高中數學必修+選修全部知識點精華歸納總結（新課

標人教A版）

高中數學必修+選修知識點歸納

新課標人教A版

復習寄語：

魯甸縣文屏鎮中學高三第一輪復習資料

引言

1.課程內容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數概念與基本初等函數（指、

對、幕函數）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3：算法初步、統

計、概率。必修4：基本初等函數（三角函數）、平面向量、

三角恒等變換。

必修5：解三角形、數列、不等式。

以上是每一個高中學生所必須學習的。上述內容覆蓋了高中階段傳統

的數學基礎知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數、數列、不等

式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好

基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、發展過程和實際應用，而不在

技巧與難度上做過高的要求。

此外，基礎內容還增加了向量、算法、概率、統計等內容。

選修課程有4個系列：系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

導數及其應用。

選修1—2：統計案例、推理與證明、數系的擴

充與復數、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導數及其應用，推理與證明、數系

的擴充與復數

選修2—3：計數原理、隨機變量及其分布列，

統計案例。

系列3：由6個專題組成。選修3—1：數學史選講。選修3—2：信

息安全與密碼。選修3—3：球面上的幾何。選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。選修3—6：三等分角與數域擴

充。系列4：由10個專題組成。選修4—1：幾何證明選講。選修4—

2：矩陣與變換。

1-

選修4—3：數列與差分。

選修4一4：坐標系與參數方程。選修4一5：不等式選講。選修4—

6：初等數論初步。

選修4—7：優選法與試驗設計初步。選修4—8：統籌法與圖論初步。

選修4一9：風險與決策。

選修4—10：開關電路與布爾代數。

2.重難點及考點：

重點：函數，數列，三角函數，平面向量，

圓錐曲線，立體幾何，導數難點：函數、圓錐曲線高考相關考點：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運算、簡易邏

輯、充要條件

⑵函數：映射與函數、函數解析式與定義域、

值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、指數與指數函數、對數與

對數函數、函數的應用

⑶數列：數列的有關概念、等差數列、等比數

歹U、數列求和、數列的應用

⑷三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、

和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函數的圖象與性質、三

角函數的應用

⑸平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、

數量積及其應用

⑹不等式：概念與性質、均值不等式、不等式

的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位

置關系、線性規劃、圓、直線與圓的位置關系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直

線與圓錐曲線的位置關系、軌跡問題、圓錐曲線的應用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線

與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

(10)排列、組合和概率:排列、組合應用題、二

項式定理及其應用

(11)概率與統計：概率、分布列、期望、方差、

抽樣、正態分布

?導數：導數的概念、求導、導數的應用?復數：復數的概念與運算

第一章：集合與函數概念§1.1.1,集合

1、把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總

體叫做集合。集合三要素：確定性、互異性、無序性。

2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個

集合相等。3、常見集合：正整數集合：N*或N,：

f(xl)f(x2)0f(x)在［a,b］上是增函數；f(xl)f(x2)0f(x)

在［a,b］上是減函數.

步驟：取值一作差一變形一定號一判斷格式：解：設xl,x2a,b

且x1x2,則：

fxlfx2=?

(2)導數法：設函數yf(x)在某個區間內可導，若f(x)0,則f(x)

為增函數；若f(x)0,則f(x)為減函數.§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果對于函數fx的定義域內任意一個

Z,：Q,：R.

4、集合的表示方法：列舉法、描述法.§1.1.2,集合間的基本關系

1、一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中任

意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作

AB.

2、如果集合AB,但存在元素xB,且xA,則稱集合A是集合B

的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做記作：.并規定：

空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A

有2n個子

集，21個真子集.

§1.1.3＞集合間的基本運算

1、一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成

的集合，稱為集合A與B的并集.記作：AB.2、一般地，由屬于集

合A且屬于集合B的所有元素

組成的集合，稱為A與B的交集.記作：AB.3、全集、補集？

CUA{x'xU,且xU}§1.2.1、函數的概念

1、設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應

關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有惟一確定的

數fx和它對應，那么就稱f:AB為集合A到集合B的一個函數，記

作：yfx,xA.

