專題二次函數的存在性問題

16、

題(含特殊四邊形)

【典例分析】

【考點1］二次函數與相似三角形問題

【例1】已知拋物線蚱江+加+3與x軸分別交于4-3,o),B(i,o)兩

點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

(2)點F是線段AD上一個動點.

AT1

①如圖1,設后=而，當k為何值時，CF^-AD.

ADN

②如圖2,以A,F,。為頂點的三角形是否與相似？若相似,

求出點F的坐標；若不相似，請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3,D的坐標為(-1,4)；(2)①%=②以

A,F,O為頂點的三角形與AABC相似,F點的坐標為1皆)或(-2,2).

【解析】⑴將A、B兩點的坐標代入二次函數解析式，用待定系數法

即求出拋物線對應的函數表達式，可求得頂點D(-1,4);

⑵①由A、C、D三點的坐標求出AC=3a,DC=V2,AD=2V5,可

得AACD為直角三角形，若CF=：AD,則點F為AD的中點，可求出

k的值；

②由條件可判斷/DAC=/OBC,則/0AF=4CB，若以A,F,O為

頂點的三角形與AABC相似，可分兩種情況考慮：當/AOF=/ABC或

NAOF=/CAB=45°時，可分別求出點F的坐標.

【詳解】⑴拋物線y=ax?+bx+3過點A(-3,0),B(1,O),

9Q—38+3=0a=—\

a+H3=0'解得：1=-2'

拋物線解析式為y=-x2-2x+3；

y--x2-2x+3=-(x+1)2+4,

??頂點D的坐標為(-1,4)；

⑵①在RtAAOC中，OA=3,OC=3,

.-.AC2=OA2+OC2=18,

D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

.-.CD2=12+12=2,

AD2=22+42=20,

,-.AC2+CD2=AD2,

.?.△ACD為直角三角形，且/ACD=90°,

CF=-AD.

2，

??F為AD的中點,

AF_1

AD-2

②在RtAACD中，tan/ACD=翳親=g,

QD|

RtAOBC中，tan/OCB=Qfj=§，

/./ACD=NOCB,

OA=OC,

/OAC=/OCA=45°,

NFAO=NACB,

若以A,F,。為頂點的三角形與AABC相似，則可分兩種情況考慮:

當/AOF=NABC時，AAOF^ACBA,

/.OFBC,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

k+b=Ok=-3

解得:

b=3b=3

二直線BC的解析式為y=-3x+39

二直線OF的解析式為y=-3x,

設直線AD的解析式為y=mx+n,

-k+b=4k=2

,解得：

一3女+b=0b=6

???直線AD的解析式為y=2x+6,

6

x-——

y=2x+65,05

[y=-3x，解得：’

18，

y=一

-5

當NAOF=/CAB=45°時，AAOF^ACAB,

/CAB=45°,

OF±AC,

?.直線OF的解析式為y=-x,

y=-xfx=-2

???\”,解得：9，

=2x+61y=2

」.F(—2,2),

綜合以上可得F點的坐標為或(-2,2).

【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點

的坐標特征、相似三角形的判定與性質和直角三角形的性質；會利用

待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質；會運用分類討論的

思想解決數學問題.

【變式＞1】如圖，拋物線y=M+2x+c經過A(T,0),B兩點,且與y

軸交于點。(。，3),拋物線與直線y=T-1交于A,E兩點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)坐標軸上是否存在一點。，使得0。七是以AE為底邊的等腰三

角形？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，說明理由.

(3)P點在x軸上且位于點8的左側，若以P,B,C為頂點的三角

形與AABE相似，求點P的坐標.

【答案】(1)y=*+2x+3;(2)存在，Q(4,0)或(0,-4),理由見解

析；(3)P你0)或+別.

【解析】⑴將A、C的坐標代入y=o?+2x+c,求出a、c即可得到

解析式；

(2)先求出E點坐標，然后作AE的垂直平分線，與x軸交于Q,

與y軸交于Q',根據垂直平分線的性質可知Q、與A、E,Q，與A、

E組成的三角形是以AE為底邊的等腰三角形，設Q點坐標(O,x),

Q'坐標(0,y),根據距離公式建立方程求解即可；

(3)根據A、E坐標，求出AE長度，然后推出ZBAE=ZABC=45°,

PRAHPRAF

設PW，。)，由相似得到器=鬢或霹=笫，建立方程求解即可.

oCAL￡>CAD

【詳解】(1)將31,0),C(0,3)代入y=加+2x+c,得：

Q-2+CJ，

［c=3=。,解得［c［a==3-l

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3

(2)存在，理由如下:

聯立y=-x-1和尸一f+2x+3,

y=-X-\**x=4

2一+21+3,解得J孱%=T。或十i

、）'=-5

???E點坐標為(4,-5),

如圖，作AE的垂直平分線，與x軸交于Q,與y軸交于Q',

此時Q點與Q'點的坐標即為所求，

設Q點坐標(0,x),Q'坐標(0,y),

由QA=QE,QA=QE得：

2222

卜-(T)|=J(I)2+(0+5)2,^(0+1)+(>-0)=A/(O-4)+(y+5)

解得x=4,y=4

故Q點坐標為(4,0)或(。，-4)

(3)?/A(-l,0),￡(4,-5)

={(_]_4/+52=5及,

當-f+2x+3=0時，解得工=一1或3

「.B點坐標為(3,0),

/.OB=OC=3

NABC=45°,A3=4,BC=30,

由直線y=rT可得AE與y軸的交點為(0,-1),而A點坐標為(-1,0)

/.ZBAE=45°

設p(m,0)貝！]BP=3—m,

,/AP8C和AA8E相似

PBABPBAE3-/n_4.3-m50

..拓二而或而=罰，即nn而=邁或而=丁

39

解得加=,或加=-5,

.?.pg.o)rtp(44

【點睛】本題考查二次函數的綜合問題，是中考常見的壓軸題型，熟

練掌握待定系數法求函數解析式，等腰三角形的性質，以及相似三角

形的性質是解題的關鍵.

【變式1-2］如圖，已知拋物線y=-：(x+2)(x-⑼(m>0)與x軸相交于

點A,B,與y軸相交于點C,且點A在點B的左側.

(1)若拋物線過點(2,2),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在一點H,使AH+CH

的值最小，若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在第四象限內，拋物線上是否存在點M,使得以點A,B,M

為頂點的三角形與4ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，

請說明理由.

11Q

【答案】⑴了=-工/+5，+2;(2)點H的坐標為(1,5);(3)

當m=2+2夜時，在第四象限內拋物線上存在點M,使得以點A,B,

M為頂點的三角形與4ACB相似.

【解析】

分析：

(1)把點(2,2)代入y=-'(x+2)(x—M?,〃＞中，解出m的值即

m

可得到拋物線的解析式；

(2)由(1)中所得解析式求出點A、B、C的坐標，由題意可知，

點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，這樣連接BC與對稱軸的交點即

為所求的點H,根據B、C的坐標求出直線BC的解析式即可求得點

H的坐標；

(3)由解析式y=-Lx+2)(x-M?m＞可得點A、B、C的坐標分別

m

為(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下圖，由圖可知/ACB和/ABM

是鈍角，因此存在兩種可能性：①當△ACBSAABM,

②△ACBsaMBA,分這兩種情況結合題中已知條件進行分析解答

即可.

詳解：

(1)把點(2,2)代入拋物線，

得2=-,(2+2)(2-m).

m

解得m=4.

二.拋物線的解析式為y=Tx+2)(x-4)=-：x2+；x+2.

(2)令y=-；x2+gx+2=0,解得與=-2,X2=4.

則A(-2,0),B(4,0).

]_

對稱軸X=-2xhJ

y=_%2+gx+2中當x=0時，y=2,

???點C的坐標為(0,2).

.??點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，

.??連接BC與對稱軸的交點即為點H,此時AH+CH的值最小,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

4Z+Z?=0k=—

把B(4,0),C(0,2)代入得：,_,解得：2,

[曰[b=2

二.直線BC的解析式為y=[x+2.

13

...當X=1時，y=--xl+2=y.

3

點H的坐標為(1,-).

(3)假設存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與4ACB

相似.

如下圖，連接AC,BC,AM,BM,過點M作MN_Lx軸于點N,

由圖易知，NACB和/ABM為鈍角，

ArAB

①當△ACBsaABM時，有大=^77，BPAB2=ACZXM.

ABAM

.「A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

/.ZCAB=ZBAM=45°.

軸，ZBAM=/AMN=45°,

「.AN=MN.

二.可設M的坐標為：(x,-x-2)(x>0),

把點M的坐標代入拋物線的解析式，得：-x-2=-》x+2Xx-m).

化簡整理得：x=2m,

???點M的坐標為：(2m,-2m-2).

/.AM=J(2m+2『+(-2m-2)=2A(/2m+1J.

AB2=AC2\M,AC=2V2,AB=m+2,

/.(m+2)2=20x2何m+1).

解得：m=2±20.

,/m>0,

「.m=2+2夜.

