＝BC＝2．∵在△ABH中，∠BHA＝90°，AB＝6，∴sin∠BAH＝＝＝，∵DE是AB的垂直平分線，∴∠BED＝90°，BE＝3，∴∠BED＝∠BHA，又∵∠B＝∠B，∴∠BAH＝∠D，∴sin∠D＝sin∠BAH＝，即∠D的正弦值為；（2）過點C作CM⊥DE于點M．∵在△BED中，∠BED＝90°，sin∠D＝，BE＝3，∴BD＝＝9，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5．∵在△MCD中，∠CMD＝90°，sin∠D＝＝，∴CM＝CD＝，即點C到DE的距離為．【點評】本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，線段垂直平分線的性質，銳角三角函數的定義，準確作出輔助線是解題的關鍵．15．（2022春?金山區月考）在一次課外活動中，某數學興趣小組測量一棵樹CD的高度．如圖所示，測得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，在B處測得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結果保留根號）【分析】作BF⊥CD于點F，設DF＝x米，在直角△DBF中利用三角函數用x表示出BF的長，在直角△DCE中表示出CE的長，然后根據BF﹣CE＝AE即可列方程求得x的值，進而求得CD的長．【解答】解：作BF⊥CD于點F，根據題意可得ABFC是矩形，∴CF＝AB，∵斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長為8米，∴AB＝2，∴CF＝2，設DF＝x米，在Rt△DBF中，tan∠DBF＝，則BF＝＝x（米），在直角△DCE中，DC＝x+CF＝（2+x）米，在直角△DCE中，tan∠DEC＝，∴EC＝（x+2）米．∵BF﹣CE＝AE，即x﹣（x+2）＝8．解得：x＝4+1，則CD＝4+1+2＝（4+3）米．答：CD的高度是（4+3）米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．16．（2021秋?長寧區校級期中）我國紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動．如圖2是傘完全收攏時傘骨的示意圖，此時傘圈D已滑動到點D'的位置，且A，B，D′三點共線，AD′＝40cm，B為AD′中點．當∠BAC＝140°時，傘完全張開．（1）求AB的長．（2）當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．（參考數據：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1）根據中點定義即可求出AB的長；（2）過點B作BE⊥AD于點E,根據等腰三角形的性質可得AD＝2AE,然后利用銳角三角函數可得AE的長，所以AD＝2AE＝13.6cm，進而可得傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離．【解答】解：（1）∵B為AD′中點，∴AB＝AD′,∵AD′＝40cm，∴AB＝20cm；（2）如圖，過點B作BE⊥AD于點E,∵AB＝BD,∴AD＝2AE,∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,∴∠BAE＝BAC＝70°,在Rt△ABE中，AB＝20cm∴AE＝AB?cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),∴AD＝2AE＝13.6(cm),∵AD′＝40cm，∴40﹣13.6＝26.4(cm)．∴傘圈D沿著傘柄向下滑動的距離為26.4cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關鍵是掌握解直角三角形的方法．17．（2020秋?松江區期末）如圖，垂直于水平面的5G信號塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點處（點A、B、C在同一直線上）．某測量員從懸崖底C點出發沿水平方向前行60米到D點，再沿斜坡DE方向前行65米到E點（點A、B、C、D、E在同一平面內），在點E處測得5G信號塔頂端A的仰角為37°，懸崖BC的高為92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．（1）求斜坡DE的高EH的長；（2）求信號塔AB的高度．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）過點E作EM⊥DC交DC的延長線于點M，根據斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4可設EH＝x，則DH＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出EH；（2）結合（1）得DH的長，故可得出CH的長．由矩形的判定定理得出四邊形EHCM是矩形，故可得出EM＝HC，CM＝EH，再由銳角三角函數的定義求出AM的長，進而可得出答案．【解答】解：（1）過點E作EM⊥AC于點M，∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，∴設EH＝x，則DH＝2.4x．在Rt△DEH中，∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，解得，x＝25（米）（負值舍去），∴EH＝25米；答：斜坡DE的高EH的長為25米；（2）∵DH＝2.4x＝60（米），∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，∴四邊形EHCM是矩形，∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．在Rt△AEM中，∵∠AEM＝37°，∴AM＝EM?tan37°≈120×0.75＝90（米），∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．答：信號塔AB的高度約為23米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題、坡度坡角問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．18．（2022?徐匯區校級模擬）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的40°減至35°．