2、一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值

域.如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個

函數相等.§1.2.2、函數的表示法

1、函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.§1.3.1,單調

性與最大(小)值1、注意函數單調性的證明方法：

(1)定義法：設xl、x2[a,b],xlx2那么

-2-

n

X,都有fXfX,那么就稱函數fX為

偶函數.偶函數圖象關于y軸對稱.

2、一般地，如果對于函數fx的定義域內任意一個

x,都有fxfx,那么就稱函數fx為

奇函數.奇函數圖象關于原點對稱.1、函數yf(x)在點xO函數

yf(x)在點xO處的導數是曲線yf(x)在

P(xO,f(xO))處的切線的斜率f(xO),相應的切線方

程是yyOf(xO)(xxO).①C0；②(x)nx

n'n1

③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；⑤(a)alna；⑥(e)e；

⑦(logax)

x'xx，x

ir

；⑧(lnx)xlnax

(1)(uV)UV.(2)(uv)uvuv.

u'u'vuv'

(V0).(3)()

vv2

復合函數yf(g(x))的導數和函數

yf(u),ug(x)的導數間的關系為yxyuux,即y對x的導

數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.

解題步驟:分層一層層求導一作積還原.

極值是在x0附近所有的點,都有f(x)Vf(x0),則f(x0)是函數f(x)

的極大值；

極值是在xO附近所有的點，都有f(x)>f(xO),則f(xO)是函數f(x)

的極小值.(2)判別方法：

①如果在xO附近的左側f(x)>0,右側f'(x)V0,那么f(xO)是極大

值；

②如果在xO附近的左側f'(x)<0,右側f(x)>0,那么f(xO)是極小

值.(D求yf(x)在(a,b)內的極值(極大或者極小值)

§2.1.2、指數函數及其性質1、記住圖象：yaa0,a1

(2)將yf(x)的各極值點與f(a),f(b)比較，其中最大的一個為最大

值，最小的一個為極小值。

注：極值是在局部對函數值進行比較(局部性質)；最值是在整體區間

上對函數值進行比較(整體性質)。

第二章：基本初等函數(I)§2.1.1,指數與指數辱的運算

1、一般地，如果xa,那么x叫做a的n次方根。

其中n1,nN.2、當n為奇數時，aa；

當n為偶數時，a

n

§2.2.1、對數與對數運算

1、指數與對數互化式：aNxlogaN；2、對數恒等式：a

logaN

x

n

N.

3、基本性質：logal0,logaa1.

n

a0,a1,M0,N0時：⑴logaMNlogaMlogaN；⑵loga

a.

3、我們規定：(Da

n

m

a

*

n

M

logaMlogaN；N

n

a0,m,nN

(2)a

n

1;

⑶logaMnlogaM.

1

n0；na

rs

(Daaa

⑵a

r

s

5、換底公式：logab

logcb

logca

a0,r,sQ；

a0,a1,c0,c1,b0

6、重要公式：loganb

m

rs

arsa0,r,sQ

r

r

m

logab

n

(3)ababa0,b0,rQ

r

-3-

7、倒數關系：logab

1

a0,a1,b0,b1

logba

如果函數yfx在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線,

并且有fafb0,那么函數

§2..2.2、對數函數及其性質

1、記住圖象：ylogaxa0,a1

2、性質：

yfx在區間a,b內有零點，即存在ca,b,

使得fc0,這個c也就是方程fx0的根.§3.1.2、用二

分法求方程的近似解1、掌握二分法.

§3.2.1、幾類不同增長的函數模型§3.2.2、函數模型的應用舉例

1、解決問題的常規方法：先畫散點圖，再用適當的函數擬合，最后檢

驗.

第一章：空間幾何體圓柱、圓錐、圓臺、球。有兩個面互相平行，其

余各面都是四邊形，并且

每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做

棱柱。

§2.3、寨函數

1、幾種幕函數的圖象:

截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。把光由一點向外散射形成

的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下

的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

■

第三章：函數的應用

§3.1.1、方程的根與函數的零點1、方程fx0有實根

函數yfx的圖象與x軸有交點函數yfx有零點.