②當△ACBsA.MBA時，有BPAB2=CB?V1A.

VZCBA=/BAM,ZANM=ZBOC=90°,

“AWAMNCO

AANM^ABOC,「.“、，=.

ANBO

,/BC)=m,設ON=x,

MN2皿…2,c、

--=,即MNT=—(x+2).

2+xmm

2

令M(x,-—(x+2))(x>0),

把M點的坐標代入拋物線的解析式，

71

得(x+2)=(x+2)(x—m).

mm

2

解得x=m+2.即M(m+2,--(m+4)).

____2

VAB2=CB*MA,CB=7m2+4,AN=m+4,MN=-(m+4),

(m+2)2=Jm」+4“m+4)2+%1T.

化簡整理，得16=0,顯然不成立.

綜上所述，當m=2+20時，在第四象限內拋物線上存在點M,使得

以點A,B,M為頂點的三角形與4ACB相似.

點睛：本題是一道二次函數和幾何圖形綜合的題目，解題的要點有以

下兩點：（1）“知道點A、B是關于拋物線的對稱軸對稱的，連接

BC與對稱軸的交點即為所求的點H”是解答第2小題的關鍵；（2）

“能根據題意畫出符合要求的圖形，知道NACB和/ABM為鈍角，

結合題意得到存在：①當△ACBS^ABM,②aACBsaMBA這

兩種可能情況”是解答第3小題的關鍵.

【考點2】二次函數與直角三角形問題

【例2】如圖，拋物線丫=加+云+。（方0）的頂點坐標為（2,-1）,圖象

與》軸交于點。（。，3）,與x軸交于A、B兩點.

（1）求拋物線的解析式；

⑵設拋物線對稱軸與直線8C交于點連接AC、ADt求ACD的

面積；

（3）點E為直線BC上的任意一點，過點E作％軸的垂線與拋物線交于

點尸，問是否存在點E使DEF為直角三角形?若存在，求出點E坐標,

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=（x-2）2_1=X2_敘+3修⑵⑶見解析.

【解析】（1）可設拋物線解析式為頂點式，把C點坐標代入可求得

拋物線解析式；

(2)由拋物線解析式可求得A、B坐標，利用待定系數法可求得直

線BC解析式，利用對稱軸可求得D點坐標，則可求得AD?、AC2

和CD2,利用勾股定理的逆定理可判定aACD為直角三角形，則可

求得其面積；

(3)根據題意可分NDFE=90°和NEDF=90°兩種情況，當

ZDFE=90°時，可知DF//X軸，則可求得E點縱坐標，代入拋物

線解析式可求得E點坐標；當NEDF=90°時，可求得直線AD解

析式，聯立直線AC和拋物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線

BC可求得點E的坐標.

【詳解】解：(I)二.拋物線的頂點坐標為(2，-1),

二.可設拋物線解析式為產心-2)2-1(.0),

把C(0,3)代入可得“(0-2)2-1=3,解得a=i,

...拋物線解析式為k(X-2)2_1=》2_4》+3；

⑵在y=f-4x+3中，令y=0可得/_4%+3=0,解得x=l或x=3,

/.A(l,0),B(3,0),

設直線BC解析式為產依+3,把3(30)代入得：3%+3=0,解得％=-1,

???直線8c解析式為》=-+3,

由⑴可知拋物線的對稱軸為x=2,此時丫=-2+3=1,

AD2=2,AC2=10,CD2=8,

AD2+CD2=AC2,

AC。是以AC為斜邊的直角三角形，

S?=-AZ）-CZ）=-xV2x2>/2=2；

A，。22，

⑶由題意知打〃），軸，貝I」ZFED=40cB*90,

二.OE尸為直角三角形，分N。/芯=90和/瓦尸=90兩種情況，

①當ZD/芯=90時，即DP//X軸，則。、尸的縱坐標相同，

???尸點縱坐標為1,

.?.點尸在拋物線上，

/.X2-4X+3=1,解得x=2士攻，即點E的橫坐標為2±0,

.??點E在直線8c上，

.,.當x=2+&時，y=-x+3=l-血，當x=2-a時，y=-x+3=l+0,

E點坐標為（2+夜,1-夜）或（2-夜，1+⑹；

②當/EDF=90時，

?.?A（l,0）,D（2,l）,

二.直線A。解析式為V=x-1,

;直線BC解析式為y=r+3,

/.AD1BC,

???直線AD與拋物線的交點即為E點，

聯立直線AD與拋物線解析式有%2-4%+3=X-1,解得x=1或x=4,

當x=l時，y=-x+3=2,當x=4時，y=_x+3=_l,

??"點坐標為。2）或（4,-1）,

綜上可知存在滿足條件的點E,其坐標為（2+夜,1-何或（2-夜,1+閭

或。，2）或（4T）.

