2021-2022學年廣東省汕頭市九年級上冊數學期末試卷(一)

一、選一選(共10小題，每小題3分，滿分30分)

1.下列方程是一元二次方程的是()

A.ax2+bx+c=0B.3x2-2x=3(x2-2)

C.x3-2x-4=0D.(x-1)2-1=0

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可.

解：A、當a=0時，方程ax2+bx+c=0是一元方程，故本選項錯誤；

B、方程3X2-2X=3(X2-2)是一元方程，故本選項錯誤；

C、方程x3-2x-4=O是一元三次方程，故本選項錯誤；

D、符合一元二次方程的定義，故本選項正確.

故選D.

考點：一元二次方程的定義.

2.已知。。的直徑為5,若尸0=5,則點尸與。。的位置關系是()

A.點尸在。0內B.點尸在上C.點尸在。。外D.無法判斷

【答案】C

【解析】

【分析】要確定點與圓的位置關系，主要確定點與圓心的距離與半徑的大小關系；則『時,

點在圓外；當d=r時，點在圓上；當時，點在圓內.

【詳解】解：r=-=2.5,

2

Vt/=5>2.5,

點尸在0O外，

故選C.

【點睛】本題考查了對點與圓的位置關系的判斷.關鍵要記住若半徑為/■，點到圓心的距離

為d,則有：當■時，點在圓外；當d=z'時，點在圓上，當時，點在圓內.

3.二次函數y=x2+2的頂點坐標是()

A.(1,-2)B.(1,2)C.(0,-2)D.(0,2)

【答案】D

【解析】

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【分析】已知二次函數y=x?+2為拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點直接寫出頂點坐標.

【詳解】試題分析：：Vy=x2+2=（x-0）2+2,

頂點坐標為（0,2）.

故選D.

4.如圖，BD是。O的直徑，點A、C在。O上，AB=BC,ZAOB=60°,則NBDC的度數

A.60°B.45°C.35°D.30°

【答案】D

【解析】

【分析】直接根據圓周角定理即可求解.

【詳解】如圖，連結OC,

,:彘=前，

???NBDC《NAOB=460*30。

【點睛】本題考查了圓周角定理定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等

于這條弧所對的圓心角的一半.推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對

的弦是直徑.

5.若一+4》一4=0,則3（》一2）2-6（》+1）（》一1）的值為（）

A.-6B.6C.18D.30

【答案】B

【解析】

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【詳解】解：?"+4%一4=0,

,x2+4x=4，

?，?原式=3(爐—4x+4)—6(x2—1)

=3x2-12x+12-6x2+6

=-3X2-12X+18

=-3(X2+4X)+18

=-12+18

=6

故選B.

6.正十二邊形的每一個內角的度數為()

A.120°B.135°C.150°D.108°

【答案】C

【解析】

【分析】首先求得每個外角的度數，然后根據外角與相鄰的內角互為鄰補角得出每個內角的度

數.

【詳解】正十二邊形的每個外角的度數是：

則每一個內角的度數是：180°-30°=1500.

故選項為：C.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質，掌握多邊形的外角和等于360度，正確理解內角與外角的

關系是關鍵.

7.已知點A(1,a)、點B(b,2)關于原點對稱，則a+b的值為()

A.3B.-3C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】由關于原點對稱的兩個點的坐標之間的關系直接得出如6的值即可.

【詳解】I?點/(1,a)、點、B(b,2)關于原點對稱，

。=-2,b=-1,

Aa+b=-3.

故選B.

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【點睛】關于原點對稱的兩個點，它們的橫坐標互為相反數，縱坐標也互為相反數.

8.在直徑為200cm的圓柱形油槽內裝入一些油以后，截面如圖.若油面的寬AB=160cm,則油

的深度為（）

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

【答案】A

【解析】

【分析】連接OA,過點。作OEJ_AB,交AB于點M,由垂徑定理求出AM的長，再根據勾

股定理求出OM的長，進而可得出ME的長.

【詳解】解：連接OA,過點。作OE_LAB,交AB于點M,交圓。于點E,

?直徑為200cm,AB=160ctn,

OA=OE=100cm,AM=80cm,

??.OM=y]OA2-AM2=71002-802=60cm，

，ME=OE-OM=100-60=40cm.

故選：A.

考點：（1）、垂徑定理的應用；（2）、勾股定理.

9.如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，AABC的頂點都在格點上，將4ABC繞點C順時

針旋轉60。，則頂點A所的路徑長為（）

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R屈CM■

L.10nB.-------C.-------n

33

【答案】c

【解析】

【詳解】如圖所示：

在RtZXACD中，AD=3,DC=1,

根據勾股定理得：AC=yjAD2+CD2=V10，

又將4ABC繞點C順時針旋轉60°,

則頂點A所的路徑長為［=竺生上叵=典萬.