-4-

⑴圓柱側面積；S側面2r1

⑶圓臺側面積：S側面r1R1⑷體積公式：

⑶性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的

直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂直）。

第三章：直線與方程

tan⑴點斜式：yyOkxxO⑵斜截式：ykxb

V柱體Sh；V錐體

1

Sh；3

V臺體

1

S±S±S下S下h3

y2yl

x2xl

⑸球的表面積和體積：

S球

4

4R2,V球R3.

3

第二章：點、直線、平面之間的位置關系

1如果一條直線上兩點在一個平面內，那么這條

直線在此平面內。

⑶兩點式：

2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。3如果兩個不重合的

平面有一個公共點，那么它

們有且只有一條過該點的公共直線。

yyly2yl

xxlx2xl

⑷截距式：

xy1ab

4平行于同一條直線的兩條直線平行.

5空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這

兩個角相等或互補。

⑸一般式：AxByC0

6平行、相交、異面。

7直線在平面內、直線和平面平行、直

線和平面相交。

ll:yklxbl,12:yk2xb2有：klk2

（D11//12；

bb21

⑵11和12相交klk2；⑶11和12重合

8平行、相交。

9

⑴判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則

該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）。⑵性質：一條

直線與一個平面平行，則過這條直線的任一

平面與此平面的交線與該直線平行（簡稱線面平行，則線線平行）。

10、

⑴判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，

則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。

klk2

bb21

（4）1112klk21.

⑵性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么

它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。

11、

⑴定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直線，

那么就說這條直線和這個平面垂直。⑵判定：一條直線與一個平面內

的兩條相交直線都垂直，

則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）。

ll:AlxBlyCl0,12:A2xB2yC20

有：

⑶性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。12

⑴定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面

角，就說這兩個平面互相垂直。

A1B2A2B1

1//1⑴12；

BCBC2112

⑵11和12相交A1B2A2B1；

⑵判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個

平面垂直(簡稱線面垂直，則面面垂直)。

-5-

A1B2A2B1

⑶11和12重合；

BCBC2112

(4)1112A1A2B1B20.

P1P2

x2xl2y2yl2z2zl2

P1P2

x2xl2y2yl2

d

AxOByOC

AB

2

2

11：AxByCl0與12：AxByC20平行，

則d

第一章：算法

自然語言、流程圖、程序語言；起止框、輸入輸出框、處理框、判斷

框、流程線等規范表示方法；

順序結構、條件結構、循環結構⑴順序結構示意圖：

ClC2A2B2

當型循環結構

直到型循環結構

第四章：圓與方程⑴標準方程：xaybr

2

2

2

其中圓心為心,b),半徑為r.

⑵一般方程：xyDxEyF0.其中圓心為(

2

2

D

22

-\ID1+E:-4F

E

半徑為r）,

（圖1）

⑵條件結構示意圖：

①IF-THEN-ELSE格式:

直線AxByC0與圓(xa)(yb)r的位置關系有三種:

222

dr相離0;

dr相切0;

dr相交0.

弦長公式：1

一三)二一4xTq

2rd

2

2

（圖2）

②

-6-

0102⑴外離:dRr；⑵外切:dr；

⑶相交：RrdRr；⑷內切：dRr；⑸內含：dRr.

（圖3）

⑶循環結構示意圖：

①

JNPUT"提示內容”：變制

〔PRINT"提示I,容”：表達天

I變量=表達式

IF條件THEN

語句

ENDIF（圖3）

IF條件THEN

語句1

ELSE

語句2

（圖2）

ENDIF

WHILE條件

循環體

（圖4）

WEND

DO

循環體

LOOPUNTIL條件

（圖5）

（圖4）

②

（圖5）

（“=”有時也用“一”）.

④條件語句的一般格式有兩種:

IF—THEN—ELSE語句的一般格式為:

IF—THEN語句的一般格式為：

⑤循環語句的一般格式是兩種：

當型循環（WHILE）語句的一般格式：

直到型循環（UNTIL）語句的一般格式:

結果是以相除余數為0而得到利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如

下：i）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商SO和一個余數R0；

ii）：若R0=0,則n為m,n的最大公約數；若R0N0,則用除數n除以余

數R0得到一個商S1和一個余數RI；iii）：若Rl=0,則R1為m,n的最

大公約數；若R1N0,則用除數R0除以余數R1得到一個商S2和一個余數

R2；??