【點睛】考查了待定系數法求函數解析式，利用已知的頂點坐標，列

出方程組，可以求出函數解析式.

【變式2-1］如圖，經過x軸上A(-LO)，W3,0)兩點的拋物線

y=m(x-l)2-4m(m<0)交,軸于點J設拋物線的頂點為。，若以

為直徑的。G經過點C,求解下列問題：

(1)用含機的代數式表示出C，。的坐標；

(2)求拋物線的解析式；

(3)能否在拋物線上找到一點。，使△MQ為直角三角形？如能，

求出。點的坐標，若不能，請說明理由。

【答案】(1)點。的坐標為。(。，-3加),點。的坐標為(1，-4加)；(2)拋

物線的解析式為y=f2+2x+3;(3)滿足題意的。點有三個：(0,3)、

【解析】

【試題分析】

(1)"袱》-1)2-4〃?是頂點式，則頂點。的坐標為。(0，-3加),當x=0,

則y=-3m,即點。的坐標為C(0,-3m)；

(2)連接CD、BC,過點。作桃八軸于E,如圖①所示:根據直

徑所對的圓周角是直角，得N0CB=9O。，出現“一線三等角模型”，

DEEC1-m

得OECsCOB根據相似三角形的性質得：=即士=^,解

得加=-1,則拋物線的解析式為V=-f+2x+3.

（3）分三種情況分類討論：4QD=90。（圖①）顯然。與。點重合,

點。坐標為。（。，3）；NOBQ=90。（圖②）作QP，），軸于E,0Hs軸

于〃，根據兩角對應相等，兩三角形相似，得RtRffisRtBFQ,

等=2,貝1」。"'演=8八"5，由于點。坐標（%,-攵2+2左+3），則

t>rr\）

4儼一2%-3）=2（3-左），解得：k*

由斤=—T得°坐標：°（一/一￡|；NBOQ=90。（圖③）延長OQ交了軸

于M,作DEJ_）■軸于E,DHL軸于“，同理可證：DEM^DHB,則

DEEM1EM1（7、

器=需，即卜一，得點M的坐標為0,5,設。〃所在的

直線解析式為y=kx+b,用待定系數法，把M]O,3和D（1,4）代入

得:

b=-17

<2解得：k=-,b=-

k+b=4

1717

則直線DM的解析式為y=—x+—，把,=5》+耳代入y=_》2+2x+3

得：2/_3?1=0,解得，尤=（,最后把尤=/弋入y=]+g得）'=?,

15

點Q的坐標為2'T

綜上述，。點有三個：（。，3）、

【試題解析】

(1)..,y=m(xT)2-4一是頂點式

.??點。的坐標為(1，-4根)

當x=0時，y=-3m

點。的坐標為。(。，-3加)

(2)連接CD、BC,過點。作。軸于E,如圖①所示：

?「BD是。G的直徑

/.ZDCB=90(,

.-.ZECD+ZBCO=90°

VZECD+ZEDC=9OO

/.ZBCO=ZEDC

DEEC1-m

??./DEC=ZBOC=90°/.DECsCOB:y/

COOB-3m3

YY^=1m=±1*/m<0m=-l

???拋物線的解析式為y-—+2x+3

(3)能在拋物線上找到一點Q,使aBDQ為直角三角形

很明顯，點。即在拋物線上，又在。G上，ZBCD=9Q°,這時。與。點

重合

點。坐標為。(0,3)

如圖②，若“BQ為90。,作QC)，軸于F,

DH1x軸于〃

同理可證：Rt皿汨sRtBFQ

DHHB

''~BF~~FQ

DH*FQ=BF*HB

?.?點。坐標（攵,42+2左+3）

4（%2_2左-3）=2（3-左）

3

化簡得：2r_3"9=0,解得：k=3（不合題意，舍去），女=-；

由后=_"!得Q坐標：

若ZBDQ為90。,如圖③，延長。。交了軸于M,

作。E_Ly軸于E,。”Lr軸于H,同理可證：DEM》DHB

?DE—.EM

??DH-HB

則上竿,得點時的坐標為卜口

l,乙乙k乙J

設。M所在的直線解析式為y=kx+b,把M（0。和D（1,4）代入得:

b=—17

2解得：k-b=5

k+b=4

1717

「?直線DM的解析式為y=]X+5，把代入y=—d+2x+3

得：2/一3%+1=0

解為：尤=1（不合題意，舍去），

把代入得>=[,點。的坐標為A，1）

綜合上述，滿足題意的。點有三個：（。，3）、

【方法點睛】本題目是一道二次函數的綜合題，涉及到頂點坐標，與

坐標軸的交點，一線三等角證相似，并且多次運用相似三角形的對應

邊成比例，直角三角形的確定(3種情況分類討論)，難度較大.