已知原樓梯AB長為5m，調整后的樓梯所占地面CD有多長？（結果精確到0.1m．參考數據：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）【分析】根據原樓梯的傾斜角為40°，可先求出AD的長，繼而在Rt△ACD中求出CD的長．【解答】解：在Rt△ABD中，sin40°＝＝，∴AD＝5sin40°＝5×0.64＝3.2，在Rt△ACD中，tan35°＝，CD＝＝4.6，答：調整后的樓梯所占地面CD約為4.6米．【點評】本題考查了解直角三角形的實際應用中的坡度坡角問題，難度不大，注意細心運算即可．19．（2022?松江區校級模擬）如圖，山區某教學樓后面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米．為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造．經地質人員勘測，當坡角不超過53°時，可確保山體不滑坡．（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長．（2）為了消除安全隱患，學校計劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結果精確到1米）（參考數據：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【分析】（1）根據坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根據勾股定理計算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根據正切的概念求出AH，結合圖形計算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比為i＝1：，∴BE：EA＝12：5，設BE＝12x，則EA＝5x，由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，解得，x＝2，則BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，答：改造前坡頂與地面的距離BE的長為24米；（2）作FH⊥AD于H，則tan∠FAH＝，∴AH＝≈18，∴BF＝18﹣10＝8，答：BF至少是8米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關鍵．【易錯】一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?閔行區校級期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，則下列關系式錯誤的是（）A．a＝btanA B．b＝ccosA C．a＝csinA D．c＝【分析】先畫出圖形，根據銳角三角函數的定義，判斷各選項即可．【解答】解：A、tanA＝，則a＝btanA，選項表示正確；B、cosA＝，則b＝ccosA，選項表示正確；C、sinA＝，則a＝csinA，選項表示正確；D、cosA＝，則c＝，選項表示錯誤．因本題選錯誤的，故選：D．【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，關鍵是熟練掌握銳角三角函數的定義及其變形．2．（2020?南崗區校級開學）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．【解答】解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C．∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查學生對坡度、坡角的理解及運用．二．解答題（共1小題）3．（2022春?普陀區校級期中）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺DE構成．已知天橋高度BC＝5.4米，引橋水平跨度AB＝9米．（1）求水平平臺DE的長度；（2）若與地面垂直的平臺立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長度之比．（參考數據：取sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延長CE交AB于點F，過點E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，從而可得∠EFG＝37°，四邊形ADEF是平行四邊形，進而可得AD＝EF，DE＝AF，然后在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出BF的長，從而求出AF的長，即可解答；（2）根據題意可得：MN＝EG＝3米，然后在Rt△EFG中，利用銳角三角函數的定義求出EF的長，從而求出AD的長，再在Rt△BCF中，利用銳角三角函數的定義求出CF的長，從而求出CE的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）延長CE交AB于點F，過點E作EG⊥AB，垂足為G，由題意得：AD∥EF，∴∠A＝∠EFG＝37°，∵DE∥AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AD＝EF，DE＝AF，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴BF＝≈＝7.2（米），∵AB＝9米，∴DE＝AF＝AB﹣BF＝9﹣7.2＝1.8（米），∴水平平臺DE的長度約為1.8米；（2）由題意得：MN＝EG＝3米，在Rt△EFG中，EF＝≈＝5（米），∴AD＝EF＝5米，在Rt△BCF中，BC＝5.4米，∴CF＝＝＝9（米），∴CE＝CF﹣EF＝9﹣5＝4（米），∴兩段樓梯AD、CE的長度之比為：5：4．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，平行四邊形的判定，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【壓軸】一、填空題1．（2022·上海普陀·九年級階段練習）如圖，已知在Rt中，，將繞點逆時針旋轉后得，點落在點處，點落在點處，聯結，作的平分線，交線段于點，交線段于點，那么的值為____________．【答案】【分析】根據題意以C為原點建立平面直角坐標系，過點N作延長交BP于點P，交于點H，軸交于點G，過點D作軸交于點Q，由可設，，，由旋轉可得，，，則，，寫出點坐標，由角平分線的性質得，即可得出，即可得，故可推出，求出點P坐標，由得，推出，故得，由相似三角形的性質即可得解．