上海市嘉定區2024屆高三上學期一模數學試題一．填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求干脆填寫結果，前六題每題得4分，后六題每題得5分.第六題有兩空，每空2分.1.已知集合，是整數集，則________.【答案】【解析】【分析】先用公式法解肯定值不等式確定集合，再取交集即可.【詳解】，故答案為：.2.已知復數，是虛數單位，則的虛部為________.【答案】【解析】【分析】先利用復數的除法法則計算得到，從而求出的虛部.【詳解】，故虛部為-1.故答案為：-13.直線與直線的夾角大小為________.【答案】##【解析】【分析】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【詳解】因為直線的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為，故答案為：．4.已知，若關于的方程解集為，則的值為_________.【答案】【解析】【分析】結合題意，先令方程等號左右兩邊的常數項相等，求出，驗證后得到答案.【詳解】解集為R，先令等號左右兩邊的常數項相等，即，解得：，將代入方程可得：，解集為R，滿意要求.故答案為：25.已知某一個圓錐的側面積為，底面積為，則這個圓錐的體積為________.【答案】【解析】【分析】求出圓錐的底面半徑，底面周長，結合圓錐側面積，列出方程，求出圓錐的母線長，由勾股定理求出圓錐的高，得到圓錐的體積.【詳解】設圓錐的底面半徑為，則，解得：，則圓錐底面周長為，設圓錐的母線長為，則，解得：，由勾股定理得：，故圓錐的體積為.故答案為：.6.某果園種植了棵蘋果樹，隨機抽取的棵果樹的產量（單位：千克）分別為：242536272832202629302633據此預料，該果園的總產量為_______千克以及第百分位數為_______千克.【答案】①.②.【解析】【分析】先計算樣本的平均數，然后再估計整體總產量，找出樣本的第八與第九的均值表示第百分位數.【詳解】（千克），所以總產量：千克；樣本總共有12個數，所以，只需找出第9個數字和第10個數字取平均數即可，從小到大排列后第九個數字為30，第十個數字為32，所以第75百分位數為：31故答案為：2800；31.7.已知常數，在的二項綻開式中，項的系數等于，則_______.【答案】【解析】【分析】首先依據綻開式中存在一項可知，然后依據二項式綻開式的通式結合已知條件列出關于的方程，解方程即可求出參數的值.【詳解】依據已知條件是二項式綻開式的某一項，故得.由，令，得.得，依據已知可得，解得，即.故答案為：.8.若函數的值域是，則此函數的定義域為___________．【答案】【解析】【分析】分類探討分兩種狀況解不等式即可.【詳解】當時，當時，故答案為：9.如圖為正六棱柱.其個側面的條面對角線所在直線中，與直線異面的共有______條.【答案】【解析】【分析】作出協助線，得到四點共面，不是異面直線，同理得到與共面，再由，與相交，得到與不是異面直線的面對角線，從而得到與異面的面對角線，求出答案.【詳解】連接，因為六邊形為正六邊形，所以，故，所以四點共面，不是異面直線，同理可得：與共面，不是異面直線，而，又與相交，故條面對角線中，與不是異面直線的面對角線為，其余面對角線均與異面，分別為，共5條.故答案為：510.關于的方程的解集為_________.【答案】【解析】【分析】利用肯定值三角不等式，轉化原方程，解不等式得到方程的解集.【詳解】由肯定值三角不等式可得：，當且僅當，即時，等號成立，故的解集為.故答案為：.11.在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為_________.【答案】【解析】【分析】先求出和的坐標，再依據投影向量的定義可得答案.【詳解】依題意：所以在方向上的投影向量為：故答案為：12.已知拋物線，動點A自原點動身，沿著軸正方向向上勻速運動，速度大小為.過A作軸的垂線交拋物線于點，再過作軸的垂線交軸于點.當A運動至時，點的瞬時速度的大小為___________.【答案】【解析】【分析】依據進行求解.【詳解】不妨取點B為第一象限的點，則點C位于x軸正半軸，由可得：，，當當A運動至時，B點的縱坐標為100，將其代入上式，，即點的瞬時速度的大小為.故答案為：二．選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，前兩題每題得4分，后兩題每題得5分.13.已知，那么“”是“為鈍角三角形”的（）A.充分條件但非必要條件 B.必要條件但非充分條件C.充要條件 D.以上皆非【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理得到充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】，即，由余弦定理得：，因為，所以，故為鈍角三角形，充分性成立，為鈍角三角形，若為鈍角，則為銳角，則，必要性不成立，綜上：“”是“為鈍角三角形”的充分條件但非必要條件.故選：A14.已知四條雙曲線，，，，，關于下列三個結論的正確選項為（）①開口最為開闊；②的開口比的更為開闊；③和的開口的開闊程度相同.A.只有一個正確 B.只有兩個正確 C.均正確 D.均不正確【答案】D【解析】【分析】分別計算出四條雙曲線的離心率，依據離心率越大開口更開闊進行比較.【詳解】依題意，依次計算出各自的離心率可得：，比較大小知：可知：三個結論均為錯誤；故選：D15.甲、乙兩人弈棋，依據以往總共次的對弈記錄，甲取勝次，乙取勝次.兩人進行一場五局三勝的競賽，最終勝者贏得元獎金.第一局、其次局競賽都是甲勝，現在競賽因意外中止.鑒于公允，獎金應當分給甲（）A元 B.元 C.元 D.元【答案】C【解析】【分析】我們須要計算出接著競賽甲獲勝的概率依據比例給甲分得獎金.【詳解】依題意知：甲乙輸贏的概率都是假設競賽接著，甲只需三場中贏得一場即獲得全額獎金，甲獲勝的概率（元）故選：C16.中國古代數學家用圓內接正邊形的周長來近似計算圓周長，以估計圓周率的值.若據此證明，則正整數至少等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓內接正邊形的周長，與直徑之比與3.14進行比較即可.【詳解】如圖，圓內接邊形，為中點，半徑為，圓周率，由計算器可得：故選：C三．解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必需寫出必要的步驟．17.如圖，已知正四棱柱，底面正方形的邊長為，.