依次計算直至Rn=0,此時所得到的Rn1即為所求的最大公約數。

結果是以減數與差相等而得到利用更相減損術求最大公約數的步驟如

下：i）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約

簡；若不是，執行第二步。ii）：以較大的數減去較小的數，接著把較小

的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等

為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。十進制數化為k進制數

—除k取余法k進制數化為十進制數第二章：統計①簡單隨機抽樣（總

體個數較少）②系統抽樣（總體個數較多）

-7-

③分層抽樣(總體中差異明顯)注意：在N個個體的總體中抽取出n

個個體組成樣本，

n

每個個體被抽到的機會(概率)均為。

ND一表二圖：

①頻率分布表一一數據詳實②頻率分布直方圖一一分布直觀

③頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲

線與橫軸圍成的面積為1。⑵莖葉圖：

①莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于看出數據的分布，以及中位

數、眾位數等。

②個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照從小到大書寫，相同的數據

重復寫。⑴平均數：x

xlx2x3xn

n

⑴事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；

⑵必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；⑶隨機事件A的概率：

P(A)

m

,0P(A)1.n

⑴基本事件：一次試驗中可能出現的每一個基本結果；⑵古典概型的

特點：

①所有的基本事件只有有限個；②每個基本事件都是等可能發生。

⑶古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事件共有n個，事件

A包含了其中的m個基本事件，則事件A發生的概率P(A)

m.n

⑴幾何概型的特點：

①所有的基本事件是無限個；②每個基本事件都是等可能發生。⑵幾

何概型概率計算公式：P(A)

d的測度

D的測度

取值為xl,x2,,xn的頻率分別為pl,p2,,pn,則其平均數為

xlplx2p2xnpn；

注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。⑵方差與標準差：一組樣

本數據xl,x2,,xn

1

方差：s

n

2

(x

i1

n

2

i

x）；

標準差：S

In

(x

i1

n

2

i

其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。

⑴不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件；⑵如果事件

A1.A2,,An任意兩個都是互斥事件，則稱事件A1,A2,,An彼此互斥。

⑶如果事件A,B互斥，那么事件A+B發生的概率，等于事件A,B發生

的概率的和，

即：P(AB)P(A)P(B)

⑷如果事件Al,A2,,An彼此互斥，則有：

P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)⑸對立事件：兩個互斥事

件中必有一個要發生，則稱這兩個事件為對立事件。①事件A的對立事件

記作A

P(A)P(A)1,P(A)1P(A)

x)

注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩定。平均數反映數據總體

水平；方差與標準差反映數據的穩定水平。⑶線性回歸方程

①變量之間的兩類關系：函數關系與相關關系；②制作散點圖，判斷

線性相關關系

③線性回歸方程：ybxa(最小二乘法)

n

xiyinxy

i1

bn

22xnxi

i1aybx

②對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事

件。

第一章：三角函數§1.1.K任意角

1、的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2k,kZ.

-8-

注意：線性回歸直線經過定點(x,y)。第三章：概率

§1.1.2、弧度制

1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做的角.

sin2ksin,

cos2kcos,（其中：kZ）tan2ktan

2、誘導公式二：

1

2、

r

3、弧長公式：1

nR

R.180

sinsin,

coscos,

nR21

4、扇形面積公式：S1R.

3602

§1.2.h任意角的三角函數

1>設tantan

3、誘導公式三：

sinsin,

coscos,

y

Px,y,那么：siny,cosx,tan

x

2、設點Ax,y

那么：

G+尸

（設為角終邊上任意一點,

tantan

4、誘導公式四：

sinsin

coscos

r

sin

xyxy

,cotcos,tan

yrrx

tantan

5、誘導公式五：

3、sin,cos,tan在四個象限的符號和三角

函數線的畫法.正弦線：MP;

余弦線：0M;正切線：AT

5、特殊角0°,30°,45°,60°,

sin

cos,2

cossin.2

sincos,2

6、誘導公式六：

cossin.2

§1.2.2、同角三角函數的基本關系式1、sincos1.