【詳解】如圖，以C為原點建立平面直角坐標系，過點N作延長交BP于點P，交于點H，軸交于點G，過點D作軸交于點Q，∵，∴設，，，由旋轉可得：，，，∴，，∴，，，∵AN是平分線，∴，∴，即可得，∴，設直線BE的解析式為，把，代入得：，解得：，∴，當時，，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉的性質、正切值、角平分線的性質以、用待定系數法求一次函數及相似三角形的判定與性質，根據題意建立出適當的坐標找線段長度是解題的關鍵．2．（2022·上海崇明·九年級期末）定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做“對等四邊形”，如圖，在中，，點A在邊BP上，點D在邊CP上，如果，，，四邊形ABCD為“對等四邊形”，那么CD的長為_____________．【答案】13或12-或12+【分析】根據對等四邊形的定義，分兩種情況：①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性質，求出相關相關線段的長度，即可解答．【詳解】解：如圖，點D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時點D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時點D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過點A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F，設BE=x，∵，∴AE=x，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即x2+(x)2=132，解得：x1=5，x2=-5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC-BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，FD2=，∴CD2=CF-FD2=12-，CD3=CF+FD2=12+，綜上所述，CD的長度為13、12-或12+．故答案為：13、12-或12+．【點睛】本題主要考查了新定義，銳角三角函數，勾股定理等知識，解題的關鍵是理解并能運用“等對角四邊形”這個概念．在（2）中注意分類討論思想的應用、勾股定理的應用．3．（2022·上海·二模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D是AC邊的中點，聯結BD．將△ABC繞著點A逆時針旋轉，點B恰好落在射線BD上的點E處，點C落在點F處，聯結FD、FC．如果AB＝1，BC＝2時，那么∠CFD的正切值是____．【答案】【分析】旋轉后如圖示，過A作于過作于過作交的延長線于過作于證明四邊形是矩形，再證明設則可得求解可得連接設則由建立方程求解，從而可得答案.【詳解】解：旋轉后如圖示，過A作于過作于過作交的延長線于過作于為的中點，由旋轉可得：四邊形是矩形，同理可得：設則則所以而而連接設則由解得：則故答案為：【點睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，旋轉的性質，矩形的判定與性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，掌握各圖形之間的聯系，作出正確的輔助線是解題的關鍵，是難度大的壓軸題.4．（2022·上海市復旦初級中學九年級期中）新定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.如圖，已知在對余四邊形中，，，，，那么邊的長為______．【答案】9【分析】連接AC，作交BC于E點，由，，可得AE=6，BE=8，并求出AC的長，作交AD于F點，可證，最后求得AF和DF的長，可解出最終結果．【詳解】解：如圖，連接AC，作交BC于E點，，，，設AE=3x，BE=4x，，則，解得x=2，則AE=6，BE=8，又，CE=BC-BE=4，，作交AD于F點，，，，==，又，同理可得DF=3，CF=4，，AD=AF+DF=9．故答案為：9．【點睛】本題考查四邊形綜合問題，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定難度，熟練掌握直角三角形和勾股定理知識點，根據題意做出正確的輔助線是解決本題的關鍵．二、解答題5．（2021·上海·九年級專題練習）如圖，在中，，，點為邊上的一個動點（點不與點、點重合）．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點．（1）求證：；（2）當平分時，求的長；（3）當是等腰三角形時，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）的長為11或或．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到，根據三角形的外角性質得到，得到，根據相似三角形的性質證明結論；（2）證明，根據平行線的性質得到，證明，根據相似三角形的性質列式計算，得到答案；（3）分點在的延長線上、點在線段上兩種情況，根據等腰三角形的性質計算即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，又，∴，∴，即；（2）解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴，即解得，，∴，解得，；（3）解：作于，∵，，∴，由勾股定理得，，∴，∴，設，則，由勾股定理得，，∵，∴，當點在的延長線上，時，，∴，解得，，∴，當時，，∴，解得：，∴；當時，，∴，解得，，∴；當點在線段上時，為鈍角，∴只有，則，∴，解得，，不合題意，∴是等腰三角形時，的長為11或或．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質、三角函數、等腰三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．6．（2022·上海市復旦初級中學九年級期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，點D是AC邊上一點（不與端點A、C重合），過點C作CE垂直于射線BD，垂足為E，點F在射線BD上，且EF＝2EC，連接AF、CF、AE．