【變式2-2】已知拋物線y=2升機-1與x軸只有一個交點，且與y

軸交于4點，如圖，設它的頂點為B.

(1)求相的值;

(2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點C,求證：△ABC是等

腰直角三角形；

(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線，，且與x軸的

左半軸交于E點，與y軸交于F點，如圖.請在拋物線，上求點P,

使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？

【答案】(Dm=2;(2)證明見解析；(3)滿足條件的P點的坐

標為(3~，瓦)或(］，一瓦，

【解析】

試題分析：(1)根據拋物線與x軸只有一個交點可知△的值為0,由

此得到一個關于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；

(2)根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據A點在y軸上求出A

點坐標，再求C點坐標，根據三個點的坐標得出AABC為等腰直角

三角形；

(3)根據拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直

角頂點和以F為直角頂點P的坐標.

試題解析：(1)..,拋物線y=x2-2x+m-l與x軸只有一個交點，

「.△=(-2)2-4xlX(m-1)=0,

解得，m=2;

(2)由(1)知拋物線的解析式為y=x2-2x+l=(x-1)2,易得頂點

B(1,0),

當x=0時,y=l,得A(0,1).

由1=X2-2X+1,解得，x=0(舍)或x=2,所以C點坐標為：(2,1).

過C作x軸的垂線，垂足為D,貝!!CD=1,BD=XD-XB=1.

.?.在RtaCDB中，ZCBD=45°,BC=&.

同理，在RtaAOB中，AO=OB=1,于是/ABO=45°,AB=&.

/.ZABC=180°-ZCBD-ZABO=90°,AB=BC,

因此AABC是等腰直角三角形；

(3)由題知，拋物線C'的解析式為y=x2-2x-3,

當x=0時，y=-3;

當y=0時，x=-l或x=3,

/.E(-1,0),F(0,-3),即OE=1,OF=3.

第一種情況：若以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為B(X1,

Yi),作P】MJ_x軸于M.

?/ZP!EM+ZOEF=ZEFO+ZOEF=90°,

.?.NP]EM=/EFO,得RtaEFOsRtaPiEM,

r.RMOE1口口___cc、＜

則古廣方=5,即EM=3P1M.

,/EM=x1+l,P]M=yi,

..%+1=3丫1①

由于Pi(X],Y1)在拋物線C'上,

則有3(x/-2x「3)=Xi+l,

2

整理得，3x1-7x1-10=0,解得，

的=與，或X2=-l(舍去)

把的=3代入①中可解得，

13

y1=§.

??.P](y,7).

第二種情況：若以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2(x2,

y2),作PzN_Ly軸于N.

同第一種情況，易知R3EFOsR3FP2N,

FNOE1

得麗=而、即P?N=3FN.

,/P2N=X2,FN=3+y2,

-*.X2=3(3+y2)②

由于P2(x2,y2)在拋物線C'上,

2

則有X2=3(3+X2-2X2-3),

7

整理得3X22-7X2=0,解得X2=0(舍)或為="

把當=T代入②中可解得，

20

肪=一§?

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：(與10，￡13)或(7(，-三20).

【考點3］二次函數與等腰三角形問題

【例3】如圖，已知：二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,

B兩點，其中A點坐標為(-3,0),與y軸交于點C,點D(-2,

-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出PA+PD的最小值；

(3)若拋物線上有一動點M,使AABM的面積等于AABC的面積,

求M點坐標.

(4)拋物線的對稱軸上是否存在動點Q,使得4BCQ為等腰三角

形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

【答案】⑴y=x2+2x-3;(2)3V2;(3)點M的坐標為(-1

-幣,3),(―1+B，3),(-2,-3);(4)存在；點Q的坐標

為(-1,V6),(-1,-瓜),(-1,0),(-1,-6),(-1,-

1).

