培優(yōu)點8等和(高)線定理與奔馳定理1．等和(高)線定理(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))，則eq\o(OP′,\s\up6(→))＝keq\o(OP,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OP′,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立．(2)平面內(nèi)一個基底{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))}及任一向量eq\o(OP′,\s\up6(→))，eq\o(OP′,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線．①當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時，k＝1；②當(dāng)?shù)群途€在O點和直線AB之間時，k∈(0,1)；③當(dāng)直線AB在O點和等和線之間時，k∈(1，＋∞)；④當(dāng)?shù)群途€過O點時，k＝0；⑤若兩等和線關(guān)于O點對稱，則定值k1，k2互為相反數(shù)；⑥定值k的變化與等和線到O點的距離成正比．2．奔馳定理如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0．由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，所以我們把它稱為“奔馳定理”．這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．題型一利用等和線求基底系數(shù)和的值例1如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點．若eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ等于()A．1B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案B解析方法一(常規(guī)方法)∵E為線段AO的中點，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,4)，則λ＋μ＝eq\f(3,4).方法二(等和線法)如圖，AD為值是1的等和線，過點E作AD的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(BE,BF).由圖易知，eq\f(BE,BF)＝eq\f(3,4)，即λ＋μ＝k＝eq\f(3,4).思維升華利用等和線求基底系數(shù)和的步驟(1)確定值為1的等和線；(2)平移該線，作出滿足條件的等和線；(3)從長度比或點的位置兩個角度，計算滿足條件的等和線的值．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2＝________.答案eq\f(1,2)解析方法一(常規(guī)方法)由題意作圖如圖．∵在△ABC中，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3).故λ1＋λ2＝eq\f(1,2).方法二(等和線法)如圖，過點A作eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))，連接DF.設(shè)AF與BC的延長線交于點H，易知AF＝FH，∴AF＝eq\f(1,2)AH，因此λ1＋λ2＝eq\f(1,2).題型二利用等和線求基底系數(shù)和的最值(范圍)例2如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則2x＋2y的最大值為()A.eq\f(8,3)B．2C.eq\f(4,3)D．1答案A解析如圖，作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，則λ＋μ＝1，∵BC∥EF，∴設(shè)eq\f(AE,AB)＝eq\f(AF,AC)＝k，則k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3)))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝keq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝keq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))＝λkeq\o(AB,\s\up6(→))＋μkeq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝λk，y＝μk，∴2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k≤eq\f(8,3).思維升華求解步驟：(1)確定值為1的等和線；(2)平移(旋轉(zhuǎn)或伸縮)該線，結(jié)合動點允許存在的區(qū)域，分析何處取得最大值和最小值；(3)從長度比或點的位置兩個角度，計算最大值和最小值．跟蹤訓(xùn)練2在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C為eq\o(AB,\s\up9(︵))上的一個動點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，則3x＋y的取值范圍是________．答案[1,3]解析如圖，取點D使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝3xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，作一系列與BD平行的直線與圓弧相交，當(dāng)點C與點B重合時，3x＋y取得最小值1；當(dāng)點C與點A重合時，3x＋y取得最大值3，故3x＋y的取值范圍是[1,3]．題型三奔馳定理例3已知O是△ABC內(nèi)部一點，滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，則實數(shù)m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔馳定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.思維升華利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴(yán)格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內(nèi)一點；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)之比對應(yīng)三個三角形的面積之比．跟蹤訓(xùn)練3已知點A，B，C，P在同一平面內(nèi)，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))，eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))，則S△ABC∶S△PBC等于()A．14∶3 B．19∶4C．24∶5 D．29∶6答案B解析由eq\o(QR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(QB,\s\up6(→))可得eq\o(PR,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，由eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(RC,\s\up6(→))可得eq\o(RP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PR,\s\up6(→)))，整理可得eq\o(PR,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))，所以－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(PA,\s\up6(→))，整理得4eq\o(PA,\s\up6(→))＋6eq\o(PB,\s\up6(→))＋9eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，由奔馳定理可得S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.1．