(1)求證：△ACF∽△BCE；(2)如圖2，連接AE，點G、H、P分別為線段AB、AE、EF的中點，連接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；(3)在（2）的條件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，請寫出y關于x的函數關系式．【答案】(1)證明見解析(2)2(3)y＝【分析】（1）先推出△ABC∽△FEC，進而得出∠FCE＝∠ACB，，從而得到∠FCA＝∠ECB，即可證明結論；（2）根據三角形中位線性質可推出∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，，進而完成解答；（3）作GQ⊥PH，交PH的延長線于Q，在（2）基礎上得出PH和GH的長以及sin∠GHQ，進而完成解答．（1）（1）證明：∵CE⊥BF，∴∠BEC＝∠ABC＝90°，∵AB＝2BC，EF＝2EC，∴，∴△ABC∽△FEC，∴∠FCE＝∠ACB，，∴∠FCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即：∠FCA＝∠ECB，∴△ACF∽△BCE．（2）（2）解：∵G是AB的中點，H是AE的中點，P是EF的中點，∴GH//BE，GH＝，HP//AF，PH＝，∠AEF＝∠GHE，∠HPE＝∠AFB，∠PHG＝∠GHE+∠PHE＝∠AEF+∠PHE，∵∠HPE＝180°﹣（∠AEF+∠PHE）＝180°﹣∠PHG，∠HGP+∠HPG＝180°﹣∠PHG，∴∠HGP+∠HPG＝∠HPE＝∠AFB，由（1）得：△ACF∽△BCE；∴∠AFC＝∠BEC＝90°，，∴∠ABC+∠AFC＝180°，，∴點A、B、C、F共圓，∴∠AFB＝∠ACB，∵tan∠ACB＝，∴tan（∠HGP+∠HPG）＝2．（3）（3）解：如圖，作GQ⊥PH，交PH的延長線于Q，∴∠GHQ＝∠HGP+∠HPG，∴tan∠GHQ＝2，∴sin∠GHQ＝，由（2）得：，∴AF＝BE＝x，∴PH＝＝，GH＝，∴GQ＝GH?sin∠GHQ＝＝x，∴S△PGH＝＝＝，∴y＝．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理、解直角三角形等知識點，解決問題的關鍵是靈活運用相似三角形的判定和性質．7．（2022·上海·測試·編輯教研五九年級階段練習）如圖，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，點C、E分別為射線BM上的動點（點C、E都不與點B重合），聯結AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射線EA交射線CD于點F．設(1)如圖1，當x＝4時，求AF的長；(2)當點E在點C的右側時，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；(3)若AC⊥AE，求AF的長．【答案】(1)(2)（0＜x＜5）；(3)或【分析】（1）作AH⊥BC于H，可證明四邊形ABCD為平行四邊形，得∠B=∠D，再利用△ADF∽△ABC，可得答案；（2）首先利用△BAC∽△BEA，得BE=，AC=AE，CE=BE-BC=，再根據△ADF∽△EFC，從而解決問題；（3）當點E在C右側時，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，設CH=CG=x，則BC=3-x，在Rt△BCG中，由勾股定理得，12+x2=（3-x）2，解得x=，再利用三角函數求出AE的長，由△ADF∽△EFC，可得AF=AE，代入即可，當點E在C左側時，同理進行解決問題．（1）解：作AH⊥BC于H，如圖1，在Rt△ABH中，AB=5，，∴BH=，∵BC=4，∴CH=1，∴AH=，在Rt△ACH中，AC=，∵AD∥BC，AD=BC=4，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B=∠D，∵∠DAF=∠BAC，∴△ADF∽△ABC，∴，∴，∴AF=；（2）解：如圖2，∵AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB，∵∠DAE=∠BAC，∴∠AEB=∠BAC，∵∠ABC=∠EBA，∴△BAC∽△BEA，∴，∴，∴BE=，AC=AE，∴CE=BEBC=，∵AD∥CE，∴△ADF∽△EFC，∴，∴，∴AF=?AE∴，即（0＜x＜5）；（3）解：當點E在C右側時，作AH⊥BC于H，CG⊥AB于G，則∠DAE=∠AEB=∠BAC=∠CAE，設CH=CG=x，則BC=3-x，在Rt△BCG中，由勾股定理得，12+x2=（3-x）2，解得x=，∴CH=，∴AC=，∵tan∠AEC=tan∠CAH=，∴AE=3AC=，EH=2AE=12，∴CE=+12=，∵AD∥CE，∴△ADF∽△EFC，∴，∴AF=AE=，當點E在C左側時，如圖，同理可得AF=AE=×，綜上：AF=或．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，三角函數，角平分線的性質，勾股定理等知識，運用三角函數求出CE的長是解決問題（3）的關鍵．8．（2022·上海虹口·九年級期末）已知：如圖，在中，，，，點D是邊BC延長線上的一點，在射線AB上取一點E，使得，過點A作于點F．(1)當點E在線段AB上時，求證：；(2)在（1）題的條件下，設，，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(3)記DE交射線AC于點G，當時，求CD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)，；(3)．【分析】（1）根據相似三角形的判定定理可得，，由其性質：相似三角形的對應邊成比例，進行等量代換即可證明；（2）根據正切函數設，，利用勾股定理確定三邊長度，根據（1）中，代入可確定y與x的函數關系式，考慮當時，，當時，點E與點B重合，點F與點C重合，此時x取得最大值；當時，，不符合題意，不進行討論；綜合即可得出自變量的取值范圍；（3）分兩種情況進行討論：當點G在線段AC上時，延長AF交BC于點M，作于點N，根據相似三角形的性質及角之間的關系可得，再由等腰三角形三線合一的性質得出，根據三角形等面積法即可得出，由此確定CD；當點G在AC的延長線上時，根據相似三角形的性質及三角形外角的性質可得這種情況不存在，綜合兩種情況即可得出結果．(1)證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；(2)解：∵，，∴，設，，∵，∴，解得：，∴，，∴，由（1）得，∴，∴，當時，，符合題意，∴；當時，點E與點B重合，點F與點C重合，此時x取得最大值，∴，