【解析】(1)由點A,D的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的

表達式；

(2)利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，連接

BD,交拋物線的對稱軸于點P,由拋物線的對稱性及兩點之間線段

最短可得出此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度，再由

點B,D的坐標，利用兩點間的距離公式可求出PA+PD的最小值；

(3)利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，設點M

的坐標為(x,x2+2x-3),由△ABM的面積等于△ABC的面積可得

出關于x的一元二次方程，解之即可求出點M的坐標；

(4)設點Q的坐標為(-1,m),結合點B,C的坐標可得出CQ2,

BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三種情況，找出關于

m的一元二次(或一元一次)方程，解之即可得出點Q的坐標.

【詳解】解：(1)將A(—3,0),D(-2,-3)代入y=x2+bx+c,

得：

9—3b+c=0b=2

,解得：

4-2Z?+c=-3c=-3

拋物線的表達式為y=x2+2x-3.

(2)當y=0時，x2+2x-3=0,

解得：Xi=-3,x2=1,

.??點B的坐標為（1,0）.

連接BD,交拋物線的對稱軸于點P,如圖1所示.

此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度.

???點B的坐標為(1,0),點D的坐標為(-2,-3),

BD—^(—2—1)'+(—3—())_—3S/T.,

「.PA+PD的最小值為3貶.

(3)當x=0時，y=x2+2x-3=-3,

.?.點C的坐標為(0,-3).

設點M的坐標為(x,x2+2x-3).

?^△ABM=^AABC>

|x2+2x-31=3,即x2+2x-6=0或x2+2x=0,

解得：Xj=-1-V7,x2=-1+V7,x3=-2,x4=0(舍去)，

???點M的坐標為(-1-V7,3),(-1+V7,3),(-2,-3).

(4)設點Q的坐標為(-1,m).

???點B的坐標為（1,0）,點C的坐標為（0,-3）,

.?.CQ2=(-1-0)2+[m-(-3)]2=m2+6m+10,BQ2=(-1

-1)2+(m-0)2=m2+4,BC2=(0-1)2+(-3-0)2=10.

分三種情況考慮(如圖2所示)：

①當BQ=BC時，m2+4=10,

解得：nii=",m2=-V6,

點Qi的坐標為（-1,V6）,點Q2的坐標為（-1,-V6）;

②當CQ=CB時，m2+6m+10=10,

解得：m3=0,m4=-6,

點Q3的坐標為（-1,0）,點Q,的坐標為（-1,-6）;

③當QB=QC時，m2+4=m2+6m+10,

解得：m5=-1,

???點Q5的坐標為（-1,-1）.

綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點Q,使得4BCQ為等腰三角

形，點Q的坐標為（-1,展）,（-1,-娓）,（-1,0）,（-1,

-6）,（-1,-1）.

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上

點的坐標特征、二次函數的性質、兩點間的距離公式、三角形的面積、

等腰三角形的性質以及解一元二次(或一元一次)方程，解題的關鍵

是：(1)由點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式；(2)

利用兩點之間線段最短，找出點P的位置；(3)利用兩三角形面積

相等，找出關于x的一元二次方程；(4)分BQ=BC,CQ=CB及

QB=QC三種情況，找出關于m的方程.

【變式3-1】如圖，拋物線尸ad+法+3與x軸交于點A(1,0)和

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線的對稱軸交x軸于點E,點F是位于x軸上方對稱軸

上一點,FC//x軸,與對稱軸右側的拋物線交于點C,且四邊形OECF

是平行四邊形，求點C的坐標；

(3)在(2)的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P,使AOCP

是等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明

理由.

【答案】(1)y—x2—4x+3;(2)C(4,3);(3)P(2,及1)或(2,-后)

或(2,3+V21)或(2.3-V21).

【解析】

試題分析：(D把點A、B的坐標代入函數解析式，解方程組求出a、

b的值，即可得解；

(2)根據拋物線解析式求出對稱軸，再根據平行四邊形的對角線互

相平分求出點C的橫坐標，然后代入函數解析式計算求出縱坐標，

即可得解；

(3)設AC、EF的交點為D,根據點C的坐標寫出點D的坐標，

然后分①。是頂角，②C是頂角，③P是頂角三種情況討論.

試題解析：(D把點A(1,0)和B(3,0)代入戶/+陵+3得,

,解得所以,拋物線的解析式為y=x2—4x+3；

9〃+38+3=0g=-4

(2)拋物線的對稱軸為直線x=2,

?.?四邊形OECF是平行四邊形點C的橫坐標是4,

,??點C在拋物線上，了.y=42-4x4+3=3,

點C的坐標為(4,3);

(3)二?點C的坐標為(4,3),「.OC的長為5,

①點。是頂角頂點時，OP=OC=5,

?/OP2=OE-+EP2,OE=2「.EP=M?-2?=廳，

所以，點P的坐標為(2,V21)或(2,-后)；

②點C是頂角頂點時，CP=OC=5,同理求出PF=V21,所以，

PE=Vn±3,

所以，點p的坐標為(2,3+5)或(2,3-0)；

③點P是頂角頂點時，點p在OC上，不存在.