2

2

sin

,cos

3、倒數關系：tancot1

2、商數關系：tan

§1.3、三角函數的誘導公式

（概括為kZ）1、誘導公式一:

§1.4.1、正弦、余弦函數的圖象和性質1、記住正弦、余弦函數圖

象：

2、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數的相關性質：定

義域、值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期

性.3、會用五點法作圖

-9-

ysinx在x[0,2]上的五個關鍵點為:

3

(0,0)(,1)(,,0)(,-1)(,2,0).

22

2、記住余切函數的圖象:

y=cotx

§1.4.3、正切函數的圖象與性質

1、記住正切函數的圖象:

y=tanx

3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中

心、奇偶性、單調性、周期性.

fx,如果存在一個非零常數T,使得當x取定義域內的每一個值

時，都有，那么函數fx就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的

周期.

圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質

-10-

§1.5、函數yAsinx的圖象1、對于函數：

函數ysin(x),x@R及函數ycos(x),xeR(A,,

為常數，且AWO)的周期T數ytan(x),xk常數，且ANO)

的周期T

2

;函I

yAsinxBAO,0有：振幅A,周

期T

2

,kZ(A,3,為

2

,初相，相位X，頻率f

T

2.

2、能夠講出函數ysinx的圖象與

.II

yAsinxB的圖象之間的平移伸縮變

換關系.

①對于yAsin(x和)yAcos(x)來說，對稱中心與零點

相聯系，對稱軸與最值點聯系.求函數yAsin(x)圖像的對稱軸與

對稱中心，

ysinx平移|

個單位

ysinx

asinacosalana

■RY2-43

ni4

yAsinxyAsinx

(左加右減)

(kZ)與xk(kZ)

2

解出X即可.余弦函數可與正弦函數類比可得.只需令Xk

利用圖像特征：A

平移-個小位）

G

縱坐標變為原來的A倍

要根據周期來求，要用圖像的關鍵點來求.

§1.6,三角函數模型的簡單應用1、要求熟悉課本例題.

第三章、三角恒等變換

§3.1.1、兩角差的余弦公式maxminyymin

,Bmax.22

縱坐標不變

橫坐標變為原來的I平移個單位（上加下減）

1

I倍

yAsinxB

②§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、

sinsincoscossin2、

sinsincoscossin3、

coscoscossinsin4、

coscoscossinsin5>tan

ysinyAsinx

縱坐標變為原來的A倍

縱坐標不變

橫坐標變為原來的|yAsinx

1

I倍

sinAx

yAsinxB

平移個單位（上加下減）

tantan

tantan

6、tan

§3.1.3,二倍角的正弦、余弦、正切公式

-11-

1、sin22sincos

7

b

a

Fl

變形

sincossin2.2、cos2cos2sin2

2cos2112sin2

變形如下:

2

1cos2cos

2

1cos22sin

§2.2.1、向量加法運算及其幾何意義

1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則.

2.

§2.2.2、向量減法運算及其幾何意義

1、與長度相等方向相反的向量叫做的相反向量.2、三角形減法法則

和平行四邊形減法法則.

§2.2.3、向量數乘運算及其幾何意義

1、規定：實數與向量的積是一個向量，這種運

算叫做向量的數乘.記作：，它的長度和方向規定如下：⑴

cos2(1cos2)2

降基公式：

2

sin(1cos2)2

3、tan2

,1tan2

sin21cos2

1cos2sir)2

4、tan

§3.2、簡單的三角恒等變換

1、注意正切化弦、平方降次.yasinxbcosxa2b2sin(x)

(其中輔助角所在象限由點(a,b)的象限決定,tan

b

).a

⑵當0時，的方向與的方向相同；當

第二章：平面向量

§2.1.1,向量的物理背景與概念

1、了解四種常見向量：2、既有大小又有方向的量叫做向量.