1803

故選C.

10.如圖，正方形4BCD的邊長為3cm,動點P從8點出發以3cm/s的速度沿著邊BC-CD-DA

運動，到達A點停止運動；另一動點Q同時從8點出發，以lcm/s的速度沿著邊加向A點運

動，到達A點停止運動.設P點運動時間為x(s),△8PQ的面積為y(cm?),則y關于x的函

數圖象是()

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y(cm3)y(cn?)

g、D'_0L

o\123x(s)0\123x(5)

【答案】c

［解析］

【詳解】解：由題意可得BQ=x.

①OVxVl時，P點在BC邊上，BP=3x,

則△BPQ的面積=/P?80,

可得片!?3x?x=—x2；

22

故A選項錯誤：

②1<XS2時，尸點在CD邊上，

則△BPQ的面積8Q?BC,

3

可得y=v*x*3=—x;

22

故B選項錯誤；

③2VXV3時，P點在AO邊上，AP=9-3x,

則△8PQ的面積=，AP?8Q,

,i93,

可得(9-3x)*x=-x—x"；

222

故D選項錯誤.

故選：C.

二、填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)

11.一元二次方程x(x+3)=0的根是.

【答案】X］=0,x2=-3

【解析】

【分析】用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：x(x+3)=0,

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x=0或x+3=0,

X]=0,=_3；

故答案為：X]=0,x2=-3.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，掌握兩個數的積為0,這兩個數至少有一個為0是

解題關鍵.

12.將二次函數串=，的圖象沿x軸向左平移2個單位，則平移后的拋物線對應的二次函數的

表達式為.

【答案】y=x2+4x+4.

【解析】

【詳解】試題分析：平移后二次函數解析式為：y=（x+2）2=x?+4x+4,故答案為

y=x2+4x+4.

考點：二次函數圖象與幾何變換.

13.若|b-l|+JT丁=0,且一元二次方程b2+公+6=0有實數根，則k的取值范圍是—.

【答案】k￡4且kwO.

【解析】

..I----b—1=0b=1

【詳解】試題分析：?；b—l+J』=0,{,八={.

11a-4=0a=4

...一元二次方程為kx2+4x+i=0.

:一元二次方程kx2+4x+i=o有實數根，

kH0

???口”。=1且k”

考點：（1）非負數的性質；（2）一元二次方程根的判別式.

14.如圖，已知等邊AABC的邊長為6,以AB為直徑的00與邊AC,BC分別交于D,E兩點，

則劣弧DE的長為.

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【解析】

【詳解】解：連接OD、0E,

是等邊三角形，

ANA=NB=60°,

?：OA=OE=()B=OD=3,

：./\OAE和△08。都是等邊三角形,

:.ZAOE=NBOD=60。,

：.ZEOD=60。,

二劣弧。E的長60%*3==n,

180

故答案為：式.

15.如圖，正方形0/8C的兩邊。4、0c分別在x軸、y軸上，點。(5,3)在邊45上，以C

為，把ACDS旋轉90。，則旋轉后點。的對應點。，的坐標是.

【答案】(2,10)或(-2,0)

【解析】

【詳解】:點D(5,3)在邊AB上，.-.BC=5,BD=5-3=2,

①若順時針旋轉，則點D，在x軸上，OD=2,所以，D(-2,0),

②若逆時針旋轉，則點D，到x軸的距離為10,到y軸的距離為2,所以，D，(2,10),

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綜上所述，點D，的坐標為（2,10）或（-2,0）.

故答案為：（2,10）或（-2,0）.

16.如圖，在00的內接五邊形ABCDE中，NCAD=35。，則NB+NE=

【解析】

【詳解】解：連接CE

:五邊形ABCDE為內接五邊形

四邊形ABCE為內接四邊形

.*.ZB+ZAEC=180°

又.../CAD=35

；.NCED=35。（同弧所對的圓周角相等）

ZB+ZE=ZB+ZAEC+NCED=180°+35°=215°

故答案為：215.

【點睛】本題考查正多邊形和圓.

三、解答題（共3小題，滿分18分）

17.用公式法解方程：x2-x-2—0.

【答案】x,=2,X2=-1

【解析】

【詳解】試題分析：先求出的值，再代入公式求出即可.

試題解析：解：Va=Lb=-l,c=-2,△=fe2-4ac=（-1）2-4xlx（-2）=9>0,

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..."士〃jj生,解得…=2,々=-1.