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P(2,⑨)或(2,-⑨)或

（2,3+后）或（2,3-^21）,使aocp是等腰三角形.

考點：二次函數綜合題.

【變式3-2】如圖，拋物線J=ax：+bx+c（aHOi與直線J=X+1相交于

H-L0））（4w兩點，且拋物線經過點C（5:0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸是拋物線上的一個動點（不與點，八點5重合），過點尸作

直線尸。—，、軸于點，交直線一段于點石.

①當尸E=2砧時，求尸點坐標；

②是否存在點尸使"EC為等腰三角形，若存在請直接寫出點尸的坐

標，若不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=-x2+4x+5;（2）①P點坐標為（2,9）或（6,-

7）;②（：，當）或（4+屈，-4^3-8）或（4-而，4屈-

416

8）或（0,5）.

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的

坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①可設出P點坐標，則可表示出E、D的坐標，從而可表示出

PE和ED的長，由條件可知到關于P點坐標的方程，則可求得P點

坐標；

②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角

形的性質可得到關于E點坐標的方程，可求得E點坐標，則可求得

P點坐標.

試題解析：(1).??點B(4,m)在直線y=x+l上，

.,.m=4+l=5,

AB(4,5),

a—?+c=0

把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得'16a+劭+。=5,解得

25a+53+c=0

a=-1

A=4,

c=5

???拋物線解析式為y=-x2+4x+5;

(2)①設P(x,-x2+4x+5),貝ljE(x,x+1),D(x,0),

貝I」PE=|-x?+4x+5-(x+1)|=|-x2+3x+4|,DE=|x+1|,

\-PE=2ED,

/.|-x2+3x+4|=2|x+1|,

當一x?+3x+4=2(x+1)時，解得x=-l或x=2,但當x=-l時，P

與A重合不合題意，舍去，

二.P(2,9);

當一x?+3x+4=_2(x+1)時，解得x=-l,或x=6,但當x=-l時,

P與A重合不合題意，舍去，

??.P(6,-7);

綜上可知P點坐標為(2,9)或(6,-7);

②設P(x,-x2+4x+5),則E(x,x+1),且B(4,5),C(5,

0),

BE=g-+(x+1-5>=72lx-4I,

CE=-5)：+(x+—J2x~—8x+26,BC=5)~+(5-0)~=j26，

當4BEC為等腰三角形時，貝IJ有BE=CE>BE=BC或CE=BC三種

情況，

當BE=CE時，則收|x—4|=也金-弘+26,解得x=|,此時P點

坐標為U，當);

416

當BE=BC時，貝I」&|x-4|=病，解得x=4+后或x=4-屈，此

時P點坐標為(4+而，—4后—8)或(4—底，4而一8);

當CE=BC時，則血口-<+26=癡,解得x=0或x=4,當x=4

時E點與B點重合，不合題意，舍去，此時P點坐標為(0,5);

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(|,當)或(4+而，-

4底-8)或(4-屈，4屈-8)或(0,5).

考點：二次函數綜合題.

【考點4］二次函數與平行四邊形問題

【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點A(-3,0),

3

B(1,0),與y軸相交于(0,頂點為P.

(1)求拋物線解析式;

(2)在拋物線是否存在點E,使aABP的面積等于aABE的面積？

若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)坐標平面內是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊

形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標，并求出平

行四邊形的面積.

13——

【答案】(1)y=^x2+x--(2)存在，(-1-272,2)或(一1+2夜，

2)(3)點F的坐標為(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2),且平行

四邊形的面積為8

【解析】⑴設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把(-3,0),(1,

0),(0,代入求出a、b、c的值即可；(2)根據拋物線解析式

可知頂點P的坐標，由兩個三角形的底相同可得要使兩個三角形面積

相等則高相等，根據P點坐標可知E點縱坐標，代入解析式求出x

的值即可；(3)分別討論AB為邊、AB為對角線兩種情況求出F點

坐標并求出面積即可；

【詳解】(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將(-3,0),(1,

0=9a-3b+c

3

0),(0,代入拋物線解析式得0=a+b+c,

3

c-——

2

I3

解得：a=-,b=l,c=--

13

???拋物線解析式：y=1x2+x-j

(2)存在.

vy=1x2+x-|=1(x+1)2-2

二.P點坐標為(-1,-2)