§2.1.2、向量的幾何表示

1、帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三

個要素：起點、方向、長度.2、向量的大小，也就是向量的長度(或

稱

0時，的方向與的方向相反.

2、平面向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數

，使.§2.3.1、平面向量基本定理

1、平面向量基本定理：如果el,e2是同一平面內的兩

個不共線向量，那么對于這一平面內任一向量a,有且只有一對實數

1,2,使alei2e2.§2.3.2、平面向量的正交分解及坐標表示

1、xyx,y.

-2-

模)，記作AB；長度為零的向量叫做零向量；長

度等于1個單位的向量叫做單位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共

線向量).規定：零向量與任意向量平行.§2.1.3、相等向量與共線向

里縣

1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

§2.3.3、平面向量的坐標運算1、設axl,yl,bx2,y2,

則：(Dabxlx2,yly2,

(2)xlx2,yly2,(3)xl,yl,

(4)//xly2x2yl.2、設Axl,yl,Bx2,y2,則：

ABx2xl,y2yl.§2.3.4、平面向量共線的坐標表示1、設

Axl,yl,Bx2,y2,Cx3,y3，則⑴線段AB中點坐標為

xlx2,yly2

22

,⑵4ABC的重心坐標為

xlx2x3yly2y3,

§2.4.1、平面向量數量積的物理背景及其含義1、

ab

ab

2、在

—?.3、

a

a2

.4、

R

廳

5、0.

§2.4.2、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角1、設

xl,yl,x2,y2,則：

(Dabxlx2yly2

x21y21

⑶abab

0xlx2yly20(4)a//ba

bxly2x2yl0

2、設Axl.yl,Bx2,y2,則:

AB

x222xly2yl.

3、兩向量的夾角公式

cosab

ab

4、點的平移公式

平移前的點為P(x,y)(原坐標)，平移后的對應點

為P(x,y)(新坐標)，平移向量為

PP(h,k),

則xxh

yyk.函數yf(x)的圖像按向量

a(h,k)平移后的

圖像的解析式為ykf(xh).

§2.5.1、平面幾何中的向量方法§2.5.2、向量在物理中的應用舉例

空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得.下面對空間向量在

立體幾何中證明，求值的應用進行總結歸納.

1

若A、B是直線1上的任意兩點，則AB

為直線1的一個方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線

1

的方向向量.

若向量n所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作

n,如果n,那么向量

n

叫做平面的法向量.

①建立適當的坐標系.

②設平面的法向量為

n(x,y,z).

③求出平面內兩個不共線向量的坐標

a(a,a

l,a23),b(bl,b2,b3).

-3-

na0

④根據法向量定義建立方程組

nb0

量是u,則要證明1,只需證明a〃u,即au.

②（法二）設直線1的方向向量是a,平面內的兩

⑤解方程組，取其中一組解，即得平面的法向量.

am0

n,若個相交向量分別為m、，則1.（如圖）

an0

即：直線與平面垂直直線的方向向量與平面的

法向量共線直線的方向向量與平面內兩條不共線直線的方向向量都垂

直。

2

若平面的法向量為u,平面的法向量為v,要

證，只需證uv,即證uv0.

4已知a,b為兩異面直線，A,C與B,D分別是a,b上的任意兩點，a,b

所成的角為，

b,則要證明11〃設直線11,12的方向向量分別是a、

12,只需證明@〃1）,即akb（kR）.

即：兩直線平行或重合兩直線的方向向量共線。

①（法一）設直線1的方向向量是a,平面的法向量是

u,則要證明1〃，只需證明au,即au0.

即：直線與平面平行直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平

面外

②（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可以在平面內找一個向

量與已知直線的方向向量是共線向量即可.⑶面面平行

ACBD

貝（Jcos.

ACBD

⑵求直線和平面所成的角

①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成

②求法：設直線1的方向向量為a,平面的法向量

為u,直線與平面所成的角為，2與口的夾角為，

則為的余角或的補角的余角.即有：

若平面的法向量為u,平面的法向量為v,要

證〃，只需證u〃v,即證UV.

即：兩平面平行或重合兩平面的法向量共線。3au

sincos.

au

b,則要證明設直線11,12的方向向量分別是a、

1112,只需證明ab,即ab0.