2a2

18.如圖為橋洞的形狀，其正視圖是由①和矩形48CQ構成.。點為無所在。。的圓心，

點。又恰好在43為水面處.若橋洞跨度。＞為8米，拱高(。8_1弦。于點F)E/為2米.求

無所在0。的半徑

【答案】5米

【解析】

【詳解】試題分析：

設半徑OD=r,則由題意易得OF=OE-EF=r-2；由OE±CD,根據“垂徑定理”可得DF=/CD=4,

這樣在RtAODF中由勾股定理建立方程就可解得r.

試題解析：

設。0的半徑為r米，則OF=(r-2)米，

VOE1CD

DF=yCD=4

在Rtz2iOFD中，由勾股定理可得：(rlp+dZur2,

解得：r=5,

CD所在。0的半徑DO為5米.

19.如圖，在平面直角坐標系中，RtAABC的三個頂點分別是A(-3,2),B(0,4),C(0,2),

將AABC以點C為旋轉旋轉180°,畫出旋轉后對應的△ABC，并寫出B,的坐標.

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J小

【答案】見解析，4（3,2）出（0,0）

【解析】

【詳解】試題分析：根據旋轉的性質作出力、B、C繞點C旋轉180。后對應的點，連接即可.

試題解析：解：如圖：

由圖可得：4（3,2）,（0,0）.

四、解答題（共3小題，滿分21分）

20.某校九年級舉行畢業典禮，需要從九年級（1）班的2名男生、1名女生（男生用A,B表示,

女生用a表示）和九年級（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5

人中隨機選出2名主持人，用樹狀圖或列表法求出2名主持人來自沒有同班級的概率.

3

【答案】見解析，一

5

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【解析】

【詳解】試題分析：首先根據題意列表，由表格求得所有等可能的結果，由選出的是2名主持

人來自沒有同班級的情況，然后由概率公式即可求得.

試題解析：解：列表可得：

ABcab

AABACAaAb

BBABCBaBb

CCACBcaCb

aaAaBaCab

bbAbBbCba

共有20種等可能的結果.名主持人來自沒有同班級的情況有12種，...2名主持人來自沒有

123

同班級的概率為：—

205

點睛：此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.注意樹狀圖與列表法可以沒有重復沒有遺漏

的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的；注

意概率=所求情況數與總情況數之比.

21.已知拋物線y=ax2+bx+3的對稱軸是直線x=l.

(1)求證：2a+b=O：

(2)若關于x的方程ax、bx-8=0的一個根為4,求方程的另一個根.

【答案】(1)見解析；(2)x=-2

【解析】

【詳解】試題分析：直接利用對稱軸公式代入求出即可；根據(1)中所求，再將x=4代入方程

求出a,b的值，進而解方程得出即可.

試題解析:(1)證明：,對稱軸是直線x=l=-------,b=-2a2a+b=O；

2a

(2)；ax2+bx-8=0的一個根為4,；.16a+4b-8=0,Vb=-2a,A16a-8a-8=0,

解得：貝為：2

a=l,lJb=-2,...af+bx-8=0x-2x-8=0,

則解得：

(x-4)(x+2)=0,4=4,X2=-2,

故方程的另一個根為：-2.

考點：二次函數的性質；二次函數圖象與系數的關系；拋物線與x軸的交點

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22.如圖1,若AABC和AADE為等邊三角形，M,N分別是BE,CD的中點，

（1）求證：AAMN是等邊三角形.

（2）當把4ADE繞A點旋轉到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若沒有成

立請說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=BE.理由見解析

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由等邊三角形的性質得到48=ZC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=60°,從

而得到8E=CD,再由中點的定義得到EN=Z）N,即有從而可以得到結論；

（2）可以利用SAS判定全等三角形的對應邊相等，所以CD=BE.

試題解析：解：（1）;△/3C和是等邊三角形，，/BMC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=60°,

：.AB-AE=AC-AD,BPBE=CD,：.M,N分別是8E,。的中點，:.EM*BE,DN*CD,

:,EN=DN,：.EM+AE=DN+AD,即⑷V=4W,VZBAC=60°,ZUMV是等邊三角形；

（2）CD=BE.理由如下：

:△/8C和2UOE為等邊三角形，：.AB=AC,AE=AD,NBAC=NEAD=60°.

"：ZBAE=ZBAC-ZEAC=60°-ZEAC,ZDAC=ZDAE-ZEAC=60°-ZEAC,NBAE=NDAC,

L.ABE=AJCD,:?CD=BE.