（1）求證：平面平面；（2）求點A到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明出平面，從而得到面面垂直；（2）等體積法求解點到平面的距離.【小問1詳解】因為四棱柱為正四棱柱，所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，因為平面ABCD，所以⊥BD，因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】設點A到平面的距離為，AC與BD相交于點O，連接，因為正方形的邊長為，，所以，，由三線合一可得：⊥BD，且，由勾股定理得：，所以，故，又，平面故，由，故點A到平面的距離為.18.若數列是等差數列，則稱數列為調和數列.若實數依次成調和數列，則稱是和的調和中項.（1）求和的調和中項；（2）已知調和數列，，，求的通項公式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據題意得到、、成等差數列，從而得到方程，求出，得到答案；（2）依據題意得到是等差數列，設出公差，由通項公式基本量計算得到公差，從而求出，得到的通項公式.【小問1詳解】設和的調和中項為，依題意得：、、成等差數列，所以，解得：，故和的調和中項為；【小問2詳解】依題意，是等差數列，設其公差為，則，所以，故.19.李先生屬于一年工作天的上班族，安排購置一輛新車用以通勤.大致推斷每天早八點從家動身，晚上六點回家，來回總距離為公里.考慮從兩款車型中選擇其一，款車是燃油車，款車是電動車，售價均為萬元.現供應關于兩種車型的相關信息：款車的油耗為升/百公里，油價為每升至元.車險費用元/年.購置稅為售價的.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里；款車的電耗為度/百公里，電費為每度至元.車險費用元/年.國務院年出臺文件，宣布保持免除購置稅政策.電池運用壽命為年，更換費用為萬元.購車后，車價每年折舊率為.保養費用平均元/萬公里.（1）除了上述了解到的狀況，還有哪些因素可能須要考慮?寫出這些因素（至少個，不超過個）；（2）為了簡化問題，請對相關因素做出合情假設，由此為李先生作出買車的決策，并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）李先生要考慮生活中得各類費用以及車身本身的因素，列出幾條即可（2）通過數據的分析，得出相關的結論對買款或買款車進行分析.【小問1詳解】李先生可能還須要考慮的因素有：1、考慮非通勤時段的車輛運用狀況；2、油價和電價的改變；3、工作單位能否供應免費充電；4、電動車的國家減免政策的改變；5、車輛的外觀、內飾與品牌效應.6、車牌費用【小問2詳解】假設僅考慮通勤時車輛費用，油價和電價保持相對穩定，電動車的免購置稅政策保持不變.計算時取價格區間的中位數即電價元/度、油價元/升.車輛費用為車價、能源費用、稅費、車險費用、保養費用，并扣除車輛殘余價值.運用年數夠車費里程數油耗油費車險費用購置稅保養費車輛殘值總費用130000010000600510040003000020002640007710023000002000012001020080003000040002323201198803300000300001800153001200030000600020444215885843000004000024002040016000300008000179909194491530000050000300025500200003000010000158320227180630000060000360030600240003000012000139321257279730000070000420035700280003000014000122603285097830000080000480040800320003000016000107890310910930000090000540045900360003000018000949443349561030000010000060005100040000300002000083550357450運用年數夠車費里程數電耗電費車險費用購置稅保養費車輛殘值電池更換費總費用1300000100002000130060000100025500005330023000002000040002600120000200021675009985033000003000060003900180000300018423801406634300000400008000520024000040001566020176598530000050000100006500300000500013311202083886300000600001200078003600006000113145100000336655730000070000140009100420000700096173100000361927830000080000160001040048000080008174710000038465393000009000018000117005400009000694851000004052151030000010000020000130006000001000059062100000423938寫出至年隨意一年中的一組對比數據，例如：款車運用年的總費用為：款車運用年的總費用為：所以，假如李先生準備開年就按二手車賣掉，可以選款車.再寫出至年隨意一年中的一組對比數據，結論：運用年數不超過年，建議買款車；運用年數超過年，建議買款車.20.如圖所示，由半橢圓和兩個半圓、組成曲線，其中點依次為的左、右頂點，點為的下頂點，點依次為的左、右焦點.若點分別為曲線的圓心.（1）求的方程；（2）若點分別在上運動，求的最大值，并求出此時點的坐標；（3）若點在曲線上運動，點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）最大值為6，，（3）【解析】【分析】（1）由圓心的橫坐標確定的值，再用可得方程；（2）將運用幾何法放縮到過兩個半圓的圓心時最大，再依據特別三角形的角度計算出點的坐標；（3）須要分狀況探討，在圓上和在橢圓上分開計算，計算圓錐曲線上一點到某定點的最值問題可以用參數方程計算.【小問1詳解】依題意，，所以，于是的方程為【小問2詳解】由對稱性，不妨設，，，當三點共線，同時三點共線，，此時，.【小問3詳解】曲線關于軸對稱，不妨設點在曲線或曲線的右半部分上運動.①當點在曲線上運動，設，.，；②當點在曲線上運動，設，.，，綜合①②，.【點睛】圓錐曲線的組合曲線的問題，一般都須要采納分類探討的方法，與圓有關系的問題一般都考慮幾何法優先.21.已知，（1）求函數的導數，并證明：函