即：兩直線垂直兩直線的方向向量垂直。

①定義：平面內的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做

半平面；從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線

叫做二面

①（法一）設直線1的方向向量是a,平面的法向

-4-

二面角的平面角是指在二面角1的棱上任取一點0,分別在兩

個半平面內作

射線

A

1

AO1,BO1,貝UAOB為二面角1的平

面角.

如圖：

②求法：設二面角1的兩個半平面的法向量

nMMP

nMPnMP

n

當一條直線和一個平面平行時，直線上的各點到平面的距離相等。由此

可知，直線到平面的距離可轉化為求直線上任一點到平面的距離，即轉化為

點面距離。

n,再設m、n的夾角為,二面角分別為m、

n的夾角1的平面角為，則二面角為m、

或其補角

根據具體圖形確定是銳角或是鈍角：

nMP

即d.

n

mn

?如果是銳角，則coscos

mn

mn

即arccos；

mn

mn

?如果是鈍角，則coscos,

mnmn

BParccos.

mn

5、

面間的距離轉化為求點面距離。

nMP即d.

n

設向量n與兩異面直線a,b都垂直，Ma,Pb,

則兩異面直線a,b間的距離d就是MP在向量n方向

上投影的絕對值。

,P在直線1上，a為直線1的

方向向量，b=PQ,則點

d⑶用1)2-(小彳

Q到直線1距離為6在平面內的一條直線，如果它和這個h平面的一

條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂若點P為平面外一點，點M為

平面內任一點，

推理模式：

nMP

即d.

n

平面的法向量為n,則P到平面的距離就等于

MP在法向量n方向上的投影的絕對值.

P0,0

PAAa,a0A

MPcosn,MP

概括為：垂直于射影就垂直于斜線.

在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這

條斜線的-5-

P0,0

推理模式：PAAaA0

a,aAP

概括為：垂直于斜線就垂直于射影.

7內的任一條直線，AD是的一條斜線AB在內的射影，且

BD±AD,垂足為D.設AB與(AD)所成的角為1,AD與AC所成的角為

2,AB與AC所成的角為,貝！JcoscosIcos2.

2a2b2c22bccosA,222

bac2accosB,c2a2b22abcosC.

b2c2a2

,cosA2bc

a2c2b2

cosB

2ac

a2b2c2

cosC

2ab

用途：⑴已知三角形兩邊及其夾角，求其它元素；

⑵已知三角形三邊，求其它元素。做題中兩個定理經常結合使用.3

8、已知平面內一個多邊形的面積為SS原，它在平面內的射影圖形的

面積為SS射，平面與平面所成的二面角的大小為銳二面角，則

SABC

1

absinCbcsinAacsinB222

4CC(AB)

S'S射

=.cos

SS原

CAB

2C22(AB).

222

9

若sin2Asin2B,則AB或AB.特別注意，影長分別為11、12、

13,夾角分別為1、2、3,則有5bsinAsinBAB;

1111cos1cos2cos31

2

212223

222

2

在三角函數中，sinAsinBAB不成立。

第二章：數列

sin21sin22sin232.

(立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例).

第一章：解三角形1,(n1)S1

an注意通項能否合并。

SS,(n2).n1n

⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一

個常數，即an—anl=d,(n22,n《N),

那么這個數列就叫做等差數列。

⑵等差中項：若三數a、A、b成等差數列

c

2R.sinAsinBsinC

（其中R為ABC外接圓的半徑）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC;