五、解答題（共3小題，滿分27分）

23.用長度一定的沒有銹鋼材料設計成外觀為矩形的框架（如圖①②中的一種）.設豎檔AB=x

米，請根據以上圖案回答下列問題：（題中的沒有銹鋼材料總長均指各圖中所有黑線的長度和，

所有橫檔和豎檔分別與AD、AB平行）

（1）在圖①中，如果沒有銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時?，矩形框架ABCD的面積為3

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平方米？

(2)在圖②中，如果沒有銹鋼材料總長度為12米，當x為多少時，矩形框架ABCD的面積S?

面積是多少？

3

【答案】(1)1米或3米；(2)-13平方米.

2

【解析】

【詳解】試題分析：(1)先用含x的代數式(12-3x)+3=4-x表示橫檔的長，然后根據矩

形的面積公式列方程，求出x的值.

4

(2)用含x的代數式(12-4x)+3=4--x表示橫檔4)的長，然后根據矩形面積公式得到二

3

次函數，利用二次函數的性質，求出矩形的面積以及對應的x的值.

解：(1)由題意，BC的長為(4-x)米，依題意，得：

x(4-x)=3>即x2-4x+3=0,解得xi=l,X2=3.

答：當Z8的長度為1米或3米時，矩形框架48CD的面積為3平方米.

444

(2)根據題意，由圖2得，4D=(12-4x)+3=4-§x,Z.S=AB>AD=x(4--x)=--x2+4x

433

配方得S=—(x—)'+3,當尸一時，S取值3.

322

3

答：當％=—時，矩形框架的面積，面積是3平方米.

2

點睛：本題考查的是二次函數的應用.(1)根據面積公式列方程，求出x的值.(2)根據面積

公式得二次函數，利用二次函數的性質求最值.

24.如圖，在△Z3C中，NC=90。，點O在4c上，以。4為半徑的。。交48于點。，8。的垂

直平分線交BC于點E,交BD于點、F,連接DE.

(1)判斷直線OE與。。的位置關系，并說明理由；

(2)若RC=6,8C=8,OA=2,求線段的長.

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c

【答案】（1）直線。石與。O相切；（2）4.75.

【解析】

【分析】（1）連接O。，通過線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質證明NEO8+NOD4

=90。，進而得出0。，。石,根據切線的判定即可得出結論；

AHOA

（2）連接OE,作0"_L4D于〃.則/〃=O”,由△ZOHSAZBC,可得——=—，推出

ACAB

612

AH',4D=《,設DE=BE=x,CE=8-x,根據列出方程

即可解決問題；

【詳解】（1）連接OQ,

???石尸垂直平分8。，

:?EB=ED,

；?NB=NEDB,

?；OA=OD,

：.ZODA=ZA,

VZC=90°,

???NZ+N8=90。，

：.ZEDB+ZODA=90°f

：.ZODE=90°f

：.OD±DEt

???DE?是。。的切線.

(2)連接OE,作O”_LZO于”.則Z"=O"，/AHO=/C=90。,

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"ZCAB=HAO,

：.AAOHsAABC,

?AH_0A

,?京—布’

,AH2

??,

610

612

.-AH——,AD=—,

55

設DE=BE=x,CE=8-x,

；0爐=。戌+?！?gt;2=￡。+0c2,

/.42+(8-x)2=22+x2,

解得：x=4.75,

：.DE=4.15.

【點睛】本題考查切線的判定和性質、線段的垂直平分線的性質、相似三角形的判定與性質等

知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，學會利用參數構建方

程解決問題，屬于中考?？碱}型.

25.若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，

拋物線Ci：yi=-2x?+4x+2與C2：y2=-x2+mx+n為“友好拋物線

(1)求拋物線C2的解析式.

(2)點A是拋物線C2上在象限的動點，過A作AQ_Lx軸，Q為垂足，求AQ+OQ的值.

(3)設拋物線C2的頂點為C,點B的坐標為(-1,4),問在C2的對稱軸上是否存在點M,

使線段MB繞點M逆時針旋轉90。得到線段MB，，且點B，恰好落在拋物線C2上？若存在求出

點M的坐標，沒有存在說明理由.

【答案】(1)V2=-X2+2X+3.(2)—；(3)(1,2)或(1,5)

4

【解析】

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【詳解】試題分析：(1)先求得yi頂點坐標，然后依據兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、

n的值；

(2)設A(a,-a2+2a+3).則OQ=x,AQ=-a2+2a+3,然后得到OQ+AQ與a的函數關系式，依

據配方法可求得OQ+AQ的最值；

(3)連接BC,過點B'作B，DJ_CM,