???AABP的面積等于4ABE的面積，

.??點E到AB的距離等于2,

設E(a,2),

5a2+a-1-=2

=

解得a/-1-2夜，a2-1+2V2

符合條件的點E的坐標為(-1-2血，2)或(-1+2加,2)

(3)二?點A(-3,0),點B(1,0),

Z.AB-4

若AB為邊，且以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形

.-.AB//PF,AB=PF=4

???點P坐標(-1,-2)

???點F坐標為(3,-2),(-5,-2)

平行四邊形的面積=4X2=8

若AB為對角線，以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形

.?.AB與PF互相平分

設點F(x,y)且點A(-3,0),點B(1,0),點P(-1,-2)

-3+1-1+x

.下二F

-0+0-2+y'

2

?'?X=-1,y=2

點F(-1,2)

平行四邊形的面積=；X4X4=8

綜上所述：點F的坐標為(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2),且

平行四邊形的面積為8.

【點睛】本題考查待定系數法求二次函數解析式及二次函數的幾何應

用，分類討論并熟練掌握數形結合的數學思想方法是解題關鍵.

22

+bX+C

【變式4-1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線片-齊t經

過A(0,-4),B(40),C(Z0)三點，且%fl=5.

(2)在拋物線上求一點D,使得四邊形BDCE是以BC為對角線

的菱形；

(3)在拋物線上是否存在一點P,使得四邊形BPOH是以OB為對

角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方

形？若不存在，請說明理由.

14725

【答案】(1)"=一可，。=-4；(2)D(-奢T)；(3)存在一點P(-

3,4),使得四邊形BPOH為菱形，不能為正方形.

【解析】

試題分析：(1)把A(0,-4)代入可求c,運用根與系數的關系及

匕一町=5,可求出b；

(2)因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必

在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；

(3)由四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，可得PH垂直平分

OB,求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點

的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形即可.

_22

試題解析：(1).??拋物線經過點A(0,-4),.-.c=

-4,

223

又...由題意可知，&*2是方程一齊+小4=°的兩個根，Ti+z?

222

”產2=6,由已知得出-々)=25,../1+X2_2叼々=25,

9214

...(叼+勺)2-4中2=25,.月-24=25,解得/=±可，

14

當b=?時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍

14

去.「?b=3；

(2)???四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，

221427225

點D必在拋物線的對稱軸上，又『-4=-/+萬)+文...

725

拋物線的頂點(一萬，至)即為所求的點D;

(3)V四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為(-

2214

6,0),根據菱形的性質,點P必是直線x=-3與拋物線'訶-三-4

2214

的交點，.?.當X=-3時，"一/(一3)-x(-3)-4=4,...在拋物線上

存在一點P(-3,4),使得四邊形BPOH為菱形.

四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，

點P的坐標只能是(-3,3),但這一點不在拋物線上.

考點：1.二次函數綜合題；2.探究型；3.存在型；4.壓軸題.

【變式4-2】如圖，拋物線j=-x：+bx+c與直線.鋁交于a(T-0,8(0,4)

兩點，直線交J軸與點c,點E是直線.43上的動點，過點

E作軸交/于點尸，交拋物線于點G.

(1)求拋物線］=-X：+云+c的表達式；

⑵連接GB,EOt當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

⑶①在】軸上存在一點連接EH,防，當點E運動到什么位置時,

以從巴產月為頂點的四邊形是矩形？求出此時點FK的坐標；

②在①的前提下，以點石為圓心，長為半徑作圓，點U為?E上一

動點，求;￡M+cu的最小值.

【答案】⑴y=-x2-2x+4;(2)G(-2,4);⑶①E(-2,0).H

(0,-1);②孚.

【解析】

試題分析：(1)利用待定系數法求出拋物線解析式；

(2)先利用待定系數法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊

形的對邊相等建立方程求解即可；

(3)①先判斷出要以點A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形，只有

EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；

②先取EG的中點P進而判斷出aPEMs^MEA即可得出

PM=^AM,連接CP交圓E于M,再求出點P的坐標即可得出結論.

試題解析：(1).??點A(—4,—4),B(0,4)在拋物線y=-x?+bx+c

上，

—16-4Z?+c=-4

c=4

.。=-2

c=4'

拋物線的解析式為y=-X2-2x+4;

(2)設直線AB的解析式為y=kx+n過點A,B,

.箝=

<4

-4k+普=-4'

,4=2

??--.,

z?=4

一.直線AB的解析式為y=2x+4,

設E(m,2m+4),

:.G(m,-m2-2m+4),

?.?四邊形GEOB是