abc,sinB,sinC;2R2R2R

a:b:csinA:sinB:sinC.sinA

用途：⑴已知三角形兩角和任一邊，求其它元素；⑵已知三角形兩邊

和其中一邊的對角，求其它

元素。

-6-

A

ab

2

⑶通項公式：anal（n1）dam（nm）d

或anpnq（p、q是常數）.⑷前n項和公式：

②ak,akm,ak2m,為等比數列，公比為q（下標成等差數列，則對應

的項成等比數列）

k

Snnal

nn12

d

nalan2

③數列an（為不等于零的常數）仍是公比為q的

等比數列；正項等比數列an；則Igan是公差為

⑸常用性質：

①若mnpqm,n,p,qN，則

Igq的等差數列；

④若an是等比數列，則can,an,

2

amanapaq；

②下標為等差數列的項ak,akm,ak2m,,仍組成等差數列；

③數列anb（為為常數）仍為等差數列；④若｛an｝、｛bn｝

是等差數列，則｛kan｝、｛kanpbn）（k、p是非零常數）、

｛apnq｝（p,qN）、，，,也成等差數列。

⑤單調性：an的公差為d,貝I」：

i）d0an為遞增數列；ii）d0an為遞減數列；iii）

d0an為常數列；

⑥數列｛an｝為等差數列anpnq（p,q是常數）⑦若等差數列

an的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、

*

1

，an

r21a(rZ)是等比數列，公比依次是q,q,qr.nq

⑤單調性：

al0,q1或al0,0q1an為遞增數列；al0,0q1或

al0,q1an為遞減數列；q1an為常數列；q0an

為擺動數列；

⑥既是等差數列又是等比數列的數列是常數列。⑦若等比數列an

的前n項和Sn,則Sk、S2kSk、

S3kS2k?.

類型I—觀尾法：一知數列前點

求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規律，從而根據規

律寫出此數列的一個通項。

類型n

的關系，求數列an的通項an可用公式

n項和Sn與an

S3kS2k?

⑴定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一

個常數，那么這個數列就叫做等比數列。⑵等比中項：若三數a、G、b成

等比數列Gab,(ab同號)。反之不一定成立。⑶通項公式：analq

n1

2

,(n1)SI

an構造兩式作差求解。

SS,(n2)n1n

用此公式時要注意結論有兩種可能，一種是“一，即分段式；另一種

是，即al和an合為一個表達，(要先分n1和

n2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一)。

形如an1anf(n)型的遞推數列(其中f(n)是關

amqnm

⑷前n項和公式：Sn⑸常用性質

al1qn1q

alanq

1q

①若mnpqm,n,p,qN，則

amanapaq；

-7-

anan1f(n1)

an1an2f(n2)

于n的函數)可構造：

...a2alf(1)

將上述n1個式子兩邊分別相加，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(1)al,(n2)

①若f(n)是關于n的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；

②若f(n)是關于n的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；

③若f(n)是關于n的二次函數，累加后可分組求和④若f(n)是關于n

的分式函數，累加后可裂項求和.

如下兩種：

法一：設an1p(an)，展開移項整理得

an1pan(p1),與題設an1panq比較系

數(待定系數法)得

qqq

,(p0)an1p(an)pIpIp1qqq

p(an1)，即an構成

Plplp1

an

以al

q

為首項，以p為公比的等比數列,再利用p1

q

的通項整理可P1

等比數列的通項公式求出an得an.

an1

f(n)af(n)n1n

an法二：由an1panq得anpan1q(n2)兩式

相減并整理得

an

af(n1)n1an1

f(n2)

中f(n)是關于n的函數)可構造：an2

...3,2

af(1)1

an1an

p,即an1an構成以

anan1

a2al為首項，以p為公比的等比數歹U.求出

an1an的通項再轉化為類型IH(累加法)便可求

出

an.

f(n將上述n1個式子兩邊分別相乘，可得：

anf(n1)f(n2)...f(2)f(l)al,(n2)

有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。

類型V

(1)若p1時，數列｛an｝為等差數列；(2)若q0時，數列｛an｝為

等比數列；

(3)若p1且q0時，數列｛an｝為線性遞推數列，其通項可通過待

定系數法構造等比數列來求.方法有

-8-

法一：設anAnBpan1A(n1)B，

通過待定系數法確定A、轉化成以alABB的值，為首項，以p為公

比的等比數列anAnB,再利用等比數列的通項公式求出

anAnB的通項整理可得an.

法二:當f(n)的公差為d時，由遞推式得:

an1panf(n),anpan1f(n1)兩式相減an得：得:

an1anp(anan1)d,令bnan1

bnpbn1d轉化為類型V㈠求出bn,再用類型III

(累加法)便可