在△ABC中，已知D是AB邊上一點，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)答案A解析由于D是AB邊上一點，所以A，B，D三點共線，所以eq\f(1,3)＋λ＝1，λ＝eq\f(2,3).2．已知△ABC和點M滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，若存在實數(shù)m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，則m等于()A．2B．3C．4D．5答案B解析方法一(常規(guī)方法)∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M為△ABC的重心，如圖，連接AM并延長交BC于D，則D為BC的中點，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.方法二(等和線法)BC是值為1的等和線，過M作BC的平行線，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,m)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,m)eq\o(AC,\s\up6(→))，易知eq\f(|\o(AM,\s\up6(→))|,|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,m)＝eq\f(2,3)，∴m＝3.3．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM的中點，eq\o(AN,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D．1答案A解析方法一(常規(guī)方法)設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))，則eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(t,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(t,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2)－eq\f(t,2)，μ＝eq\f(t,2)，∴λ＋μ＝eq\f(1,2).方法二(等和線法)如圖，BC為值是1的等和線，過N作BC的平行線，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由圖易知，eq\f(|\o(AN,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，即λ＋μ＝k＝eq\f(1,2).4．點P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3答案C解析根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.5.如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2，點P是區(qū)域ABDC內(nèi)的任一點(含邊界)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則λ＋μ的取值范圍是()A．[0,1] B．[0,2]C．[0,3] D．[0,4]答案C解析如圖，過點P作GH∥BC，分別交AC，AB的延長線于點G，H，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AG,\s\up6(→))＋yeq\o(AH,\s\up6(→))，則x＋y＝1，當(dāng)點P位于點D時，G，H分別位于點C′，點B′，∵△BCD與△ABC的面積之比為2∶1，∴AC′＝3AC，AB′＝3AB，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AC′,\s\up6(→))＋yeq\o(AB′,\s\up6(→))＝3xeq\o(AC,\s\up6(→))＋3yeq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ＝3y，μ＝3x?λ＋μ＝3x＋3y＝3.當(dāng)點P位于A點時，顯然有λ＋μ＝0，綜上，λ＋μ的取值范圍是[0,3]．6．已知點C為扇形AOB的弧AB上任意一點，且∠AOB＝120°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．[－2,2] B．(1，eq\r(2)]C．[1，eq\r(2)] D．[1,2]答案D解析方法一(常規(guī)方法)設(shè)圓O的半徑為1，由已知可設(shè)OB為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系(圖略)，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1,0)，C(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中∠BOC＝θ，θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，有eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋μ(1,0)，整理得－eq\f(1,2)λ＋μ＝cosθ，eq\f(\r(3),2)λ＝sinθ，解得λ＝eq\f(2sinθ,\r(3))，μ＝cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))，則λ＋μ＝eq\f(2sinθ,\r(3))＋cosθ＋eq\f(sinθ,\r(3))＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，易得λ＋μ∈[1,2]．方法二(等和線法)設(shè)λ＋μ＝k，如圖，當(dāng)C位于點A或點B時，A，B，C三點共線，所以k＝λ＋μ＝1，當(dāng)點C運動到eq\o(AB,\s\up9(︵))的中點時，k＝λ＋μ＝2，所以λ＋μ∈[1,2]．7.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，BF與CD交于點O，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，則λ＋μ的值為________．答案eq\f(2,3)解析如圖，BC是值為1的等和線，過點O作BC的平行線，延長AO交BC于點M，設(shè)λ＋μ＝k，則k＝eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|).由題設(shè)知O為△ABC的重心，所以eq\f(|\o(AO,\s\up6(→))|,|\o(AM,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,3).8．已知O是面積為4的△ABC內(nèi)部一點，且有eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則△AOC的面積為________．答案1解析方法一如圖，設(shè)AC的中點為M，BC的中點為N.因為eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(ON,\s\u